2025年四川省樂(lè)山市第一中學(xué)校高2022級(jí)高三二模測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知雙曲線的焦距為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解．【詳解】由題意可知，解，故選：A.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集的定義求結(jié)論.【詳解】集合，故故選：C.3.函數(shù)，若在是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，分離參數(shù)求新函數(shù)最值即可求解．【詳解】函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則在恒成立，即在恒成立，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在單調(diào)遞減，故，所以.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【詳解】由可得，故，故選：B5.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.30 B.50 C.20 D.40【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件求等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再根據(jù)通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以，則，得，所以，所以.故選：B6.已知圓錐的底面半徑為1，高為，過(guò)高線的中點(diǎn)且垂直于高線的平面將圓錐截成上、下兩部分，則上、下兩部分的體積比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出圓錐被截的上面小圓錐和下面剩下的圓臺(tái)部分的體積，計(jì)算比值即可.【詳解】圓錐的底面半徑為1，高為，過(guò)高線的中點(diǎn)且垂直于高線的平面將圓錐截成上、下兩部分，則上、下兩部分的體積比為.故選：A.7.已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上除頂點(diǎn)外的一點(diǎn)，，且，則的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出根據(jù)題意有，利用余弦定理表示出，，結(jié)合，求出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，顯然，則，所以的離心率．由于，所以，所以的取值范圍是；故選：A8.已知函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，再研究與對(duì)稱軸的距離即可求解.【詳解】由題意：，，是的對(duì)稱軸；設(shè)，，并且，則，顯然是增函數(shù)，，，，，即當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)則：同增異減，在時(shí)是增函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；下面分析自變量時(shí)與的距離，顯然距離越大，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，；設(shè)，則，是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，，；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，又，所以時(shí)，，即，，又，；；故選：C.【點(diǎn)睛】本題難度較大，分析問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是函數(shù)的圖像，然后要運(yùn)用縮放法對(duì)自變量x與對(duì)稱軸的距離做出比較，其中是對(duì)正切函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的一個(gè)常用的縮放，需要掌握.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.某校高一年級(jí)共有男女學(xué)生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級(jí)女生人數(shù)是200B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C.線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D.根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05【答案】ABD【解析】【分析】利用分層抽樣計(jì)算判斷A；求出第75百分位數(shù)判斷B；利用線性相關(guān)系數(shù)的意義判斷C；利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷D.【詳解】對(duì)于A，該校高一年級(jí)女生人數(shù)是，A正確；對(duì)于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對(duì)于C，線性回歸方程中，線性相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，D正確.故選：ABD10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，取得最小值D.記，則數(shù)列前項(xiàng)和為【答案】BCD【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可解.【詳解】由題意可設(shè)公差為，則有由有：，故A錯(cuò)誤；故B正確；，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C正確；因?yàn)?，所以所以為等差?shù)列，公差為4，首項(xiàng)為，所以的前項(xiàng)和為：故D正確.故選：BCD.11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）．A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)，使得C.若，則點(diǎn)在正方形底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為D.若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)，作平面平面，則平面截正方體的截面面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等體積法可計(jì)算出三棱錐的體積，可判斷選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)垂直得向量數(shù)量積為列式，從而判斷選項(xiàng)B，C，利用線面垂直的判定定理得平面，再證明四點(diǎn)共面，從而得平面，再由面面平行的性質(zhì)可得平面截正方體的截面為正六邊形，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)計(jì)算面積即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，由等體積法，三棱錐的高為，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，A正確；對(duì)于B，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，若，則，即，取，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，滿足題意，所以存在點(diǎn)，使得，B正確；對(duì)于C，，若，，即，所以點(diǎn)的軌跡就是線段，軌跡長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖取中點(diǎn)，連接，由題可得，平面，連接，因?yàn)?，平面，則，，又，平面，則平面，又取中點(diǎn)為，則，有四點(diǎn)共面，則平面即為平面，又由兩平面平行性質(zhì)可知，，，，又都是中點(diǎn)，故是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則平面截正方體截面為正六邊形，又正方體棱長(zhǎng)為，則，故截面面積為，D正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則在方向上的投影向量等于___________.【答案】【解析】【分析】求出，根據(jù)投影向量的概念即可求得答案.【詳解】由題意向量，，則，則在方向上的投影向量為，故答案為：13.已知的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則其展開(kāi)式中常數(shù)等于________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和可求得，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式可求得的值，代入可求得結(jié)果.【詳解】展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為，，解得：，展開(kāi)式通項(xiàng)公式為：.令，解得：，展開(kāi)式中常數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)和二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式的形式.14.拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，拋物線在A、B處的切線交于點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】9【解析】【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到在A、B處的切線方程，聯(lián)立后求出的坐標(biāo)，從而得到，從而表達(dá)出，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到最值.【詳解】由題意得，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，不滿足與拋物線交于兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，，則，故，，故，，，故過(guò)的切線方程為，同理可得過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立與得，故，故，，則，故，其中，由在上單調(diào)遞增，故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：9【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若不等式在上恒成立，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象確定A，利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求得的值，即得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，即得答案；（3）根據(jù)x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得的最小值，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)圖象可知，，則，因?yàn)?，所以．由，得，即，因?yàn)椋?，所以．【小?wèn)2詳解】由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則，即m的取值范圍為．16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為，且其兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸頂點(diǎn)相連形成的四邊形為正方形．過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）試判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值．若存在，求出的值，并求出該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在；，．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得橢圓方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）由題意可知，，且，又因?yàn)?，解得，所以橢圓的方程為；（2）由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)，與橢圓的方程聯(lián)立，，消去，整理得，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，，則，將，代入上式，整理得，若對(duì)任意，為定值，則或，因?yàn)?，所以，此時(shí)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)直線與方程聯(lián)立后，利用韋達(dá)定理，表示出是解題的關(guān)鍵，根據(jù)數(shù)量積為定值求出t,即可求出，屬于中檔題.17.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，為等邊三角形.（1）證明：平面.（2）若為等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得解；（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，從而利用空間向量法即可得解.【小問(wèn)1詳解】記為的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈冗吶切危?，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈冗吶切?，，所以到底邊的距離為，因?yàn)闉榈冗吶切?，，所以到底邊的距離為，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，故，因?yàn)椋云矫媾c平面夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)（）．（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若對(duì)于任意的恒成立，求a的取值范圍；（3）若數(shù)列滿足且（），記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)分類討論當(dāng)、情況下函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而求解；（3）利用取倒數(shù)法求得，利用導(dǎo)數(shù)證明，結(jié)合歸納法和放縮法證明原不等式即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，得，又，所以在處的切線為；【小問(wèn)2詳解】對(duì)恒成立，，設(shè)，則，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增，且，所以對(duì)恒成立.當(dāng)即時(shí)，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又，所以在上恒有，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則在上有，不符合題意.綜上，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為【小問(wèn)3詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故，所以.當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，先證：，即證，設(shè)，則，即證（），令，則，所以在上單調(diào)遞減，故，即，即.所以當(dāng)時(shí)，.綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題，第（3）問(wèn)，利用數(shù)學(xué)歸納法和進(jìn)行放縮是解決該問(wèn)的關(guān)鍵.19.已知函數(shù)，．（1）對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根從小到大依次為，，…，，…，求證：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由已知可得出對(duì)任意的恒成立，驗(yàn)證對(duì)任意的恒成立；在時(shí)，利用參變分離法可得出，利用倒數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可求解；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)分析在上的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理可知，求得