三角函數(shù)第五章第7講解三角形應(yīng)用舉例考點(diǎn)要求考情概覽1．能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．2．利用正、余弦定理解決實(shí)際問題，根據(jù)實(shí)際問題建立三角函數(shù)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(難點(diǎn))

考向預(yù)測(cè)：從近三年高考情況來看，解三角形的實(shí)際應(yīng)用考查頻率不高，常見題型為選擇、填空題，解答題考查減少，幾何計(jì)算問題常結(jié)合正、余弦定理求解平面幾何中的基本量，難度以中檔為主．學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心能力欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏03素養(yǎng)微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏1順時(shí)針

0°≤α＜360°

正北

正南

【特別提醒】1．解三角形時(shí)，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量．2．做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題．1．(教材改編)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50

m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為

(

)【答案】A【答案】C【答案】D5．(2020年溫州模擬)某城市的電視發(fā)射搭建在市郊的一座小山上．如圖所示，小山高BC為30米，在地平面上有一點(diǎn)A，測(cè)得A，C兩點(diǎn)間距離為50米，從點(diǎn)A觀測(cè)電視發(fā)射塔的視角(∠CAD)為45°，則這座電視發(fā)射塔的高度為________米．【答案】250

相對(duì)于某一正方向的水平角(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類似．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)：(1)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．

(

)(2)如圖所示，為了測(cè)量隧道口AB的長度，可測(cè)量數(shù)據(jù)a，b，γ進(jìn)行計(jì)算．

(

)【答案】(1)√

(2)√重難突破能力提升2示通法

解三角形應(yīng)用題時(shí)，實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，若已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；若已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．求距離、高度問題【解題技巧】1．測(cè)量高度問題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．2．測(cè)量距離問題的兩個(gè)策略(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．(2)江岸邊有一炮臺(tái)高30

m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距________m.圖1圖2

已知距離島A南偏西38°方向3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島嶼北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？測(cè)量角度問題解：如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC＝0.5x，AC＝5，依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos

120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.【解題技巧】測(cè)量角度問題的基本思路及關(guān)注點(diǎn)(1)測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．(2)方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角．【變式精練】2．如圖，兩座相距60

m的建筑物AB，CD的高度分別為20

m，50

m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于 (

)A．30° B．45°C．60° D．75°【答案】B

正(余)弦定理在平面幾何中的應(yīng)用【解題技巧】與平面幾何圖形有關(guān)的解三角形問題的思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解．(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果，求解時(shí)要靈活利用平面幾何的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合起來．素養(yǎng)微專直擊高考3素養(yǎng)提升類——數(shù)學(xué)建模：解三角形的實(shí)際應(yīng)用典例精析

要將一件重要物品用小艇從某港口O送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．【考查角度】余弦定理．【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)建模、