2025年甘肅省初中畢業(yè)、高中招生考試數(shù)學(xué)模擬卷(二)(考試時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項．1.下列各數(shù)中最小的是（）A. B.0 C.π D.答案：A解：∵，∴最小的數(shù)是，故選：A．2.桿秤是中國最古老也是現(xiàn)今人們?nèi)匀皇褂玫暮饬抗ぞ?，由秤桿、秤砣、秤盤三個部分組成.秤砣、秤桿分別叫做“權(quán)”和“衡”，指的是做任何事都要權(quán)衡輕重.如圖是常見的一種秤砣，則它的主視圖是（）A. B. C. D.答案：A解：這個常見的一種秤砣的主視圖是故選A．3.由可以得到用含x的式子表示y，下列正確的是（）A. B. C. D.答案：B解：∴，∴，∴，故選：B．4.風(fēng)鈴，又稱鐵馬，古稱“鐸”，常見于中國傳統(tǒng)建筑屋檐下（如圖①），如圖②是六角形風(fēng)鈴的平面示意圖，其底部可抽象為正六邊形，連接，則的度數(shù)為為（）A. B. C. D.答案：C解：六邊形是正六邊形，，由對稱性可知，故選：C．5.一個底面半徑為10cm、高為30cm的圓柱形大杯中存滿了水，把水倒入底面直徑為10cm的圓柱形小杯中，剛好倒?jié)M12杯，則小杯的高為（）A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm答案：C解：設(shè)小杯的高為x，根據(jù)題意得：π×102×30=π×（10÷2）2?x×12解得：x=10則小杯的高為10cm．故選C．6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若菱形的頂點A，B的坐標(biāo)分別為，，點D在y軸上，則點C的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.答案：D解：∵點A、B的坐標(biāo)分別為，，∴，∵四邊形是菱形∴，∵，∴，∴故選：D．7.如圖，在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.答案：D解：A、由二次函數(shù)圖象，可得，一次函數(shù)圖象，可得，相矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；B、由二次函數(shù)圖象，可得，一次函數(shù)圖象，可得，相矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；C、由二次函數(shù)圖象，可得，一次函數(shù)圖象，可得，相矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；D、由二次函數(shù)圖象，可得，，一次函數(shù)圖象，可得，，故本選項正確，符合題意；故選：D8.有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入x的值為16時，輸出的y的值為（）．A.4 B. C.2 D.1答案：B解：當(dāng)輸入是時，取算術(shù)平方根是4，4是有理數(shù)，再次輸入，4的算術(shù)平方根是2，2是有理數(shù)，再次輸入，2的算術(shù)平方根是，是無理數(shù)，所以輸出是，故選B．9.桿秤是人類發(fā)明的各種衡器中歷史最悠久的一種，是利用杠桿原理來測定物體質(zhì)量的簡易衡器．如圖1所示是興趣小組自制的一個無刻度簡易桿秤，其使用原理：將待測物掛于秤鉤處，提起提紐，在秤桿上移動金屬秤錘（質(zhì)量為），當(dāng)秤桿水平時，金屬秤錘所在的位置對應(yīng)的刻度就是待測物的質(zhì)量（量程范圍內(nèi)）．為了給秤桿標(biāo)上刻度，興趣小組做了如下試驗，用（單位：）表示待測物的質(zhì)量，（單位：）表示秤桿水平時秤錘與提紐之間的水平距離，則水平距離與待測物質(zhì)量之間的關(guān)系如圖2所示．根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（）A.待測物的質(zhì)量越大（量程范圍內(nèi)），秤桿水平時秤錘與提紐之間的水平距離越小B.當(dāng)待測物的質(zhì)量時，測得的距離為C.若秤錘C在水平距離為的位置，則秤桿在此處的刻度應(yīng)為D.若秤桿長為，則桿秤的最大稱重質(zhì)量為答案：B解：根據(jù)題意，重物的質(zhì)量越大，則金屬秤錐與提紐的水平距離越大，故A正確，符合題意；由圖2可知，待測物體質(zhì)量為，則秤桿水平時秤錘與提紐之間的水平距離為，故B正確，符合題意；若金屬秤錘移動到處時，測得距離為，則秤桿處的刻度應(yīng)為，故C錯誤，不符合題意；若，則待測物體的質(zhì)量為，故D錯誤，不符合題意；故選：B．10.我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，邊長為2的菱形的形狀可以發(fā)生改變，在這個變化過程中，設(shè)菱形的面積為y，的長度為x，則下列圖象中，可以表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A. B.C. D.答案：D解：如圖，過點A作于E；當(dāng)E點與B點重合時，，則，此時面積最大，且為，當(dāng)A往右方向移動時，減小，也減小，而跟著減小，即隨著x由減小到接近0，但不為0，面積由4減小到接近0，但不為0；同理，隨著x的增大到，面積也增大到4，前三個選項中圖象均不滿足，只有移項D滿足；故選：D．二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．11.分解因式：___________．答案：解：，故答案為：．12.七（1）班40名同學(xué)進行跑素質(zhì)測試，測試后體育委員把數(shù)據(jù)整理后制作頻數(shù)分布表．把它分成五組，第一組到第三組的頻數(shù)分別為，第四組的頻率為0.3，則第五組的頻數(shù)為_________．答案：解：∵第四組頻數(shù)：，∴第五組頻數(shù)為：；故答案為：．13.如圖，BC為圓錐底面直徑，AD為圓錐的高，若，，則這個圓錐的側(cè)面積為__________（結(jié)果保留）．答案：∵，∴，∵，∴，，∴．故答案為：．14.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其所著《續(xù)古摘奇算法》中的攢九圖一節(jié)中提出了“幻圓”的概念．如圖是一個二階幻圓模型，其內(nèi)外兩個圓周上四個數(shù)字之和以及外圓兩直徑上的四個數(shù)字之和都相等，則______．答案：3解：由題意得，，即，兩式相加得：，故答案為：3．15.一種玻璃水杯的截面如圖①所示，其左右輪廓線，為某一拋物線的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如圖②若盛有部分水的水杯傾斜（即），水面正好經(jīng)過點B，則此時點P到杯口的距離為_______．答案：解：如圖，以的中點為原點，所在直線為x軸，垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，∴，，，，設(shè)輪廓線、所在拋物線的解析式為，記與軸的交點為，把、代入拋物線解析式，得：，解得：，∴輪廓線、所在拋物線的解析式為：，∵，，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，把、代入直線的解析式，得：，解得：，∴直線的解析式為：，解方程組得：，，∴，此時點P到杯口的距離為，故答案為：7．16.如圖，分別以正六邊形的頂點，，為圓心，邊長為半徑作弧，若正六邊形的邊長為，則“三葉草”的面積為______．答案：解：如圖，連接，，作于點，依題意，是等邊三角形，，，，，，，，，，陰影部分面積是：．故答案為：．三、解答題：本大題共6小題，共46分．解答時，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．答案：0解：．18.解不等式組：，把它的解集表示在數(shù)軸上．答案：，見解析．解：，解不等式得，，解不等式得，，∴不等式組的解集為，數(shù)軸上表示解集如圖：

19.先化簡，再求值：，其中，．答案：，解：．當(dāng)，時，原式．20.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理．如圖，已知是弦上一點，請你根據(jù)以下步驟完成這個引理的作圖過程．（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作線段的垂直平分線，分別交于點于點，連接；②以點為圓心，長為半徑作弧，交于點（兩點不重合），連接．（2）直接寫出引理的結(jié)論：線段的數(shù)量關(guān)系．答案：（1）①見解析；②見解析；（2）解：（1）作出線段的垂直平分線，連接；以為圓心，長為半徑作弧，交于點，連接，如圖示：（2）結(jié)論：．理由如下：由作圖可得：是的垂直平分線，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，21.小明與小剛做游戲，在甲、乙兩個不透明的口袋中，分別裝有完全一樣的小球，其中甲口袋中的4個小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，乙口袋中的3個小球分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4，小明先從甲袋中隨意摸出一個小球，記下數(shù)字為x，再從乙袋中隨機摸出一個小球，記下數(shù)字為y．（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）若x，y都是方程的解時，則小明獲勝；若x，y都不是方程的解時，則小剛獲勝，它們誰獲勝的概率大？請說明理由．答案：（1）答案見解析；（2）小明獲勝的概率大；理由見解析．【小問1詳解】解：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：2341234由表可知共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．【小問2詳解】∵方程的兩個根分別為2或3，∴由表格可知，x，y都是方程的解有，，，共4種，都不是方程的解有，兩種，∴P小明勝，P小剛勝，∴小明獲勝的概率大．22.某校三個數(shù)學(xué)研究小組測量某古城墻的高度．測量方案與測量數(shù)據(jù)如下表：項目測量古城墻的高度測量工具測角儀，皮尺等測量小組第一小組第二小組第三小組測量方案說明點A，B在古城墻的地面邊緣線上，點C，D在古城墻的上部邊緣線上，且測量數(shù)據(jù)，，，，，，問題解決：（1）直接指出所有可行方案的小組；（2）在可行方案的小組里，任選一種方案，按照所測數(shù)據(jù)，計算古城墻的高度；(精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，)（3）計算的古城墻的高度和實際結(jié)果有一定的誤差，請?zhí)岢鲆粭l減小誤差的合理建議．答案：（1）第一小組和第三小組的方案可行（2）古城墻的高度約為（3）多次測量取平均值(答案不唯一)【小問1詳解】解：∵第一組和第三組都可以把分成兩個不同的三角形利用解直角三角形的知識解決問題，而第二個只能通過已知求出，與的交點與點A，B組成的三角形的邊長和高，而不能求出交點與組成的三角形的高，故不能求出城墻的高度，∴第一小組和第三小組的方案可行；【小問2詳解】解：若選擇第一小組：如圖，過點作于點,,在中，,,,在中，,,,,,即,解得：，答：大同古城墻的高度約為米；若選擇第二小組，設(shè)與的交點為O，過O點作交于點Q，,在中，,,,在中，,,,,,即,解得：,而題目中的已知沒法求出的高，∴無法求出與間的距離，即在城墻的高；若選擇第三小組：如圖，過點作于點,,在中，,,,在中，,,,,,即,解得：，答：大同古城墻的高度約為米；【小問3詳解】解：多次測量取平均值(答案不唯一)．四、解答題：本大題共5小題，共50分．解答時，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．23.黃河之濱萬物競茂、豪情滿懷．來自世界各地的數(shù)萬名選手相聚金城，用奔跑釋放生命活力，用激情演繹“蘭馬”精彩．某單位組織甲乙兩個代表隊參加半馬比賽，成績(精確到分)如下：甲隊選手123456成績96m118106124110乙隊選手123456成績98112102n131119（1）已知該單位12位選手成績平均數(shù)是，其中甲隊6名選手成績平均數(shù)是，求m，n的值；（2）求乙隊選手成績的眾數(shù)及中位數(shù)；（3）從隊員發(fā)揮的穩(wěn)定程度考慮哪隊選手更加優(yōu)秀？答案：（1），（2）中位數(shù)為107，眾數(shù)為98（3）甲隊更優(yōu)秀【小問1詳解】解：，．【小問2詳解】解：乙隊選手成績重新排列為98，98，102，112，119，131，∴其中位數(shù)為，眾數(shù)為98．【小問3詳解】解：甲隊的方差為，乙隊的平均數(shù)為，乙隊的方差為，∵＜，∴甲隊更優(yōu)秀．24.如圖，是的外接圓，是的直徑，點在上，，在的延長線上，．（1）如圖1，求證：是的切線；（2）如圖2，若，，求的長．答案：（1）見詳解（2）【小問1詳解】證明：連接，∵，∴，∴，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切線；【小問2詳解】解：連接，由（1）得，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴長為：．25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）的圖象交于點，，與x軸，y軸分別交于C，D兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）若點P在y軸上，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，請直接寫出點P的坐標(biāo)；（3）將直線向下平移a個單位長度后與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，當(dāng)時，求a的值．答案：（1），（2）（3）或【小問1詳解】解：反比例函數(shù)的圖象過點，，，反比例函數(shù)的解析式為，∵反比例函數(shù)的圖象過點，∴，，，∵一次函數(shù)的圖象過點，，∴，解得，一次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】解：如圖，作點A關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，此時，的周長最小，點，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為；小問3詳解】解：將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，直線解析式為，，，，，解得或．26.【模型建立】（1）如圖1，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，且AE⊥DF，求證：；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在矩形中，，，點E在邊上，點M，N分別在邊，上，且，求的值；【模型遷移】（3）如圖3，在四邊形中，，，，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，且，垂足為G，求的值．答案：（1）見解析；（2）＝；（3）（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：過點N作于點H，，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴．（3）解：過點C作于點N，交的延長線于點M，連接，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．設(shè)，則，設(shè)，則，∴，在中，由勾股定理，得，∴，解得(舍去)，∵，∴，∵，∴，∴．27.綜合與探究如圖1，拋物線與x軸交于點、，與y軸交于點C．直線l為該二次函數(shù)圖象的對稱軸，交x軸于點E．（1）求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；（2）點D是x軸上方二次函數(shù)圖象上一動點．①連接將沿直線翻折，得到，點恰好落在直線l上，請依題意，在圖