初三數(shù)學(xué)應(yīng)用題訓(xùn)練題?一、工程問題基礎(chǔ)概念工程問題是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的重要類型，它涉及到工作總量、工作效率和工作時間三個基本量。它們之間的關(guān)系可以用公式表示為：工作總量=工作效率×工作時間。

在解決工程問題時，通常把工作總量看作單位"1"。例如，一項工程甲單獨做需要\(x\)天完成，那么甲每天的工作效率就是\(\frac{1}{x}\)；乙單獨做需要\(y\)天完成，乙每天的工作效率就是\(\frac{1}{y}\)。

如果甲、乙合作完成這項工程，那么他們合作的工作效率就是甲的工作效率加上乙的工作效率，即\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)。合作完成這項工程所需的時間就可以用工作總量"1"除以合作的工作效率來計算。

二、經(jīng)典例題解析（一）單人工作問題例1：一項工程，甲單獨做需要10天完成。問甲每天完成這項工程的幾分之幾？

解：把這項工程的工作總量看作單位"1"，因為甲單獨做需要10天完成，根據(jù)工作效率=工作總量÷工作時間，可得甲每天完成這項工程的\(1\div10=\frac{1}{10}\)。

例2：一項工程，乙單獨做每天完成這項工程的\(\frac{1}{15}\)。問乙單獨完成這項工程需要多少天？

解：已知乙的工作效率為每天完成這項工程的\(\frac{1}{15}\)，根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率，可得乙單獨完成這項工程需要\(1\div\frac{1}{15}=15\)天。

（二）兩人合作問題例3：一項工程，甲單獨做需要12天完成，乙單獨做需要18天完成。甲、乙兩人合作，多少天可以完成這項工程？

解：首先求出甲、乙兩人的工作效率。甲每天完成這項工程的\(1\div12=\frac{1}{12}\)，乙每天完成這項工程的\(1\div18=\frac{1}{18}\)。

然后計算甲、乙合作的工作效率，即\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)\(=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}\)\(=\frac{5}{36}\)。

最后根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率，可得兩人合作完成這項工程需要\(1\div\frac{5}{36}=1\times\frac{36}{5}=7.2\)天。

例4：一項工程，甲、乙合作需要8天完成。已知甲每天完成這項工程的\(\frac{1}{12}\)，求乙每天完成這項工程的幾分之幾？

解：設(shè)乙每天完成這項工程的\(x\)。

因為甲、乙合作的工作效率為\(\frac{1}{8}\)，甲每天完成這項工程的\(\frac{1}{12}\)，則可列方程：

\(\frac{1}{12}+x=\frac{1}{8}\)

移項可得：\(x=\frac{1}{8}\frac{1}{12}\)\(=\frac{3}{24}\frac{2}{24}\)\(=\frac{1}{24}\)

所以乙每天完成這項工程的\(\frac{1}{24}\)。

（三）多人合作問題例5：一項工程，甲單獨做需要20天完成，乙單獨做需要30天完成，丙單獨做需要40天完成。甲、乙、丙三人合作，多少天可以完成這項工程？

解：先分別求出甲、乙、丙三人的工作效率。

甲每天完成這項工程的\(1\div20=\frac{1}{20}\)；

乙每天完成這項工程的\(1\div30=\frac{1}{30}\)；

丙每天完成這項工程的\(1\div40=\frac{1}{40}\)。

然后計算三人合作的工作效率，即\(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}\)\(=\frac{6}{120}+\frac{4}{120}+\frac{3}{120}\)\(=\frac{13}{120}\)。

最后根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率，可得三人合作完成這項工程需要\(1\div\frac{13}{120}=1\times\frac{120}{13}=\frac{120}{13}\approx9.23\)天。

例6：一項工程，甲、乙合作6天可以完成工程的\(\frac{1}{2}\)，乙、丙合作2天可以完成工程的\(\frac{1}{6}\)，甲、丙合作5天可以完成工程的\(\frac{1}{3}\)。問甲、乙、丙三人合作，完成這項工程需要多少天？

解：設(shè)甲、乙、丙三人的工作效率分別為\(x\)、\(y\)、\(z\)。

根據(jù)已知條件可得方程組：

\(\begin{cases}6(x+y)=\frac{1}{2}\\2(y+z)=\frac{1}{6}\\5(x+z)=\frac{1}{3}\end{cases}\)

化簡方程組得：

\(\begin{cases}x+y=\frac{1}{12}①\\y+z=\frac{1}{12}②\\x+z=\frac{1}{15}③\end{cases}\)

①+②+③得：\(2(x+y+z)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}\)\(2(x+y+z)=\frac{5}{60}+\frac{5}{60}+\frac{4}{60}\)\(2(x+y+z)=\frac{14}{60}\)\(x+y+z=\frac{7}{60}\)

所以甲、乙、丙三人合作完成這項工程需要\(1\div\frac{7}{60}=\frac{60}{7}\approx8.57\)天。

（四）工作效率變化問題例7：一項工程，甲單獨做需要15天完成。甲先做了5天后，因事離開，剩下的工程由乙單獨做12天完成。問乙單獨完成這項工程需要多少天？

解：甲單獨做需要15天完成，則甲每天完成這項工程的\(\frac{1}{15}\)。

甲先做5天，完成的工作量為\(\frac{1}{15}×5=\frac{1}{3}\)。

那么剩下的工作量為\(1\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)。

這\(\frac{2}{3}\)的工作量由乙單獨做12天完成，則乙每天完成的工作量為\(\frac{2}{3}÷12=\frac{2}{3}×\frac{1}{12}=\frac{1}{18}\)。

所以乙單獨完成這項工程需要\(1\div\frac{1}{18}=18\)天。

例8：一項工程，甲、乙合作8天可以完成。甲的工作效率提高\(20\%\)，乙的工作效率降低\(20\%\)后，兩人合作7天完成了這項工程。求原來甲、乙的工作效率。

解：設(shè)原來甲的工作效率為\(x\)，原來乙的工作效率為\(y\)。

根據(jù)甲、乙合作8天可以完成工程，可得\(8(x+y)=1\)，即\(x+y=\frac{1}{8}\)①。

甲的工作效率提高\(20\%\)后為\((1+20\%)x=1.2x\)，乙的工作效率降低\(20\%\)后為\((120\%)y=0.8y\)。

兩人合作7天完成了這項工程，可得\(7(1.2x+0.8y)=1\)，即\(8.4x+5.6y=1\)②。

由①得\(y=\frac{1}{8}x\)，代入②得：

\(8.4x+5.6(\frac{1}{8}x)=1\)\(8.4x+0.75.6x=1\)\(2.8x=10.7\)\(2.8x=0.3\)\(x=\frac{0.3}{2.8}=\frac{3}{28}\)

把\(x=\frac{3}{28}\)代入①得：\(\frac{3}{28}+y=\frac{1}{8}\)\(y=\frac{1}{8}\frac{3}{28}\)\(y=\frac{7}{56}\frac{6}{56}\)\(y=\frac{1}{56}\)

所以原來甲的工作效率是\(\frac{3}{28}\)，原來乙的工作效率是\(\frac{1}{56}\)。

三、練習(xí)題（一）基礎(chǔ)練習(xí)題1.一項工程，甲單獨做需要18天完成，那么甲每天完成這項工程的幾分之幾？2.一項工程，乙單獨做每天完成這項工程的\(\frac{1}{20}\)，乙單獨完成這項工程需要多少天？3.一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成。甲、乙兩人合作，多少天可以完成這項工程？4.一項工程，甲、乙合作需要12天完成。已知乙每天完成這項工程的\(\frac{1}{18}\)，求甲每天完成這項工程的幾分之幾？5.一項工程，甲單獨做需要25天完成，乙單獨做需要30天完成，丙單獨做需要45天完成。甲、乙、丙三人合作，多少天可以完成這項工程？

（二）提高練習(xí)題1.一項工程，甲、乙合作4天可以完成工程的\(\frac{1}{3}\)，乙、丙合作5天可以完成工程的\(\frac{1}{4}\)，甲、丙合作6天可以完成工程的\(\frac{1}{5}\)。問甲、乙、丙三人合作，完成這項工程需要多少天？2.一項工程，甲單獨做需要20天完成。甲先做了8天后，因事離開，剩下的工程由乙單獨做15天完成。問乙單獨完成這項工程需要多少天？3.一項工程，甲、乙合作10天可以完成。甲的工作效率降低\(10\%\)，乙的工作效率提高\(20\%\)后，兩人合作9天完成了這項工程。求原來甲、乙的工作效率。4.一項工程，甲單獨做需要16天完成，乙單獨做需要24天完成?，F(xiàn)在甲先做若干天后，由乙接著做，共用20天完成。問甲做了多少天？5.一項工程，甲、乙、丙三人合作6天可以完成。如果甲先做6天，乙、丙再合作2天，可以完成這項工程的\(\frac{2}{3}\)；如果甲、乙先合作3天，丙再做6天，也可以完成這項工程的\(\frac{2}{3}\)。問甲、乙、丙三人單獨完成這項工程各需要多少天？

（三）拓展練習(xí)題1.有一項工程，甲隊單獨做24天完成，乙隊單獨做30天完成。甲、乙兩隊合作8天后，余下的由丙隊做，又做了6天才完成。這個工程若由丙隊單獨做需要多少天完成？2.一件工作，甲單獨做要20小時完成，乙單獨做要12小時完成?，F(xiàn)在先由甲單獨做4小時，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要幾小時完成？3.一項工程，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作60天完成。甲、乙、丙獨做各需多少天完成？4.某水池有甲、乙、丙三根進水管，單獨開甲管6小時能注滿水池，單獨開乙管8小時能注滿水池，單獨開丙管12小時能注滿水池。如果甲、乙、丙三管同時打開，多少小時能注滿水池？5.一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成。兩人合作4天后，剩下的部分由乙單獨做，還需要幾天完成？若剩下的部分由甲、乙合作完成，還需要幾天？

四、練習(xí)題答案（一）基礎(chǔ)練習(xí)題答案1.甲每天完成這項工程的\(1\div18=\frac{1}{18}\)。2.乙單獨完成這項工程需要\(1\div\frac{1}{20}=20\)天。3.甲的工作效率為\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率為\(\frac{1}{15}\)，兩人合作的工作效率為\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{6}\)，所以合作完成需要\(1\div\frac{1}{6}=6\)天。4.設(shè)甲每天完成這項工程的\(x\)，則\(12(x+\frac{1}{18})=1\)，\(x+\frac{1}{18}=\frac{1}{12}\)，\(x=\frac{1}{12}\frac{1}{18}=\frac{3}{36}\frac{2}{36}=\frac{1}{36}\)。5.甲的工作效率為\(\frac{1}{25}\)，乙的工作效率為\(\frac{1}{30}\)，丙的工作效率為\(\frac{1}{45}\)，三人合作的工作效率為\(\frac{1}{25}+\frac{1}{30}+\frac{1}{45}=\frac{18}{450}+\frac{15}{450}+\frac{10}{450}=\frac{43}{450}\)，所以合作完成需要\(1\div\frac{43}{450}=\frac{450}{43}\approx10.47\)天。

（二）提高練習(xí)題答案1.設(shè)甲、乙、丙三人的工作效率分別為\(x\)、\(y\)、\(z\)。根據(jù)條件可得方程組：\(\begin{cases}4(x+y)=\frac{1}{3}\\5(y+z)=\frac{1}{4}\\6(x+z)=\frac{1}{5}\end{cases}\)化簡得：\(\begin{ca