控制工程與自動(dòng)化第三章答案?一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

3.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.微分方程描述系統(tǒng)輸入、輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。通過(guò)對(duì)實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行分析，利用物理定律（如牛頓定律、基爾霍夫定律等）建立微分方程。例如，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)械系統(tǒng)，質(zhì)量為\(m\)的物體在彈簧力\(F=kx\)（\(k\)為彈簧系數(shù)，\(x\)為位移）和外力\(f(t)\)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為\(m\ddot{x}+kx=f(t)\)。2.傳遞函數(shù)定義：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，其微分方程\(\sum_{i=0}^{n}a_{i}\frac{d^{i}y}{dt^{i}}=\sum_{j=0}^{m}b_{j}\frac{d^{j}u}{dt^{j}}\)，取拉普拉斯變換并整理可得傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{\sum_{j=0}^{m}b_{j}s^{j}}{\sum_{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}\)。傳遞函數(shù)的特點(diǎn)：它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)；反映了系統(tǒng)的固有特性，即對(duì)不同輸入信號(hào)的傳遞能力。3.動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖組成：由信號(hào)線、引出點(diǎn)、比較點(diǎn)和方框組成。信號(hào)線表示信號(hào)的傳輸方向；引出點(diǎn)用于引出信號(hào)；比較點(diǎn)用于對(duì)信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算；方框中填寫(xiě)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。繪制步驟：首先確定系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)，然后根據(jù)系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)及其相互連接關(guān)系，逐步繪制出各環(huán)節(jié)的方框，并通過(guò)信號(hào)線、引出點(diǎn)和比較點(diǎn)連接起來(lái)。等效變換規(guī)則：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積；并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和；反饋連接的等效傳遞函數(shù)為\(\frac{G(s)}{1\pmG(s)H(s)}\)（正反饋取"+"，負(fù)反饋取""）。

3.2控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1.典型輸入信號(hào)單位階躍信號(hào)\(u(t)=\begin{cases}0,&t\lt0\\1,&t\geq0\end{cases}\)，其拉普拉斯變換為\(U(s)=\frac{1}{s}\)。常用于測(cè)試系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。單位斜坡信號(hào)\(r(t)=tu(t)\)，拉普拉斯變換為\(R(s)=\frac{1}{s^{2}}\)，可用來(lái)考察系統(tǒng)對(duì)勻速變化輸入的響應(yīng)能力。單位脈沖信號(hào)\(\delta(t)\)，其拉普拉斯變換為\(\Delta(s)=1\)，是一種理想化的瞬態(tài)輸入信號(hào)，可用于分析系統(tǒng)的初始響應(yīng)特性。2.一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)（\(T\)為時(shí)間常數(shù)）。單位階躍響應(yīng)：\(y(t)=1e^{\frac{t}{T}}\)，其響應(yīng)曲線從初始值\(0\)開(kāi)始逐漸上升，最終趨于\(1\)。上升速度取決于時(shí)間常數(shù)\(T\)，\(T\)越小，上升越快。性能指標(biāo)：調(diào)整時(shí)間\(t_s\)（一般取\(\Delta=0.05\)時(shí)，\(t_s\approx3T\)；取\(\Delta=0.02\)時(shí)，\(t_s\approx4T\)）反映系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值附近規(guī)定誤差范圍所需的時(shí)間；時(shí)間常數(shù)\(T\)表示系統(tǒng)響應(yīng)的快慢程度。3.二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_ns+\omega_n^{2}}\)（\(\omega_n\)為無(wú)阻尼自然頻率，\(\zeta\)為阻尼比）。單位階躍響應(yīng)：當(dāng)\(\zeta\gt1\)（過(guò)阻尼）時(shí)，\(y(t)=1\frac{\omega_n}{2\zeta(\zeta1)}e^{(\zeta\sqrt{\zeta^{2}1})\omega_nt}+\frac{\omega_n}{2\zeta(\zeta1)}e^{(\zeta+\sqrt{\zeta^{2}1})\omega_nt}\)，響應(yīng)曲線無(wú)超調(diào)，單調(diào)上升趨于穩(wěn)態(tài)值。當(dāng)\(\zeta=1\)（臨界阻尼）時(shí)，\(y(t)=1(1+\omega_nt)e^{\omega_nt}\)，也是無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升響應(yīng)。當(dāng)\(0\lt\zeta\lt1\)（欠阻尼）時(shí)，\(y(t)=1\frac{e^{\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1\zeta^{2}}}\sin(\omega_dt+\varphi)\)，其中\(zhòng)(\omega_d=\omega_n\sqrt{1\zeta^{2}}\)為有阻尼自然頻率，響應(yīng)曲線有超調(diào)，超調(diào)量\(M_p=e^{\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1\zeta^{2}}}}\times100\%\)。當(dāng)\(\zeta=0\)（無(wú)阻尼）時(shí)，\(y(t)=1\cos(\omega_nt)\)，響應(yīng)為等幅振蕩。性能指標(biāo)：除調(diào)整時(shí)間\(t_s\)外，超調(diào)量\(M_p\)和峰值時(shí)間\(t_p\)是重要指標(biāo)。\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}\)，它反映了系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到第一個(gè)峰值的時(shí)間。

3.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的定義若系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其輸出隨時(shí)間的推移能逐漸衰減并趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，若輸出隨時(shí)間不斷增大或產(chǎn)生持續(xù)振蕩，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2.勞斯判據(jù)勞斯表的構(gòu)建：對(duì)于系統(tǒng)的特征方程\(a_ns^n+a_{n1}s^{n1}+\cdots+a_1s+a_0=0\)，按照一定規(guī)則構(gòu)建勞斯表。穩(wěn)定的充要條件：勞斯表中第一列元素全部大于零。如果第一列元素出現(xiàn)符號(hào)變化，其變化的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。通過(guò)勞斯判據(jù)可以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，以及不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)和分布情況。3.穩(wěn)定裕度幅值裕度\(K_g\)：\(K_g=\frac{1}{|G(j\omega_{gc})H(j\omega_{gc})|}\)，其中\(zhòng)(\omega_{gc}\)是相位裕度為\(180^{\circ}\)時(shí)的頻率。幅值裕度反映了系統(tǒng)在相位交界頻率附近幅值的穩(wěn)定程度。相位裕度\(\gamma\)：\(\gamma=180^{\circ}+\angleG(j\omega_{gc})H(j\omega_{gc})\)，其中\(zhòng)(\omega_{gc}\)是幅值裕度為\(1\)時(shí)的頻率。相位裕度反映了系統(tǒng)在幅值交界頻率附近相位的穩(wěn)定程度。一般來(lái)說(shuō)，幅值裕度\(K_g\gt1\)，相位裕度\(\gamma\gt0\)時(shí)，系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性。

二、課后習(xí)題答案

3.11.題目：已知系統(tǒng)的微分方程為\(\ddot{y}+3\dot{y}+2y=\dot{u}+3u\)，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\)。解：對(duì)微分方程兩邊取拉普拉斯變換，考慮零初始條件：\(s^{2}Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=sU(s)+3U(s)\)整理可得：\(Y(s)(s^{2}+3s+2)=U(s)(s+3)\)所以傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}\)

2.題目：設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+5s+6}\)，試求系統(tǒng)的微分方程。解：由傳遞函數(shù)可得\(Y(s)(s^{2}+5s+6)=(2s+1)U(s)\)對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯反變換：\(\ddot{y}+5\dot{y}+6y=2\dot{u}+u\)

3.21.題目：已知單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{10}{s(s+1)}\)，當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)\(u(t)\)時(shí)，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)\(y(t)\)。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{\frac{10}{s(s+1)}}{1+\frac{10}{s(s+1)}}=\frac{10}{s^{2}+s+10}\)單位階躍輸入\(U(s)=\frac{1}{s}\)則輸出的拉普拉斯變換\(Y(s)=\Phi(s)U(s)=\frac{10}{s(s^{2}+s+10)}\)對(duì)\(Y(s)\)進(jìn)行部分分式展開(kāi)：\(Y(s)=\frac{10}{s(s^{2}+s+10)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+s+10}\)解得\(A=1\)，\(B=1\)，\(C=0\)所以\(Y(s)=\frac{1}{s}\frac{s}{s^{2}+s+10}\)再進(jìn)行拉普拉斯反變換：\(y(t)=1e^{\frac{1}{2}t}\cos(\frac{\sqrt{39}}{2}t)\frac{1}{\sqrt{39}}e^{\frac{1}{2}t}\sin(\frac{\sqrt{39}}{2}t)\)

2.題目：設(shè)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{4}{s^{2}+2s+4}\)，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，并計(jì)算其超調(diào)量\(M_p\)、峰值時(shí)間\(t_p\)和調(diào)整時(shí)間\(t_s\)（取\(\Delta=0.05\)）。解：該二階系統(tǒng)\(\omega_n^{2}=4\)，則\(\omega_n=2\)；\(2\zeta\omega_n=2\)，則\(\zeta=\frac{1}{2}\)單位階躍響應(yīng)\(y(t)=1\frac{e^{t}}{\sqrt{1\frac{1}{4}}}\sin(\sqrt{4\frac{1}{4}}t+\varphi)=1\frac{4}{\sqrt{3}}e^{t}\sin(\sqrt{3}t+\varphi)\)超調(diào)量\(M_p=e^{\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1\zeta^{2}}}}\times100\%=e^{\frac{\pi\times\frac{1}{2}}{\sqrt{1\frac{1}{4}}}}\times100\%\approx16.3\%\)峰值時(shí)間\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1\zeta^{2}}}=\frac{\pi}{2\times\sqrt{1\frac{1}{4}}}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\approx1.81\s\)調(diào)整時(shí)間\(t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}=\frac{3}{\frac{1}{2}\times2}=3\s\)

3.31.題目：已知系統(tǒng)的特征方程為\(s^{3}+3s^{2}+(K+2)s+2K=0\)，試用勞斯判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的\(K\)的取值范圍。解：勞斯表如下：\[\begin{array}{ccc}s^{3}&1&K+2\\s^{2}&3&2K\\s^{1}&\frac{3(K+2)2K}{3}&0\\s^{0}&2K&0\end{array}\]\(\frac{3(K+2)2K}{3}\gt0\)且\(2K\gt0\)由\(\frac{3(K+2)2K}{3}\gt0\)，解得\(K\gt6\)由\(2K\gt0\)，解得\(K\gt0\)所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的\(K\)的取值范圍是\(K\gt0\)

2.題目：已知單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)\(K\)的取值范圍。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}=\frac{K}{s^{3}+3s^{2}+2s}\)特征方程為\(s^{3}+3s^{2}+2s+K=0\)勞斯表如下：\[\begin{array}{ccc}s^{3}&1&2\\s^{2}&3&K\\s^{1}&\frac{6K}{3}&0\\s^{0}&K&0\end{array}\]\(\frac{6K}{3}\gt0\)且\(K\gt0\)由\(\frac{6K}{3}\gt0\)，解得\(K\lt6\)所以系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)\(K\)的取值范圍是\(0\ltK\lt6\)

三、案例分析

案例一：溫度控制系統(tǒng)1.系統(tǒng)描述一個(gè)溫度控制系統(tǒng)用于保持某一環(huán)境的溫度恒定。系統(tǒng)由加熱裝置、溫度傳感器和控制器組成。加熱裝置的功率變化會(huì)影響環(huán)境溫度，溫度傳感器實(shí)時(shí)測(cè)量環(huán)境溫度并將信號(hào)反饋給控制器。設(shè)加熱裝置的功率為輸入量\(u(t)\)，環(huán)境溫度為輸出量\(y(t)\)。經(jīng)過(guò)分析，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)，其中\(zhòng)(T\)為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。2.時(shí)域分析當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)\(u(t)\)時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為\(y(t)=1e^{\frac{t}{T}}\)。調(diào)整時(shí)間\(t_s\)：當(dāng)取\(\Delta=0.05\)時(shí)，\(t_s\approx3T\)。時(shí)間常數(shù)\(T\)決定了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。例如，如果\(T=5\s\)，那么調(diào)整時(shí)間\(t_s\approx15\s\)，這意味著系統(tǒng)大約需要\(15\s\)才能使溫度達(dá)到穩(wěn)態(tài)值附近規(guī)定的誤差范圍（\(\pm5\%\)）。3.穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的特征方程為\(Ts+1=0\)，其根為\(s=\frac{1}{T}\)。因?yàn)楦膶?shí)部為負(fù)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。從穩(wěn)定性的角度來(lái)看，只要時(shí)間常數(shù)\(T\)為正值，系統(tǒng)就能夠在初始溫度擾動(dòng)后逐漸恢復(fù)到設(shè)定溫度，保持穩(wěn)定運(yùn)行。

案例二：電機(jī)速度控制系統(tǒng)1.系統(tǒng)描述電機(jī)速度控制系統(tǒng)通過(guò)控制電機(jī)的輸入電壓來(lái)調(diào)節(jié)電機(jī)的轉(zhuǎn)速。系統(tǒng)包括電機(jī)、測(cè)速發(fā)電機(jī)（用于測(cè)量電機(jī)轉(zhuǎn)速并反饋信號(hào)）和控制器。設(shè)電機(jī)的輸入電壓為\(u(t)\)，電機(jī)轉(zhuǎn)速為\(y(t)\)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{\omega_