一階微分方程章

2020/12/1811可分離變量的微分方程分離變量法2齊次方程2020/12/1822020/12/1833一階線性微分方程2020/12/184高階微分方程1、可降階的高階微分方程的解法

型接連積分n次，得通解．

型代入原方程,得2020/12/185

型代入原方程,得2020/12/1862、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu):（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):2020/12/187解的疊加原理2020/12/188特征方程為3、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程2020/12/189特征方程為推廣：

階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)2020/12/18104、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法待定系數(shù)法.2020/12/18112020/12/1812向量的分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：1、向量的坐標(biāo)表示法（一）向量代數(shù)第八章空間解析幾何與向量代數(shù)2020/12/1813向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式2020/12/1814向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式2020/12/1815它們距離為兩點(diǎn)間距離公式:2020/12/18162、數(shù)量積(點(diǎn)積、內(nèi)積)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式2020/12/18173、向量積(叉積、外積)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式2020/12/1818方程特點(diǎn):1.旋轉(zhuǎn)曲面（二）空間解析幾何2020/12/1819旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面2020/12/1820xyz旋轉(zhuǎn)拋物面oyzx2020/12/1821旋轉(zhuǎn)橢球面ozyx2020/12/1822（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面2020/12/18232.柱面定義：平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.2020/12/1824從柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：（其他類推）實(shí)例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸2020/12/1825拋物柱面xyzxyz橢圓柱面雙曲柱面xyz2020/12/18263.二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面（2）橢圓拋物面2020/12/1827特殊地：當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）2020/12/1828（3）馬鞍面（4）單葉雙曲面（5）圓錐面2020/12/18294.空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參數(shù)方程2020/12/1830CCC關(guān)于的投影柱面C在上的投影曲線Oxzy設(shè)曲線

則C關(guān)于xoy面的投影柱面方程應(yīng)為消z后的方程：

所以C在xoy面上的投影曲線的方程為：[3]空間曲線在坐標(biāo)面上的投影2020/12/18315.平面[1]平面的點(diǎn)法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程2020/12/1832[4]平面的夾角[5]兩平面位置特征：//重合2020/12/18336.空間直線[1]空間直線的一般方程2020/12/1834[3]空間直線的參數(shù)方程[2]空間直線的對(duì)稱式方程2020/12/1835直線直線^兩直線的夾角公式[4]兩直線的夾角2020/12/1836[5]兩直線的位置關(guān)系：//[6]直線與平面的夾角//2020/12/1837直線與平面的夾角公式[7]直線與平面的位置關(guān)系//2020/12/1838[8]點(diǎn)到平面距離公式比較中學(xué)所學(xué)的點(diǎn)到直線的距離公式:2020/12/18396.平面束定義:通過(guò)兩相交平面交線的所有平面稱為由這兩個(gè)平面確定的平面束.

設(shè)平面2020/12/18401、偏導(dǎo)數(shù)概念第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2020/12/18412020/12/18422、全微分公式用定義證明可微與不可微的方法可微不可微2020/12/1843多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)有極限3、關(guān)系2020/12/18444、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理1若函數(shù)在點(diǎn)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t中間變量均為一元函數(shù)的情形在點(diǎn)t處可導(dǎo)，公式的記憶方法：連線相乘，分線相加.2020/12/18455、全微分形式不變性

無(wú)論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.2020/12/1846定理1設(shè)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)則方程在點(diǎn)6、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則2020/12/1847定理2的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),滿足①在點(diǎn)若函數(shù)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確2020/12/1848定理3的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)按直接法求解.①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:在點(diǎn)2020/12/18497、微分法在幾何上的應(yīng)用切線方程為法平面方程為(1)空間曲線的切線與法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)2020/12/18501）空間曲線方程為法平面方程為特殊地：(取為參數(shù))2020/12/18512）空間曲線方程為(取為參數(shù))切線方程為法平面方程為2020/12/1852(２)曲面的切平面與法線

切平面方程為法線方程為(關(guān)鍵:抓住法向量)2020/12/1853曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令則（特殊情形）2020/12/18548、方向?qū)?shù)記為（1）方向?qū)?shù)的定義及存在的充分條件2020/12/1855三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的存在性及其計(jì)算方法:定理則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)存在,且有2020/12/1856說(shuō)明:可微沿任一方向的方向?qū)?shù)存在.反之不一定成立.(2)梯度的概念記為

2020/12/1857梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系2020/12/1858則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的(極小值).定義:若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有（1)二元函數(shù)極值的定義點(diǎn)稱為極值點(diǎn).9、多元函數(shù)的極值2020/12/1859定理1(必要條件)偏導(dǎo)數(shù),且在該點(diǎn)取得極值,則有（2）多元函數(shù)取得極值的條件函數(shù)在點(diǎn)存在說(shuō)明:駐點(diǎn)極值點(diǎn)(可導(dǎo)函數(shù))注意：使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).

1.駐點(diǎn)2.偏導(dǎo)中至少有一個(gè)不存在的點(diǎn).所以,可疑極值點(diǎn)是:2020/12/1860時(shí),具有極值定理2(充分條件)一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:(1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.(2)當(dāng)(3)當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有(按極值定義來(lái)判定)2020/12/1861第四步求出極值.2020/12/1862(3)多元函數(shù)的最值a.最值的存在性：如函數(shù)b.有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的最值的求法與步驟：

（1）找最值可疑點(diǎn)D內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)邊界上的可能極值點(diǎn)

（2）比較以上各點(diǎn)處的函數(shù)值，最大（小）者即為所求的最大（?。┲?（假定函數(shù)在D有有限個(gè)可疑點(diǎn)）定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則在

D

上可取得最大值M及最小值m.2020/12/1863特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)

求二元函數(shù)在閉區(qū)域D上的最值,往往比較復(fù)雜.但如果根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,知道函數(shù)在D內(nèi)存在最值,又知函數(shù)在D內(nèi)可微,且只有唯一駐點(diǎn),則該點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最值.★函數(shù)的最值應(yīng)用問(wèn)題的解題步驟：第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)2020/12/1864（4）條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．2020/12/1865則（）處連續(xù)；例設(shè)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，(3)2020/12/1866２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．當(dāng)被積函數(shù)有正有負(fù)時(shí)，二重積分是柱體體積的代數(shù)和.1、二重積分的定義第十章2020/12/18673、二重積分的計(jì)算［X－型］

X-型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).（１）直角坐標(biāo)系下2020/12/1868

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).［Y－型］2020/12/1869求二重積分的方法步驟:1.作圖求交點(diǎn)；2.選擇積分次序；4.計(jì)算.(先內(nèi)積分后外積分;計(jì)算內(nèi)積分時(shí)把在累次積分不易積或不能積時(shí),應(yīng)考慮交換積分次序.(把D寫成不等式形式)；外積分變量看成常數(shù))3.確定積分限2020/12/18701、選擇積分次序(1)首先被積函數(shù)要易積分，能積分；(2)積分區(qū)域D盡量少分塊.2、確定積分限計(jì)算二重積分的兩個(gè)關(guān)鍵：內(nèi)限—平行線穿越法.外限—投影法；2020/12/1871（2）極坐標(biāo)系下2020/12/18722、定限方法內(nèi)限（的限）——射線穿越法.外限（的限）——看夾在那兩條射線之間；利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分應(yīng)注意：積分次序——先ρ后1、何時(shí)用極坐標(biāo)？1、當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A域或其一部分時(shí)；2、被積函數(shù)中含有或時(shí).3、用直角坐標(biāo)求不出的積分.2020/12/18734、二重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積設(shè)上連續(xù)，曲頂柱體頂——被積函數(shù)；底——積分區(qū)域.(3)求質(zhì)量2020/12/18746、三重積分的幾何意義7、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)．5、三重積分的定義2020/12/18758、三重積分的計(jì)算(１)直角坐標(biāo)（截面法）（先一后二法）2020/12/1876(２)柱面坐標(biāo)2020/12/1877積分次序：定限方法內(nèi)限—平行線穿越法；外積分區(qū)域—投影法.（可用極坐標(biāo)計(jì)算時(shí)的定限法）2020/12/18789、三重積分的應(yīng)用(3)質(zhì)心(1)求體積(2)求質(zhì)量2020/12/1879弧微分設(shè)L：（1）對(duì)弧長(zhǎng)（第一類）1.曲線積分的計(jì)算——化為定積分計(jì)算第十一章曲線、曲面積分2020/12/1880（2）對(duì)坐標(biāo)（第二類）設(shè)L：有方向2020/12/18812．曲面積分的計(jì)算（化為二重積分）若（1）對(duì)面積（第一類）的曲面積分向xoy面的投影為則投影投影2020/12/1882（2）對(duì)坐標(biāo)（第二類）的曲面積分若上側(cè)，則若下側(cè)，則有方向2020/12/18833.格林公式

----平面上曲線積分與二重積分的關(guān)系4.曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件L取正向.以及等價(jià)關(guān)系.設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,2020/12/18845.高斯公式

——曲面積分與三重積分的關(guān)系2020/12/18856.兩類積分之間的關(guān)系：的法向量L的切向量曲線:曲面:2020/12/1886三.兩類曲線(曲面)積分的典型問(wèn)題一般曲線積分化成定積分計(jì)算，一般曲面積分化成二重積分計(jì)算，封閉曲線的積分利用格林公式化為二重積分.封閉曲面的積分利用高斯公式化為三重積分.2020/12/1887第一類曲線積分的求法1.基本方法：由積分曲線的表達(dá)式求出弧微分元素，定積分定限：下限小于上限.將積分曲線代入被積函數(shù)，2020/12/18882.利用積分性質(zhì):解3.計(jì)算中注意利用對(duì)稱性:奇偶性、輪換性2020/12/1889因?yàn)榉e分曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)2xcosy是例設(shè)L為橢圓其周長(zhǎng)為a，求解原式=x的奇函數(shù)，因此有而所以2020/12/1890第二類曲線積分的求法1.基本方法：由積分曲線的表達(dá)式確定定積分的積分變量，將積分曲線代入被積表達(dá)式，定積分定限：起點(diǎn)對(duì)應(yīng)下限，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)上限.2020/12/18912.利用格林公式(1)積分曲線為封閉曲線,直接化為二重積分（滿足定理?xiàng)l件）(2)積分曲線為非封閉曲線,添加曲線(較簡(jiǎn)單)使之成為封閉曲線,原曲線積分化為一個(gè)二重積分減去在添加曲線上的曲線積分.2020/12/1892記L所圍的區(qū)域?yàn)镈，易知D是邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域.例1設(shè)L為

的反時(shí)針?lè)较?，則(A)0；(B)2；(C)4；(D)1．解由已知，則由格林公式，得B2020/12/1893解為用格林公式,它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,則原式添加輔助線段2020/12/1894原式2020/12/18953.利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件(1)改變?cè)e分路徑，使得原積分簡(jiǎn)化.(2)已知是某函數(shù)的全微分，求出該函數(shù)，即2020/12/18962020/12/18974.有奇點(diǎn)的曲線積分例4設(shè)取逆時(shí)針?lè)较?，求解取?gòu)造l：順時(shí)針已知2020/12/1898于是，由格林公式2020/12/1899第一類曲面積分的求法由積分曲面表達(dá)式確定曲面向一坐標(biāo)面投影，將積分曲面代入被積函數(shù)，求出曲面面積元素向xoy面投影：1.基本方法：2020