立體幾何中的向量方法

第1課時(shí)空間向量與平行關(guān)系

?三維目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，能用

向量方法判斷有關(guān)直線和平面平行關(guān)系的立體幾何問(wèn)題.

2.過(guò)程與方法

通過(guò)用向量方法解決立體幾何中的平行問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量運(yùn)算的幾何意

義.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)看問(wèn)題，體驗(yàn)在探索問(wèn)題的過(guò)程中的受挫感和

成功感，培養(yǎng)合作意識(shí)和創(chuàng)新精神，同時(shí)感受數(shù)學(xué)的形式美與簡(jiǎn)潔美，從而激發(fā)

學(xué)習(xí)興趣.

?重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：用向量方法判斷有關(guān)直線和平面平行關(guān)系問(wèn)題.

難點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的正確建立，空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；用向量

語(yǔ)言證明立體幾何中有關(guān)平行關(guān)系的問(wèn)題.

?教學(xué)建議

在“以生為本”理念的指導(dǎo)下，充分體現(xiàn)課堂教學(xué)中“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為

主體”的教學(xué)關(guān)系和“以人為本，以學(xué)定教”的教學(xué)理念，構(gòu)建學(xué)生主動(dòng)的學(xué)習(xí)

活動(dòng)過(guò)程.在教學(xué)策略上宜采用“復(fù)習(xí)引入一一推進(jìn)新課一一歸納與總結(jié)一一反

思”組成的探究式教學(xué)策略，并使用計(jì)算機(jī)多媒體作為輔助教具，提高課堂效

率.本節(jié)課難點(diǎn)在于用向量證明平行關(guān)系，所以利用多媒體幫助分散難點(diǎn)，更符

合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.同時(shí)在教學(xué)中注意關(guān)注整個(gè)過(guò)程和全體學(xué)生，“以學(xué)生發(fā)展

為核心”，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與教學(xué)過(guò)程的每個(gè)環(huán)節(jié).

?教學(xué)流程

課

1.掌握直線的方向向量、平面的法向量的概念及求法.（重點(diǎn)）

標(biāo)

2.熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系.（重

解

點(diǎn)、難點(diǎn)）

讀

【問(wèn)題導(dǎo)思】

圖3—2—1

1.如圖3—2—1,直線/〃例在直線/上取兩點(diǎn)4B,在直線R上取兩點(diǎn)

aD,向量宓與近有怎樣的關(guān)系？

［提示】~AB//而.

2.如圖直線，，平面a,直線/〃加，在直線加上取向量〃，則向量A與平

面。有怎樣的關(guān)系？

【提示】AJ_a.

直線的方向向量是指和這條直線平行或共線的非零向量,一條直線的方向

向量有無(wú)數(shù)個(gè).

直線/J,a,取直線/的方向向量a,則向量a叫做平面。的法向量.

設(shè)兩條不重合的直線1，必的方向向量分別為a=（a”b”a）,b=（a2,

線線平行

bi，Q），則/〃片〃的＞（4,b\,c）=k1a”J,c3

設(shè)/的方向向量為a=3,b\,Ci）,〃的法向量為〃=（即b29Q）,

線面平行

貝ij1//。臺(tái)a?〃=0臺(tái).丁+66+ciQ=O

設(shè)a,￡的法向量分別為u=（a,b\,Ci）,7=（初也,Q）,則。

面面平行

//￡臺(tái)“〃b”。）=左（己2，Q）

s

圖3—2—2

》例已知48(4是直角梯形，//比1=90°，弘，平面/比》,SA=AB=BC

=1,AD=^,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.

乙

(1)求平面力靦與平面第3的一個(gè)法向量.

(2)求平面sa?的一個(gè)法向量.

【思路探究】(1)根據(jù)圖形特點(diǎn)，如何建立坐標(biāo)系更方便？(2)怎樣求平面

的法向量？題中所要求的三個(gè)平面的法向量在求解時(shí)方法是否相同？

【自主解答】以點(diǎn)/為原點(diǎn)，AD、AB.4S所在的直線分別為x軸、y軸、

z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則/(0,0,0),6(0,1,0),(7(1,1,0),〃弓，0,0),

5(0,0,1).

⑴;弘，平面48⑦，：.AS=(0,0,1)是平面力閱9的一個(gè)法向量.

,JADLAB,ADLSA,平面SAB,

...而=$,0,0)是平面夕夜的一個(gè)法向量.

(2)在平面SC7?中，施=(/1,0),竟=(1,1,-1).

設(shè)平面&力的法向量是A=(x,y,z),則A_L左，nl.SC.

n,^=0y=0x=—2y

所以得方程組J2

n,SC=0,[x+y—z=0.z=~y,

令y=-1得x=2,z=l,.,.n=(2,—1,1).

I規(guī)律方法I

1.若一個(gè)幾何體中存在線面垂直關(guān)系，則平面的垂線的方向向量即為平面

的法向量.

2.一般情況下，使用待定系數(shù)法求平面的法向量，步驟如下：

(1)設(shè)出平面的法向量為A=(x,%Z).

(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量

a=(a"by,q),b=(a2,b,,c2).

(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組

n,a=0,

<

n,b=0.

(4)解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.

n,a=0,

3.在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組》八有無(wú)數(shù)多個(gè)

[n?b=0

解，只需給x,y,z中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦

的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量.

，變式訓(xùn)練

正方體〃中，E、6分別為棱43的中點(diǎn)，在如圖3—2

一3所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：

X

圖3—2—3

(1)平面龍〃A的一個(gè)法向量.

(2)平面6〃項(xiàng)的一個(gè)法向量.

【解】設(shè)正方體力8口一45C〃的棱長(zhǎng)為2,則〃(0,0,0),3(2,2,0),

4(2,0,0),。(0,2,0),￡(1,0,2)

⑴連AC,因?yàn)?CL平面BDDR,所以"(一2,2,0)為平面應(yīng)?〃區(qū)的一個(gè)

法向量.

(2)3(2,2,0),DE=(1,0,2).

設(shè)平面9印的一個(gè)法向量為A=(x,y,z).

A?應(yīng)=012x+2y=0!'

：.\?.I：.S1

L?龐=0,lx+2z=0,|/=一產(chǎn)

令x=2得尸一2,z=—l.

：.n=(2,-2,1)即為平面皮力%的一個(gè)法向量.

「例長(zhǎng)方體/頗一4AG〃中，E、尸分別是面對(duì)角線48上的點(diǎn),

&D、E=2EB\,即=2阿.求證：EF//AQ.

【思路探究】(1)你能寫出躍4G的方向向量嗎？(2)兩直線的方向向量

滿足什么條件則說(shuō)明它們平行？

【自主解答】如圖所示，分別以加，DC,〃〃所在的直線為x軸、y軸、z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA=a,DC=b,DD、=c,則得下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：

.、/、/2262

A{a,0,0),C\(0,b,c),￡(不必qb,c),F(a,~c).

oooo

.?.應(yīng)'=(一*《，元=(-a,b,c),

ooo

fIf

：.FE=-AC.

oX

又〃與4G不共線，

，直線EF//AQ.

I規(guī)律方法I

利用向量法證明線線平行的方法與步驟:

選擇一用基向量

組基底表示甘、V2

確定直線的方

判斷W=

向向量VI、V2

：、V2成立

建立適當(dāng)

坐標(biāo)系

變itilll練

圖3—2—4

如圖3-2-4所示，在正方體ABCD-ARC。中,E、尸分別為?！ê虰B、

的中點(diǎn).求證：四邊形4況下是平行四邊形.

【證明】以點(diǎn)〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以應(yīng)，DC,詼為正交基底建立空間直

角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則4(1,0,0),6(0,0,6，G(0,1,1)，尸(1,1,

5),

B

.,.^=(-1,0,1),元;=(-10,；),用=(0,1,1),赤=(0,1,；)，.,.

而=憊,ECX=AF,

：.~AE//FCX,ECX//AF,

又?.?房再EG,：.AE//FC?EG〃/凡

...四邊形力阿少是平行四邊形.

圖3—2—5

》例如圖3—2—5,在正三棱柱/紀(jì)一4區(qū)。中，〃是〃1的中點(diǎn)，求證:

43〃平面DBQ.

【思路探究】線面平行一線與面的法向量垂直一數(shù)量積為0

【自主解答】以/為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a(a〉0),側(cè)棱長(zhǎng)為b(b>0),

則4(0,0,0),G(0,a,6),D(0,I，0),

.,.翦i=(半a,*8),BD=(-0,0),

乙乙乙

DCi—(0,58).

乙

設(shè)平面DBG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

〃?防=-曰ax=O,fx=0,

則《：.\a

〃?元=k+=。，戶—次

不妨令y=2Z>,則A=(0,26,—a).

由于葩,n=ab—ab=O,因此葩_LA.

又4AQ平面DBG,〃平面附.

I規(guī)律方法I

利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：

方法一：證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用

平面內(nèi)的一組基底表示.

方法二：證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利

用線面平行判定定理得證.

方法三：先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明方向向量與平面

的法向量垂直.

變.illl練

在長(zhǎng)方體/靦一46K〃中，AAl=2AB=2BC,E,F,￡分別是棱皿，BB、,

4區(qū)的中點(diǎn).

求證：四〃平面

【證明】以〃為原點(diǎn)，以物，DC,加所在的直線分別為x,y,z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

設(shè)8c=1,則C(0,1,0),￡(1,0,1),6(0,1,2),網(wǎng)1,1,1),￡(1,2).

設(shè)平面G￡尸的法向量為z?=(x,y,z),

?.?強(qiáng)=(1,-j,0),無(wú)=(-1,0,1),

n?瑞=0,

???<

n?盾=0,

gpjX~2y,取片(1,2,1).

〔x=z,

'：CE=(\,-1,1),n-6F=l-2+l=0,

：.CELn,且南平面GE逮

〃平面C\E、F.

向量法證明空間平行關(guān)系

圖3—2—6

卜典例（12分）如圖3—2—6,在多面體/式頌中，四邊形切是正方形,

EF//AB,EFIFB,AB=2EF,//&=90°,BF=FC,〃為a'的中點(diǎn).

求證：FH//平面EDB.

【思路點(diǎn)撥】先通過(guò)推理證明小平面4時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，再

設(shè)證明赤、BE,直英面.

X

【規(guī)范解答】???四邊形⑦是正方形，

C.ABLBC,又EF〃AB,

:.EF1BC.

又EF1FB,

.?.1次_!_平面BFC.

:.EF1FH,:.AB1FH.2分

又BF=FC,〃為a1的中點(diǎn)，

C.FHLBC.

.?.礎(chǔ)_平面ABC.4分

以，為坐標(biāo)原點(diǎn)，應(yīng)為x軸正方向，曲為z軸正方向.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)BH=3

則8(1,0,0),〃(一1,-2,0),￡(0,-1,1),網(wǎng)0,0,1).6分

...■=(0,0,1),礪=(-1,-1,1),BD={-2,-2,0),

設(shè)郎=4?BE+〃?BD=4?(—1,—1,1)+〃(-2,—2,0)=(—4—2〃,

—4—2u,4)8分

/.(0,0,1)=(—X—2〃，一4一2〃，4)，

—4—2〃=0

?<

［幾=1

.,.赤=礪一輛0分

，向量骯BE,反哄面.

又防不在平面EDB內(nèi)，

...施〃平面￡密12分

【思維啟迪】1.建立空間直角坐標(biāo)系，通常需要找出三線兩兩垂直或至少

找到線面垂直的條件.

2.證明時(shí)，要注意空間線面關(guān)系與向量關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別，注意所運(yùn)用定

理的條件要找全.

課堂小結(jié)：

1.利用向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”：

(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直

線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

(2)進(jìn)行向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系(距離和夾角等)；

(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問(wèn)題.

2.證明線面平行問(wèn)題，可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)

系；也可以轉(zhuǎn)化為線線平行，利用向量共線來(lái)證明.

雙基達(dá)標(biāo)：

1.若力(一1,0,1),8(1,4,7)在直線1上，則直線1的一個(gè)方向向量為()

A.(1,2,3)B.(1,3,2)

C.(2,1,3)D.(3,2,1)

【解析】而=(2,4,6)=2(1,2,3).

【答案】A

2.下列各組向量中不平行的是()

A.a=(1,2,-2),b=(—2,—4,4)

B.c=(1,0,0),d=(—3,0,0)

C.e=^2,3,0),f=(0,0,0)

D.5=(-2,3,5),h=(16,24,40)

【解析】?:b=(—2,—4,4)=—2(1,2,-2)=-2a,：.a//b,同理：c

//d,e//f.

【答案】D

3.設(shè)平面a內(nèi)兩向量a=(l,2,1),b=(-1,1,2),則下列向量中是平面

。的法向量的是()

A.(―1,—2,5)B.(―1,1,—1)

C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)

【解析】平面a的法向量應(yīng)當(dāng)與a、b都垂直，可以檢驗(yàn)知B選項(xiàng)適合.

【答案】B

4.根據(jù)下列各條件，判斷相應(yīng)的直線與直線、平面與平面、直線與平面的

位置關(guān)系：

(1)直線直心的方向向量分別是a=(l,-3,-1),b=(8,2,2)；

(2)平面a,￡的法向量分別是u=(1,3,0),r=(—3,—9,0)；

(3)直線1的方向向量，平面a的法向量分別是a=(l,-4,—3),u=

⑵0,3).

【解】⑴Ta?Z>=IX8+(—3)X2+(—l)X2=0,

(2)?；/=(—3,—9,0)=—3(1,3,0)=-3〃，,a〃￡.

(3)Va,〃不共線，不與a平行，也不在a內(nèi).

又?u=-7W0,.，./與a不垂直.

故/與。斜交.

課后檢測(cè)：

一、選擇題

1.(2013?吉林高二檢測(cè))，的方向向量為-=(1,2,3),心的方向向量％

=(4，4,6),若1J/U,則4=()

A.1B.2C.3D.4

19

【解析】,：1J/12,：.vj/vz,則-7=：,4=2.

【答案】B

2.(2013?青島高二檢測(cè))若花=ACD+uCE,則直線與平面。應(yīng)的位置

關(guān)系是()

A.相交B.平行

C.在平面內(nèi)D.平行或在平面內(nèi)

【解析】,：~AB=ACD+uCE,：.AB.CD,國(guó)共面，則4?與平面繆匹的位

置關(guān)系是平行或在平面內(nèi).

【答案】D

3.已知平面a內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)力(2,-1,2),a的一個(gè)法向量為〃=(3,1,2),

則下列點(diǎn)P中，在平面。內(nèi)的是()

3

A.(1,-1,1)B.(1,3,-)

33

C.(1,—3,D.(―1,3,—~)

【解析】對(duì)于6,尻(一1,4,一｝,

則哈(3,1,2)?(—1,4,-1)=0,

3

：.nLAP,則點(diǎn)P(l,3,5)在平面a內(nèi).

【答案】B

4.已知/(I,1,0),6(1,0,1),<7(0,1,1),則平面力回的一個(gè)法向量的單位

向量是()

A.(1,1,1)

B.吟坐,號(hào)

\11、

C.(§,3-勺)

D.喙坐邛)

【解析】設(shè)平面力8。的法向量為A=(X,y,z),AB=(0,—1,1),~BC=(—

AB*〃=—y+z=0

1,1,0),AC=(-1,0,1),則<BC，n=-x-\-y=Q：.x=y=z,

<AC*72=—%+z=0

又???單位向量的模為1,故只有B正確.

【答案】B

圖3-2-7

5.如圖3—2—7,在平行六面體/四一4AG〃中，點(diǎn)弘P,0分別為棱力8,

CD,灰的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，則（）

①AM/DR

②A、M〃B、Q；

③4M〃平面DCCD；

④4"〃平面D、PQB\.

以上正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】^f=M+AM=M+^AB,KP=KD+DP=M+^AB,：.XM//D[P,

所以由線面平行的判定定理可知，AM/面DC。。,〃面以PQB、.①

③④正確.

【答案】C

二、填空題

6.（2013?泰安高二檢測(cè)）已知直線/的方向向量為（2,01）,平面a的法

向量為(1,2),且/〃a,則e=.

【解析】?.?/〃a,.?./的方向向量與a的法向量垂直，

(2,m,1),(1,2)=2+^/z/+2=0,m=-8.

【答案】一8

7.已知4(4,1,3),5(2,3,1),。(3,7,一5),點(diǎn)P(x,一1,3)在平面ABC

內(nèi)，則x=

【解析】范=（-2,2,—2）,范=（-1,6,-8）,辦=（矛-4,-2,0）,

由題意知力、B、C.P共點(diǎn)共面，，亦=AAB+〃宓=（一24，2A,一24）十（一

〃，6〃，-8〃)=(124一〃，24+6〃，一24一8jU).

‘24+6〃=——2[=—4

1而x—4=-24一u,/.x=11.

—2—811=0,[〃=1,

【答案】11

8.下列命題中，正確的是.（填序號(hào)）

①若肛，2分別是平面a,￡的一個(gè)法向量，則

②若Z?”例分別是平面a,￡的一個(gè)法向量，則a_Lf=也?生=0；

③若A是平面。的一個(gè)法向量，a與平面a共面，則A?a=0；

④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直.

【解析】②③④一定正確，①中兩平面有可能重合.

【答案】②③④

三、解答題

圖3—2—8

9.已知。、4B、C、D、E、尺G、〃為空間的9個(gè)點(diǎn)（如圖3—2-8所示），

并且應(yīng)'=在灑，OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+niEF.

求證：（1）4、B、a〃四點(diǎn)共面，E、F、G、〃四點(diǎn)共面；

⑵衣〃曲

（^）OG=kOC.

【解】⑴由衣=加而玄EG=EH+niEF,知爾B、C、〃四點(diǎn)共面，E、F、

G、〃四點(diǎn)共面.

(2)VEG=EH+mEF=速一應(yīng)+川(建一施

=4(辦-游)+代7(龍一游)=kAD+kniAB

=4(殺+加戒=4而，

：.AC//EG.

(