7.3.2離散型隨機變量的方差填一填:(1)一般地,若離散型隨機變量X的分布列如下表所示,Xx1x2…xnPp1p2…pn變量X的均值或數(shù)學期望,數(shù)學期望簡稱期望.均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數(shù),它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的平均水平.(2)一般地,如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.(3)一般地,下面的結論成立:E(aX+b)=aE(X)+b.復習回顧做一做:(1)已知ξ的分布列為

X024P0.30.20.5A.16 B.11 C.2.2 D.2.3√√復習回顧思考：你還記得什么是一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差及其意義嗎？

期望反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”；當兩組數(shù)據(jù)的期望相同時，那還能通過探究這組數(shù)據(jù)的什么數(shù)字特征呢？方差用于體現(xiàn)數(shù)據(jù)的兩極分化程度，即反映這組數(shù)據(jù)相對于平均值的集中程度。還可以考察數(shù)據(jù)的方差

新知探究問題1

從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.如何評價這兩名同學的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通過計算可得，由于兩個均值相等，所以用均值不能區(qū)分這兩名同學的射擊水平.評價射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.E(X)=8；E(Y)=8

新知探究問題2

怎樣刻畫離散型隨機變量取值的離散程度?（如何比較離散程度）為了能直觀分析甲乙兩名擊中環(huán)數(shù)的離散程度，下面我們分別作出X和Y的概率分布圖.O678109P0.10.20.30.4O678109P0.10.20.30.4

比較兩個圖形，可以發(fā)現(xiàn)乙同學的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學的射擊成績更穩(wěn)定.追問：怎樣定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度?新知探究我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的，所以我們能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量隨機變量的離散程度.

樣本的方差

：隨機變量的方差

新知探究一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示.則稱為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱為隨機變量X的標準差，記為σ(X).離散型隨機變量的方差：Xx1x2???xnPp1p2???pn隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.概念生成方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.分別計算兩位同學的方差?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03已知：E(X)=8；E(Y)=8∴隨機變量Y的取值相對更集中，即乙同學的射擊成績相對更穩(wěn)定.問題1

從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.新知應用例1有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，得樣本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分別為D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估計（

）A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊

B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同

D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較B解：由題意得，D(X甲)＝11

>D(X乙)＝3.4，

所以乙的數(shù)據(jù)更集中，即水稻分蘗更整齊，故選B。新知應用例2由以往的統(tǒng)計資料表明，甲、乙兩名運動員在比賽中的得分情況為

現(xiàn)有一場比賽，應派哪位運動員參加較好（

）A.甲

B.乙 C.甲、乙均可

D.無法確定解：∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，故派甲運動員參加較好，故選A.X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4A新知應用例3已知隨機變量X的分布列如表所示：則a＝____，D(X)＝_____？解:根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)，知0.4＋0.1＋a＝1，所以a＝0.5，E(X)＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D(X)＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.1350.40.1a0.53.56新知應用在方差的計算中，為了使運算簡化，還可以用下面的結論.證明：新知探究問題3

離散型隨機變量X加上一個常數(shù)，方差會有怎樣的變化?離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化?它們和期望的性質(zhì)有什么不同?

新知探究方差的性質(zhì):1.若X，Y

是兩個隨機變量,且Y＝aX+b,則：D(Y)=D(aX＋b)=a2D(X

)特殊地：(1)當a=0時,D(b)=0(2)當b=0時,D(aX)=a2D(X)2.D(X

)=E(X2)－E(X)2新知探究例4

設隨機變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為（

）A.2 B.3 C.4 D.5C解：D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.故選C.例5

已知隨機變量ξ的分布列如下表：設η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)？新知應用例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差.解2：隨機變量X的分布列為新知應用例2投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示.股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風險較高?

分析：如果隨機變量是風險投資的收益,那么方差的大小大小反映了投資風險的高低.新知應用股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3∵E(X)>E(Y),∴投資股票A的期望收益較大.解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,

E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以投資股票A比投資股票B的風險高.解:(2)股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6?1.12=1.29,

D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3?12=0.6.新知應用解：1.已知隨機變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).課本練習P70新知應用3.甲、乙兩個班級同學分別目測數(shù)學教科書的長度，其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下:甲班的目測誤差分布列X－2－