第21頁(yè)（共21頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷?？碱}之平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一．選擇題（共5小題）1．（2025?聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），若a→A．2π3 B．π3 C．π42．（2025?臨沂一模）在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD上，若AP→=λA．16 B．13 C．23 3．（2024秋?合肥期末）已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，且對(duì)于平面ABC外一點(diǎn)O，滿足OM→A．13 B．512 C．12 4．（2025?江西模擬）已知向量a→=（cosθ，1），b→=（﹣1，2sinθ）且向量a→A．2π3 B．5π3 C．35．（2025?延慶區(qū)模擬）已知向量a→=(1，2)，b→=(λA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?錦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→與ON→夾角為π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D（多選）7．（2024秋?白城校級(jí)期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若點(diǎn)F是側(cè)面CDD1C1的中心，且AF→=AD→+A．m=12 B．m=-12 C．n=（多選）8．（2024春?啟東市校級(jí)期中）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知D，E分別在邊AB，AC上，且△ABC的重心在DE上，又AD→=xAB→，AE→=yAC→，設(shè)∠A．1xB．S△ADESC．csinθ＝asin（B﹣θ）+bsin（A+θ） D．ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）三．填空題（共4小題）9．（2025?百色校級(jí)開學(xué)）已知向量a→=(5，2)，b→=(1，10．（2025?新余一模）已知向量a→=(1，-2)，b→=(-1，1)11．（2025春?濟(jì)南月考）如圖，在△ABC中，BD→=2DC→，AE→=mAB→，AF→=nAC→，m＞0，n＞0，若D12．（2025?紅河州模擬）已知向量a→=（2，﹣1），b→=（λ，1），若a→∥b→，則實(shí)數(shù)λ四．解答題（共3小題）13．（2024秋?中山區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，點(diǎn)D為邊AC上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)M為形內(nèi)一點(diǎn)．（1）如圖，若點(diǎn)M滿足5AM→=2AC→-BC（2）若點(diǎn)O為△ABC的外心，點(diǎn)M滿足3OM→=OA→+OB→+OC→14．（2024秋?大連校級(jí)期末）已知e1→，e2→是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，AB→（1）求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的條件下，若A，B，C，D四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．15．（2024秋?沈陽(yáng)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿足PC→=2BP→，O是線段AP的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與邊AB，AC分別交于點(diǎn)（1）若AF→=2（2）若EB→=λAE→

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷常考題之平面向量基本定理及坐標(biāo)表示參考答案與試題解析題號(hào)12345答案BBDDB一．選擇題（共5小題）1．（2025?聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），若a→A．2π3 B．π3 C．π4【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），則sinα=故tanα=α∈（0，π），則α=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025?臨沂一模）在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD上，若AP→=λA．16 B．13 C．23 【考點(diǎn)】平面向量的基本定理；平面向量的數(shù)乘與線性運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由題意運(yùn)用平面向量的線性運(yùn)算法則，推導(dǎo)出CP→=(23-λ)CA→+λCB【解答】解：根據(jù)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，可得CD→因?yàn)锳P→=λAB→+13AC→解得CP→=（λ-23）AC→因?yàn)镻、C、D三點(diǎn)共線，所以23-λ故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算法則、向量共線的條件等知識(shí)，考查了概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?合肥期末）已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，且對(duì)于平面ABC外一點(diǎn)O，滿足OM→A．13 B．512 C．12 【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)空間共面向量定理的推論得到λ+【解答】解：因?yàn)镺M→=λOA→+所以λ+16故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間共面向量定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?江西模擬）已知向量a→=（cosθ，1），b→=（﹣1，2sinθ）且向量a→A．2π3 B．5π3 C．3【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】利用向量相反的坐標(biāo)表示求解即可．【解答】解：因?yàn)橄蛄縜→=(cosθ當(dāng)cosθ≠0時(shí)，-1cosθ=2sinθ1＜0，解得sin2θ所以2θ=3π2+2kπ，θ=3π4+kπ，且經(jīng)檢驗(yàn)只有θ=當(dāng)cosθ＝0時(shí)，sinθ＝±1，a→綜上所述，θ可以是θ=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量相反的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?延慶區(qū)模擬）已知向量a→=(1，2)，b→=(λA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示即可求解．【解答】解：因?yàn)閍→所以a因?yàn)?a→+所以﹣（1+μ）＝λ，所以λ+μ＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?錦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→與ON→夾角為π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D【考點(diǎn)】平面向量的基本定理；數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】CD【分析】由題意將OP→=xOM→+yON→平方可得x2+y2【解答】解：由|OM→|=2，|ON→|=2，所以O(shè)M→因?yàn)閨OP→|=2且OP→=xOM→+所以4=x2OM→2+y2ON即x2+y2+xy＝1，所以(x所以34(x+y)2≤1結(jié)合選項(xiàng)可得C，D符合題意．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．（多選）7．（2024秋?白城校級(jí)期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若點(diǎn)F是側(cè)面CDD1C1的中心，且AF→=AD→+A．m=12 B．m=-12 C．n=【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】直接利用向量的三角形、平行四邊形法則求解．【解答】解：AF→=1=1∴m=12，故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的三角形法則、平行四邊形法則、空間向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024春?啟東市校級(jí)期中）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知D，E分別在邊AB，AC上，且△ABC的重心在DE上，又AD→=xAB→，AE→=yAC→，設(shè)∠A．1xB．S△ADESC．csinθ＝asin（B﹣θ）+bsin（A+θ） D．ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）【考點(diǎn)】平面向量的基本定理；正弦定理．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】對(duì)于A，設(shè)△ABC的重心為M，由題意可知，D，E，M三點(diǎn)共線，AM→=13AB→+13AC→，化簡(jiǎn)判斷A；對(duì)于B，S△ADE=12×|【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)△ABC的重心為M，由題意可知，D，E，M三點(diǎn)共線，所以存在λ使得AM→=λ又AM→=23×12（AB化簡(jiǎn)得1x+1對(duì)于B選項(xiàng)，S△又因?yàn)锳D→=xAB→，AE→=yAC→，即|AD|＝x|所以S△因?yàn)?x+1y=3≥21xy所以S△ADES△ABC對(duì)于C，D，因?yàn)锽A→=BC→+又因?yàn)镈E?DE→DE→所以c|所以ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ），故D正確，C錯(cuò)誤．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積公式、基本不等式和向量數(shù)量積公式，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?百色校級(jí)開學(xué)）已知向量a→=(5，2)，b→=(1，【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】25【分析】先求出2a【解答】解：由a→=(5，又(2a所以9λ﹣（4﹣λ）＝0，解得λ=故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．（2025?新余一模）已知向量a→=(1，-2)，b→=(-1，1)【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】12【分析】由向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算及共線的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可．【解答】解：由題設(shè)b→a→∴-2-3故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算及共線的坐標(biāo)表示等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．11．（2025春?濟(jì)南月考）如圖，在△ABC中，BD→=2DC→，AE→=mAB→，AF→=nAC→，m＞0，n＞0，若D【考點(diǎn)】平面向量的基本定理；運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】3+22【分析】結(jié)合圖形由平面向量的基本定理可得1m+2【解答】解：在△ABC中，BD→=2DC→，AE→=mAB→，AF→=nAC→，m＞0，即AD→∵D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴13∴m+當(dāng)且僅當(dāng)m=2+1所以m+n的最小值為3+22故答案為：3+22【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量共線的充要條件，基本不等式的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．（2025?紅河州模擬）已知向量a→=（2，﹣1），b→=（λ，1），若a→∥b→，則實(shí)數(shù)λ【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】﹣2．【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解即可．【解答】解：因?yàn)閍→∥b→，b→=（λ，1），a→=(2，-1)故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?中山區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，點(diǎn)D為邊AC上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)M為形內(nèi)一點(diǎn)．（1）如圖，若點(diǎn)M滿足5AM→=2AC→-BC（2）若點(diǎn)O為△ABC的外心，點(diǎn)M滿足3OM→=OA→+OB→+OC→【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）35（2）k=【分析】（1）延長(zhǎng)AM至E使AE＝5AM，可以得到四邊形ABEC是平行四邊形，然后根據(jù)AC→=3AD→，所以S△（2）設(shè)MN→=λDN→，由BN→=【解答】解：（1）M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)AM至E使AE＝5AM，因?yàn)?AM所以AB→連接BE，因?yàn)橄蛄緼B→和向量CE→則四邊形ABEC是平行四邊形，由于AC→=3AD又AE→=5AM在平行四邊形中，S△ABC＝S△ABE，所以△ABM與△ABD的面積之比為S△（2）因?yàn)?OM→=設(shè)MN→=λDN→因?yàn)锽N→=k所以BN=λ=λ=(2又BN→則有23λ+(1+所以k=【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的基本定理的應(yīng)用，屬中檔題．14．（2024秋?大連校級(jí)期末）已知e1→，e2→是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，AB→（1）求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的條件下，若A，B，C，D四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】平面向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）λ=（2）（﹣7，﹣2）（3）（10，7）．【分析】（1）首先表示出AE→，根據(jù)AE（2）直接由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解；（3）根據(jù)AD→【解答】解：（1）AE→因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得AE→即e1→+(1+因?yàn)閑1→，e2→是平面內(nèi)兩個(gè)（2）BE→（3）因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以AD→設(shè)A（x，y），則AD→因?yàn)锽C→=(-7，-2)即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，7）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?沈陽(yáng)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿足PC→=2BP→，O是線段AP的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與邊AB，AC分別交于點(diǎn)（1）若AF→=2（2）若EB→=λAE→【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；不等式．【答案】（1）45（2）3+22【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，推導(dǎo)出AP→=23AB→+13AC→，AO（2）根據(jù)題意，可得AB→=(1+λ)AE→，AC→=(1+μ)AF→，結(jié)合E、O【解答】解：（1）因?yàn)镻C→=2BP因?yàn)镺是線段AP的中點(diǎn)，所以AO→又因?yàn)锳F→=23AC因?yàn)镋、O、F三點(diǎn)共線，所以x3+14=1，解得x（2）因?yàn)镋B→=λAE→(λ＞0)，AB→=AE→由（1）的結(jié)論，可知AO→=1因?yàn)镋，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以1+λ3+1+μ6=1，即所以1λ當(dāng)且僅當(dāng)μ+1=2λ，即λ=4-22【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算法則、兩個(gè)向量共線的條件、利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點(diǎn)撥】在一些復(fù)雜的代數(shù)式問題中，結(jié)合已知條件中的和或積為常熟，可以通過將“1”表示為兩個(gè)數(shù)的和或積，從而構(gòu)造均值不等式，簡(jiǎn)化問題．【命題方向】運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造均值不等式時(shí)，可以通過將“1”表示為兩個(gè)數(shù)的和或積，從而應(yīng)用均值不等式．已知實(shí)數(shù)x，y∈R+，且x+y＝4，求1x解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴1x+3y=∴1x+3故答案為：1+32．平面向量的數(shù)乘與線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】（1）實(shí)數(shù)與向量a→的積是一個(gè)向量，記作λa→，它的大小為|λa→|＝|λ||a→|，其方向與λ的正負(fù)有關(guān)．若|λa→|≠0，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→的方向與a→的方向相同，當(dāng)λ＜當(dāng)λ＝0時(shí)，λa→與a對(duì)于非零向量a、b，當(dāng)λ≠0時(shí)，有a→∥b→?a（2）向量數(shù)乘運(yùn)算的法則①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一個(gè)線性組合（其中，λ、μ均為系數(shù)）．如果l→=λa→+3．平面向量的基本定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4．平面向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量減法：如果a→=(a1，【解題方法點(diǎn)撥】﹣?zhàn)鴺?biāo)運(yùn)算：直接對(duì)向量的坐標(biāo)分量進(jìn)行加減操作，得出結(jié)果．﹣實(shí)際應(yīng)用：用于解決如點(diǎn)的移動(dòng)、向量差等問題．【命題方向】﹣向量運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用：考查向量加減法在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如幾何問題中的位置計(jì)算．﹣?zhàn)鴺?biāo)運(yùn)算技巧：如何高效進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．向量a→，b→滿足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以b→=12（﹣6，2）＝（﹣5．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示：設(shè)a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則b→∥a→（a→≠0→）?x16．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量a→與b→不平行時(shí)，那么它們就會(huì)有一個(gè)夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ【解題方法點(diǎn)撥】例：復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為60解：zz=3+i3∴復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為故答案為：60°．點(diǎn)評(píng)：這是個(gè)向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題，本題其實(shí)可以換成是用向量（3，1）與向量（3，﹣1）的夾角．【命題方向】這是向量里面非常重要的一個(gè)公式，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，出題方式一般喜歡與其他的考點(diǎn)結(jié)合起來，比方說復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認(rèn)真掌握．7．正弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a