專題14一次方程組

閱讀與思考

一次方程組是在一元一次方程的基礎(chǔ)上展開的，解一次方程組的基本思想是“消元”，即通過消元

將一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解，常用的消元方法有代入法和加減法．

解一些復(fù)雜的方程組（如未知數(shù)系數(shù)較大，方程個數(shù)較多等），需觀察方程組的系數(shù)特點，從整體

上思考問題，運用整體疊加、整體疊乘、輔助引元、換元等技巧．

方程組的解是方程組理論中的一個重要概念，求解法、代解法是處理方程組解的基本方法．

a1xb1yc1

對于含有字母系數(shù)的二元一次方程組，總可以化為的形式，方程組的解由

a2xb2yc2

的取值范圍確定，當(dāng)?shù)娜≈捣秶唇o出時，須討論解的情況，基本

a1,b1,c1,a2,b2,c2a1,b1,c1,a2,b2,c2

思路是通過換元，將方程組的解的討論轉(zhuǎn)化為一元一次方程解的討論．

例題與求解

xy2

【例1】若m使方程組的解x，y的和為6，則m＝______________．

x2ym

(湖北黃岡市競賽試題)

解題思路：用含m的式子分別表示x，y，利用x＋y＝6的關(guān)系式，求解m．

5x22y2z2

【例2】若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0（xyz0）．則代數(shù)式的值等于()

2x23y210z2

119

A．B．C．－15D．－13

22

(全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)

解題思路：把z當(dāng)作常數(shù)，解關(guān)于x，y的方程組．

【例3】解下列方程組．

xyz

（1）456

2x3y4z3

（“縉云杯”邀請賽試題）

1995x1997y5989

（2）

1997x1995y5987

（北京市競賽試題）

x1x2x2x3x3x4x1997x1998x1998x19991

（3）

x1x2x1998x19991999

（“華羅庚金杯”競賽試題）

解題思路：根據(jù)方程組的特點，靈活運用不同的解題方法，或脫去絕對值符號，或設(shè)元引參，或整

體疊加．

ax2y1a

【例4】已知關(guān)于x，y的方程組分別求出a為何值，方程組的解為：

2x2(a1)y3

（1）有唯一一組解；（2）無解；（3）有無窮多組解．

（湖北省荊州市競賽試題）

解題思路：通過消元，將方程組的解的情況討論轉(zhuǎn)化為一元一次方程解的情況討論．

bcdefacdefabdefabcef1

【例5】已知正數(shù)a，b，c，d，e，f滿足4，9，16，，

abcd4

abcdf1abcde1

，．求(abe)(bdf)的值．

e9f16

（“CADIO”武漢市競賽試題）

解題思路：利用疊乘法求出abcdef的值．

【例6】已知關(guān)于x，y的二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0，當(dāng)a每取一個值時就有

一個方程，這些方程有一個公共解．

（1）求出這個公共解．

（2）請說明，無論a取何值，這個公共解都是二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0的解．

（2013年“實中杯”數(shù)學(xué)競賽試題）

解題思路：分別令a取兩個不同的值，可得到二元一次方程組，求出公共解．

能力訓(xùn)練

A級

m

1．若3x3m5n94y4m2n12是關(guān)于x，y的二元一次方程，則的值等于______.

n

（“希望杯”邀請賽試題）

23x17y63

2．方程組，的解為____________.

17x23y57

（遼寧省中考試題）

ax5y15?

3．已知方程組由于甲看錯了方程①中的a得到方程組的解為x＝－3，y＝－

4xby2?

1；乙看錯了方程②中的b得到方程組的解為x＝5，y＝4．若按正確的a，b計算，則原方程組的解

為___________.

（四川省聯(lián)賽試題）

4．已知關(guān)于x的方程a(x3)b(3x1)5(x1)有無窮多個解，則a＝，b＝________.

（“希望杯”邀請賽試題）

xyxy

5．已知(4)2(2)20，則有()．

3232

A.x＝2，y＝3B.x＝－6，y＝3

C.x＝3，y＝6D.x＝－3，y＝6

3x2y6

6．如果方程組的解也是方程4x＋y＋2a＝0的解，那么a的值是()．

3x2y2

9191

A.B.C.－2D.2

36

a2b3c0abbcca

．設(shè)非零實數(shù)，，滿足，則的值為．

7abc222()

2a3b4c0abc

11

A.B.0C.D.1

22

（2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

2a3b13a8.32(x2)3(y1)13

8．若方程組的解為則方程組的解為()．

3a5b30.9b1.23(x2)5(y1)30.9

x8.3x10.3x6.3x10.3

A.B.C.D．

y1.2y2.2y2.2y0.2

（山東省棗莊市中考試題）

2x3y2k1

9．已知關(guān)于x，y的方程組的解x，y的值的和為6，求k的值．

3x2y4k3

（上海市競賽試題）

10．解方程組．

361x463y102

（1）

463x361y102

（云南省昆明市競賽試題）

12

1

x16y3

（2）

11

1

2x22y1

（浙江省競賽試題）

xy7

（3）

2x3y1

．若滿足下列方程組

11x1~x5

2x1x2x3x4x56

x12x2x3x4x512

，求的值．

x1x22x3x4x5243x42x5

xxx2xx48

12345

x1x2x3x42x596

（美國數(shù)學(xué)邀請賽試題）

B級

1．已知對任意有理數(shù)a，b，關(guān)于x，y的二元一次方程(ab)x(ab)yab有一組公共解，

則公共解為______.

（江蘇省競賽試題）

2xy3z23

2．設(shè)，則3x－2y＋z＝．

x4y5z36

（2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

6xmy18

3．若關(guān)于x，y的方程組有自然數(shù)解，則整數(shù)m可能的值是．

3xy0

（2013年浙江省湖州市競賽試題）

(a1)xy5

4．已知方程組，當(dāng)a，b時，方程組有唯一一組解；當(dāng)

xyb

a，b時，方程組無解；當(dāng)a，b時，方程組有無數(shù)組解．

（“漢江杯”競賽試題）

5．“△”表示一種運算符號，其意義是a△b＝2a－b，如果x△（1△3）＝2，則x＝()．

13

A.1B.C.D．2

22

（江蘇省競賽試題）

135x2y

6．已知，則的值為()．

xyzzx2yz

331

A.1B.C.D．

224

（重慶市競賽試題）

ax2by23ax5by9

7．已知關(guān)于x，y的兩個方程組和具有相同的解，那么a，b的值是

2xy73xy11

()．

a3a2a2a3

A.B.C.D．

b2b3b3b2

8．若a，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，則a＋b＋c＋d的最大值

是()．

A.－1B.－5C.0D．1

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

9．解方程組

xy1

（1）

x2y3

（江蘇省競賽試題）

ab1

bc2

（2）cd3

de4

ea6