專(zhuān)題05三角函數(shù)及解三角形

基

本題型1任意角的三角函數(shù)

題題型2三角變秒

型題型三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

三角函數(shù)及解三角形3

分題型4解三角形

類(lèi)題型5新定義問(wèn)題

|題型

01|任意角的三角函數(shù)

一、單選題

I.（2024山西省呂梁二模）已知角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一則

tana——

I6）

B6

A.一6C.

33

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得tana=-立,

即可利用和差角公式求解，或者根據(jù)特殊角得

3

a=￥+2kK,kwZ,代入求解.

6

71

tana-tan一

【詳解】方法一；由角a終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)卜百」），可得tana=-----?所以tana----------------6=-技

,---------71

36/I+tanatan

6

故選:A.

方法二：角。終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-G」），故為a第二象限角，=則。=朗+2也,左€2,

tan半=一瓜

則（ana

故選:A.

2.（2024浙江省天域全國(guó)名校協(xié)作體二模）古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、

1

余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱(chēng)為八線.其中余切函數(shù)810=，正割函數(shù)

tan0

sec<9=------,余割函數(shù)esc夕，正矢函數(shù)wsine=l-cos。，余矢函數(shù)伙vcosg=l-sin。.如圖角。始

cosOs】nO

邊為大軸的非負(fù)半軸，其終邊與單位圓交點(diǎn)/）,A、8分別是單位圓與X軸和y軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM

第I頁(yè)共79頁(yè)

垂直x軸，作PN垂直了軸，垂足分別為“、N,過(guò)點(diǎn)A作4軸的垂線，過(guò)點(diǎn)“作y軸的垂線分別交。的終

BS、N8為有向線段，下列表示正確的是()

B.cscO=PS

C.cot0=BSD.sec=NB

【答案】C

【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義可知sinO=MQ,cos0=OM,tan<9=AT,然后結(jié)合新定義簡(jiǎn)單

計(jì)算內(nèi)判斷各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)題意，易得\OMP:YOAT:YSBO:7PNO,

對(duì)干A,因?yàn)閘-cos"=1—QW=M4,BPv^rsin0=MA,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得‘csc°二焉=焉=器=器=。5'故B錯(cuò)誤;

1I

對(duì)于C,cot?==BS,故C正確;

tan0tanZ.OSB

對(duì)于D‘根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得sec,=春=備=巖=巖=。7,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睹】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題屬于新定義題，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義，利用三角函數(shù)定義結(jié)合相似

三角形相似比求解，注意有向線段.

3.(2024新疆烏魯木齊地二模)已知角a(0°va<360。)終邊上A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin310o,cos310。)，則。=()

A.130°B.140°C.220°D.230°

【答案】B

【分析】先確定角a的終邊所在的位置,再根據(jù)誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】因?yàn)閟in3100v0,8s310°>0,

所以角。的終邊在第二象限,

cos3100_cos(360°-50°)cos50°

又因?yàn)閘ana=

sin3100sin(360°-50°)-sin50°

cos(140°-90°)sin140°,

=-------------------r=----------=tan140,

-sin(140°-90°)cos140°

ja00<a<360°,

所以。=14()。.

故選：B.

4.(2024福建省莆田二模)已知角々的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，把它的終邊繞原點(diǎn)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角夕后經(jīng)過(guò)點(diǎn)停|)如夕，,匹(。和，貝Usina=(

）

63

A.3B.史D.

656565

【答案】A

【分析1根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得sin/7,cos月的值，再結(jié)合正弦兩角差公式即可得sina的值.

【詳解】因?yàn)?所以12“=與空="，則sin/Jujos/?,

1212/cosp1212

又sin?6+cos2/?=l,所以cos?/=空，由夕」0,弓得cos/7=”，則sin/?=j

169\)13I3

(43、34

由題意可知角a+尸的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)不三，則sin(a+/)=w，cos(a+/)=w，

所以sina=sin[(a+/7)-/7]=sin(a+尸)cos°-cos(a+//)sin/7=-x--—x—=—.

51351365

故選:A.

二、多選題

5.(2024浙江省溫州二模)已知角々的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，尸(-3,4)為其終邊上

一點(diǎn)，若角夕的終邊與角2a的終邊關(guān)于直線y對(duì)稱(chēng)，則()

A.cos（冗+a）=]B./=2E+]+2a(丘Z)

八07

C.tan/?=——D.角△的終邊在第一象限

24

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，可求角。的三角函數(shù)，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷A的真假；利用二倍角公式，求出2a的三

角函數(shù)值，結(jié)合三角函數(shù)的概念指出角21的終邊與單位圓的交點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性確定角/終邊與單位圓交點(diǎn)，

從而判斷BCD的真假.

【詳解】因?yàn)橄?。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(-3,4),

第3頁(yè)共79頁(yè)

3

所以：|。"=5,所以sina=不cosa5-所以cos（兀+a）=-cosa=￡,故A對(duì);

又sin2a=2sinacosa=2xgx［一《=一=

7

cos2a=cos*a-sin*a=——-—

I5）⑶25

所以2a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（一得，一|^}

因?yàn)榻?的終邊與角力的終邊關(guān)于直線）'=一4對(duì)稱(chēng)，所以角￡的終邊與單位圓的交點(diǎn)為（2屋4，原7、，

所以tan/二三，且夕的終邊在第一象限，故CD正確；

24

又因?yàn)榻K邊在直線》=一1的角為：E-：MeZ,角力的終邊與角尸的終邊關(guān)于丁=一不對(duì)稱(chēng)，

4

所以等g=E一：=〃=2E一5-加（ZeZ）,故B錯(cuò)誤.

故選：ACD

三、填空題

6.（2024廣東二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上Qy中放置著一個(gè)邊長(zhǎng)為I的等邊三角形RS,且滿(mǎn)足依與

x軸平行，點(diǎn)A在x軸上.現(xiàn)將三角形以笈沿x軸在平面直角坐標(biāo)系”3,內(nèi)滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)P（xy）的軌跡方程

是y=/（"，則/（x）的最小正周期為;），=/（力在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積

為一

J'A

Ox

【答案】3生十直

34

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得?的軌跡（如圖所示），再根據(jù)軌跡可得/6）的周期和相鄰零點(diǎn)間H勺圖象與x軸

所圍區(qū)域的面積.

【詳解】設(shè)P（p,

如圖，當(dāng)三角形248沿式軸在平面直角坐標(biāo)系X?！祪?nèi)滾動(dòng)時(shí),

開(kāi)始時(shí)，P先繞A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)8旋轉(zhuǎn)到用時(shí)，尸旋轉(zhuǎn)到耳，此時(shí)q（p+l,

然后再以用為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后P旋轉(zhuǎn)到巴，此時(shí)鳥(niǎo)（p+。,。）,

當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)時(shí)，P不旋轉(zhuǎn),此時(shí)A旋轉(zhuǎn)到人,

當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)后，必以外為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后P旋轉(zhuǎn)到6,

點(diǎn)P從開(kāi)始到時(shí)是一個(gè)周期，故)，=/(可的周期為MN=3,

如圖,分壇為y=相鄰兩個(gè)零點(diǎn),

y=〃x)在［r勺0］上的圖像與x軸圍成的圖形的面積為:

、12冗八石2兀J5

2x—x-x1+-x12=—+—.

23434

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：以圖形旋轉(zhuǎn)為背景的函數(shù)問(wèn)題，應(yīng)該通過(guò)前幾次的旋轉(zhuǎn)得到周期性，再在?個(gè)周期內(nèi)

討論對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)即可.

7.(2024山東省部分學(xué)校金科大聯(lián)考二模)在平面直角坐標(biāo)系中，角〃的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-32),則sin(a+"=.

【答案】一也/-1近

1414

【分析】先利用角a的終邊所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求出sina,cosa,再求sin(a+5).

【詳解】因?yàn)榻恰ǖ氖歼吪cx軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)卜6,2),

所…二,2①",一

所以仙聲7，廣由7；

.兀.兀J7

=S1H6ZCOS—+cos<zsin—=----

3314

故答案為：一也

14

I

題型02|三角變換

第5頁(yè)共79頁(yè)

一、單選題

sin2夕

（遼寧二模）數(shù)學(xué)試題）已知,則cos(2a+/?+gJ=(

1.2024,2tana=2)

乙）sin^+sin/7

AG

CID

2-4-4

【答案】B

sin2#2sina2cos尸

【分析】由2tana=，進(jìn)而可得sina+sinasin/?=cosacos/?,再根據(jù)

sin"J得cosa1+sin/

兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)求出％夕的關(guān)系，即可得解.

【詳解】因?yàn)?lana=.K

sinp+sinp

,2sina2sin/7cos/72cos/?

J力以一~~丁〃一~77,

cosasinp+sin^p1+sinp

所以sina+sinasin0=cosacos/5,

所以sina=cosacos￡-sinasin/=cos(a+/?),

所以COS--a=cos(<z+/7),

\乙

itn

因?yàn)閍.夕w0,—j,所以另一。60,—j,a+匹（0,加），

22

所以3-。=。+夕，所以2a+4=3,

5兀x/3

所以cos(2a+P+W=cos—=-----

62

故選：B.

2.(2024青海省西寧大通二模)已知tana+tan￡=5,cosacos/?=，^iJsin(a+/7)=()

A.\B-Ic-i

【答案】C

sinacos/7+cosasin/7_

【詳解】因?yàn)閠ana+lan〃=--------------------------=J

cosacos夕

又cosorcos/7=—,

6

所以sinacos/?+cosasin尸=sin(?+/?)=5cos6zcos/?=—,

6

故選C.

3.（浙江省杭州市2024屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）在.58C中，已知

sin4._cosA

------=nsinc,ncosC.tanIA+j=-3,貝lj〃二(

sinB------------cosB

A.無(wú)解B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由tan(A+；J=-3可得tanA=2,進(jìn)而得到tanA=tanB-tanC=2,借助三角形內(nèi)角和與兩角和的

正切公式可得tanA+tanC=2,設(shè)tan8=/,有產(chǎn)-2f+2=0,可得該方程無(wú)解，故不存在這樣的〃.

【詳解】由"A+：卜甘黑=-3,即tanA=2,則8sAm

sinA.「cosA「

rh=nsinC,-----=ncosC,知COSCH0,

sinB--------cosB

[an/A

則-——=tanC,則tan4=tanB?tanC=2,

tanB

tanB+tanC

Xtan=tan(7r-B-C)=-(an(B4-C)=-=lan8+tanC

1-tanBtanC

故tan8+tanC=2,設(shè)tan3=1,則tanC=2—f,

有?2-r)=2,KPr-2r+2=0?A=4-8=-4<0,

即該方程無(wú)解,故不存在這樣三角形，即〃無(wú)解.

故選：A.

4.(2024浙江省天域全國(guó)名校協(xié)作體二模)己知cos(a+0cos/-cosacos(/7+y)=g,則

sinasin(/7+y)-sin(a+/7)siny=()

A.—B.—C.-D.-

6363

【答案】B

【分析】根據(jù)余弦兩角和公式將cos(a+Q+y)展開(kāi)成角a+〃與/的兩角和形式與。與夕+y的兩角和形式,

建立等式關(guān)系結(jié)合已知等式即可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閏os(a+0+y)=cos(a+/7)cos/一sin(a+/7)siny,

乂cos(a+〃+/)=cosacos(￡+y)-sinasin(/?+y),

所以83(0+77)以拈/一$m(0+//六而產(chǎn)=00$<7<：0$(//+7)—$11125畝(//+/),

因?yàn)閏os(a+〃)cos/—cosacos(/?+y)=],

則sinasin(/?+y)-sin(a+〃)siny=cosacos(〃+y)-cos(a+0cosy=-g.

故選：B.

5.(2024山西省天一名校二模)已知sinasina+三=cosasin；=Tt一a,則tan2。一三

)

k6；13JI4J

第7頁(yè)共79頁(yè)

B百

A.&C.2-75D.2+G

3

【答案】C

【分析】先根據(jù)已知結(jié)合兩角和差的正弦公式及二倍角公式化簡(jiǎn)，求出tan勿，再根據(jù)兩角差的正切公式即

可得解.

n

[詳解]由sinasin|a+^-\=cosasin——a

13

.,1.y/31.

sin-a+—sinacosa=——cos2-a——sinacosa，

222

a-sin，a)=sinacosa,所以立(：0$20=’512々，

即11

722

所以tan2a=6,

c冗x/3-1

所以tan2a——i-----j=—=2-x/3.

4jl+x/3xl

故選：C.

6.（2024浙江省寧波二模）若a為銳角，sin?=|,則sin（a+?=（）

44+3x/3D4-373「3+4。、3-4>/3

A.-----H.------C.------D?-----

10101010

【答案】A

3

【分析】根據(jù)同角關(guān)系得cosa=：,即可由和差角公式求解..

43

【詳解】。為銳角，sina=《，故cosa=g,

所以si/a+A=Lsina+38sa」」+立△二生

I3J22252510

故選:A

7.(2024河南省新鄉(xiāng)一中二模)已知sin(130°+a)=2cos2008sa,則tan(a+45Q)=()

A.-2+6B.2-73C.2+6D.-2-石

【答案】A

【分析】根據(jù)3拘（130。+。）=4叱150。+（口—20。）］及28520。85。=85（。+20。）+85（。-20。）將己知化簡(jiǎn),

再根據(jù)輔助角公式結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求出々，再根據(jù)兩角和的正切公式即可得解.

【詳解】sin(l30°+a)=sin[l50°4-(a-20°)]

=^cos(a-20°)-^sin(a-20°),

2cos20°cosa=cos(a+20°)+cos((z-20°),

|大I為sin(l30°+a)=2cos20°cosa,

ic

所以—cos(a-20°)sin(a-20°)=cos(a+20°)+cos(a-20。)，

1Ji

所以一5cos(a-20°)-sin(a-20°)=cos(a+20°)?

艮|Jcosfl20°+(a-20°)]=cos(a+20°),艮|Jcos(KX)0+a)=cos(tz+20°),

所以100。+a=2+20。+七360?；?00。+。+。+20°=&-360。，kwZ,

所以攻=-60。+左180。次€2,

故lana=tan(-60°+A:180°)=-G,

所以tan(a+450)=亍等=6—2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：給值求值的方法：

(1)直接法：當(dāng)已知兩個(gè)角時(shí)，所求角一般表示為兩個(gè)角的和或差的形式；

(2)常值代換：用某些三角函數(shù)代替某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)公式，我們把這種代換稱(chēng)之為常值

代換，其中要特別注意的是“1”的代換，如Jsi/a+cos?。，l=tan￡,l=sinf等，1、&更、；、變

42322

等均可視為某個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù)使用；

(3)角的代換：將未知角利用已知角表示出來(lái)，使之能直接運(yùn)用公式，像這樣的方法就是角的代換，常見(jiàn)

的有：

a=1a+P)-B,a=a=：[(0+/7)+(0一/)]=：[(0+尸)一(4一。)],

^^二("介仁—力，a+乃=(2a+/)Y,

2a=(a+/)+(a-,)，2/?=(a+,)_(a_,)等.

8.(2。24湖北省七市州二模)若"信,"協(xié)=言/則sin(2a4卜()

A4在+7口4>/6-74&+7石D4--7G

r\?-----------O?---------C.

18181818

【答案】D

第9頁(yè)共79頁(yè)

【分析】首先根據(jù)公式…=總化解條件等式，再結(jié)合二倍角和兩角差的正弦公式，即可化解求值.

sina_costz

【詳解】由條件等式可知,

cosa3-sina

整理為3sina=sin2a+cos2a=1,貝ijsina=g,

D(兀兀1I-----2>/2

又a6，coscr=V1-sin-a=------>

122；3

.?o4v/2■?7

所以sin2a=2sinacosa=2x-x-——=——-,cos2a=l-2sin2a=-,

3399

所以sin(2a-=sinlacos-coslasing

4>/217x/34夜-7石

=-----x-------x----=--------------.

929218

故選：D

9.（2024安徽省池州二模）已知sin/+cos/?=E，匹（0,外，則tan（夕+：）=（

)

A.7B.-7C.-D.--

77

【答案】D

【分析】由sin夕+cos〃=（可求am/,再由兩角和的正切可求tan[〃+：

【詳解】因?yàn)閟in/7+cos/7=1.Ae（。，兀），故$宿〃+85：;/7+2$而夕85〃=4,

故2sin〃cos/7=-1^vO,而0式0,兀），故尸,n,故sin夕：>0,cos尸<0,

、,49743

而(sin/y-cos/)-=—,故sin￡-cos4=一，所以sin〃=-,cos〃=一一,

25555

4f八%)2

tan/?=--,故tan/?+-=—廠二包一

311十才1

故選：D.

10.（2024遼寧省鞍山六中二模）已知a,〃均為銳角，sina=3sin/?cos（af+/?）,則tana取得最大值時(shí),

lan(a+0的值為()

A.0B.GC.1D.2

【答案】D

【分析】先利用sina=sin（a+4-4）展開(kāi)變形，可得tan（a+〃）=4tan/7,再利用lan尸=tan（o+尸-a）展

開(kāi)變形，將tana用tan(a+0表示出來(lái)，利用基本不等式求最值及等號(hào)成立條件即可.

【詳解】sin?=sin+/7-/?)=sin(a+/7)cos^-cos(a+/?)sin^=3sin尸cos(a+尸),

則sin(a+08s尸=4sin/7cos(a+/7),

tan(?+/?)-tana

所以12111(￡+/?)=41@11/7=412?1(0+夕—0)=4乂

1+tan(?+/?)tana

3tan(a+/?)3

-rtana

tan2(a+〃)+4

整理得tan(a+⑶+——----r

l/)lan(a+0

因?yàn)閍,夕均為銳角，且3sin6cos(a+/?)=sina>0,即8s(a+尸)>0,

所以tan(a+/?)>(),

4I4^

4

當(dāng)且僅當(dāng)3(a+夕卜嬴再鄧、即tan(。+夕)=2時(shí)等號(hào)成立,

3

一tana=-------------------------

所以tan(?+/?)+——7-----r

'tan(a+/?)

所以lana取得最大值時(shí)，tan(a+0的值為2.

故選：D.

/\

71

cos—+a(、

11.(2024吉林省白山二模)若一”一^=3,則tan(2a-：卜()

cos——a

14

A.—7B.7C.—D.一

77

【答案】B

【分

根據(jù)兩角和與差的余弦公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得iana=-g,然后利用二倍角的正切公式求得

4

tan2a=-"再根據(jù)兩角差的正切公式求解即可.

cosa-sincr1-tanan

【詳解】因?yàn)?----=3故iana=-/,

cosa+sina1+tana

第II頁(yè)共79頁(yè)

1、

2x

2tana4

貝ijtan2a=2>

l-taira3,

1-

tan-2a-tanR-

.fc7C1

故lan2a—4r

,c7C,4

4J1+tan2atan—1——

43

故選：B.

⑵（河南省新鄉(xiāng)二模）已知；

23cos",則cos36=()

ATB-Ac-4D-i

【答案】A

7Is

【分析】根據(jù)題意，求得cos26=—二,sin2e=3,結(jié)合cos30=cos（26+。），代入即可求解.

816

7

【詳解】因?yàn)閏os6=’,可得cos26=2cos'。一1=,sin2=1-cos2/9=—,

4816

則cos36=cos(26+6)=cos26cosB—sin2。sin夕=(2cos?6—1)cos6—2sin?9cos6,

71cl5111

—x——2x—x—=-----

8416416

故選：A.

13.（2024廣東省廣州市天河區(qū)二模）已知、Qsina+cosa=±2vav2,則cosa=（）

536

A3+4x/3B.三越

1010

r36+4D.處

1010

【答案】B

【分析】根據(jù)輔助角公式求得sm（a+t）=|'結(jié)合角的范圍可得8s繼而利用兩角差的余弦

公式，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)楣蟟na+cosa咚

故2sin(a+F)=2,則sin(a+：)=g,

6565

=15兀7171兀4

而二<a<.—<a+—<TI,故cos(a+：)=-=,

362665

...兀、兀.兀、兀?/兀n、.兀n

故cosa=cos(a+—)——=cos(?+—)cos—+sin(?+—)sin—

66666666

525210

故選：B

兀2兀I，河七3'幾、

14.（2024浙江省紹興二模）已知xw,彳，則tan2x+-\=（）

6T3o6；

A.3ci94

D.—

77

【答案】B

【分析】首先得Jo，g），進(jìn)一步由sin<W]=。有cos1-外=。，結(jié)合二倍角公式、商數(shù)關(guān)系以及

6V2；I6J5k6；5

誘導(dǎo)公式即可求解.

【詳解】因?yàn)閤e所以"一仁,（?！唬?/p>

又因?yàn)楦汕?、a,所以8s1用總

從而sin23一；24

325

所以tan|2x+*卜

故選：B.

15.（2024東北三省四城市聯(lián)考二模）已知ae（O,兀），且sin”+cosa=：,則tan2〃=（）

J

A12R122424

A.-13.------C.--U.--------

7777

【答案】C

根據(jù)="結(jié)合冗）可得〃與進(jìn)而可得

【分析】sina+cosfl4?0,siM,costana,tan2”.

△則（）

【詳解】sina+cosasina+cosa*=l+2sinacos?=—,

525

12

即sinAcos?=-----,

25

又因?yàn)椤█（0,九），故sina>0,cosa<0,

497

故（sina-cos4y2=l-2sin^cose/=—,因?yàn)閍e—,71,則sina-cos4=w,

2

1434

結(jié)合sin。+cosd=一可得sina=—,cosa=--,則tana=—

5553

第13頁(yè)共79頁(yè)

8

_2tana324

kbtan2〃=--------；------r=—

諷l-tan2a4]7?

故選：C

16.（2024河北省石家莊二模）已知aw（0,],且cosa-：）=2cos2a,則ian（a+：）=（）

A.J3B.45C.D.Vil

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由正弦的二倍角公式代入計(jì)算可得sin(：-a)=；,再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與商

關(guān)系，即可得到結(jié)果.

..?！?/p>

【詳解】因?yàn)槟縞osa——=2cos2a,

l4j

由題意知

,所以cos：+a\_

144

故選：D

17.（2024湖南省岳陽(yáng)二模）己知〃eZ,sin與+a）+cos彳—a=：,則（）

I，/I2）5

A1

A.cosa+sina=一

3

B.cosor+sina=-—

8

C.sin2a9-

D.sin2a=—

9

【答案】C

【分析】分類(lèi)討論并利用誘導(dǎo)公式對(duì)sin+a)+cos(g-a)=；進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式、

倍角公式的逆用求得sin2a.

【詳解】設(shè)AeZ

mt

①〃=4攵時(shí)，sin—+a+cos=sin(2E+a)+cos(2E-cr)=sina+cosa=-

2)3

〃兀mt71￡

②〃=44+1時(shí)，sin一+a+cos,a-sin2kn+—+a+cos2E+--a-cosa+sina

I2,~222r

(mt

③〃=4k+2時(shí)，sin—+a+cosa-sin(2kn+n+?)+cos(2ht+it-?)=-sinGf-cosa=

【22v

此時(shí)cosa+sina=一；

mt+C0s(j]=f3Af3A1I

④〃=必+3時(shí),——+asin2E+—兀+a+cosIku-^—n-a=-sina-cosa=-

2I2J223

此時(shí)cosa+sina=--

3

綜合①②③④，可以排除A、B,

sina?cosa)-=sin2a<cos2a+2sinacosa=sin2a?cos2aFsin2a=1+sin2a=-

79

Q

所以sin勿=-§,

故選：C.

18.（2024湖南衡陽(yáng)二模）已知7Tcos（2a+蕓8

=~Mtana=()

4

B.；

A-7C.2D.4

【答案】A

【分析】利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式,和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，結(jié)合角的取值范圍，可求角的正切值.

【詳解】由cos12a+]」=sin2a」

\乙）1717

82sin(zcosa82tana8.1

所以2sinacosa=—=>—=>-----；—=——=lana=4或tana=—.

17sin%+cos?a17I+lan2a174

又aw0,-jj,所以O(shè)ctanavl.

所"

故選：A

二、填空題

19.(2024山西省晉城二模)已知tana=2tanQ,sin(a+/?)=-,則sin(/-a)=

4

【答案】-看

【分析】由tana=2ian尸切化弦可得sinocos"=2cosasin/?,結(jié)合兩角和差公式分析求解.

第15頁(yè)共79頁(yè)

【詳解】13%tan?=2tan/?,即包巴=空電一，可得sinecos夕=2cosasin/7,

cosacos/?

又因?yàn)閟in(a+力)=sinacos/7+ccsasinp=3cosasin/3=—,可得cosasin/?=—,

12

所以sin(7?-a)=cosasin/-sinacos￡=-cosasin0=一五.

故答案為：-5.

1乙

20.(2024河北邯鄲二模)正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所

示的五角星中，以ABC,。,E為頂點(diǎn)的多邊形為正邊邊形，設(shè)NC4O=a,則

cosa+cos2a+cos3a+cos4(7=,cosacos2acos3acos4a=.

【答案】0-^T/0.0625

10

【分析】由正五角星的性質(zhì)，求得NCAO=a=36,進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算即可.

【詳解】正五角星可分割成5個(gè)3角形和1個(gè)正五邊形，五個(gè)3角形各自角度之和180

正五邊形的內(nèi)角和180x(5-2)=180x3=540；每個(gè)角為?=1()8,

三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為180°-108°=72。，

三角形內(nèi)角和為180，那么三角形頂角，即五角星尖角180-72x2=36,

即NCAO=a=36.

cosa+cos2a+cos3a+cos4a=cos36+cos72+cos108+cosl44

=cos36+cos72+cos(l80-72)+cos(180-36)

=cos36+cos72-cos72-cos36=0,

cosacos2acos3acos4(7=cos36cos72cosl08cos144=(cos36cos72)

2sin36-cos36-cos720sin72cos72_sin144_1

因?yàn)閏os367cos72"=

2sin362sin364sin364

I

所以

cosacos2acos&7cos4a=T6

故答案為：o；—.

Io

21.（2024年山東二?？迹┮阎猻ina=3,且a