第二講參數(shù)方程直線參數(shù)方程第1頁兩點(diǎn)式:點(diǎn)斜式:普通式:直線普通方程都有哪些?第2頁M0(x0，y0)M(x,y)解：在直線上任取一點(diǎn)M(x，y)，則xOy所以，直線參數(shù)方程為：已知一條直線經(jīng)過點(diǎn)M(x0,y0)，傾斜角α，求這條直線參數(shù)方程第3頁實(shí)際上第4頁所以，直線參數(shù)方程中參數(shù)t絕對(duì)值等于直線上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0距離.|t|=|M0M|M0MxOy由直線參數(shù)方程中參數(shù)t有什么幾何意義？當(dāng)0<α<π時(shí)，sinα>0，直線單位方向向量總是向上，所以有結(jié)論：①t>0：則方向向上，即M0在M上方；②t<0：則方向向下，即M0在M下方；③t=0：則點(diǎn)M與點(diǎn)M0重合．第5頁直線參數(shù)方程也能夠表示為：（t為參數(shù)）t有否上述幾何性質(zhì)？這里直線l傾斜角α正切時(shí)例外）當(dāng)且僅當(dāng)且b>0時(shí).其中t才含有上述幾何意義。第6頁M(-1，2)ABxyO例1.已知直線l:x+y-1=0與拋物線y=x2交于A,B兩點(diǎn),求線段AB長(zhǎng)度和點(diǎn)M(-1,2)到A,B兩點(diǎn)距離之積．方法一：用普通方程去解方法二：用參數(shù)方程去解；點(diǎn)M是否在直線上直線參數(shù)方程為：代入拋物線得：由參數(shù)幾何意義得：第7頁尋找規(guī)律：直線（t為參數(shù)）與曲線y=f(x)交于M1,M2兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2．（1）曲線弦M1M2長(zhǎng)是多少？（2）線段M1M2中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)參數(shù)t值是多少？第8頁B練習(xí)：若直線參數(shù)方程為（t為參數(shù)）|AB|為多少？第9頁B第10頁456第11頁例2、經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作直線l，交橢圓于A,B兩點(diǎn).假如點(diǎn)M恰好為線段AB中點(diǎn),求直線l方程.解：設(shè)過點(diǎn)M(2,1)直線l參數(shù)方程為:（t為參數(shù)），代入橢圓方程，整理得因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi)，這個(gè)方程必有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2，．點(diǎn)M為線段AB中點(diǎn)，所以于是直線l斜率所以，直線方程是:第12頁ylXCB450250250PO解：以O(shè)為原點(diǎn),OP為x軸建立坐標(biāo)系,則P(300,0),圓方程為當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心在圓O上或內(nèi)部時(shí)臺(tái)風(fēng)將影響該島．

．

解得∴大約2小時(shí)以后，將受臺(tái)風(fēng)影響，并連續(xù)6.5小時(shí).設(shè)臺(tái)風(fēng)中心所在射線l參數(shù)方程為由此可有例3當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心P在某海濱城市O向東300km處生成，并以40km/h速度向西偏北45度方向移動(dòng).已知距臺(tái)風(fēng)中心250km以內(nèi)地方都屬于臺(tái)風(fēng)侵襲范圍，那么經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲?OyxP··第13頁假如臺(tái)風(fēng)侵襲半徑也發(fā)生改變(比如：當(dāng)前半徑為250km，并以10km/h速度不停增大)，那么問題又該怎樣處理？圓O方程可改為x2+y2=(250+10t)2由此可有第14頁OCADB21xyP例4如圖，AB,CD是中心為點(diǎn)O橢圓兩條相交弦，交點(diǎn)為P，兩弦AB,CD與橢圓長(zhǎng)軸夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2，求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD||PA|·|PB|=|PC|·|PD|第15頁|t|=|M0M|小結(jié)1.直線參數(shù)方程利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t幾何意義，簡(jiǎn)化求直線上兩點(diǎn)間距離.3.注意向量工具使用.直線參數(shù)方程形式是不是唯一。當(dāng)且僅當(dāng)且b>0時(shí).其中t才含有上述幾何意義。第16頁例1已知過點(diǎn)P(2,0)，斜率為4/3直線和拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M坐標(biāo)．例題選：一、求直線上點(diǎn)坐標(biāo)解：設(shè)過點(diǎn)P(2,0)直線AB傾斜角為α,由已知可得：所以，直線參數(shù)方程為(t為參數(shù))代入y2=2x，整理得中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)參數(shù)是所以點(diǎn)M坐標(biāo)是第17頁例2求點(diǎn)A（?1，?2）關(guān)于直線l：2x?3y+1=0對(duì)稱點(diǎn)A'坐標(biāo)。解：由條件，設(shè)直線AA'參數(shù)方程為:∵A到直線l距離d=，∴t=AA'=代入直線參數(shù)方程得A'(?33/13，4/13)第18頁二、求解中點(diǎn)問題例1已知雙曲線，過點(diǎn)P（2，1）直線交雙曲線于P1,P2，求線段P1P2中點(diǎn)M軌跡方程。解：設(shè)M(x0，y0)為軌跡上任一點(diǎn)，則直線P1P2方程是代入雙曲線方程得：(2cos2θ?sin2θ)t2+2(2x0cosθ?y0sinθ)t+(2x02?y02?2)=0由題意t1+t2=0，即2x0cosθ?y0sinθ=0，得2x2?y2?4x+y=0為所求軌跡方程第19頁第20頁三、求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)距離例1直線l過點(diǎn)P(1，2)，其參數(shù)方程為直線l與直線2x+y?2=0交于點(diǎn)Q，求PQ。

解：將l參數(shù)方程化為“標(biāo)準(zhǔn)形式”代入2x+y?2=0得t'=∴PQ=|t'|=第21頁。例2經(jīng)過點(diǎn)P(?1，2)，傾斜角為π/4直線l與圓x2+y2=9相交于A，B兩點(diǎn)，求PA+PB和PA·PB值PA·PB=|t1·t2|=4

解：直線l方程可寫成代入圓方程整理得：t2+t?4=0設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別是t1，t2，由t1與t2符號(hào)相反則t1+t2=t1·t2=?4，所以PA+PB=|t1|+|t2|=|t1?t2|=第22頁例1求經(jīng)過點(diǎn)（1，1）。傾斜角為1350直線截橢圓所得弦長(zhǎng)解：由條件可知直線參數(shù)方程是：代入橢圓方程:(t為參數(shù))設(shè)方程兩實(shí)根分別為則直線截橢圓弦長(zhǎng)是:四、求直線與曲線相交弦長(zhǎng)第23頁例2已知拋物線y2=2px，過焦點(diǎn)F作傾斜角為θ直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：AB=設(shè)AB方程為，代入拋物線方程得t2sin2θ?2ptcosθ?p2=0，由韋達(dá)定理：AB=|t1?t2|=……第24頁例3已知橢圓中心在原點(diǎn)。焦點(diǎn)在y軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2。直線l參數(shù)方程為當(dāng)m為何值時(shí),直線l被橢圓截得弦長(zhǎng)為(t為參數(shù))第25頁例4已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過橢圓左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若FA=2FB，求則橢圓離心率FA=2FB轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程中t1=?2t2或|t1|=2|t2|解：設(shè)橢圓方程為直線AB方程為代入橢圓得(b2+a2)t2?b2ct?b4=0，因?yàn)閠1=?2t2,則①2×2+②得：將b2=a2?c2代入8c2=3a2