2025屆高三“一起考”大聯(lián)考（模擬二）數(shù)學(xué)（時(shí)量：120分鐘滿(mǎn)分：150分）命題人：毛水一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由一元二次不等式與一元一次不等式，求得集合，利用交集，可得答案.【詳解】由題意可得，則.故選：C.2.以為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用漸近線(xiàn)的求法，直接求出各個(gè)選項(xiàng)的漸近線(xiàn)方程，即可求解.【詳解】對(duì)于A，由得漸近線(xiàn)方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得漸近線(xiàn)方程為，故B正確；對(duì)于C，由得漸近線(xiàn)方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得漸近線(xiàn)方程為，故D錯(cuò)誤.故選：B.3.已知平面向量，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得.【詳解】.故選：D.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的商式與正弦函數(shù)的和角公式，根據(jù)方程思想，利用正弦函數(shù)的差角公式，可得答案.【詳解】由，得，即，由，得，故，則.故選：B.5.甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老師詢(xún)問(wèn)成績(jī)，老師對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍.”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列的情形有（）A.36種 B.48種 C.54種 D.64種【答案】C【解析】【分析】由排列數(shù)計(jì)算，根據(jù)分步乘法原理，可得答案.【詳解】分三步完成：冠軍有種可能，乙的名次有種可能，余下3人有種可能，所以5人的名次排列有（種）不同情況，故選：C.6.已知，函數(shù)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分別討論以及的情況，結(jié)合零點(diǎn)的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，若無(wú)解，則或；當(dāng)時(shí)，，若無(wú)解，則.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.7.已知某正三棱柱外接球的表面積為，則該正三棱柱體積的最大值為（）A.1 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)球的表面積公式可得，即可根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)以及勾股定理求得高，利用體積公式可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解最值.【詳解】設(shè)外接球的半徑為，則，解得.設(shè)正三棱柱的底面三角形的邊長(zhǎng)為，則該三角形外接圓的半徑為，故該正三棱柱的高為，所以該正三棱柱的體積.由，解得.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時(shí)取得最大值，故，所以該正三棱柱體積的最大值為1.故選：A.8.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則的最小值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】利用結(jié)合分組求和、裂項(xiàng)求和求，通過(guò)規(guī)律探尋得知是整數(shù)，進(jìn)而得出是偶數(shù)的平方，欲使取最小整數(shù)值，則即可，再舉例說(shuō)明的可行性.【詳解】數(shù)列中，由，得，即，所以，又，所以又由，得且，可知，所以是整數(shù)，于是是整數(shù)，且是偶數(shù)的平方，則，當(dāng)取等號(hào).下面舉例說(shuō)明可以取到，，，此時(shí)，所以的最小值為3.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷A；舉出反例即可判斷BC；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可判斷D.【詳解】設(shè)，對(duì)于A，若，則，故，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，，同理，所以，所以，故D正確.故選：AD.10.下列四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，，，，，是四棱錐的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則直線(xiàn)不與平面垂直的是（）A B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由線(xiàn)面垂直的判定，結(jié)合向量說(shuō)明線(xiàn)線(xiàn)的不垂直，逐個(gè)判斷即可.【詳解】由條件可知四棱錐為正四棱錐，對(duì)于A：設(shè)的交點(diǎn)為，由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知：面，易知：，又，為平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，所以直線(xiàn)與平面垂直；對(duì)于B：取的中點(diǎn)為，連接，有中位線(xiàn)性質(zhì)可知：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，可證直線(xiàn)平行平面；對(duì)于C：設(shè)棱長(zhǎng)為2，，所以，所以與不垂直，所以直線(xiàn)不與平面垂直；對(duì)于D：設(shè)棱長(zhǎng)為2，，，所以所以與不垂直，所以直線(xiàn)不與平面垂直；故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.B.對(duì)任意實(shí)數(shù)C.D.若直線(xiàn)與函數(shù)和的圖象共有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則【答案】ACD【解析】【分析】代入化簡(jiǎn)即可求解ABC，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可大致判斷函數(shù)和的圖象，且為偶函數(shù)，結(jié)合圖象可判斷，且，再解不等式即可判斷D.【詳解】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，，而，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以在處取得極小值1，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)；當(dāng).所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，不妨設(shè)，由為偶函數(shù)可得，直線(xiàn)與和的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，顯然，令，整理得，解得或（舍去），所以，即，又因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則__________.【答案】【解析】【分析】由對(duì)數(shù)式的定義，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算律與換底公式，可得答案.【詳解】由可知，所以，即，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)，且的最小值為，則__________.【答案】1【解析】【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)得，再根據(jù)題意可得函數(shù)的最小正周期，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可得解.【詳解】因?yàn)?，又，且的最小值為，所以函?shù)的最小正周期，由，所以.故答案為：1.14.已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)（在第一象限），以為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切于點(diǎn).若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先求得，由條件推得軸，由推出，得到這些的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求得，即得的面積.【詳解】依題意，得，則拋物線(xiàn)的方程為.由題意可知與拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)垂直，在中，，則，則直線(xiàn)的方程為.由消去并化簡(jiǎn)整理得：易得，則，又原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.中國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，博大精深.某興趣小組，為了了解當(dāng)?shù)鼐用駥?duì)喝茶的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了100人，并將結(jié)果整理如下：?jiǎn)挝唬喝四挲g段態(tài)度合計(jì)不喜歡喝茶喜歡喝茶35歲以上（含35歲）30306035歲以下251540合計(jì)5545100（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡有關(guān)？（2）以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當(dāng)?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機(jī)選出2人參加茶文化藝術(shù)節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為，求的分布列與期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）不能（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算得出的值即可得出結(jié)論；（2）易知的所有取值可能為0，1，2，分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率可得分布列及其期望值.【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)為：該地居民喜歡喝茶與年齡沒(méi)有關(guān)系.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡沒(méi)有關(guān)系.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，的取值可能為.則.所以的分布列為012所以的期望為.16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）判斷的形狀；（2）設(shè)，且是邊的中點(diǎn)，求當(dāng)最大時(shí)，的面積.【答案】（1）等腰三角形（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)可得，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解得解，（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得，則，結(jié)合邊的關(guān)系可得為正三角形，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由二倍角公式得，所以，整理得，即.因?yàn)椋?，即，即為等腰三角?【小問(wèn)2詳解】由（1）及題設(shè)，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.又為三角形內(nèi)角，所以，即的最大值為，此時(shí)，又，所以，故，可得為直角三角形且.又由（1）可得為正三角形，所以當(dāng)最大時(shí)，的面積.17.在三棱錐中，平面平面平面.（1）求證：；（2）若二面角的余弦值為，且，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）過(guò)作于，利用面面垂直推出線(xiàn)面垂直，即得，再由平面推出，可得平面即可證得結(jié)論；（2）法1：過(guò)作于，連接，證明即為二面角的平面角，即得，再設(shè)，將分別用的三角函數(shù)表示，借助于直角，求得，即可求出；法2：依題建系，設(shè)，求出或用的三角函數(shù)表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式求得，即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，過(guò)作于.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面所以平?又平面，所以.又平面平面，所以.因?yàn)槠矫妫?，所以平面，又平面，所?【小問(wèn)2詳解】法1：過(guò)作于，連接，由（1）平面，平面，可得，因平面，，故平面，又平面，所以.所以即為二面角的平面角，所以則.又由（1）平面，平面，則，因平面，平面，則.設(shè)，因?yàn)?，，則，，所以，解得，則，從而.法2：由（1）可得.如圖，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，記二面角為，設(shè)，因?yàn)?，所以，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則即令，得，易知平面的一個(gè)法向量為，又，所以，解得，則，所以.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若恒成立，求的值；（3）求證：.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值0，無(wú)極大值（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得極值；（2）分情況討論函數(shù)的單調(diào)性與最值情況，可得參數(shù)值；（3）利用放縮法，由，可知若證，即證，再根據(jù)，可得證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，在處取得極小值0，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】由題意得，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，與矛盾；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹愠闪?，所?記，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以.又，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】先證，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.所以，再證.由（2）可知，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則，即，所以，累加可得，所以.19.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.（1）求的方程；（2）直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線(xiàn)，分別交軸于點(diǎn).①證明：直線(xiàn)的斜率成等差數(shù)列；②經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②存，【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，可得曲線(xiàn)的方程.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立.①根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，由可以得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得，再得，所以直線(xiàn)的斜率成等差數(shù)列.②法一：分別用表示出的坐標(biāo)，結(jié)合①中的，，根據(jù)求的值即可；法二：分別用表示出的坐標(biāo)，結(jié)合①中的，，根據(jù)求的值即可；法三：分別用表示出的坐標(biāo)，結(jié)合①中的，，根據(jù)求的值即可；法四：分別用表示出的坐標(biāo)，結(jié)合①中的，，根據(jù)求的值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，設(shè)的軌跡方程為，則，可得.又，所以，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，易知過(guò)且與相切的直線(xiàn)斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，消去得，由，得設(shè)兩條切線(xiàn)的斜率分別為，則①證明：設(shè)的斜率為，則，因?yàn)?，所以的斜率成等差?shù)列.②法1：在中，令，得，所以，同理，得，所以的中垂線(xiàn)為.易得的中點(diǎn)為，所以的中垂線(xiàn)為，聯(lián)立解得，所以，，要使，則，即，整理得，而，所以，解得，因此，故存在符合題意的點(diǎn)，使得，此時(shí).法2：在中，令，得