特訓(xùn)06期中解答壓軸題（七大題型歸納，含全等三角形的四大模塊應(yīng)用）目錄：題型1：三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和在全等三角形中的應(yīng)用；題型2：全等三角形；題型3：一元一次不等式；題型4：垂直平分線、角平分線的判定與性質(zhì)在全等三角形中的應(yīng)用；題型5：等腰三角形的判定與性質(zhì)在全等三角形中的應(yīng)用；題型6：勾股定理在全等三角形中的應(yīng)用；題型7：勾股定理的應(yīng)用.題型1：三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和在全等三角形中的應(yīng)用1．已知點為的外角的平分線上一點．

(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，試比較與的大小關(guān)系；(3)如圖3，在（1）的條件下，、分別是邊、上的點，且，則線段、之間的數(shù)量關(guān)系為_____．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）過點P作,則,再證可得，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明結(jié)論；（2）如圖：延長至M，使得,連接，先證可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，即，最后根據(jù)即可解答；（3）如圖：在上截取，連接，先證可得，,即，進而說明；再證可得，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【解析】（1）解：如圖：過點P作,則,

∵，∴,∴，∵,,∴．（2）解：如圖：延長至M，使得,連接，

∵為的角平分線，∴,∵,∴，∴在中，，即，∵,∴．（3）解：如圖：在上截取，連接，

由（1）可得：∵,∴，∴，,∴，即∵∴，∴,∵,∴,∴，∵．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的三邊關(guān)系等知識點，靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，在和中，為邊上一點，平分，，．

(1)求證：；(2)如圖2，若，連接交于，為的邊上一點，滿足，連接交于點．①求的度數(shù)；②若平分，試說明：平分．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【分析】（1）由角平分線定義得出，由證明即可；（2）①由證明，得出，在和中，由三角形內(nèi)角和定理得出可；②由全等三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得出，，得出，即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：∵平分，∴．在和中，∴（）．（2）①解：在和中，∴（），∴．在和中，∵，∴．②證明：對圖形標注、，點在的延長線上，如圖所示．

由（）得：，∴．∵，∴．∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴平分．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、對頂角相等的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識；本題綜合性強，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．3．（1）閱讀理解：

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊的中點，于點，交于點，交于點，連接，此時：與的大小關(guān)系，并說明理由．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作，邊，分別交，于，兩點，連接，此時：、與的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）延長到點使，再連接，證明，可得，再由三角形三角關(guān)系可得，；（2）延長至，使，連接，證明，可得，連接，可知是等腰三角形，則，在中，，即；（3）延長至使，連接，證明，可推導(dǎo)出，再證明，則，能推導(dǎo)出．【解析】解：（1）延長到點使，再連接，，，，，，在中，，，，，故答案為：，；（2）延長至，使，連接，

，，，，，連接，，，是等腰三角形，，在中，，即；（3）延長至使，連接，

，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形中線的定義，三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型2：全等三角形4．在四邊形中．

(1)如圖1，，E，F(xiàn)分別是上的點，且，探究圖中之間的數(shù)量關(guān)系．小林同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點G，使．連接，先對比與的關(guān)系，再對比與的關(guān)系，可得出之間的數(shù)量關(guān)系，他的結(jié)論是；(2)如圖2，在四邊形中，，E、F分別是上的點，且，則上述結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．(3)如圖3，在四邊形中，，，若點F在的延長線上，點E在的延長線上，若，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．【答案】(1)(2)成立，理由見解析(3)，見解析【分析】（1）延長到點G，使，連接，可判定，進而得出，再判定，可得結(jié)論；（2）延長到點G，使，連接，先判定，進而得出，，再判定，可得結(jié)論；（3）在延長線上取一點G，使得，連接，先判定，再判定，得出，最后根據(jù)，推導(dǎo)得到，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：結(jié)論：．理由：如圖1，延長到點G，使，連接，

在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．∴．故答案為：；（2）仍成立，理由：如圖2，延長到點G，使，連接，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，在△AEF和△AEG中，，∴，∴．∴．（3）結(jié)論：．理由：如圖3，在延長線上取一點G，使得，連接，

∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等和對應(yīng)邊相等進行推導(dǎo)變形．．5．【基本模型】

如圖，是正方形，，當在邊上，在邊上時，如圖1，、與之間的數(shù)量關(guān)系為__________．【模型運用】當點在的延長線上，在的延長線上時，如圖2，請你探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：__________．【拓展延伸】如圖3，已知，，在線段上，在線段上，，請你直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】【基本模型】；【模型運用】：，證明見解析；【拓展延伸】：．【分析】（1）結(jié)論：．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，然后求出，利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，從而得解；（2）結(jié)論：，證明方法同法（1）；（3）結(jié)論：．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，對應(yīng)邊相等可得，，對應(yīng)角相等可得，再根據(jù)證明，并證明、、三點共線，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，從而得解．【解析】解：（1）結(jié)論：．理由：如圖1，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，

則：，，，∴，即：三點共線，，∴，∴，，在和中，，，，又，．故答案為：；（2）結(jié)論：．理由：如圖2，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，

則：，同法（1）可得：，，又，．故答案為：；（3）結(jié)論：．理由：如圖3，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，

則，，，，，又，，，又，，、、三點共線，在和中，，，，又，．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。本題蘊含半角模型，遇到半角經(jīng)常要通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形。6．中，，過點A作．連接，M為平面內(nèi)一動點．

(1)如圖1，若，則．(2)如圖2，點M在上，且于M，過點A作于F，D為中點，連接并延長，交于點；求證：(3)如圖3，連接，過點B作于點B，且滿足，連接，過點B作于點G，若，求線段的長度的取值范圍．【答案】(1)8(2)證明見解析(3)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，即可求解；（2）由“”可證，利用全等三角形的性質(zhì)可得，由“”可證，利用全等三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（3）由“”可證，可得，由三角形的三邊關(guān)系定理可求解．【解析】（1）解：∵，∴．∵，∴，∴，故答案為：8；（2）∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵D為中點，∴，又∵，在和中，，∴，∴，∴，∴；（3）連接，如圖，

∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴．∴當點E，點M，點，三點共線時，最大值為12，最小值為6，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．7．如圖，在四邊形中，，，，點從點出發(fā)以的速度沿向點勻速移動，點從點出發(fā)以的速度沿向點勻速移動，點從點出發(fā)以的速度沿向點勻速移動，點、、同時出發(fā)，當其中一個點到達終點時，另外兩個點也隨之停止運動，設(shè)移動時間為．

(1)如圖1，連接、，當時，的值為______；(2)如圖2，當以、、為頂點的三角形與全等時，求出相應(yīng)和的值；(3)如圖3，連接、交于點，當且時，試證明：．【答案】(1)(2)，或，(3)見解析【分析】（1）當時，由，推出，列出方程即可解決問題；（2）當時或當時，分別列出方程即可解決問題；（3）如圖連接交于只要證明，推出，可得，，推出，即．【解析】（1）解：，，，，，，在和中，，，，即，，故答案為：；（2），當時，有，，即①，②，由①、②聯(lián)立并解得：，當時，有，，即③，④，由③、④聯(lián)立并解得：，綜上所述，當，或，時，以、、為頂點的三角形與全等；（3）且時，，而，，點在點、之間，，，，如圖3中，連接交于

，，，，，在和中，，，，，，，．【點睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等高模型等知識，二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．8．已知四邊形中，，點E在邊上，連接、，．

(1)如圖1，若平分，求證：；(2)如圖2，若E為中點，求證：平分；(3)如圖3，在(2)條件下，以E為頂點作，的兩邊與、分別交于圖F、H，，，，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6【分析】（1）過點E作于G，則，進而判斷出，得出，再判斷出，得出，即可得出結(jié)論；（2）過點E作于M，則，進而判斷出，得出，進而判斷出，得出，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，設(shè)與的交點記點N，進而判斷出，得出，，再判斷出，得出，再判斷出，進而判斷出，即可求出答案．【解析】（1）解：證明：如圖1，過點E作于G，

則，∵，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：如圖2，過點E作于M，

則，∵，，∴，∴，∵E為中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；（3）解：由（1）知，由（2）知，平分，∴，即，∴，如圖3，設(shè)與的交點記點N，

由（2）知，，∵，∴，∴，，∵，∴，同理可得，∴，由（2）知，，∵，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，垂直的判斷方法，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．9．（1）【初步探索】如圖①，在四邊形中，，．E、F分別是、上的點．且．探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法：延長到點G，使．連接．先證明，再證，可得出結(jié)論．他的結(jié)論應(yīng)是_____．（2）【靈活運用】如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是、上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）【延伸拓展】如圖③，在四邊形中，，．若點E在的延長線上，點F在的延長線上，仍然滿足，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．

【答案】（1）；（2）仍成立，理由見解析；（3），證明見解析【分析】（1）延長到點G，使，連接，可證明和，即可得到；（2）延長到點G，使，連接，也可證明和，即可得到；（3）延長到點G，使，連接，也可證明和，根據(jù)得到即可解答．【解析】解：（1）延長到點G，使，連接，

在和中，，∴，∴，又∵，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）仍成立，理由如下：延長到點G，使，連接，∵，，∴，

在和中，，∴，∴，又∵，在和中，，∴，∴，（3），證明如下：延長到點G，使，連接，

∵，，∴，在和中，，∴，∴，，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進行推導(dǎo)變形．10．在中，，點是射線上一動點（不與點，重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1)如圖1，當點在線段上時，與有何數(shù)量關(guān)系，請說明理由；(2)在（1）的條件下，當時，那么___________度；(3)設(shè)，．①如圖2，當點在線段上，時，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當點在線段的延長線上，時，請將圖3補充完整并直接寫出此時與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，理由見解析(2)90(3)①，理由見解析；②圖見解析，【分析】（1）由題意易證，即可利用“”證明，即得出；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出．再根據(jù)，即得出，即；（3）①根據(jù)（1）同理可證，即得出．再根據(jù)，即得出，即；②根據(jù)題意補全圖形，再同理可證，即得出．最后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，即可求證出，即．【解析】（1）解：，理由如下：，，即．在和中，，，；（2）解：∵，∴．∵，∴，∴，即．故答案為：90；（3）①，理由如下：由（1）同理可證，．，，；②補全圖形，如圖所示，同理可證，．∵，，∴，即．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識．熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．11．如圖，中，，，E點為射線上一動點，連接，作且．(1)如圖1，過F點作交于D點，求證：，并寫出和的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，連接交于G點，若，求證：E點為中點；(3)當E點在射線上，連接與直線交于G點，若，求．【答案】(1)見解析，；(2)見解析．(3)或．【分析】（1）證，利用就“角角邊”證明；由全等得出：，則利用等量代換和圖形中相關(guān)線段間的和差關(guān)系證得結(jié)論；（2）過F點作于D點，根據(jù)（1）中結(jié)論可證明，可得，根據(jù)，可證，即可解題；（3）過F作的延長線交于點D，易證，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解題．【解析】（1）證明：如圖1，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即；（2）證明：（2）如圖2，過F點作于D點，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴＝2，∴＝，∵∴＝，∴E點為中點；（3）當點E在CB的延長線上時，過F作的延長線交于點D，如圖3，∵，，∴，由（1）（2）知：，∴，∴，∴，設(shè)，則∴，

當點E在線段BC上時，∵，，∴，由（1）（2）知：，∴，∴，∴，設(shè)，則∴．綜上所述：或．【點睛】本題考查了三角形綜合題，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證是解題的關(guān)鍵．12．已知，．(1)如圖1，當點在同一直線上時，連接，則和的位置關(guān)系是__________（填“”或“”）．(2)把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，試問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？寫出你的結(jié)論，并說明理由．(3)在圖1的基礎(chǔ)上，將繞點旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖3所示的，連接，，過點作于點，交于點，求的值．【答案】(1)(2)仍然成立，理由見解析(3)【分析】（1）延長交于點，由得，由得，，從而得到；（2）延長交于，設(shè)與交于點，由等量關(guān)系可知，從而證明，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，得出，得出結(jié)論仍然成立；（3）過作于，過作交延長線于點，通過證明，得出，，得出，則，再通過證明，即可得出的值．【解析】（1）解：如圖，延長交于點，，，，，，，，，，故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖1，延長交于點，交于點，，，，，，，，，，，，，即；（3）解：如圖2，過作于，過作交延長線于點，，，，，，在和中，，，，同理可證，，，在與中，，，，．【點睛】本題考查了三角形全等的判定以及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，由三角形內(nèi)角和等于，得出其中兩個角的和為來證明垂直，此整法是比較常用的證垂直的作法，學(xué)生應(yīng)該掌握．13．中，，過點作．連接為平面內(nèi)一動點．(1)如圖1，若，則．(2)如圖2，點在上，且于，過點作于，為中點，連接并延長，交于點．求證：；(3)如圖3，連接，過點作于點，且滿足，連接，過點作于點，若，求線段的長度的取值范圍．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，即可求解；（2）由“”可證，利用全等三角形的性質(zhì)可得，由“”可證，利用相似三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（3）由“”可證，可得，由三角形的三邊關(guān)系定理可求解．【解析】（1）解：∵，∴．∵，∴，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵為中點，∴，又∵，在和中，，∴，∴，∴，∴；（3）連接，如圖，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴．∴當點，點，點共線時，最大值為，最小值為，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形的三邊關(guān)系，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型3：一元一次不等式14．現(xiàn)對x，y定義一種新的運算：，(其中均不為0)，舉例：．(1)若；①求的值．②若關(guān)于的不等式組恰好有2個整數(shù)解，求的取值范圍．(2)若對任意實數(shù)都成立，則應(yīng)滿足什么樣的關(guān)系式？【答案】(1)①；②；(2)【分析】（1）①由新定義運算的含義可得，再解方程組即可得到答案；②由結(jié)合不等式組可得，可得：，結(jié)合此時恰好有2個正整數(shù)解，可得，再解不等式組即可；（2）由，可得，結(jié)合題意可得，從而可得答案.【解析】（1）解：①∵，，∴，即，解得：，②∵由①得：，∴，，∴即，解得：，∵此時恰好有2個正整數(shù)解，∴，解得：；（2）∵，∴，∴，∴，∵對任意實數(shù)都成立，∴，∴；【點睛】本題考查的是新定義運算，二元一次方程組的解法，一元一次不等式組的解法，因式分解的應(yīng)用，本題難度大，對學(xué)生要求高.15．深化理解：新定義：對非負實數(shù)“四舍五入”到個位的值記為，即：當為非負整數(shù)時，如果，則；反之，當為非負整數(shù)時，如果，則．例如：，，，，…試解決下列問題：(1)填空：①________，________（為圓周率），________；②如果，求實數(shù)的取值范圍；(2)若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解恰有4個，求的取值范圍；(3)求滿足的所有非負實數(shù)的值．【答案】(1)①7，3，4；②(2)；(3)，，，．【分析】（1）①利用對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為，進而得出相關(guān)的值；②利用對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為，進而得出x的取值范圍；（2）首先將看作一個字母，解不等式組進而根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)得出a的取值范圍；（3）利用，為整數(shù)，設(shè)，k為整數(shù)，則，得出關(guān)于k的不等關(guān)系求出即可．【解析】（1）解：①由題意可得：，（為圓周率），∵，∴；故答案為：7，3，4；②∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：解不等式組得：，由不等式組整數(shù)解恰有4個得，，故；（3）解：∵，為整數(shù)，設(shè)，k為整數(shù)，則，∴，∴，，∴，∴，1，2，3，則，，，．【點睛】此題主要考查了新定義以及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意正確理解的意義是解題關(guān)鍵．16．清明假期小剛與好友一同前往上海迪士尼樂園游玩，他們一早到達樂園入口等待8：30開園，已知入口處有若干條安檢通道讓游客通過安檢入園（每天開放的安檢通道數(shù)量當天不會改變），游客每分鐘按相同的人數(shù)源源不斷到達這里等待入園，8：42小剛通過安檢進入樂園．回家后小剛通過新聞了解到，平均一個人通過安檢通道入園耗時15秒，當天直到9：45安檢處才沒有排隊人群，游客可以隨到隨檢(1)根據(jù)小剛當天的排隊記錄，他8：30到達入口處時排在第1200位，則當天開放的安檢通道有多少條？(2)根據(jù)以往數(shù)據(jù)分析，若開園時等待在入口處的游客人數(shù)與清明假期假時一致，但安檢通道增加至清明假期時的1.1倍且每分鐘到達入口處的游客人數(shù)與清明假期時一致時，從9：20開始游客可以隨到隨檢．當每分鐘到達入口處的游客人數(shù)增加10人時，若不增加安檢通道數(shù)量，游客何時才能隨到隨檢？(3)迪士尼樂園管理方估計五一假期開園時等待在入口處的游客人數(shù)與清明假期假時一致時，但每分鐘到達入口處的游客人數(shù)將增加50%，若希望最晚10：00開始游客可以隨到隨檢，那至少需要增加多少條安檢通道？【答案】(1)當天開放的安檢通道有25條．(2)游客11：00才能隨到隨檢．(3)至少需要增加10條安檢通道．【分析】（1）設(shè)當天開放的安檢通道有條，再建立方程，解方程即可；（2）設(shè)8：30開園時，排隊的人數(shù)為人，每分鐘到達的人數(shù)為人，游客的隨檢時間為時，再根據(jù)提示的三個時間段分別建立方程，可得方程組，從而可得答案；（3）設(shè)至少需要增加條安檢通道，再根據(jù)檢測人數(shù)不小于原來人數(shù)加上增加的人數(shù)列不等式即可．【解析】（1）解：∵（分鐘），1分鐘通過的人數(shù)為（人），設(shè)當天開放的安檢通道有條，∴，解得：，答：當天開放的安檢通道有25條．（2）設(shè)8：30開園時，排隊的人數(shù)為人，每分鐘到達的人數(shù)為人，游客的隨檢時間為時，則，解得：，∴當每分鐘到達入口處的游客人數(shù)增加10人時，若不增加安檢通道數(shù)量，游客11：00才能隨到隨檢．（3）設(shè)至少需要增加條安檢通道，則，，而，解得：，∴m的最小整數(shù)值為10．∴至少需要增加10條安檢通道．【點睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，三元一次方程組的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，熟練的設(shè)未知數(shù)，確定相等或不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．題型9：垂直平分線、角平分線的判定與性質(zhì)在全等三角形中的應(yīng)用17．（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點E使，再連接（或?qū)⒗@著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到），把、，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，交于點F，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于E、F兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【答案】（1）（2）見解析（3），見解析【分析】（1）根據(jù)判定，選擇即可．根據(jù)，運用三角形三邊關(guān)系定理計算即可．（2）延長到點G使，再連接,證明，運用三角形三邊關(guān)系定理計算即可．（3）延長到點M使，連接，證明，構(gòu)造半角模型證明即可．【解析】（1）∵邊上的中線，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，故答案為：．（2）如圖，延長到點G使，連接∵邊上的中線，∴，

∵，∴，∴，∵，，∴直線是線段的垂直平分線，連接，則，在中，，∴，故．（3）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是．證明如下：如圖，延長到點M使，連接∵，∴，

∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了倍長中線全等模型，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握模型，活用模型是解題的關(guān)鍵．18．在中，平分交于點．

(1)如圖1，若，則．（直接寫出結(jié)果）(2)如圖2，點為延長線上的一點，于點，當時，求的度數(shù)．(3)如圖3，平分的外角交的延長線于點，連，點是延長線上的一點且，請?zhí)骄颗c之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．【答案】(1)(2)(3)，見解析【分析】（1）過點作于，作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（2）設(shè)，則，，據(jù)此知，結(jié)合可得答案；（3）過點作于點，于點，，交延長線于點，證明得，從而得到平分，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得，則，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及平角的定義即可得到答案．【解析】（1）解：過點作于，作于，

，平分交于點，，，，，故答案為：；（2）解：設(shè)，則，，平分，，，，，；（3）解：，證明：如圖3，過點作于點，于點，，交延長線于點，

，平分，平分，，又，，，，平分，，，即，，則，．【點睛】本題主要三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)．19．如圖：在中，，，射線、的夾角為，過點作于點，直線交于點，連接．

(1)如圖，若射線、都在的內(nèi)部，且點與點關(guān)于對稱，求證：；(2)如圖，若射線在的內(nèi)部，射線在的外部，其他條件不變，求證：；(3)如圖，若射線、都在的外部，其他條件不變，若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】先判斷出，再用等式的性質(zhì)判斷出，進而判斷出，即可得出結(jié)論；先判斷出，再判斷出，進而得出，即，即可得出結(jié)論；同的方法判斷出，最后用面積建立方程求出的值，即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：如圖，連接，

，關(guān)于對稱，被垂直平分，，，，，，，，，，，，，，，；（2）證明：如圖，在上截取，連接，

，，，，，，，，，，，，，，，；即；（3）解：如圖，延長至點，使，連接，

，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．題型10：等腰三角形的判定與性質(zhì)在全等三角形中的應(yīng)用20．已知，中，，過點A作，．

(1)如圖1，求證：是等邊三角形；(2)如圖2，點D是邊上一動點（點D與點A、B不重合），連接、、，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，作關(guān)于直線對稱的，連接，若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)5【分析】（1）根據(jù)，得，又因為，即可證是等邊三角形；（2）方法一：延長至點Q，使，連接，易得是等邊三角形，則，因為，得，即，證明，即可；方法二：過E依交延長線于點M，于點N，易得，則，因為，得，證明，即，再根據(jù)在直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半，得，即證；（3）由（2）中全等知道，，結(jié)合，得是等邊三角形，易知，即是等邊三角形，即可證明，設(shè)，，得，即可作答．【解析】（1）證明：∵，，∴，∵，∴是等邊三角形；（2）證明：方法一：延長至點Q，使，連接，

∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴；方法二：過E依交延長線于點M，于點N，

∴∵易知，∴，∵，∴，∴，∴，∵在中．，，∴，∴，所以；（3）解：如圖：

由（2）中全等知道，，∵，∴是等邊三角形，∵作關(guān)于直線對稱的，∴，∴是等邊三角形，∴易證，∴，∴，，∵，∴設(shè)，，∴，，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，在直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半，綜合性較強，難度適中，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．21．在中，，于點M，D，E分別是線段和上的動點，均不與端點重合；

(1)如圖1，當時，求證：三角形是等腰三角形；(2)如圖2，若在線段上存在點F（不與點B，M重合）滿足，連接，求的值；(3)如圖3，在（2）條件下，連接，當，時，求證．【答案】(1)見解析(2)2(3)見解析【分析】（1）利用四邊形內(nèi)角和定理求出，從而可求出，再根據(jù)等腰三角形的判定即可證明；（2）根據(jù)線段的和差求出，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，從而得出，最后利用三角形的面積公式即可求解；（3）先利用三角形外角的性質(zhì)和等角對等邊證明，進而得出，利用等邊對等角得出，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求，然后利用證明，得出，再利用等角對等邊即可得出．【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，即三角形是等腰三角形；（2）解：∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴；（3）證明：∵，，∴，∴，又，∴，∴，又，∴，∴，在和中，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．22．【模型建立】（1）如圖1，在與中，，，，求證：；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在與中，，，，B、D、E三點在一條直線上，與交于點F，若點F為中點，①求的大?。虎?，求的面積；【拓展提高】（3）如圖3，在與中，，，，與交于點F，，，的面積為18，求的長．

【答案】（1）見解析（2）；（3）6【分析】（1）首先得到，然后證明出即可；（2）首先由得到，然后證明出，得到，進而求解即可；（3）連接，首先得到，然后證明出，然后得到，設(shè)的長度為a，列方程求解即可．【解析】證明：（1），∴，在和中

∴；（2）①，∴，在和中，∴，∴，∴；②作于點G，如圖所示：

，∴，在和中，∴，∴，∴，∵點F為中點，∴；（3）連接，如圖所示：

∵且，∴在和中，∴，∴，，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，是公共部分，∴，設(shè)的長度為a，則，解得：，負值舍去，故的長度為6．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．題型11：勾股定理在全等三角形中的應(yīng)用23．如圖，等腰三角形和等腰三角形，，，連接、，點F為的中點，連接．

(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，過點B作的垂線，垂足為點G，若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)13【分析】（1）延長至點H，使，證明得出，利用平行線的判定與性質(zhì)并結(jié)合可得出，再證即可得證；（2）延長至點H，使，則，由（1）知，則，進而可得出，然后利用勾股定理即可求解．【解析】（1）證明：延長至點H，使，

∵點F為的中點，∴，又，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，又，，∴，∴；（2）解：延長至點H，使，則，

由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的判定，勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是熟練運用全等三角形的判定定理證明三角形全等．24．問題背景（1）如圖1，已知是等邊三角形，，過點作于點，過點作于點，求證：平分．嘗試應(yīng)用（2）如圖2，已知在等腰直角中，是中點，在內(nèi)部作，且，連接，求和之間的數(shù)量關(guān)系．拓展創(chuàng)新（3）如圖3，已知中，延長至點，是的中點，過點作的垂線交的反向延長線于點，連接，請直接寫出的長度．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）設(shè)與交于E，先證明得到，再由，即可證明平分；（2）設(shè)與交于F，先證明，過點E作于N，交延長線于M，再證明得到，求出，進而求出，則在中，由勾股定理得：；（3）如圖所示，連接，過點E作于M，交延長線于N，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再證明，進而推出，證明，得到，利用三角形內(nèi)角和定理求出，進一步求出，則，由此推出，過點A作于T，則，利用勾股定理求出的長即可得到答案．【解析】解：（1）設(shè)與交于點是等邊三角形平分（2）設(shè)與交于點過作于點，作于點在中，

（3）如圖所示，連接，過點E作于M，交延長線于N，∵H是的中點，，∴垂直平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴平分，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，過點A作于T，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴．

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．25．我們把一組共用頂點，且頂角相等的兩個等腰三角形稱為頭頂頭對三角．【探索一】如圖1，布丁在作業(yè)中遇到這樣一道思考題：在四邊形中，，，連接、，若，，求的長．（1）布丁思考后，如圖2，以為邊向外作等腰直角，并連接，他認為：．你同意他的觀點嗎？請說明理由．（2）請你幫布丁求出的長．【探索二】如圖3，在四邊形中，，，，，，若，求的長．【答案】【探索一】（1）見解析；（2）；【探索二】．【分析】【探索—】（1）根據(jù)可證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理可求出答案；【探索二】作，且使，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，求出，過點作于點，則，得出，由勾股定理可得出答案．【解析】解∶探索—（1）同意．理由∶∵以為邊向外作等腰直角三角形，，∴，∴，在和中，，∴；（2）∵，∴，∵以為邊向外作等腰直角三角形，，，∴，,∵，∴，∴，∴；探索二作，且使，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，過點作于點，則，∵，，∴，∴，∴，．

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．題型12：勾股定理的應(yīng)用26．問題背景：在中，、、三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），然后在網(wǎng)格中畫出格點（即三個頂點都在小正方形的頂點處，，，），如圖①所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．這種求面積的方法叫做構(gòu)圖法．(1)請你將的面積直接填寫在橫線上：______．(2)思維拓展：若三邊的長分別為、、，請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的，并求出它的面積．(3)探索創(chuàng)新：若三邊的長分別為、、（，，且），求這個三角形的面積．(4)直接寫出當x為何值時，函數(shù)有最小值，最小值是多少？【答案】(1)7(2)S(3)S(4)當x為7.2時，函數(shù)y=x2【分析】（1）S△ABC（2）根據(jù)AB=5a=(2a)2+（3）設(shè)小矩形的長為m，寬為n，根據(jù)題意，AB=m2+16n2（4）求函數(shù)y=x2+9+12?x2+4有最小值，即y=函數(shù)y=x2+9【解析】（1）根據(jù)題意得：S=72故答案為：72（2）根據(jù)題意得：AB=5a=(2a)2+根據(jù)題意：S=8=3a（3）設(shè)小矩形的長為m，寬為n，根據(jù)題意，AB=m2+16n2畫圖如下：根據(jù)題意：S=5mn．（4）函數(shù)y=x2+9+12?x2+4有最小值，即y=x?02+0?32+當x為7.2時，函數(shù)y=x2+9【點睛】本題考查了網(wǎng)格上的三角形，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．27．【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形△ABC和△DAE如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．請用a，b，c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四邊形AECD＝，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，它們滿足的關(guān)系式為，化簡后，可得到勾股定理．【知識運用】如圖2，河道上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距200米，C，D為兩個菜園（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD＝80米，BC＝70米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在AB上確定一個抽水點P，使得抽水點P到兩個菜園C，D的距離和最短，則該最短距離為米．【知識遷移】借助上面的思考過程，請直接寫出當0＜x＜15時，代數(shù)式的最小值＝．【答案】（小試牛刀），，，；（知識運用）米；（知識遷移）【分析】（小試牛刀）根據(jù)梯形、三角形的面積公式求解即可，四邊形面積為和的面積和，求解即可；（知識運用）作點關(guān)于的對稱點，連接，則，由三角形三邊關(guān)系可得當三點共線時，距離最小；（知識遷移）如下圖，，，、，點為線段上一點，則，由上可得當三點共線時，距離最小．【解析】解：（小試牛刀）由圖形可得化簡可得故答案為：，，，；（知識運用）作點關(guān)于的對稱點，連接，如下圖：由題意可得：，則的最小值，即為的最小值由三角形三邊關(guān)系可得：，當三點共線時∴的最小值為，米故答案為米；（知識遷移）如下圖，，，、，點為線段上一點，則，由上可得當三點共線時，距離最小，最小為，故答案為【點睛】此題考查了勾股定理的證明以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的應(yīng)用．28．早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位