習(xí)題冊(cè)第8章1、設(shè)A=P({a,b})，寫出A上的和～運(yùn)算的運(yùn)算表，是否滿足封閉性。答：由運(yùn)算表可知和～對(duì)于A都滿足封閉性。2、設(shè)代數(shù)系統(tǒng)<A,*>，A中任意元素x和y,x*y=x+y+5xy,(1)判斷*運(yùn)算是否滿足交換律和結(jié)合律，并說明理由.(2)求出*運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.答：(1)*運(yùn)算可交換，可結(jié)合.任取A中元素x,yx*y=x+y+5xy=y+x+5yx=y*x,任取A中元素x,y,z(x*y)*z=(x+y+5xy)+z+5(x+y+5xy)z=x+y+z+5xy+5xz+5yz+25xyzx*(y*z)=x+(y+z+5yz)+5x(y+z+5yz)=x+y+z+5xy+5xz+5yz+25xyz(x*y)*z=x*(y*z)(2)設(shè)*運(yùn)算的單位元和零元分別為e和θ，則對(duì)于任意x有x*e=x成立，即x+e+5xe=x則e=0由于*運(yùn)算可交換，所以0是幺元。對(duì)于任意x有x*θ=θ成立，即x+θ+5xθ=θx+5xθ=0θ=-1/5對(duì)于任意x，設(shè)x的逆元為y,則有x*y=0成立，即x+y+5xy=0(5x+1)y=-xy=-x/(5x+1)(x≠-1/5)因此當(dāng)x≠-1/5時(shí)，-x/(5x+1)是x的逆元。3、設(shè)*是集合A上可結(jié)合的二元運(yùn)算，且a,bA,若a*b=b*a，則a=b。試證明：（1）aA,a*a=a，即a是等冪元；（2）a,bA,a*b*a=a;（3）a,b,cA,a*b*c=a*c。證明：（1）aA,記b=a*a。因?yàn)?是可結(jié)合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知條件可得a=a*a。（2）a,bA,因?yàn)橛桑?），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，從而a*b*a=a。（3）a,b,cA,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c，故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b)*c))=a*c，即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。從而由已知條件知，a*b*c=a*c。4、證明代數(shù)系統(tǒng)(N3,+3)到(N6,+6)單一同態(tài)。證明：今構(gòu)造映射函數(shù)如下：f(0)=0,f(1)=2,f(2)=4,試證明f是同態(tài)映射。函數(shù)f寫成f(k)=2k，f(a+3b)=2(a+3b)=2(a+b-3[(a+b)/3])=2a+2b-6[(2a+2b)/6]=2a+62b=f(a)+6f(b)所以代數(shù)系統(tǒng)(N3,+3)到(N6,+6)存在同態(tài)映射f,f為單一同態(tài)。5、設(shè)<A,*>為半群，aA。令A(yù)a={ai|iI+}。試證<Aa,*>是<A,*>的子半群。證明：b，cAa，則存在k,lI+，使得b=ak,c=al。從而b*c=ak*al=ak+l。因?yàn)閗+lI+，所以b*cAa，即Aa關(guān)于運(yùn)算*封閉。故<Aa,*>是<A,*>的子半群。6、Z上的二元運(yùn)算*定義為：a,bZ，a*b=a+b-2。試證：<Z,*>為獨(dú)異點(diǎn)。證明：（1）a,bZ，a+b-2Z，滿足封閉性。（2）a,b,cZ，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4,a*(b*c)=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c=a*(b*c)，從而*滿足結(jié)合律。（3）記e=2。對(duì)aZ，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是Z關(guān)于運(yùn)算*的單位元。綜上所述，<Z,*>為獨(dú)異點(diǎn)。設(shè)（A,*）是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，使得對(duì)于A中每個(gè)x，x*x=e，其中e是單位元，證明（A，*）是阿貝爾群。證明：每個(gè)xA逆元均為自己，(A,*)是群。a*b=a*e*b=a*((a*b)*(a*b))*b=(a*a)*(b*a)*(b*b)=e*(b*a)*e=b*a(可交換)。8、設(shè)<G,>是一個(gè)群，則對(duì)于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。證明：因?yàn)閍-1*b∈G，且a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，所以對(duì)于a,b∈G，必有x∈G，使得ax=b。若x1,x2都滿足要求。即ax1=b且ax2=b。故ax1=ax2。由于*滿足消去律，故x1=x2。從而對(duì)于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。設(shè)<A,>是群，A中元素a,b，且a的階數(shù)是2，b的階數(shù)是3，如果a*b=b*a，證明a*b是6階元素。證明：由于a*b=b*a，所以(a*b)6=a6*b6=e現(xiàn)再證6是使(a*b)6=e的最小正整數(shù)。根據(jù)定理7.3.8：設(shè)<A,*>為群，a是A中元素，且a的階數(shù)為k，若an=e，n是k的整數(shù)倍。若a*b是k階元素，k只能是6的因子，即ｋ只能是2，3，6。由于(a*b)2＝a2*b2＝ｅ*b2＝b2≠ｅ；(a*b)3＝a3*b3＝a3*e＝a≠ｅ；由此可知其階數(shù)為6。10、證明代數(shù)系統(tǒng)（｛1,i,-1,-i｝，·）和代數(shù)系統(tǒng)（｛｝,o）是否都是群，·是復(fù)數(shù)乘法，o是矩陣乘法，并且判別是否同構(gòu)。解：（1）寫出（｛1,i,-1,-i｝，·）的運(yùn)算表·1i-1-i11i-1-iii-1-i1-1-1-i1i-i-i1i-1通過運(yùn)算表可以看出具有封閉性，復(fù)數(shù)乘法滿足結(jié)合性，幺元為1，i與-i互為逆元，-1逆元等于本身，所以（｛1,i,-1,-i｝，·）是群。寫出（｛｝,o）的運(yùn)算表·通過運(yùn)算表可以看出具有封閉性，矩陣乘法滿足結(jié)合性，幺元為，每個(gè)元素的逆元等于本身，所以（｛1,i,-1,-i｝，·）是群。根據(jù)運(yùn)算表得到（｛1,i,-1,-i｝，·）中e=1,（｛｝,o），e=且（｛1,i,-1,-i｝，·）中i與-i互逆，而（｛｝,o）每個(gè)元素都是自己的逆，因此不同構(gòu)。11、設(shè)群G的運(yùn)算表如表所示，求出每個(gè)元素的階數(shù)，并構(gòu)造所有子群。解：通過運(yùn)算表可以看出a為幺元。分別找出其他元素的階數(shù)，b階數(shù)為6，b的逆元為f,f階數(shù)也為6。c階數(shù)為3，c的逆元e，所以e階數(shù)也為3。d階數(shù)為2。子群：一階子群{a},二階子群{d1,d2}={a,d},三階子群{c1,c2,c3}={c,e,a},六階子群{a,b,c,d,e,f}。12、設(shè)群<B,*>為群<A,*>的子群，它是群<A,*>的正規(guī)子群(a)(a∈A→aBa-1B)。證明充分性：假設(shè)對(duì)任意aA，有aBa-1B，再證aB=Ba。令a*baB。因aBa-1B，則對(duì)某個(gè)b1B，有a*b*a-1=b1于是a*B=(a*B*a-1)*a=b1*a可見b1*aBa故aBBa只要注意：a-1Ba=a-1B(a-1)-1B，可類似地證明BaaB，于是aB=Ba。必要性：假設(shè)對(duì)每個(gè)aG，有aBBa且a*B*a-1aBa-1。則因aB=Ba，必存在b1B，使得a*B=b1*a于是a*B*a-1=(b1*a)*a-1=b1因此a*B*a-1B，故aBa-1B。設(shè)A={1,-1,i,-i},對(duì)于復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，證明<A,*>是循環(huán)群。解：幺元為1，(-1)2=1,-1是二階元素，i2=-1，i3=-i，i4=1，所以i為四階元素，(-i)2=-1，(-i)3=i，(-i)4=1，所以-i為四階元素，由上述可得i和-i都是生成元，所以<A,*>是循環(huán)群。I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b-2。試問<I,*>是循環(huán)群?jiǎn)?？解?lt;I,*>是循環(huán)群。因?yàn)?lt;I,*>是無限階的循環(huán)群，則它只有兩個(gè)生成元。1和3是它的兩個(gè)生成元。因?yàn)閍n=na-2(n-1)，故1n=n-2(n-1)=2-n。從而對(duì)任一個(gè)kI,k=2-(2-k)=12-k，故1是的生成元。又因?yàn)?和3關(guān)于*互為逆元，故3也是<I,*>的生成元。15、證明群(N12,+12)和群(N13-{0},×13)同構(gòu),并寫出同構(gòu)映射,并寫出群(N13-{0},×13)所有的子群。(1)群(N12,+12)的生成元為1，(N13-{0},×13)的生成元為,2，20=1,21=2,22=4,23=8,24=3,25=6,26=12,27=11,28=9,29=5,210=10,211=7,212=1，根據(jù)定理k階循環(huán)群同構(gòu)于(Nk,+k)，f(k)=ak，a為生成元，可得群(N12,+12)和群(N13-{0},×13)同構(gòu)。(2)設(shè)置函數(shù)f：N12→N13-{0}，f(k)=ak=2kf(0)=20=1，f(1)=21=2，f(2)=22,...,f(11)=211可得證f(i+j)=2i+j=2i×132j=f(i)×13f(j)。根據(jù)(N12,+12)的子群{0},{0,6},{0,4,8},{0,3,6,9},{0,2,4,6,8,10},N12(N13-{0},×13)的子群群{20},{20,26},{20,24,28},{20,23,26,29},{20,22,24,26,28,210},N13-{0}。16、求循環(huán)群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。解：因?yàn)閨C12|=12，|H|=3，所以H的不同右陪集有4個(gè)：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。17、設(shè)e是奇數(shù)階交換群<G,*>的單位元，則G的所有元素之積為e。證明：設(shè)G=<{e,a,a,…,a},*>，n為正整數(shù)。因?yàn)镚的階數(shù)為奇數(shù)2n+1，所以由拉格朗日定理知G中不存在2階元素，即除了單位元e以外，G的所有元素的階都大于2。故對(duì)G中的任一非單位元a，它的逆元a不是它本身，且G中不同的元素有不同的逆元。由此可見，G中的2n個(gè)非單位元構(gòu)成互為逆元的n對(duì)元素。因?yàn)镚是交換群，故G的所有元素之積可變成單位元和n對(duì)互為逆元的元素之積的積，從而結(jié)果為e。18、6階群必有3階子群。證明設(shè)<A,>是是6階群，e是幺元。A中元素的階數(shù)可能為1，2，3或6。如果A中有6階元a，即o(a)=6，則G是6階循環(huán)群，a2為3階元素，得知({a2,a4,a6}，*)為3階子群。如果A中有3階元a，({a,a2,a3}，*)為3階子群。如果非幺元都是2階元素，則為克萊因群，克萊因群一定是可交換群，在A中任取兩個(gè)不同的非幺元的a和b,令H={e,a,b,a*b}，通過驗(yàn)證可知，*對(duì)于H是封閉的，(H,*)是(A，)的4階子群，而(A，*)是6階群，根據(jù)Lagrange定理，這是不可能的。得證6階群必有3階子群。19、在4次對(duì)稱群中找出一個(gè)4階置換循環(huán)群，并在該4階置換循環(huán)群中找出2階子群。解：（1）根據(jù)定理每一個(gè)n階有限群和一個(gè)n次置換群同構(gòu)。所以構(gòu)造一個(gè)4階循環(huán)群+4012300123112302230133012相對(duì)應(yīng)將標(biāo)題與各行構(gòu)造置換*f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f2由運(yùn)算表可知，f1為該群生成元。所以4階置換群{f0,f1,f2,f3}為循環(huán)群。（2）找出其中2階元素f2，由{f0,f2}構(gòu)造了2階子群。20、判斷下列集合和給定運(yùn)算是否構(gòu)成環(huán)、整環(huán)和域,如果不構(gòu)成,說明理由.(1)運(yùn)算為實(shí)數(shù)加法和乘法。(2)A={5z|z∈Z},運(yùn)算為實(shí)數(shù)加法和乘法。(3)A={x|x≥0∧x∈Z},運(yùn)算為實(shí)數(shù)加法和乘法。解(1)不是環(huán),因?yàn)殛P(guān)于乘法不封閉。(2)是環(huán),不是整環(huán)和域,因?yàn)槌朔]有么元。(3)不是環(huán),因?yàn)檎麛?shù)關(guān)于加法的負(fù)元不存在。21設(shè)<A,+,×>是環(huán)，對(duì)于A中每一個(gè)a，都有a2=a，證明如果A中元素個(gè)數(shù)大于2，那么<A,+,×>不可能是整環(huán)。證明：反正法，如果<A,+,×>是整環(huán)，且有三個(gè)及以上的元素，則存在A中有元素a,a≠0，a≠1，且a2=a，即a≠0，a-1≠0，且a×(a-1)=0,這與整群中的無零因子條件矛盾，所以那么<A,+,×>不可能是整環(huán)。構(gòu)造一個(gè)僅有3個(gè)元素的域。解：(N3,+3,×3)是一個(gè)僅有三個(gè)元素的域，(N3,+3)為可交換群，(N3-{0},×3)為可交換群，×3對(duì)于+3滿足可分配，所以是域。第9章1、下列各集合對(duì)于整除關(guān)系都構(gòu)成偏序集，判斷哪些偏序集是格。(1)A={1,2,3,4,7} (2)A={1,2,3,6,24}解：(1)設(shè)R是A上的整除關(guān)系。R={<x,y>|x∈L∧y∈L∧x整除y}={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,7>,<2,4>}∪IA它的蓋住關(guān)系為：COVA＝{<1,2>,<1,3>,<1,7>,<2,4>}。因?yàn)閧3,7}無上界，因而無最小上界，<A,R>不是格。(2)設(shè)R是A上的整除關(guān)系。R={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<1,24>,<2,6>,<2,12>,<3,6><3,24><6,24>}∪IA它的蓋住關(guān)系為：COVA＝{<1,2>,<1,3>,<2,6>,<3,6>,<6,24>}。<A,R>是格。2、求下列命題的對(duì)偶命題。(1)a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)(2)(a∨b)∧c≥a∨(b∧c)解：(1)a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c)(2)(a∧b)∨c≤a∧(b∨c)3、設(shè)<A,≤>是格，對(duì)任意a,b∈A，都有a∨(a∧b)=aa∧(a∨b)=a解：先證明:a∨(a∧b)=a。因?yàn)閍≤a∧b和a≤a，可見a是a∧b和a的下界，故a≤a∨a∧b。另一方面，根據(jù)glb的定義，有a∨a∧b≤a。因此a∨(a∧b)=a。類似可證a∧(a∨b)=a。4、設(shè)<A,≤>是格，a,b,c∈A，滿足a≤b≤c，證明a∨b=b∧c。證明：由定理，a≤b得到a∨b=bb≤c得到b∧c=b所以，a∨b=b=b∧c。5、設(shè)<A,∨,∧>，是格，a,b,c,dA。試證：若ab且cd，則a∧cb∧d。證明：因?yàn)閍b，cd，所以a=a∧b,c=c∧d。從而(a∧c)∧(b∧d)=((a∧c)∧b)∧d=(b∧(a∧c))∧d=((b∧a)∧c)∧d=a∧(c∧d)=a∧c，所以a∧cb∧d。6、證明：在同構(gòu)意義下，4