什么是邏輯推理

數(shù)學(xué)的視角

Logicalreasoning

frommathematicalperspective

崔民初編

2020年7月

XuchangCityEducationSupervisionOffice

目錄

第一部分：邏輯學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)........................................................1

第一章為什么要學(xué)習(xí)邏輯學(xué).......................................................1

一、華為創(chuàng)新與香農(nóng)公式......................................................1

二、邏輯學(xué)與“錢(qián)學(xué)森之問(wèn)”..................................................7

三、邏輯學(xué)與科學(xué)研究方法...................................................10

四、邏輯學(xué)與學(xué)校教育.......................................................14

第二章邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系......................................................17

一、歷史上著名的邏輯學(xué)家兼為數(shù)學(xué)家........................................17

二、邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系.....................................................19

1.邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)發(fā)展互相促進(jìn)、互為工具.................................20

2.邏輯思維能力是數(shù)學(xué)思維能力的核心..................................22

三、邏輯學(xué)與中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)...............................................23

第三章數(shù)學(xué)家的視角一一什么是邏輯學(xué)？.........................................29

一、邏輯推理是三大數(shù)學(xué)基本思想之一........................................29

二、數(shù)學(xué)的定義.............................................................31

1.名義定義............................................................32

2.實(shí)質(zhì)定義............................................................35

三、數(shù)學(xué)的命題.............................................................37

1.性質(zhì)命題............................................................38

2.關(guān)系命題............................................................40

四、數(shù)學(xué)的推理.............................................................42

1.什么樣的推理是有邏輯的？...........................................42

2.邏輯推理的思維基礎(chǔ).................................................47

五、演繹推理：驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的方法..........................................50

1.經(jīng)典三段論..........................................................51

①全稱(chēng)肯定型.......................................................51

②全稱(chēng)否定型.......................................................53

③特稱(chēng)肯定型.......................................................53

④特稱(chēng)否定型.......................................................54

2.反證法..............................................................55

3.數(shù)學(xué)歸納法..........................................................56

六、歸納推理(I)：基于一個(gè)集合得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.......................58

1.歸納的基礎(chǔ)是得到集合................................................59

2.結(jié)論可能是必然的歸納................................................62

2.結(jié)論已知是或然的歸納................................................67

七、歸納推理(II)：基于兩個(gè)集合得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法——類(lèi)比推理...........68

1.結(jié)論可能是必然的類(lèi)比................................................69

2.結(jié)論已知是或然的類(lèi)比................................................74

第四章培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力............................................77

一、歸納推理和演繹推理并重.................................................77

二、發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類(lèi)比........................................78

三、如何培養(yǎng)中小學(xué)生的歸納推理能力........................................79

1

1.讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程口...............................................79

2.善用歸納和類(lèi)比，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)條件預(yù)測(cè)結(jié)果以及根據(jù)結(jié)論探究成因的意識(shí)和能

力..............................................................................86

3.把對(duì)思維方式的反思作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終點(diǎn)..............................87

4.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)感知數(shù)學(xué)知識(shí)。..............................88

第五章義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于邏輯推理.......................................90

一、義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)與理念..........................................90

二、義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總目標(biāo)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的要求...................91

三、義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于邏輯推理的內(nèi)容................................91

四、推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于義務(wù)教育整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中.....................91

五、義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)應(yīng)體現(xiàn)整體性和過(guò)程性..............................92

六、在義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要處理好合情推理與演繹推理的關(guān)系...........93

第六章普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于邏輯推理.......................................94

一、普通高中數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)與目標(biāo)..........................................94

二、普通高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之------邏輯推理能力.........................95

三、邏輯推理水平的劃分.....................................................98

1.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)邏輯推理水平一（畢業(yè)會(huì)考）........................98

2.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)邏輯推理水平二（高考）............................99

3.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)邏輯推理水平三（自主招生）........................99

四、在普通高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)邏輯學(xué)的課程內(nèi)容.............................100

1.普通高中必修課程中的邏輯學(xué)內(nèi)容....................................100

①集合............................................................101

②常用邏輯用語(yǔ)....................................................101

③概率............................................................102

④統(tǒng)計(jì)............................................................102

2.普通高中選擇性必修課程中的邏輯學(xué)內(nèi)容.............................102

3.普通高中選修課程中的邏輯學(xué)內(nèi)容...................................103

①選修課A類(lèi)課程..................................................104

②選修課B類(lèi)課程..................................................104

③選修課C類(lèi)課程..................................................105

五、高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)與評(píng)價(jià)建議.......................................106

1.教學(xué)建議.........................................................106

①教學(xué)目標(biāo)制定要突出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).............................108

②情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)................108

③整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展......109

④既要重視教，更要重視學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)......................109

2.學(xué)業(yè)水平考試與高考命題建議........................................110

①命題原則........................................................110

②考試命題路徑....................................................111

3.教師實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題.................................111

①以教師專(zhuān)業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的理念為指導(dǎo)，提升自身的專(zhuān)業(yè)水平................112

②數(shù)學(xué)教師要努力提升通識(shí)素養(yǎng).....................................112

③數(shù)學(xué)教師要努力提升數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)素養(yǎng).................................112

④數(shù)學(xué)教師要努力提升數(shù)學(xué)教育理論素養(yǎng).............................113

2

⑤數(shù)學(xué)教師要努力提升教學(xué)實(shí)踐能力113

3

第一部分：邏輯學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

第一章為什么要學(xué)習(xí)邏輯學(xué)

一、華為創(chuàng)新與香農(nóng)公式

2018年4月以來(lái)，中美貿(mào)易戰(zhàn)開(kāi)打，美國(guó)制裁中興、華為.面對(duì)

美國(guó)制裁，為何中興無(wú)還手之力，而華為卻能頂住制裁不至于束手無(wú)

策？我們對(duì)比一下美國(guó)制裁中興和華為后的結(jié)果：2018年4月16H,

美國(guó)商務(wù)部發(fā)布公告稱(chēng)，美國(guó)政府在未來(lái)7年內(nèi)禁止中興通訊向美國(guó)

企業(yè)購(gòu)買(mǎi)敏感產(chǎn)品，這就是制裁中興的開(kāi)始.而最后的結(jié)果是中興再

次繳納10億美元罰金，并改組董事會(huì).為什么有個(gè)再次呢？其實(shí)早在

2017年3月，中興就因被控違反美國(guó)的制裁，同意接受處罰，支付

1L9億美元的罰款，又來(lái)一次，中興簡(jiǎn)直成了美國(guó)政府的搖錢(qián)樹(shù).讓

很多國(guó)人憤慨的是，除了交納巨額罰款外，美國(guó)還向中興派駐執(zhí)行小

組，監(jiān)督中興更換董事會(huì)和管理層，以后更是監(jiān)控公司日常運(yùn)營(yíng)，這

對(duì)任何一家企業(yè)來(lái)說(shuō)都是莫大的恥辱.

2019年5月，美國(guó)又對(duì)華為下手了，但這一次的結(jié)果卻與中興

事件完全不同，華為扛住了.美國(guó)不允許美企向華為出售配件，華為

創(chuàng)始人任正非表示沒(méi)有美國(guó)配件也可以.美國(guó)要給華為三個(gè)月的緩沖

期，任正非表示不需要，直接開(kāi)始都可以.最后的結(jié)果是，美國(guó)政府

竟然一次次的自動(dòng)延長(zhǎng)緩沖期，目前已延長(zhǎng)了三次.盡管也有斷供的

可能，但是華為有海思的各種芯片，還有能力自研手機(jī)操作系統(tǒng).

面對(duì)美國(guó)制裁，中興束手無(wú)策，而華為卻能硬抗美國(guó)政府，兩家

公司為何有此截然不同的結(jié)果？

首要原因在于中興通訊創(chuàng)新能力不足，核心技術(shù)受制于人，在國(guó)

1

際前沿性科技創(chuàng)新領(lǐng)域原創(chuàng)性產(chǎn)品匱乏，貿(mào)易制裁導(dǎo)致中興通訊直接

休克，不得不接受美國(guó)罰款.而華為對(duì)創(chuàng)新人才的重視超過(guò)任何一家

中國(guó)企業(yè)，任正非給那些全球創(chuàng)新員工非常高的工資，通過(guò)算法理論

的創(chuàng)新，華為才很容易突破了3G、4G和5G技術(shù).

這個(gè)突破是怎么來(lái)的？華為在全球各地都有研發(fā)中心，看全球基

礎(chǔ)研究中哪些東西可以變成技術(shù)。十幾年前他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)土耳其數(shù)

學(xué)家的一篇論文提到了一個(gè)新概念“極化碼(PolarCode)”，是一

種新算法。

極化碼的提出者是土耳其畢爾肯大學(xué)電氣工程系教授埃爾達(dá)

爾?阿里坎(ErdalArikan),通信技術(shù)專(zhuān)家，被稱(chēng)為"PolarCode

之父”。2008年，ErdalArikan在國(guó)際信息論ISIT會(huì)議上首次提

出了信道極化(ChannelPolarization)的概念；2009年他在“IEEE

TransactiononInformationTheory”期刊上發(fā)表了一篇長(zhǎng)達(dá)23頁(yè)

的論文，更加詳細(xì)地闡述了信道極化，正式提出了一種新的編碼方式,

名稱(chēng)為極化碼(PolarCode)。

以往所有實(shí)用的編碼方法都未能達(dá)到香農(nóng)于1948年所給出的信

道傳輸?shù)娜萘繕O限(也稱(chēng)為香農(nóng)限)［，］o而極化碼(PolarCode)是

基于信道極化所給出的一種新的編碼方式，具有確定性的構(gòu)造方法，

并且是已知的唯——種能夠被嚴(yán)格證明“達(dá)到”信道容量的信道編

碼方法。Polar碼被認(rèn)為是第一種可以被理論證明逼近香濃信道容量

的編碼方案，解決了香農(nóng)信息論領(lǐng)域塵封近60年的難題。從代數(shù)編

碼和概率編碼的角度來(lái)說(shuō)，極化碼具備了兩者各自的特點(diǎn)⑵。極化碼

在編碼調(diào)制、有記憶信道、竊聽(tīng)信道等方面的應(yīng)用中展現(xiàn)了優(yōu)異的性

[1]ShannonCE..AMathematicalTheoryofCommunication.BellSystemTechnical

Journal,[2020-03-29]

⑵伍株儀.5G信道編碼研究.[2020-03-29]

2

華為公司非常重視這種算法在通訊領(lǐng)域的重要意義，對(duì)該項(xiàng)目投

資長(zhǎng)達(dá)十年之久，投入了幾十億美元的研發(fā)費(fèi)用，把這篇論文的構(gòu)想

變成專(zhuān)利，變成標(biāo)準(zhǔn)，再變成產(chǎn)品，變成基站，變成5G可以布局的

產(chǎn)業(yè)，變成5G全球電信聯(lián)盟的標(biāo)準(zhǔn)之一。

2018年7月26日，華為創(chuàng)始人任正非為5G極化碼（Polar碼）

發(fā)現(xiàn)者埃爾達(dá)爾?阿里坎教授頒發(fā)特別獎(jiǎng)項(xiàng)，致敬其為通信事業(yè)發(fā)展

所作出的突出貢獻(xiàn)小。

而他的導(dǎo)師RobertGallagei'正是LDPC碼的提出者。LDPC碼是

高通主導(dǎo)的5G標(biāo)準(zhǔn)的信道長(zhǎng)碼和短碼編碼方案。華為與高通的5G標(biāo)

準(zhǔn)爭(zhēng)奪戰(zhàn)實(shí)際上也就是LDPC碼與Polar碼的對(duì)決，是師傅Robert

Gallager與徒弟ErdalArikan之間的成果的較量。

⑴任正非頒獎(jiǎng)Polar碼之父.人民網(wǎng).深圳頻道.2018年07月27日.

http://sz.people,com.cn/GB/n2/2018/0727/c202846-31864526.html

3

RobertGallager

2016年11月18日,在美國(guó)內(nèi)華達(dá)州里諾召開(kāi)的3GPPRAN1#87

次會(huì)議上，確定PolarCode作為5GeMBB（增強(qiáng)移動(dòng)寬帶）場(chǎng)景下

控制信道編碼方案。⑴在此次會(huì)議上，對(duì)于華為主導(dǎo)的數(shù)據(jù)短碼部分,

以及控制信道部分的兩個(gè)方案，聯(lián)想、摩托羅拉移動(dòng)，以及華為、博

通、小米等企業(yè)都投了贊成票。最終由于Polar的權(quán)重不夠，華為在

數(shù)據(jù)信道短碼部分未通過(guò)，仍采用高通主導(dǎo)的LDPC短碼方案，但在

控制信道編碼部分華為獲得了勝利。

閨伍株儀.5G信道編碼研究.[2020-03-29]

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更有意思的是，RobertGallager的老師，ErdalArikan教授的

師祖，就是鼎鼎大名的“信息論之父”香農(nóng)。香農(nóng)是20世紀(jì)最有影

響力的科學(xué)家之一，在通信領(lǐng)域，他屬于“牛頓”式的人物。香農(nóng)生

前為人低調(diào)，極少露面，1985年他破例去英國(guó)參加一次學(xué)術(shù)會(huì)議，

當(dāng)主持人念到香農(nóng)的名字時(shí)，現(xiàn)場(chǎng)的科學(xué)家都瘋狂地?fù)淼剿磉?，?/p>

隊(duì)等候他的簽名，可見(jiàn)香農(nóng)在學(xué)術(shù)界的地位。他的成果奠定了現(xiàn)代通

信的理論基礎(chǔ)，香農(nóng)也是數(shù)字電路、密碼學(xué)的奠基人。

ClaudeElwoodShannon（1916-2001）,1949年，香農(nóng)在《噪

聲下的通信》提出了計(jì)算最大信息傳送速率C公式”：

C=Blog2（l+S/N）o式中：B是信道帶寬（赫茲），S是信道內(nèi)所傳信

號(hào)的平均功率（瓦），N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率（瓦）。該式即

為著名的香農(nóng)公式。

香農(nóng)同樣畢業(yè)于麻省理工學(xué)院，晚年一直擔(dān)任麻省理工學(xué)院的教

授。香農(nóng)、RobertGallager＞到ErdalArikan都出自麻省理工學(xué)院,

5

三位科學(xué)家一脈相承，都為人類(lèi)的通信事業(yè)作出了杰出的貢獻(xiàn)，堪稱(chēng)

奇跡。

這也反映了美國(guó)在基礎(chǔ)研究領(lǐng)域的強(qiáng)大，推動(dòng)現(xiàn)代信息通信理論

創(chuàng)新的幾大科學(xué)家都來(lái)自美國(guó)，美國(guó)在通信領(lǐng)域領(lǐng)先也就不意外了。

這次華為能在Polar碼上異軍突起，一方面是因?yàn)槿A為的實(shí)力和膽

識(shí)，另一方面也有運(yùn)氣的成分。因?yàn)榍『肊rdalArikan教授早在1987

年就回到了土耳其，而土耳其缺乏進(jìn)行通信應(yīng)用研究的人才，他的理

論并未受到西方國(guó)家應(yīng)有的重視。Arikan教授也多次回到美國(guó)講解

他的Polar理論，但美國(guó)的通信企業(yè)反應(yīng)平淡，高通等公司依然將主

要力量放在他老師Gallager的LDPC碼上。這讓華為抓住了機(jī)會(huì)，在

Polar碼上發(fā)力取得成功。

可以說(shuō)，基礎(chǔ)研究是應(yīng)用創(chuàng)新的源泉，也是培養(yǎng)一流科技人才的

重要渠道。創(chuàng)新能力強(qiáng)是華為公司面對(duì)美國(guó)制裁能夠勉強(qiáng)應(yīng)對(duì)的技術(shù)

基礎(chǔ).即便如此，令人遺憾之處的是，華為公司重金投資的這個(gè)通訊

技術(shù)創(chuàng)新人才是美國(guó)教育培養(yǎng)出來(lái)的.

中國(guó)人口基數(shù)大，數(shù)學(xué)天才眾多，但是在數(shù)學(xué)界有原始創(chuàng)新貢獻(xiàn)

的數(shù)學(xué)天才卻是鳳毛麟角。甚至有些少年數(shù)學(xué)天才，年紀(jì)輕輕已經(jīng)遁

入佛門(mén)。中國(guó)奧數(shù)天才柳智宇，2006年在第32屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克

循環(huán)賽上，柳智宇在奧數(shù)決賽中以滿(mǎn)分成績(jī)擊敗了德國(guó)數(shù)學(xué)天才舒爾

茨，奪得金牌。十多年后，二人的發(fā)展結(jié)果截然不同：舒爾茨不到

31歲時(shí)就拿到了菲爾茲獎(jiǎng)，這個(gè)獎(jiǎng)相當(dāng)于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的諾貝爾獎(jiǎng)，含

金量相當(dāng)?shù)母?。柳智宇?yuàn)W數(shù)拿冠軍后，直接被保送進(jìn)了北京大學(xué)數(shù)學(xué)

院，剛?cè)胄＞图尤肓吮贝蟮亩U學(xué)社和耕讀社。這個(gè)禪學(xué)社、耕讀社的

關(guān)注點(diǎn)在佛教，與邏輯學(xué)研究人的思維方法的學(xué)問(wèn)大相徑庭，根本不

在一個(gè)頻道上。耕讀社的創(chuàng)始人是一位叫賢慶法師的僧人，他就在北

6

京龍泉寺出家。在2008年5月，柳智宇帶領(lǐng)社團(tuán)成員去參觀龍泉寺。

說(shuō)起這個(gè)龍泉市，那簡(jiǎn)直讓很多求賢若渴的地方高校領(lǐng)導(dǎo)羨慕，寺內(nèi)

禪興法師是清華大學(xué)流體力學(xué)博士，賢啟法師是清華大學(xué)核能和熱能

物理博士，賢威法師是中國(guó)科學(xué)院生物物理研究所博士，賢兆法師是

北京航空航天大學(xué)教授，賢慶法師是北京大學(xué)哲學(xué)系研究生。柳智宇

在寺里見(jiàn)到了賢慶法師，聊了很久。在臨近畢業(yè)之時(shí)，柳智宇已經(jīng)申

請(qǐng)到了美國(guó)麻省理工學(xué)院全額獎(jiǎng)學(xué)金。但令人意外的事情發(fā)生了，柳

智宇并沒(méi)有選擇去美國(guó)留學(xué)，而是到龍泉市出家。一個(gè)數(shù)學(xué)天才，就

這樣遠(yuǎn)離了數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。這不僅是柳智宇個(gè)人的損失，也是中國(guó)高

科技人才的損失，更是需要中國(guó)文化和中國(guó)教育反思的一個(gè)現(xiàn)代版

《傷仲永》。同是頂級(jí)數(shù)學(xué)天才，一個(gè)獲得“數(shù)學(xué)諾貝爾”，一個(gè)卻

在北京當(dāng)和尚。

實(shí)事求是的講，像華為這樣的高科技創(chuàng)新企業(yè)在中國(guó)并不是很多.

在某種意義上說(shuō)，邏輯學(xué)研究的滯后，以及學(xué)校對(duì)大中小學(xué)生邏輯學(xué)

教育的不足，是我國(guó)原創(chuàng)性科學(xué)研究成果匱乏、企業(yè)創(chuàng)新能力不足的

根本原因之一.這不由得讓我們想起那著名的“李約瑟難題”和“錢(qián)

學(xué)森之問(wèn)”.

二、邏輯學(xué)與“錢(qián)學(xué)森之問(wèn)”

“李約瑟難題”，又稱(chēng)“李約瑟之謎”，由英國(guó)學(xué)者李約瑟(Joseph

Needham,1900T995)博士提出.1944年2月，李約瑟在重慶舉辦的

中國(guó)農(nóng)學(xué)會(huì)會(huì)議上做了題為《中國(guó)與西方的科學(xué)與農(nóng)業(yè)》的演講，在

演講中提到：“事實(shí)上作為一個(gè)整體的近代科學(xué)沒(méi)有發(fā)生在中國(guó)，它

發(fā)生在西方一一歐美，即歐洲文明的廣大范圍內(nèi)，這有什么原因呢？

我以為我們必須找出這個(gè)原因.”[1]1954年李約瑟在15卷《中國(guó)科學(xué)

111潘吉星.李約瑟文集[M]:遼寧科學(xué)技術(shù)出版社，1986:87.

7

技術(shù)史》中譯本第一章提出：“為什么現(xiàn)代科學(xué)，亦即經(jīng)得起全世界

的考驗(yàn)、并得到合理贊揚(yáng)的伽利略、哈維、凡薩里烏斯、牛頓的傳統(tǒng)

——這一傳統(tǒng)肯定會(huì)成為統(tǒng)一的世界大家庭理論基礎(chǔ)一一是在地中

海和大西洋沿岸發(fā)展起來(lái)，而不是在中國(guó)或亞洲其它任何地方得到發(fā)

展呢？⑴”這個(gè)問(wèn)題在1976年由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家肯尼思?博爾丁稱(chēng)之

為李約瑟難題.

“錢(qián)學(xué)森之問(wèn)”與“李約瑟難題”一脈相承，都是對(duì)中國(guó)原創(chuàng)性

科學(xué)發(fā)展相對(duì)落后的深切關(guān)懷.2005年7月29日，溫家寶總理在解

放軍總醫(yī)院探望錢(qián)學(xué)森時(shí)，溫總理談了未來(lái)十五年科技工作指導(dǎo)方

針，錢(qián)老說(shuō)：“我要補(bǔ)充一個(gè)教育問(wèn)題，培養(yǎng)具有創(chuàng)新能力的人才的

問(wèn)題”，“現(xiàn)在中國(guó)沒(méi)有完全發(fā)展起來(lái)，一個(gè)重要原因是沒(méi)有一所大

學(xué)能夠按照培養(yǎng)科學(xué)技術(shù)發(fā)明創(chuàng)造人才的模式去辦學(xué)，沒(méi)有自己獨(dú)特

的創(chuàng)新的東西，老是‘冒'不出杰出人才，這是很大的問(wèn)題”.病榻

上的錢(qián)學(xué)森坦誠(chéng)建言.“我們的教育還有些缺陷，”溫家寶坦率承認(rèn),

“全面培養(yǎng)人才，這個(gè)意見(jiàn)我將帶回去和有關(guān)部門(mén)研究.”⑵

a李約瑟.中國(guó)科學(xué)技術(shù)史（中文版）[M].北京：科學(xué)出版社，1975:43-44.

[2]李斌.親切的交談一一溫家寶探望季羨林、錢(qián)學(xué)森側(cè)記.人民日?qǐng)?bào)2005.7.31.

參見(jiàn)：李斌.溫家寶在京看望季羨林和錢(qián)學(xué)森并親切交談.中華人民共和國(guó)中央人民政府網(wǎng)站

http:〃www.gov.cn/ldhd/2005_07/31/content18454.htm

8

L

上圖為“錢(qián)學(xué)森之問(wèn)”提出的場(chǎng)景：2005年7月29日，中共中央政治局常委、國(guó)務(wù)院

總理溫家寶在北京親切看望我國(guó)杰出的科學(xué)家、航天科學(xué)的奠基人之一的錢(qián)學(xué)森先生.新華

社記者劉建生攝

這就是著名的“錢(qián)學(xué)森之問(wèn)”，是關(guān)于中國(guó)教育事業(yè)發(fā)展的一道

艱深命題，需要整個(gè)教育界乃至社會(huì)各界共同破解.

對(duì)“李約瑟難題”和“錢(qián)學(xué)森之問(wèn)”，不同領(lǐng)域的專(zhuān)家學(xué)者在不

同的角度進(jìn)行了回答，我們每個(gè)人也都會(huì)有自己的答案.對(duì)“李約瑟

難題”的各種解答中，尤其以愛(ài)因斯坦的回答流傳甚廣：“西方科學(xué)

的發(fā)展是以?xún)蓚€(gè)偉大成就為基礎(chǔ)，那就是：希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏

輯體系（在歐幾里德幾何中），以及通過(guò)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有可能找出

的因果關(guān)系（在文藝復(fù)興時(shí)期）”⑴.這是現(xiàn)代科學(xué)之所以在西方產(chǎn)生

而沒(méi)有在中國(guó)出現(xiàn)的兩大根本原因.愛(ài)因斯坦所說(shuō)的前者就是指演繹

能力，后者是指歸納能力.

中國(guó)古代在這兩方面處于缺失的狀態(tài)，所以，近現(xiàn)代科學(xué)不會(huì)在

中國(guó)產(chǎn)生.這種回答無(wú)論我們心理上是否能夠接受，我們?nèi)孕枰姓J(rèn),

[11《愛(ài)因斯坦文集》第一卷（M），許良英、范岱年編譯，北京：商務(wù)印書(shū)館，1976年版，第574頁(yè).

9

這確實(shí)是國(guó)人思維中的兩項(xiàng)軟肋：一是不善使用或不常使用形式邏輯

的思維方式，重結(jié)果、重權(quán)威、崇尚古人、不重邏輯推演形式.二是

不習(xí)慣于通過(guò)實(shí)驗(yàn)用數(shù)據(jù)找出事物之間的因果關(guān)系或相關(guān)關(guān)系，習(xí)慣

于陰陽(yáng)五行八卦定性思維.實(shí)際上，沒(méi)有邏輯學(xué)就沒(méi)有科學(xué)，邏輯思

維能力是科學(xué)家的基本素養(yǎng)，比較和分類(lèi)、歸納和演繹、分析和綜合、

證明和反駁，以及類(lèi)比、公理化等等都是科學(xué)家在理論應(yīng)用和創(chuàng)新中

常用的邏輯方法.

對(duì)此，楊振寧在《我的生平》中指出，“我很有幸能夠在兩個(gè)具

有不同文化背景的國(guó)度里學(xué)習(xí)和工作，我在中國(guó)學(xué)到了演繹能力（指

數(shù)學(xué)推理訓(xùn)練），我在美國(guó)學(xué)到了歸納能力”.

實(shí)際上，愛(ài)因斯坦回答的這兩個(gè)方面可以歸結(jié)為一個(gè)問(wèn)題：邏輯

思維.無(wú)論是形式邏輯還是通過(guò)實(shí)驗(yàn)探求因果關(guān)系（相關(guān)關(guān)系），都

是屬于邏輯學(xué)的研究范疇.因此，從教育的角度來(lái)看，為了培養(yǎng)新時(shí)

代的科技創(chuàng)新人才，中小學(xué)校應(yīng)該對(duì)學(xué)生傳授一點(diǎn)兒邏輯學(xué)基礎(chǔ)知

識(shí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行基本的邏輯推理能力訓(xùn)練.中小學(xué)生應(yīng)該主動(dòng)學(xué)習(xí)邏

輯學(xué)知識(shí)，鍛煉自己的邏輯推理能力，掌握一定的科學(xué)研究方法，為

把自己培養(yǎng)成為國(guó)家棟梁之才打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).只有這樣，中國(guó)才能

成為科學(xué)創(chuàng)新之國(guó)，中國(guó)才能成長(zhǎng)出來(lái)一大批擁有核心技術(shù)的世界一

流創(chuàng)新企業(yè).

三'邏輯學(xué)與科學(xué)研究方法

科學(xué)研究方法最早可以溯源到亞里斯多德（Aristotle,384年

BC—322年BC）的演繹推理（三段論），亞里士多德在哲學(xué)上最大的

貢獻(xiàn)在于創(chuàng)立了形式邏輯這一重要分支學(xué)科，為后來(lái)科學(xué)研究方法的

產(chǎn)生與發(fā)展提供了邏輯學(xué)基礎(chǔ).

10

上圖為文藝復(fù)興三杰之一、意大利著名畫(huà)家拉斐爾經(jīng)典名著《雅典學(xué)院》，現(xiàn)收藏于意

大利梵蒂岡博物館.該畫(huà)以古希臘哲學(xué)家柏拉圖舉辦雅典學(xué)院為題材，把代表著哲學(xué)、數(shù)學(xué)、

音樂(lè)、天文等不同學(xué)科領(lǐng)域的文化名人會(huì)聚一堂，以回憶歷史上的黃金時(shí)代.整幅畫(huà)氣勢(shì)恢

宏、場(chǎng)面宏大.畫(huà)中人物栩栩如生、活靈活現(xiàn).中心人物是古希臘哲學(xué)家柏拉圖和亞里士多德,

從他們一上一下對(duì)立的手勢(shì)，似乎表達(dá)著亞里士多德的一句經(jīng)典名言“吾愛(ài)吾師，吾更愛(ài)真

理”，明顯地表達(dá)了他們?cè)谒枷肷系脑瓌t分歧.

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德(Euclid,325年BC—265年BC)是第一

個(gè)將亞里士多德三段論演繹推理用于構(gòu)建實(shí)際知識(shí)體系的人.其傳世

之作《幾何原本》不僅在于建立了一種幾何學(xué)，而且在于首創(chuàng)了一種

科學(xué)方法，使幾何學(xué)成為一門(mén)獨(dú)立的、演繹的科學(xué).比起歐幾里德幾

何學(xué)中的幾何知識(shí)而言，它所蘊(yùn)含的方法論意義更為重大.這種方法

對(duì)后人產(chǎn)生的影響，甚至超過(guò)了幾何學(xué)本身，對(duì)于西方人的整個(gè)思維

方法都有極大的影響.

伽利略?伽利萊(GalileoGalilei,1564年—1642年)創(chuàng)物理

學(xué)實(shí)驗(yàn)先河，成功地把實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)論證相結(jié)合,開(kāi)始采用真正的物理

學(xué)實(shí)驗(yàn)方法，即“觀察一假設(shè)一檢驗(yàn)一演繹推理一更大范圍檢驗(yàn)”的

方法，來(lái)驗(yàn)證科學(xué)假設(shè).伽利略是這種科學(xué)研究方法的創(chuàng)立者和集大

成者，這也是今天自然科學(xué)的主要研究方法，具有里程碑的意義.后

11

來(lái)，這種以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的探求因果關(guān)系的科學(xué)研究方法又逐漸擴(kuò)展到

化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、教育學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域.

現(xiàn)代邏輯學(xué)中最早進(jìn)行因果關(guān)系研究的是英國(guó)邏輯學(xué)家大衛(wèi)?休

謨和約翰?穆勒.作為懷疑論哲學(xué)家的大衛(wèi)?休謨（DavidHume,1711

年一1776年）認(rèn)為，雖然我們能觀察到一件事物伴隨著另一件事物

而來(lái)，我們并不能觀察到兩件事物之間的關(guān)聯(lián)，因此我們無(wú)從得知事

物之間的因果關(guān)系.休謨提出了"經(jīng)常連結(jié)"（constantconjunction）

的概念，當(dāng)我們看到某件事物總是“造成”另一事物時(shí)，我們所看到

的其實(shí)是一件事物總是與另一件事物“經(jīng)常連結(jié)”.我們之所以把“經(jīng)

常連結(jié)”相信為因果關(guān)系并非因?yàn)檫@個(gè)因果關(guān)系是事物的本質(zhì)，而是

因?yàn)槲覀兯B(yǎng)成的心理習(xí)慣和人性所造成的.歸納思考的原則在于假

設(shè)我們過(guò)去的行動(dòng)可以做為未來(lái)行動(dòng)的可靠指導(dǎo)，這樣的思考在基本

上是先驗(yàn)的，我們不能以先驗(yàn)的知識(shí)證明未來(lái)就會(huì)和過(guò)去一致.這就

是歷史有名的“休謨問(wèn)題”，是對(duì)歸納結(jié)果合理性、可靠性的質(zhì)疑，

又稱(chēng)為“休謨質(zhì)疑”.“休謨問(wèn)題”的提出進(jìn)一步推動(dòng)了哲學(xué)上對(duì)歸

納推理和因果關(guān)系的研究.

世界上最偉大的邏輯學(xué)作品一一《邏輯體系：演繹與歸納》，是

英國(guó)哲學(xué)家、政治學(xué)家、心理學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家約翰?穆勒（JohnStuart

Mill,1806年一1873年，或譯約翰?斯圖爾特?密爾）的經(jīng)典之作，

全書(shū)共六卷，120萬(wàn)字.第一卷論概念與命題，第二卷論演繹推理，

第三卷論歸納推理，第四卷論歸納法的輔助推演方法，第五卷論謬誤,

第六卷論倫理科學(xué).該書(shū)出版于1843年，是一部帶總結(jié)性的歸納邏輯

學(xué)名著.約翰-穆勒在該書(shū)中討論歸納法的時(shí)候，提出了探求因果關(guān)

系的“求同法”、“求異法”、“共變法”和“剩余法”，后人又把

他討論過(guò)的“求同求異并用法”合稱(chēng)“穆勒五法”，使歸納邏輯形成

12

了完整的體系，把古典歸納邏輯推向高峰.約翰?穆勒還采用概率的

方法來(lái)研究因果關(guān)系.

現(xiàn)代科學(xué)研究方法除了形式邏輯和探求因果關(guān)系外，在“穆勒五

法”歸納推理的基礎(chǔ)上，大量引入統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)研究方法，對(duì)因果關(guān)

系或相關(guān)關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷和多元?dú)w因分析.費(fèi)希爾（Fisher）提出方

差分析和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)三原則（對(duì)照、重復(fù)、隨機(jī)）.華人生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家

李景均（1912—2003）于50年代在世界上第一個(gè)提出隨機(jī)雙盲對(duì)照

實(shí)驗(yàn).科克倫（ArchiebaldL.Cochrane,1909—1988）在二戰(zhàn)后提出了

循證醫(yī)學(xué)研究方法.現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展到循證研究（Evidence-Based

Practise）和元分析（Meta-Analysis,即分析的分析）階段.

現(xiàn)代科學(xué)研究方法是建立在邏輯學(xué)基礎(chǔ)之上的，抑或本身就是邏

輯學(xué)的研究方法，主要是圍繞邏輯學(xué)和運(yùn)用實(shí)驗(yàn)探求因果關(guān)系的方法

展開(kāi)的，離不開(kāi)邏輯學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí).隨著定量分析的引入，邏輯學(xué)與

數(shù)學(xué)相結(jié)合，演繹與歸納相結(jié)合，理論研究與實(shí)證研究相結(jié)合，現(xiàn)代

科學(xué)研究方法開(kāi)始真正發(fā)展成熟起來(lái).統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展又進(jìn)一步推動(dòng)了

邏輯學(xué)因果關(guān)系（或相關(guān)關(guān)系）的研究，完善了科學(xué)研究方法.

科學(xué)研究方法雖然是一個(gè)舶來(lái)品，但實(shí)際上，科學(xué)研究方法距離

我們并不遙遠(yuǎn)，它不僅是高等學(xué)校、科研院所專(zhuān)業(yè)人員研究用的方法,

也是我們大中小學(xué)校學(xué)生探究問(wèn)題的一種學(xué)習(xí)方法，甚至是在我們?nèi)?/p>

常生活中都能用得上一種處理問(wèn)題的思維方法.遺憾的是，對(duì)于科學(xué)

研究方法類(lèi)的知識(shí)，或者說(shuō)是關(guān)于思維方法的知識(shí)，我們中小學(xué)校對(duì)

學(xué)生的相關(guān)引導(dǎo)相對(duì)較少，在我國(guó)中小學(xué)課程教學(xué)中也一直缺乏這種

邏輯學(xué)科學(xué)思維方法的訓(xùn)練.

在某種意義上說(shuō)，我們對(duì)邏輯學(xué)研究也沒(méi)有引起足夠重視.世界

上最偉大的邏輯學(xué)作品，約翰?穆勒的經(jīng)典之作一一《邏輯體系：演

13

繹與歸納》，1903年由嚴(yán)復(fù)翻譯，金粟齋木刻出版了前2卷半，書(shū)

名為《穆勒名學(xué)》.直到2014年，郭武軍、楊航翻譯了新的版本，上

海交大出版社出版了前兩卷.中國(guó)目前只有這兩個(gè)版本，沒(méi)有中文全

譯本的《邏輯體系》一書(shū).邏輯學(xué)中最重要的邏輯歸納法一一穆勒五

法也找不到權(quán)威的原文翻譯.這不得不令人感到遺憾，也說(shuō)明我們對(duì)

邏輯學(xué)研究重視不夠.

自2001年以來(lái)，雖然中小學(xué)新課程改革一直倡導(dǎo)“自主、合作、

探究”，但對(duì)于如何進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，大多數(shù)中小學(xué)教師說(shuō)不清.如

果教師自己都沒(méi)有受過(guò)探究性學(xué)習(xí)（科學(xué)研究方法）的專(zhuān)門(mén)訓(xùn)練，又

怎么可能指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)呢？

科學(xué)研究方法，是科學(xué)的思維方法，也是科學(xué)的生活方法.掌握

了科學(xué)研究方法，能使我們的專(zhuān)業(yè)性研究少走彎路，能使我們的日常

生活少受江湖騙術(shù)的蒙蔽，能使我們的學(xué)習(xí)（思維）方法更加科學(xué)，

能使我們面對(duì)各種實(shí)際困難作出的決策更加合理，能使我們抓住事物

主要矛盾，看清事物的內(nèi)在邏輯真相，采取有效措施甚至獨(dú)辟蹊徑解

決問(wèn)題.因此確有必要學(xué)習(xí)邏輯學(xué)，學(xué)習(xí)科學(xué)研究方法.

四、邏輯學(xué)與學(xué)校教育

根據(jù)聯(lián)合國(guó)教科文組織（1974年）的學(xué)科分類(lèi)，基礎(chǔ)學(xué)科包括:

數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、天文學(xué)和天體物理學(xué)、地理科學(xué)和空間科學(xué)、物理學(xué)、

化學(xué)、生命科學(xué)。把邏輯學(xué)排在了第二位，其重要性?xún)H次于數(shù)學(xué)。在

智力測(cè)驗(yàn)、GRE、GMAT等國(guó)際性大學(xué)招生考試中，歐美等西方國(guó)家常

將進(jìn)行邏輯思維能力訓(xùn)練時(shí)七個(gè)方面的測(cè)試內(nèi)容，即數(shù)學(xué)運(yùn)算、概念

與定義判斷、邏輯判斷與推理、言語(yǔ)理解與表達(dá)、數(shù)字推理、類(lèi)比推

理和圖形推理，作為重要的考試內(nèi)容。國(guó)內(nèi)的一些國(guó)際學(xué)校入學(xué)筆試,

14

對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生，側(cè)重考察學(xué)生的英語(yǔ)能力和綜合能力，例如德威

國(guó)際學(xué)校，對(duì)于6年級(jí)的學(xué)生，會(huì)安排3小時(shí)的上機(jī)考試，包括英

語(yǔ)、數(shù)學(xué)和邏輯。

實(shí)際上，不但數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)研究離不開(kāi)邏輯學(xué)，物理、化學(xué)、生物

等基礎(chǔ)學(xué)科以及在此基礎(chǔ)之上的所有自然科學(xué)的學(xué)習(xí)研究都離不開(kāi)

邏輯學(xué)，社會(huì)科學(xué)的研究方法也離不開(kāi)邏輯學(xué)?？梢院敛豢鋸埖卣f(shuō)，

有沒(méi)有接受過(guò)邏輯學(xué)訓(xùn)練，對(duì)于大中小學(xué)生學(xué)習(xí)自然科學(xué)知識(shí)影響很

大，對(duì)于科研工作者搞科學(xué)研究影響更大。

在科學(xué)假設(shè)提出的過(guò)程中離不開(kāi)觀察、演繹與歸納推理，沒(méi)有演

繹與歸納就很難產(chǎn)生符合邏輯的問(wèn)題假設(shè)。那么，如何提出符合邏輯

的問(wèn)題假設(shè)？現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)（實(shí)證experiment）研究方法為什么要采用

統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，背后的邏輯基礎(chǔ)是什么？中國(guó)為什么培養(yǎng)不出來(lái)世界一

流的科學(xué)家（即錢(qián)學(xué)森之問(wèn)）？現(xiàn)代中國(guó)的原創(chuàng)性發(fā)明創(chuàng)造為什么相

對(duì)匱乏？中國(guó)中小學(xué)教學(xué)模式是否有利于學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)？中小

學(xué)校理化生學(xué)科教學(xué)中動(dòng)手實(shí)驗(yàn)課程是否重要？這些問(wèn)題都牽涉到

思維方式問(wèn)題，而馬克思主義哲學(xué)教材一開(kāi)始就告訴我們：哲學(xué)是關(guān)

于人類(lèi)思維的科學(xué)，是指導(dǎo)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)研究方法的科學(xué)。

因此從哲學(xué)層面，簡(jiǎn)單回顧一下歸納和演繹思維方式的發(fā)展歷

史，有助于我們理解現(xiàn)代科學(xué)研究方法的哲學(xué)思維基礎(chǔ)。無(wú)論我們承

認(rèn)不承認(rèn)，歸納和演繹，在現(xiàn)代科學(xué)研究中是必須具備的思維品質(zhì)。

無(wú)論我們承認(rèn)不承認(rèn)，在我們每一個(gè)人的日常生活中，我們都在有意

無(wú)意地使用歸納和演繹推理。只不過(guò)歸納法是一種非常容易得出錯(cuò)誤

結(jié)論的思維方法，如何保證歸納思維的科學(xué)性、正確性、合理性，我

們非常有必要了解一下西方哲學(xué)發(fā)展過(guò)程中諸多流派的哲學(xué)家對(duì)這

15

一問(wèn)題的長(zhǎng)期的經(jīng)久不衰的討論，這對(duì)于我們教育研究或是日常生活

都是非常有益的。因此，真正的教育工作者非常有必要學(xué)習(xí)和推廣邏

輯學(xué)，培養(yǎng)邏輯思維方法。

16

第二章邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系

邏輯推理能力是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)六大核心素養(yǎng)之一，也是三

大基本數(shù)學(xué)思想之一，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推

理能力，不但是貫徹中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的需要，也是保證學(xué)生能夠深刻

理解數(shù)學(xué)論證方法本質(zhì)的需要.學(xué)好邏輯推理能力，有利于學(xué)生加深

對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用，也有利于提高學(xué)業(yè)考試成績(jī).就目前的現(xiàn)狀來(lái)

看，大部分中小學(xué)校沒(méi)有重視培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，甚至部分中

小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)邏輯學(xué)也沒(méi)有基本的認(rèn)識(shí)，這對(duì)我們目前的中小學(xué)數(shù)

學(xué)教學(xué)是不利的.因此，確有必要在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中普及邏輯學(xué)基

礎(chǔ)知識(shí).

一'歷史上著名的邏輯學(xué)家兼為數(shù)學(xué)家

邏輯學(xué)作為人們進(jìn)行思維所必須運(yùn)用的思維工具，是任何學(xué)

科都離不開(kāi)的，它對(duì)提高人們的思維能力具有重要意義.從邏輯學(xué)

與數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史來(lái)看：邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)的思維工具，邏輯學(xué)的發(fā)展也

離不開(kāi)數(shù)學(xué)的支撐.比如，演繹推理的最典型、最重要的應(yīng)用，通常

存在于邏輯和數(shù)學(xué)證明中.亞里士多德(Aristotle,384年BC—322

年BC)把他的邏輯發(fā)現(xiàn)運(yùn)用到科學(xué)理論上來(lái)，作為例證，他選擇了

數(shù)學(xué)學(xué)科，特別是幾何學(xué).

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德(Euclid,325年BC—265年BC)的經(jīng)典

名著《幾何學(xué)原理》，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)推理的典范，甚至是開(kāi)源.它的演繹

推理是基于公理、定義和符號(hào)的,按照規(guī)定的法則進(jìn)行命題的證明或

者公式的推導(dǎo).從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō),計(jì)算也是一種演繹的推理，因?yàn)橛?jì)

17

算也是對(duì)符號(hào)在規(guī)定的法則下進(jìn)行的一種推理.⑴歐幾里得《幾何學(xué)

原理》與其說(shuō)是幾何學(xué)經(jīng)典，倒不如說(shuō)是邏輯學(xué)經(jīng)典.事實(shí)上，歐幾

里德本人對(duì)幾何學(xué)的實(shí)際應(yīng)用并不關(guān)心，他關(guān)心的是他的幾何體系內(nèi)

在邏輯的嚴(yán)密性，作者本人也公開(kāi)宣稱(chēng)更關(guān)心的是幾何體系內(nèi)在邏輯

的嚴(yán)密性.

英國(guó)物理學(xué)家艾薩克?牛頓(IsaacNewton,1643年一1727年)

1687年首次出版了他的物理學(xué)哲學(xué)著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》.在

該書(shū)序言里，牛頓開(kāi)宗明義地宣稱(chēng)：“因此我在這本書(shū)中，也致力于

用數(shù)學(xué)來(lái)探討有關(guān)的哲學(xué)問(wèn)題”.在這本書(shū)第一卷“論物體的運(yùn)動(dòng)”

里，牛頓闡述了物體運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)理論，并嚴(yán)密地證明了在各種不同條

件的引力作用下物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.也是在這部分，牛頓第一次正式公

布了他發(fā)明的微積分.牛頓用了若干個(gè)輔助定理說(shuō)明極限的意義，導(dǎo)

出微積分方法(即流數(shù)術(shù)和反流數(shù)術(shù)).

英國(guó)哲學(xué)家大衛(wèi)?休謨(DavidHume,1711—1776)在1739年

出版的《人性論》第一卷第三部分"ofknowledgeandprobability”

中闡述了休謨哲學(xué)的概率思想，對(duì)概率問(wèn)題的思考在他的整個(gè)哲學(xué)思

想中扮演著十分重要的角色。他說(shuō)：“如果一個(gè)骰子，四面有相同的

形象或點(diǎn)數(shù)，另兩面有另一種相同的形象或點(diǎn)數(shù)，則前者翻起的可然

性要比后者大”⑵。他通過(guò)對(duì)“已知”范圍內(nèi)的界定和對(duì)因果關(guān)系的

梳理，將概率分為機(jī)會(huì)(chance)概率和原因(cause)概率，并認(rèn)

為對(duì)機(jī)會(huì)概率的研究是為了引出對(duì)原因概率的探討.⑶

1848年，英國(guó)數(shù)學(xué)家及邏輯學(xué)家喬治?布爾(GeorgeBoole,

1815-1864)出版了《邏輯的數(shù)學(xué)分析，論演繹推理的演算法》.1854

年，他又出版了《思維規(guī)律的研究——邏輯與概率的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)》.

111史寧中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考.數(shù)學(xué)通報(bào).2007(5).

121人類(lèi)理解研究.休謨著.關(guān)文運(yùn)譯.北京：商務(wù)印書(shū)館.1972().

⑶雷婿博.休謨哲學(xué)的概率思想研究加］.上海師范大學(xué)2014年碩士學(xué)位論文

18

布爾以這兩部著作建立了一門(mén)新的數(shù)學(xué)學(xué)科一一布爾代數(shù)(Boolean

algebra).布爾強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)不是探究對(duì)象的內(nèi)容，而是研究其形

式，因而數(shù)學(xué)不必限于討論數(shù)和連續(xù)量的問(wèn)題，可由符號(hào)表示的一切

事物都可納入數(shù)學(xué)領(lǐng)域.在布爾代數(shù)里，布爾構(gòu)思出一個(gè)關(guān)于0和1

的代數(shù)系統(tǒng)，用基礎(chǔ)的邏輯符號(hào)系統(tǒng)描述物體和概念.這種代數(shù)不僅

廣泛用于概率和統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域，更重要的是，它為以后數(shù)字計(jì)算機(jī)開(kāi)關(guān)

電路的設(shè)計(jì)提供了最重要的邏輯方法和數(shù)學(xué)方法.

阿蘭?麥席森?圖靈(AlanMathisonTuring,1912—1954),

英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家，被稱(chēng)為計(jì)算機(jī)科學(xué)之父、人工智能之

父，是計(jì)算機(jī)邏輯的奠基者，提出了“圖靈機(jī)”和“圖靈測(cè)試”等重

要概念.說(shuō)起阿蘭?圖靈這個(gè)人，在數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)方面的研究成果是

開(kāi)創(chuàng)性的，可以說(shuō)，沒(méi)有他的“圖靈機(jī)”和“圖靈測(cè)試”理論，是不

可能出現(xiàn)后來(lái)的計(jì)算機(jī)技術(shù)的.1936年，阿蘭?圖靈發(fā)表《論數(shù)字計(jì)

算在決斷難題中的應(yīng)用》.1943T945年曾協(xié)助英國(guó)軍方破解德國(guó)的

著名密碼系統(tǒng)“謎”(Enigma),幫助盟軍取得了二戰(zhàn)的勝利.1950年,

他提出關(guān)于機(jī)器思維的問(wèn)題，發(fā)表論文“計(jì)算機(jī)和智能(Computing

machineryandintelligence)v,引起了廣泛的注意和深遠(yuǎn)的影響.

同年，發(fā)表了另一篇論文''機(jī)器能思考嗎”，其中提出了一種用于判

定機(jī)器是否具有智能的試驗(yàn)方法，即圖靈試驗(yàn).后人為紀(jì)念其在計(jì)算

機(jī)領(lǐng)域的卓越貢獻(xiàn)而設(shè)立“圖靈獎(jiǎng)”.

二、邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系

邏輯(Logic)是人的一種抽象思維，是人通過(guò)概念、判斷、推

理、論證來(lái)理解和區(qū)分客觀世界的思維過(guò)程.

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Logic最早被清末的嚴(yán)復(fù)翻譯成中文“邏輯”，主要是音譯，后

由中國(guó)傳入日本，但在日語(yǔ)中則注明只是對(duì)Logic的注音，Logic在

日語(yǔ)中的正式漢語(yǔ)翻譯詞為“論理”.

邏輯學(xué)是研究思維的學(xué)科.所有思維都有內(nèi)容和形式兩個(gè)方面.

思維內(nèi)容是指思維所反映的對(duì)象及其屬性；思維形式是指用以反映對(duì)

象及其屬性的不同方式，即表達(dá)思維內(nèi)容的不同方式.從邏輯學(xué)角度

看，抽象思維的三種基本形式是概念，命題和推理.⑴

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué).數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世

界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，

理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.⑵

黑格爾說(shuō)：“一切科學(xué)都是應(yīng)用邏輯.”列寧說(shuō)：“任何科學(xué)都

是應(yīng)用邏輯，數(shù)學(xué)更是這樣，從它產(chǎn)生的年代起，數(shù)學(xué)與邏輯知識(shí)就

是不可分的.”⑶

邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)各有獨(dú)立的研究對(duì)象和研究方法，但二者之間存在

著密切的關(guān)系：

1.邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)發(fā)展互相促進(jìn)、互為工具

一方面，邏輯學(xué)為數(shù)學(xué)發(fā)展提供了基礎(chǔ)性思維工具.

從邏輯學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展所起的作用來(lái)看：邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)演繹證明與

回顧性總結(jié)（歸納）的主要工具；邏輯學(xué)是統(tǒng)一數(shù)學(xué)客觀性和主觀性

的主要方法；邏輯學(xué)是探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新問(wèn)題的手段之一.⑷

由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性特征，數(shù)學(xué)中每個(gè)公式、定理的正確

性無(wú)法由具體實(shí)驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)直接證明，必須從邏輯上加以嚴(yán)格推理才

111邏輯學(xué)基礎(chǔ)教程.彭漪漣.華東師范大學(xué)出版社.1999.

⑶普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）.人民教育出版社.2020（1）.

B1列寧全集[M].北京:人民出版社，1984.216.

⑷孫明符等.數(shù)學(xué)?邏輯與教育[M],高等教育出版社，1994.

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能被確認(rèn).⑴由于邏輯推理的規(guī)則是普遍有效的，在數(shù)學(xué)中運(yùn)用邏輯

推理能夠保證數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性，這樣就避免了僅僅依靠幾個(gè)特殊例

子來(lái)證明數(shù)學(xué)定理，保證了數(shù)學(xué)定理證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和普適性.在推理

過(guò)程中，歸納推理有利于在數(shù)學(xué)研究中提出新的假設(shè)或猜想，而演繹

推理可以進(jìn)一步證明這些假設(shè)或猜想的正確性，證明具有創(chuàng)造性的新

理論.因此，數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴(lài)于邏輯學(xué)工具在數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用.運(yùn)用

邏輯的規(guī)則和方法是數(shù)學(xué)顯著的特點(diǎn)，體現(xiàn)出它結(jié)論的確定性和邏

輯的嚴(yán)謹(jǐn)性.在已經(jīng)修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版2020

年修訂）提出了6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、

直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.⑵其中一個(gè)是邏輯推理.如果離開(kāi)了

邏輯學(xué)，數(shù)學(xué)將成為一些經(jīng)驗(yàn)材料的堆砌，也不可能成為一門(mén)科學(xué)⑶

邏輯學(xué)的發(fā)展突破常常能給數(shù)學(xué)發(fā)展提供新的思考點(diǎn)，甚至可以

開(kāi)辟一個(gè)新的研究領(lǐng)域.例如大衛(wèi)?休謨?cè)谫|(zhì)疑“歸納問(wèn)題”的同時(shí),

提出了運(yùn)用概率研究“歸納問(wèn)題”的思想萌芽，這為以后概率論的研

究，并將概率論應(yīng)用于其他學(xué)科研究（比如數(shù)理邏輯學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社

會(huì)學(xué)、教育學(xué)等）開(kāi)辟了一個(gè)新的領(lǐng)域.

另一方面，數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具,還是表達(dá)和交流的語(yǔ)

言⑷.數(shù)學(xué)發(fā)展的新問(wèn)題、新領(lǐng)域、新成果又反過(guò)來(lái)為邏輯學(xué)的研究

提供了新思路、新工具和新手段.

數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中出現(xiàn)的新問(wèn)題，會(huì)對(duì)邏輯學(xué)提出新的要求和挑

戰(zhàn)，進(jìn)而推動(dòng)邏輯學(xué)研究的進(jìn)步.數(shù)學(xué)發(fā)展開(kāi)辟的新領(lǐng)域，也為邏輯

學(xué)研究提供了新的思路、工具和手段，豐富和發(fā)展了邏輯學(xué)理論.例

如，數(shù)學(xué)上統(tǒng)計(jì)推斷的研究反過(guò)來(lái)又進(jìn)一步豐富和完善了邏輯學(xué)的歸

閨鄭麗娟.中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯知識(shí)教學(xué)的調(diào)查研究[M].華東師范大學(xué)2007年碩士研究生學(xué)位論文.

121普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）.人民教育出版社.2020（4）.

⑶李景琴，《邏輯與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系》，赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2006年第3期.

141普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）.人民教育出版社.2020（1）.

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納推理或然性問(wèn)題.數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)的結(jié)合，產(chǎn)生了新的交叉學(xué)科-

數(shù)理邏輯學(xué).

2.邏輯思維能力是數(shù)學(xué)思維能力的核心

什么是數(shù)學(xué)思維能力呢？用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、方法和角度思考問(wèn)題和

解決問(wèn)題的能力總稱(chēng)為數(shù)學(xué)思維能力，其核心是邏輯思維能力.

數(shù)學(xué)思維包括下面四層思維能力：

第一層：比較、猜想、轉(zhuǎn)化、歸類(lèi)，分析和綜合.

這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思維能力，應(yīng)用范圍極為廣泛，貫穿整個(gè)數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)的始終.比較是找出事物之間的差異；猜想是建立在數(shù)字、圖

形或一定符號(hào)思維基礎(chǔ)之上的一種基于現(xiàn)有認(rèn)識(shí)水平的合理假設(shè)，假

設(shè)是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要步驟；轉(zhuǎn)化是將某類(lèi)不易解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在現(xiàn)

有認(rèn)識(shí)水平下容易解決的問(wèn)題，或者是換一種思維方法考慮問(wèn)題；歸

類(lèi)是根據(jù)事物的主要特征，進(jìn)行抽象分類(lèi).分類(lèi)的目的是為了加深理

解某類(lèi)事物的一般特征；分析是指從條件出發(fā)，一步步得出結(jié)果的思

維過(guò)程；綜合是指從要解決的問(wèn)題出發(fā)，往后倒推，看需要滿(mǎn)足什么

條件，再一步步推導(dǎo)到已知的思考過(guò)程.綜合往往含有逆向思維過(guò)程.

第二層：特殊到一般、一般到特殊、抽象化、模型化、概括化.

這是比第一層級(jí)更高一點(diǎn)的思維能力，也是第三層級(jí)的簡(jiǎn)化，實(shí)

際上也是認(rèn)知的一般規(guī)律.先從特殊的事物，概括出一般屬性，或抽

象提煉為一般性的模型，得出一般的特征.再?gòu)囊话阈詫傩曰蛱卣鞒?/p>

發(fā)，推理出特殊事物應(yīng)具有的一般性特征.也可以從一般的特性中去

尋找一些特殊性，進(jìn)而全面地認(rèn)知事物.

第三層：歸納推理、演繹推理和類(lèi)比推理.

這個(gè)層級(jí)是數(shù)學(xué)的邏輯思維層面，也是建立在前兩個(gè)層級(jí)之上的

核心數(shù)學(xué)思維能力.到了這個(gè)層級(jí)，邏輯推理能力是思維的基礎(chǔ).

22

亞里斯多德提出的三段論思維方法，就是典型的演繹推理：大前

提+小前提推導(dǎo)出結(jié)論.也可以理解為理由+理由推導(dǎo)出結(jié)論.學(xué)生做

作業(yè)的過(guò)程，大多是一種數(shù)學(xué)課本上的一般原理、公理（大前提）在

特殊情境（小前提）下的應(yīng)用過(guò)程，是一種演繹推理過(guò)程.

歸納推理就是：A1是B,A2是B,A3是B……，所以所有A都是

B.歸納推理主要是在認(rèn)真觀察事物特性的基礎(chǔ)上，提出一個(gè)假設(shè)猜想

并進(jìn)行驗(yàn)證的過(guò)程.科學(xué)研究和學(xué)生探究性學(xué)習(xí)大多是運(yùn)用歸納推理

的思維過(guò)程.

類(lèi)比推理是指將兩個(gè)或兩類(lèi)具有相同屬性的事物進(jìn)行對(duì)比，找出

其他屬性可能相同的部分.類(lèi)比推理的方法屬于邏輯思維分析的一

種，其推理結(jié)果的可靠性較低，但比較適合小學(xué)生的心理年齡特點(diǎn).

他們從總體來(lái)說(shuō)是以直覺(jué)感受為主的思維方法思考問(wèn)題，其邏輯思維

能力較弱，數(shù)學(xué)老師可以讓小學(xué)生學(xué)習(xí)以形象思維方式為主的簡(jiǎn)單類(lèi)

比推理的.小學(xué)生學(xué)好類(lèi)比推理的形象思維方式，能使其邏輯思維能

力和抽象思維能力都得到培養(yǎng)，綜合應(yīng)用能力也能得到提高.

第四層：合乎邏輯的闡述思想和觀點(diǎn)，總結(jié)出事物的一般性規(guī)律

并應(yīng)用于實(shí)踐.

到了這一層，就到了數(shù)學(xué)思維的最終目的和最高要求，能夠把數(shù)

學(xué)思維用自己的觀點(diǎn)清晰地表達(dá)出來(lái)，能歸納出事物的一般性、本質(zhì)

性規(guī)律，并能遷移到其他實(shí)際場(chǎng)景中解決具體問(wèn)題.

綜上所述，邏輯思維能力是數(shù)學(xué)思維能力的核心.邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)

密切相關(guān)，二者之間互相影響，互相促進(jìn)，互為工具.

三、邏輯學(xué)與中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

有人說(shuō)：得語(yǔ)文者得天下，語(yǔ)文才是拉分王.教育部部編本中小

學(xué)語(yǔ)文教科書(shū)總編溫儒敏在2017年說(shuō)：“高考語(yǔ)文每年有15%的學(xué)

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生做不完卷子，有15%做不完也正?！?其實(shí)不但是語(yǔ)文，如果我們

看看數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的高考試卷和中招試卷，做不完的何止有15%?

數(shù)理化考不好的學(xué)生，在中招時(shí)已經(jīng)被提前淘汰了，中招考試總成績(jī)

達(dá)不到普通高中錄取分?jǐn)?shù)線，就沒(méi)有上普通高中的機(jī)會(huì)，只能到中等

職業(yè)學(xué)校接受技能培訓(xùn)，以后接受高等教育的機(jī)會(huì)相對(duì)來(lái)說(shuō)是比較少

的.在普通高中學(xué)校，數(shù)理化成績(jī)好的，在高中學(xué)理科；數(shù)理化成績(jī)

一般的或者比較差的，在高中學(xué)文科.2020年河南省高考本科一批文

理科招生比例1:5.15,文科生被985、2n高校錄取的比例和概率輸

于理科生一大截.一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)成績(jī)好的學(xué)生，理化生成績(jī)（尤其

是物理成績(jī)）也相對(duì)較好，數(shù)學(xué)成績(jī)差的學(xué)生，理化生成績(jī)也會(huì)大概

率較差.這不是說(shuō)在學(xué)習(xí)理化生的過(guò)程中有大量數(shù)學(xué)運(yùn)算，而是數(shù)學(xué)

思維方式尤其是數(shù)學(xué)中的邏輯思維方式（邏輯推理能力）是通用的思

維方式，對(duì)于學(xué)習(xí)物理、化學(xué)、生物起著引導(dǎo)思維方向作用.拋開(kāi)別

的暫且不說(shuō)，如果單純從對(duì)考試總成績(jī)排名的影響來(lái)看，語(yǔ)文確實(shí)重

要，但數(shù)學(xué)更重要.在某種意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)才是真正的拉分王，對(duì)

學(xué)生未來(lái)能否贏得高一級(jí)學(xué)校學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)影響更大.

那么，中小學(xué)生怎么提高數(shù)學(xué)成績(jī)呢？有意識(shí)地培養(yǎng)和強(qiáng)化邏輯

推理能力是提高數(shù)學(xué)成績(jī)的途徑之一.

從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)思維的方法，是教人嚴(yán)密思維的科

學(xué).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練，邏輯思維能力是數(shù)學(xué)思維能力

的核心，更是個(gè)體創(chuàng)造力的基礎(chǔ)⑴，邏輯學(xué)知識(shí)在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中

具有舉足輕重的地位和作用.

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求學(xué)生能體會(huì)通過(guò)合情推理探索

數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過(guò)程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，

卬林崇德.教育與發(fā)展-----創(chuàng)新人才的心理學(xué)整合研究卬］.北京大學(xué)出版社，2004年12月第2版

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發(fā)展合情推理與演繹推理的能力.能獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想

和思維方式⑴.邏輯推理能力是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的六大數(shù)學(xué)核心素

養(yǎng)之一，也是高考評(píng)價(jià)的重要考試內(nèi)容.邏輯推理能力的培養(yǎng)，是數(shù)

學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，它有利于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí).