試題PAGE1試題2024北京順義一中高一（下）期中數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題（每小題4分，共40分，四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B. C. D.2.在平面直角坐標(biāo)系中，，則向量（）A. B. C. D.3.下列函數(shù)中，最小正周期為且是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.4.在中，，那么等于（）A. B. C. D.5.在，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，則（）A.的最小值為0B.的最小正周期為C.將向右平移個(gè)單位所得圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增9.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，面積為，若，，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形10.已知點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P都在單位圓上，且，則的最大值是（）A. B.3 C.1 D.2二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.已知向量，.若，則______；若，則______.12.復(fù)數(shù)的模等于______；虛部等于______.13.已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置，如圖所示.則______.14.已知圓柱的底面半徑為3，體積為的球與該圓柱的上、下底面相切，則球的半徑為_(kāi)_____，圓柱的體積為_(kāi)_____．15.如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水（未滿），將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四種說(shuō)法：①水的部分始終呈棱柱狀；②棱始終與水面平行；③水面四邊形的面積不改變；④當(dāng)，且時(shí)，是定值.其中所有正確的命題的序號(hào)是______.（請(qǐng)?jiān)跈M線上寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào)，錯(cuò)選不得分）三、解答題（共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）16.已知向量．（1）求；（2）求與夾角的大小；（3）求．17.如圖，四棱錐中，底面為矩形，與平面垂直，E為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，，求四棱錐的體積.18.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，求m的取值范圍.19.如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，設(shè)平面與平面的交線為m，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：.20.①；②；③向量與平行，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面題干中，然后解答問(wèn)題.已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足______.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）（1）求角；（2）若，求面積的最大值.21.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，（1）若，①求；②若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；（2）若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．

參考答案一、選擇題（每小題4分，共40分，四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以.故選：D.2.【答案】B【分析】利用起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)求向量坐標(biāo).【詳解】依題意，，.故選：B3.【答案】A【分析】借助三角函數(shù)得周期性與對(duì)稱性逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對(duì)A：，又是偶函數(shù)，故A正確；對(duì)B：為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A.4.【答案】C【分析】利用正弦定理求得.【詳解】由正弦定理得.故選：C5.【答案】C【分析】先考慮充分性，再考慮必要性得解.【詳解】當(dāng)，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，所以，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，所以，所以“”是“”的必要條件.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件必要條件的判斷，考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6.【答案】C【分析】由題意結(jié)合函數(shù)圖象平移的規(guī)律及誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】由題意.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象變換與誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7.【答案】D【分析】由兩點(diǎn)間的距離公式求出，再由余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)镺為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所以，，，所以.故選：D.8.【答案】C【分析】借助輔助角公式、三角函數(shù)的值域、周期、三角函數(shù)的平移變換與單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對(duì)A：，故的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：將向右平移個(gè)單位可得，由的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；對(duì)D：當(dāng)，有，由在上不具單調(diào)性，故函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)遞增的，故D錯(cuò)誤.故選：C.9.【答案】A【分析】分別從兩個(gè)條件計(jì)算出的正切值，再計(jì)算出各個(gè)角的角度，即可判斷三角形的形狀.【詳解】由及正弦定理知，故.由，知.從而，，這說(shuō)明是等腰三角形，不是直角三角形，不是正三角形，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.10.【答案】A【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，得，，將化為，根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，，則，因?yàn)椋裕吹淖畲笾凳?

故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)的中點(diǎn)為，將化為，是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】①.②.【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示結(jié)合垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可知，若，則；若，則.故答案為：，12.【答案】①.②.【分析】直接求出復(fù)數(shù)的模和虛部即可.【詳解】由題意知：，復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：；.13.【答案】6【分析】將，，平移至同一個(gè)起點(diǎn)并構(gòu)建直角坐標(biāo)系，令單元格長(zhǎng)度為1，標(biāo)出相關(guān)向量的坐標(biāo)，再應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求.【詳解】將，，平移至同一個(gè)起點(diǎn)位置，如下圖點(diǎn)位置，并構(gòu)建直角坐標(biāo)系，若每個(gè)單元格長(zhǎng)度為1，又，則，，所以.故答案為：6.14.【答案】①.2②.【分析】根據(jù)球的體積公式求出球的半徑，根據(jù)相切得圓柱的高，根據(jù)圓柱的體積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，得，則圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故答案為：；.15.【答案】①②④【分析】從棱柱的特征平面可判斷①；由，水面，水面，可判斷②；由水面四邊形的面積是改變的可判斷③；由體積是定值，高為定值，則底面積為定值，可判斷④.【詳解】根據(jù)面面平行性質(zhì)定理，可得BC固定時(shí)，在傾斜的過(guò)程中，始終有，且平面平面，故水的形狀成棱柱狀，沒(méi)水的部分也始終成棱柱狀，故①正確；因?yàn)槠矫?，平面，則，且，則，即為矩形，又因?yàn)樗嫠谒倪呅蔚拿娣e，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，邊長(zhǎng)不變，而另外一條長(zhǎng)隨著傾斜程度變化而變化，所以所在四邊形的面積是變化的，故③錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，水面，所以水面正確，故②正確；若，，由于水的形狀成棱柱，且水的體積是定值，高不變，所以底面面積不變，又在矩形中，四邊形的面積為是定值，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以是定值，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)的線面平行的證明方法有：（1）通過(guò)面面平行得到線面平行；（2）通過(guò)線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質(zhì).三、解答題（共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）16.【答案】（1）5，（2），（3）5【分析】（1）直接利用坐標(biāo)求解即可；（2）利用向量的夾角公式求解；（3）先求出的坐標(biāo)，再求其?！驹斀狻拷猓海?）因?yàn)?，所以，?）設(shè)與夾角為，則，因?yàn)?，所以，所以與夾角的大小為，（3）因?yàn)?，所以，所?7.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)得線線平行，再證線面平行即可；（2）利用棱錐的體積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】連接交于F，由底面為矩形可知F為中點(diǎn)，又E為的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】由，，，及棱錐體積公式可知：.18.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用二倍角公式、差角公式及輔助角公式先化簡(jiǎn)函數(shù)，直接代入計(jì)算函數(shù)值即可；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可；（3）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】令，解之得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問(wèn)3詳解】由，結(jié)合題意可知，即m的取值范圍為.19.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)先證明四邊形為平行四邊形，由線線平行證線面平行即可；（2）利用線線平行先證線面平行，再由線面平行的性質(zhì)證線線平行即可.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，底面為平行四邊形，則，且，所以四邊形為平行四邊形，即，顯然平面，平面，則平面；【小問(wèn)2詳解】易知，平面，平面，所以平面，又平面，平面與平面的交線為m，所以.20.【答案】（1）（2）【分析】（1）若選①：借助正弦定理與余弦定理計(jì)算即可得；若選②：借助正弦定理將邊化為角后借助兩角和的正弦定理計(jì)算即可得；若選③：借助向量平行計(jì)算即可得；（2）借助余弦定理與基本不等式計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】若選①：：借助正弦定理可得，即，即，又，故，故；若選②：：借助正弦定理可得，即有，即，又，故，故，故；若選③：向量與平行：由題意可得，即，又，故，故，故；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，又，所以，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即面積的最大值為.21.【答案】（1）①；②（2）.【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理來(lái)求解；②利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案；（2）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】①由正弦定理得，即，所以，又，所以；②由①，所以三角形的三個(gè)角都小于，則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，設(shè)，由得