第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省南京市鼓樓二十九中高二（下）第二次3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x?4)e2x+3，則f′(x)=(

)A.(x?3)e2x+3 B.2(x?3)e2x+3 C.2.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2MA，BN=NC，則MNA.23a+23b+123.已知{an}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且a4+a5=27A.3 B.?3 C.2 D.?24.已知雙曲線x2a2?y24=1(a>0)A.4 B.14 C.2 D.5.已知點A(4,0)，圓C：(x?a)2+(y?a)2=1，若圓C上存在點P使得PA=3A.?1 B.1 C.0 D.26.在最近南京市舉行的半程馬拉松比賽中，某路段設(shè)三個服務(wù)站，某高校5名同學(xué)到甲、乙、丙三個服務(wù)點做志愿者，每名同學(xué)只去1個服務(wù)點，每個服務(wù)點至少1人，則不同的安排方法共有(

)A.25種 B.150種 C.300種 D.50種7.甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是A.P(B|A2)=411 B.事件A1與事件B相互獨立8.已知函數(shù)f(x)=xlnax+aex，g(x)=?x2+x，當(dāng)x∈(0,+∞)A.[1e2,+∞) B.[1e二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法中正確的是(

)A.若P(N)>0，則P(M|N)≥P(MN)

B.若P(M)=0.64,P(MN?)=0.32，則P(MN)=0.32

C.若隨機變量X～B(n,13)，且D(3X+2)=12，則E(3X+2)=8

D.10.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點F在底面ABCD內(nèi)運動(含邊界)A.若F是棱AD的中點，則EF//平面AB1C

B.若EF⊥平面B1D1E，則F是AC上靠近C的四等分點

C.點E到平面B1D1C的距離為311.已知函數(shù)f(x)=sin2x+ecosx(A.f(x)在(0,π2)上單調(diào)遞增

B.f(x)在x=0處的切線方程為y=e

C.f(x)在(?π,π)內(nèi)共有1個極值點

D.設(shè)g(x)=f(x)?1，則g(x)在R三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.二項式(x3+1x213.如圖所示是某展區(qū)的一個菊花布局圖，現(xiàn)有5個不同品種的菊花可供選擇，要求相鄰的兩個展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有______種.14.在生活中，可以利用如下圖工具繪制橢圓，按照這個原理，已知O是滑桿上的一個定點，D可以在滑桿上自由移動，線段|OA|=|AD|=4，點B，E是AD上兩點，E是AD中點，且|AB|=43，如圖，過B作AD的垂線，滿足|BC|=1，則點E所形成的軌跡C1的離心率e1=______；點C所形成的軌跡C四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1且2Sn=(n+1)an．

(1)求{an16.(本小題15分)

“分布式計算系統(tǒng)”是由多臺計算機組成的用以提高計算效率的計算機系統(tǒng).在一個分布式計算系統(tǒng)中，若一次計算中發(fā)生故障的計算機數(shù)不超過總計算機數(shù)的20%，則稱這次計算是“優(yōu)質(zhì)計算”，某科技公司采購了一批共計n臺計算機用于搭建分布式計算系統(tǒng)，每臺計算機的故障率均為p．

(1)若n=3，p=0.2，記X為一次計算中正常運行的計算機數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若n=24，p=0.16，請估計一次計算中正常運行的計算機數(shù)量最有可能是多少？17.(本小題15分)

已知動點M到點(0,32)的距離比它到直線y+3=0的距離小32，記動點M的軌跡為C．

(1)求軌跡C的方程．

(2)已知直線l：y=kx+3與軌跡C交于A，B兩點，以A，B為切點作兩條切線，分別為l1，l2，且l1，l2相交于點P.若點18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，CD⊥平面PAD，PA⊥AD．

(1)證明：PA⊥平面ABCD；

(2)若底面ABCD是正方形，AP=AB=6.E為PB中點，點F在棱PD上，且平面AEF與平面ABCD的夾角的余弦值為33．

(ⅰ)求PF；

(ⅱ)平面AEF交PC于點G，點M在平面PBC上，求EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(x?a)lnx?x．

(1)當(dāng)a=e時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)x1，x2(x1<x2)是f(x)的兩個極值點，

①求證：x參考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.C

6.B

7.D

8.B

9.ABC

10.ABD

11.BC

12.210

13.420

14.22315.an=n；

T16.17.18.解：(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，CD⊥平面PAD，PA⊥AD，

∵CD⊥平面PAD，PA?平面PAD，∴CD⊥PA．

又PA⊥AD，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，AD∩CD=D，

∴PA⊥平面ABCD．

(2)底面ABCD是正方形，AP=AB=6.E為PB中點，

點F在棱PD上，且平面AEF與平面ABCD的夾角的余弦值為33，

以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖．

(ⅰ)D(0,6,0)，P(0,0,6)，E(3,0,3)，

AE=(3,0,3)，PD=(0,6,?6)，AP=(0,0,6)，

設(shè)PF=λPD=(0,6λ,?6λ)(0≤λ≤1)，

則AF=AP+PF=(0,0,6)+(0,6λ,?6λ)=(0,6λ,6?6λ)．

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AE=3x+3z=0n?AF=6λy+6(1?λ)z=0，取z=λ，得n=(?λ,λ?1,λ)，

∵AP⊥平面ABCD，∴AP=(0,0,6)是平面ABCD的一個法向量．

∵平面AEF與平面ABCD的夾角的余弦值為33，

∴|cos?n,AP?|=|λ|2λ2+(λ?1)2=33，解得λ=12，∴PF=12PD=32．

(ⅱ)平面AEF交PC于點G，點M在平面PBC上，

設(shè)PG=μPC，則AG=AP+μPC=(0,0,6)+μ(6,6,?6)=(6μ,6μ,6?6μ)．

∵n=(?12,?12,12)為平面AEGF的一個法向量，∴n⊥AG，

∴AG?n=?3μ?3μ+3?3μ=?9μ+3=0，即1?3μ=019.解：(1)a=e時，f(x)=(x?e)lnx?x，f′(x)=lnx?ex在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又f′(e)=0，

所以x∈(0,e)，f′(x)<0，x∈(e,+∞)，f′(x)>0，

所以f(x)在(0,e)單調(diào)遞減，在(e,+∞)單調(diào)遞增．

(2)證明：①依題意f′(x)=lnx?ax=0，即a=xlnx的兩根為x1，x2，

令g(x)=xlnx，g′(x)=1+lnx，

x∈(0,1e),g′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x∈(1e,+∞),g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，則0<x1<1e<x2<1．

令?(x)=g(2e?x)?g(x),(0<x<1e)，

則?′(x)=?ln(?x2+2ex)?2>0，所以?(x)在(0,1e)單調(diào)遞