湖北省名師聯(lián)盟2025年高三第一次高考適應性性考試數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線：（）的焦點為，為該拋物線上一點，以為圓心的圓與的準線相切于點，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．2．設i為數單位，為z的共軛復數，若，則（）A． B． C． D．3．如圖，長方體中，，，點T在棱上，若平面.則（）A．1 B． C．2 D．4．是拋物線上一點，是圓關于直線的對稱圓上的一點，則最小值是（）A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．6．已知，函數在區(qū)間內沒有最值，給出下列四個結論：①在上單調遞增；②③在上沒有零點；④在上只有一個零點.其中所有正確結論的編號是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④7．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c8．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．9．已知集合，則元素個數為()A．1 B．2 C．3 D．410．將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數是()A．18種 B．36種 C．54種 D．72種11．如圖，在中，點，分別為，的中點，若，，且滿足，則等于（）A．2 B． C． D．12．函數的圖象與函數的圖象的交點橫坐標的和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則_________.14．在平面直角坐標系中，若雙曲線（，）的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為________.15．一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動，則容器體積的最小值為_________.16．某種圓柱形的如罐的容積為個立方單位，當它的底面半徑和高的比值為______.時，可使得所用材料最省.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，已知點，的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）設曲線與曲線相交于，兩點，求的值.18．（12分）設橢圓，直線經過點，直線經過點，直線直線，且直線分別與橢圓相交于兩點和兩點.(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點，且直線軸，求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0，四邊形為平行四邊形，求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，判斷四邊形能否為矩形，說明理由.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是菱形，對角線交于點為棱的中點，．求證：（1）平面；（2）平面平面．20．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的正整數存在，求的值；若不存在，說明理由.設正數等比數列的前項和為，是等差數列，__________，，，，是否存在正整數，使得成立？21．（12分）已知直線l的極坐標方程為，圓C的參數方程為（為參數）．（1）請分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標方程；（2）求直線l被圓截得的弦長．22．（10分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）曲線在點處的切線斜率為.（i）求；（ii）若，求整數的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據拋物線方程求得點的坐標，根據軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準線相切于點，根據拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.2、A【解析】

由復數的除法求出，然后計算．【詳解】，∴．故選：A.【點睛】本題考查復數的乘除法運算，考查共軛復數的概念，掌握復數的運算法則是解題關鍵．3、D【解析】

根據線面垂直的性質，可知；結合即可證明，進而求得.由線段關系及平面向量數量積定義即可求得.【詳解】長方體中，，點T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質應用，平面向量數量積的運算，屬于基礎題.4、C【解析】

求出點關于直線的對稱點的坐標，進而可得出圓關于直線的對稱圓的方程，利用二次函數的基本性質求出的最小值，由此可得出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設點關于直線的對稱點為點，則，整理得，解得，即點，所以，圓關于直線的對稱圓的方程為，設點，則，當時，取最小值，因此，.故選：C.【點睛】本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算，同時也考查了兩圓關于直線對稱性的應用，考查計算能力，屬于中等題.5、A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，結合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點，，且平面，，的中點為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據三視圖判斷幾何體的結構特征，利用幾何體的結構特征與數據求得外接球的半徑是解答本題的關鍵．6、A【解析】

先根據函數在區(qū)間內沒有最值求出或.再根據已知求出，判斷函數的單調性和零點情況得解.【詳解】因為函數在區(qū)間內沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調遞減.當時，，且，所以在上只有一個零點.所以正確結論的編號②④故選：A.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質，考查函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7、A【解析】

利用指數函數、對數函數的單調性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關系為b＞c＞a．故選：A．【點睛】本題考查三個數的大小的判斷，考查指數函數、對數函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．8、A【解析】

先計算出兩個圖像的交點分別為，再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考察定積分的應用，屬于基礎題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數的選取.9、B【解析】

作出兩集合所表示的點的圖象，可得選項.【詳解】由題意得，集合A表示以原點為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數的圖象上的點，作出兩集合所表示的點的示意圖如下圖所示，得出兩個圖象有兩個交點:點A和點B，所以兩個集合有兩個公共元素，所以元素個數為2，故選：B.【點睛】本題考查集合的交集運算，關鍵在于作出集合所表示的點的圖象，再運用數形結合的思想，屬于基礎題.10、B【解析】

把4名大學生按人數分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學生按人數分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的分配方案有種.故選：.【點睛】本題考查排列組合，屬于基礎題.11、D【解析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進行運算．【詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查向量的數量積，解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標明確，易于操作．12、B【解析】

根據兩個函數相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數的圖象與函數的圖象交點的橫坐標的和，故選B.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象及給值求角，側重考查數學建模和數學運算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

因為，所以.因為，所以，又，所以，所以..14、【解析】

利用，解出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】，且，，，該雙曲線的漸近線方程為：.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率與漸近線方程，考查了雙曲線基本量的關系，考查了運算能力，屬于基礎題.15、【解析】

一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動,則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長方體的體對角線的長,長方體的體對角線的長為,所以容器體積的最小值為.16、【解析】

設圓柱的高為，底面半徑為，根據容積為個立方單位可得，再列出該圓柱的表面積，利用導數求出最值，從而進一步得到圓柱的底面半徑和高的比值．【詳解】設圓柱的高為，底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個立方單位∴，即.∴該圓柱形的表面積為.令，則.令，得；令，得.∴在上單調遞減，在上單調遞增.∴當時，取得最小值，即材料最省，此時.故答案為：.【點睛】本題考查函數的應用，解答本題的關鍵是寫出表面積的表示式，再利用導數求函數的最值，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數方程中的參數，求得的普通方程，利用極坐標和直角坐標的轉化公式，求得的直角坐標方程.（2）求得曲線的標準參數方程，代入的直角坐標方程，寫出韋達定理，根據直線參數中參數的幾何意義，求得的值.【詳解】（1）由的參數方程（為參數），消去參數可得，由曲線的極坐標方程為，得，所以的直角坐方程為，即.（2）因為在曲線上，故可設曲線的參數方程為（為參數），代入化簡可得.設，對應的參數分別為，，則，，所以.【點睛】本小題主要考查參數方程化為普通方程，考查極坐標方程化為直角坐標方程，考查利用利用和直線參數方程中參數的幾何意義進行計算，屬于中檔題.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)不能，證明見解析【解析】

(Ⅰ)計算得到故，，，，計算得到面積.(Ⅱ)設為，聯(lián)立方程得到，計算，同理，根據得到，得到證明.(Ⅲ)設中點為，根據點差法得到，同理，故，得到結論.【詳解】(Ⅰ)，，故，，，.故四邊形的面積為.(Ⅱ)設為，則，故，設，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)設中點為，則，，相減得到，即，同理可得：的中點，滿足，故，故四邊形不能為矩形.【點睛】本題考查了橢圓內四邊形的面積，形狀，根據四邊形形狀求參數，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

(1)連結根據中位線的性質證明即可.(2)證明,再證明平面即可.【詳解】解：證明：連結是菱形對角線的交點,為的中點,是棱的中點,平面平面平面解：在菱形中,且為的中點,,,平面平面,平面平面．【點睛】本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎題.20、見解析【解析】

根據等差數列性質及、，可求得等差數列的通項公式，由即可求得的值；根據等式，變形可得，分別討論?、佗冖壑械囊粋€，結合等比數列通項公式代入化簡，檢驗是否存在正整數的值即可.【詳解】∵在等差數列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整數，使得成立，即成立，設正數等比數列的公比為的公比為，若選①，∵，∴，∴，∴，∴當時，滿足成立.若選②，∵，∴，∴，∴，∴方程無正整數解，∴不存在正整數使得成立.若選③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴當時，滿足成立.【點睛】本題考查了等差數列通項公式的求法，等比數列通項公式及前n項和公式的應用，遞推公式的簡單應用，補充條件后求參數的值，屬于中檔題.21、（1）．x2+y2＝1．（2）16【解析】

（1）直接利用極坐標方程和參數方程公式化簡得到答案.（2）圓心到直線的距離為，故弦長為得到答案.【詳解】（1），即，即，即.，故.（2）圓心到直線的距離為，故弦長為.【點睛】本題考查了極坐標方程和參數方程，圓的弦長，意在考查學生的計算能力和轉化能力.22、（1）在上增；在上減；（2）