江西省景德鎮(zhèn)市2025屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè)二模數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高三試卷標(biāo)題：江西省景德鎮(zhèn)市2025屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè)二模數(shù)學(xué)試題。一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$，其中$a$為常數(shù)，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$a$的取值范圍是（）A.$a>0$B.$a\geq0$C.$a<0$D.$a\leq0$例：$f(x)=\lnx+ax^2$，$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+2ax\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{2x^2}$。因?yàn)?x>0$，所以$a\geq0$。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_4=20$，$S_7=56$，則該數(shù)列的公差為（）A.2B.3C.4D.5例：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，所以$S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_1+a_4)=20$，$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=3.5(a_1+a_7)=56$，聯(lián)立方程組$\begin{cases}2(a_1+a_4)=20\\3.5(a_1+a_7)=56\end{cases}$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。3.已知圓$C:x^2+y^2=16$，點(diǎn)$P(2,2)$，則過(guò)點(diǎn)$P$的圓$C$的切線方程為（）A.$x+y=4$B.$x-y=0$C.$x+y=0$D.$x-y=4$例：圓的切線方程可表示為$x_0x+y_0y=r^2$，其中$(x_0,y_0)$為切點(diǎn)坐標(biāo)，$r$為圓的半徑。因?yàn)辄c(diǎn)$P(2,2)$在圓$C$上，所以切線方程為$2x+2y=16$，化簡(jiǎn)得$x+y=4$。4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)$的零點(diǎn)為（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$例：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$為$f(x)$的極大值點(diǎn)，$x=2$為$f(x)$的極小值點(diǎn)，$x=4$為$f(x)$的拐點(diǎn)。5.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為（）A.$a_n=\sqrt{n}$B.$a_n=\sqrt{n+1}$C.$a_n=\sqrt{n-1}$D.$a_n=\sqrt{n^2-1}$例：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根據(jù)通項(xiàng)公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。6.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax$，其中$a$為常數(shù)，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$a$的取值范圍是（）A.$a>0$B.$a\geq0$C.$a<0$D.$a\leq0$例：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+a\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{x^2}$。因?yàn)?x>0$，所以$a\geq0$。7.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_4=20$，$S_7=56$，則該數(shù)列的公差為（）A.2B.3C.4D.5例：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，所以$S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_1+a_4)=20$，$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=3.5(a_1+a_7)=56$，聯(lián)立方程組$\begin{cases}2(a_1+a_4)=20\\3.5(a_1+a_7)=56\end{cases}$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。8.已知圓$C:x^2+y^2=16$，點(diǎn)$P(2,2)$，則過(guò)點(diǎn)$P$的圓$C$的切線方程為（）A.$x+y=4$B.$x-y=0$C.$x+y=0$D.$x-y=4$例：圓的切線方程可表示為$x_0x+y_0y=r^2$，其中$(x_0,y_0)$為切點(diǎn)坐標(biāo)，$r$為圓的半徑。因?yàn)辄c(diǎn)$P(2,2)$在圓$C$上，所以切線方程為$2x+2y=16$，化簡(jiǎn)得$x+y=4$。9.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)$的零點(diǎn)為（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$例：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$為$f(x)$的極大值點(diǎn)，$x=2$為$f(x)$的極小值點(diǎn)，$x=4$為$f(x)$的拐點(diǎn)。10.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為（）A.$a_n=\sqrt{n}$B.$a_n=\sqrt{n+1}$C.$a_n=\sqrt{n-1}$D.$a_n=\sqrt{n^2-1}$例：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根據(jù)通項(xiàng)公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。二、填空題（共5題，每題10分，共50分）要求：直接寫出答案。11.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_5=50$，$S_8=120$，則該數(shù)列的公差為_(kāi)_____。12.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax$，其中$a$為常數(shù)，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$a$的取值范圍為_(kāi)_____。13.已知圓$C:x^2+y^2=16$，點(diǎn)$P(2,2)$，則過(guò)點(diǎn)$P$的圓$C$的切線方程為_(kāi)_____。14.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)$的零點(diǎn)為_(kāi)_____。15.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____。三、解答題（共5題，共50分）要求：寫出解答過(guò)程，并化簡(jiǎn)結(jié)果。16.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并求$f'(x)$的零點(diǎn)。17.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_5=50$，$S_8=120$，求該數(shù)列的公差和首項(xiàng)。18.已知圓$C:x^2+y^2=16$，點(diǎn)$P(2,2)$，求過(guò)點(diǎn)$P$的圓$C$的切線方程。19.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax$，其中$a$為常數(shù)，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求$a$的取值范圍。20.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。本次試卷答案如下：一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）1.答案：B解析：由題意知，$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，即$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+2ax\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{2x^2}$。因?yàn)?x>0$，所以$a\geq0$。2.答案：A解析：由等差數(shù)列前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，可得$2(a_1+a_4)=20$，$3.5(a_1+a_7)=56$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。3.答案：A解析：圓的切線方程可表示為$x_0x+y_0y=r^2$，代入點(diǎn)$P(2,2)$和圓$C:x^2+y^2=16$，得$2x+2y=16$，化簡(jiǎn)得$x+y=4$。4.答案：C解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$為$f(x)$的極大值點(diǎn)，$x=2$為$f(x)$的極小值點(diǎn)，$x=4$為$f(x)$的拐點(diǎn)。5.答案：D解析：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根據(jù)通項(xiàng)公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。6.答案：B解析：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+a\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{x^2}$。因?yàn)?x>0$，所以$a\geq0$。7.答案：D解析：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，所以$S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_1+a_4)=20$，$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=3.5(a_1+a_7)=56$，聯(lián)立方程組$\begin{cases}2(a_1+a_4)=20\\3.5(a_1+a_7)=56\end{cases}$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。8.答案：A解析：圓的切線方程可表示為$x_0x+y_0y=r^2$，代入點(diǎn)$P(2,2)$和圓$C:x^2+y^2=16$，得$2x+2y=16$，化簡(jiǎn)得$x+y=4$。9.答案：C解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$為$f(x)$的極大值點(diǎn)，$x=2$為$f(x)$的極小值點(diǎn)，$x=4$為$f(x)$的拐點(diǎn)。10.答案：D解析：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根據(jù)通項(xiàng)公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。二、填空題（共5題，每題10分，共50分）11.答案：16解析：由等差數(shù)列前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，可得$2(a_1+a_4)=20$，$3.5(a_1+a_7)=56$，解得$a_1=2$，$a_4=18$，所以公差$d=a_4-a_1=16$。12.答案：$a\geq0$解析：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，要使$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f'(x)\geq0$，即$\frac{1}{x}+a\geq0$，解得$a\geq-\frac{1}{x^2}$。因?yàn)?x>0$，所以$a\geq0$。13.答案：$x+y=4$解析：圓的切線方程可表示為$x_0x+y_0y=r^2$，代入點(diǎn)$P(2,2)$和圓$C:x^2+y^2=16$，得$2x+2y=16$，化簡(jiǎn)得$x+y=4$。14.答案：$x=1$，$x=2$，$x=4$解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=4$，其中$x=1$為$f(x)$的極大值點(diǎn)，$x=2$為$f(x)$的極小值點(diǎn)，$x=4$為$f(x)$的拐點(diǎn)。15.答案：$a_n=\sqrt{n^2-1}$解析：$a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+\frac{1}{1}=2$，$a_3=a_2+\frac{1}{a_2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$a_4=a_3+\frac{1}{a_3}=\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{29}{10}$，根據(jù)通項(xiàng)公式$a_n=\sqrt{n^2-1}$，可知$a_4=\sqrt{4^2-1}=\frac{29}{10}$。三、解答題（共5題，共50分）16.答案：$f'(x)=3x^2-6x+4$，$f'(x)$的零點(diǎn)為$x=1$，$x=2$，$x=4$。解析：對(duì)$f(x)=x^3-3x^2+4x$求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x