第十四講更體幾何除合(五大考向)

一^考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對立體幾何綜合的考查，重點(diǎn)是2023?新高考I卷，18(1)

(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本平行關(guān)系2024?新高考I卷，17(1)

定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐2022.新高考n卷,20(1)

標(biāo)表不O2023?新高考n卷,20(1)

垂直關(guān)系

(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌2024?新高考II卷，17(1)

握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的

點(diǎn)到面的距離2022?新高考I卷，19(1)

數(shù)量積判斷向量的共線和垂直。

2022?新高考I卷，19(2)

(3)用幾何法進(jìn)行平行、垂直關(guān)系的證明，以及能

2022?新高考II卷,20(2)

用向量法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的求二面角

2023?新高考II卷,20(2)

一些簡單定理。

2024.新高考II卷，17(2)

(4)能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面

與平面的夾角問題,并能描述解決這一類問題的2023?新高考I卷，18(2)

已知二面角求其他量

程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用。2024.新高考I卷,17(2)

二:2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查了線面平行關(guān)系的證明和已知二面角求長度問題。II卷考查了線線垂直關(guān)

系的證明和二面角正弦值的求解。難度適中，不過解題的證明方法還是比較少見的，大家要注意。例如I卷

是利用垂直關(guān)系的性質(zhì)來考查平行，二面角既可以用定義法也可以建系解決。預(yù)計(jì)2025年高考第(1)問還

是主要考查平行與垂直的判定與性質(zhì)，第(2)問主要考查利用空間向量的相關(guān)知識解決空間角的問題。

三：試題精講

一、解答題

[題1](2024新高考I卷47)如圖，四棱錐P—中，P4_L底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,48=

A/3.

(1)若證明：AD〃平面PBC；

(2)若4D_LDC,且二面角A-CP—。的正弦值為42,求AD

【題2】（2024新高考n卷J7）如圖，平面四邊形4BCD中，48=8,CD=3,AD=5Vi,AADC=90,

ABAD=30°,點(diǎn)E,F滿足毋=4AD,AF=-J-AB，將AAEF沿EF對折至△PEE，使得FC=473.

⑴證明：EF_LPD；

（2）求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值.

高考真題練

一、解答題

【題3】（2022新高考I卷」9）如圖，直三棱柱ABC—ABC的體積為4,△ABC的面積為22.

⑴求A到平面的距離；

（2）設(shè)。為A.C的中點(diǎn)，44i=4B,平面A.BC，平面ABBXAX,求二面角A——C的正弦值.

]（2023新高考I卷?18）如圖，在正四棱柱ABCD-45G2中，AB=2,44]=4.點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別

在棱yLAi,BBiCG.DDi上，AA.2=1,BB2=DD2=2,。。?=3.

⑴證明：星。2〃42;

（2）點(diǎn)P在棱鹿1上，當(dāng)二面角P—A2G2—。2為150°時，求B2P.

15］（2022新高考n卷?20）如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，24=,AB_LAC,E是PB的中點(diǎn).

⑴證明：OE〃平面P4C；

（2）若乙480=/。80=30°,。0=3,24=5,求二面角。一AE—B的正弦值.

:］（2023新高考n卷-20）如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BD_LCD,NADB=AADC

（2）點(diǎn)F滿足=求二面角。一4B—F的正弦值.

知識點(diǎn)總結(jié)

一、直線的方向向量

1、直線的方向向量

如圖8—153所示，/為經(jīng)過已知點(diǎn)4且平行于已知非零向量4的直線.對空間任意一點(diǎn)。，點(diǎn)P在直線/上

的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使罰=01+應(yīng)①，其中向量H叫做直線/的方向向量，在/上取翁=4,則式①

可化為OP=OA+tAB=OA+t{OB-OA）=（l-t）OA+tOB?

①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)t=/，即點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)時，OP=方（01+宿），此式叫做

線段AB的中點(diǎn)公式.

2、共面向量

如圖8—154所示，已知平面a與向量4,作。4=4,如果直線OA平行于平面a或在平面a內(nèi)，則說明向量G

平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

3、共面向量定理

如果兩個向量a,b不共線，那么向量力與向量4,日共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y），使我=

xa+yb.

推論:①空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充妥條件是存在有序?qū)崝?shù)對（立,切,使標(biāo)=xAB+yAC;或?qū)臻g

任意一點(diǎn)。，有赤—蘇=2；存+沙前,該式稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式.

②已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)4。，滿足向量關(guān)系式標(biāo)=雙刃+,而+z沅5（其中c+y+z

=1）的點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,。共面；反之也成立.

二、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

1、兩向量夾角

已知兩個非零向量蜃兀在空間任取一點(diǎn)。，作01=4,加=兀則乙4OB叫做向量4,1的夾角，記作

（a,b^，通常規(guī)定04&兀，如果僅商=合,那么向量4,b互相垂直，記作a_L6.

2、數(shù)量積定義

已知兩個非零向量b,則|a||&|cos^a,6^叫做4,b的數(shù)量積，記作&,即a-b=|a||&|cos^a,6y零向量與任

何向量的數(shù)量積為0,特別地，a-a^|a|2.

3、空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：

（位）了=/1（小丹，小廣=隹式交換律）；

之.（1+。=4.，+4亮（分配律）.

三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用

1、設(shè)4=（%,02,禽）,b—（瓦，甌3），則a+b=（^a1+b1,a2+b2,a3+b3）;

a-b=（。1一瓦,電-62,03-63）；

Ad—/ltZ-2,^0,3）;

a?b=+a262+。3匕3；

aIIb（bW0）=>Qi=Ablta2=4b2,。3—加3；

QJ_bna?+a2b2+劭a=0-

J,&）,=（a?-

2、設(shè)A（g,yi,々BQ,V2,則AB=OB-OA2xlf仍一",右一為）.

這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).

3、兩個向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.

①已知日=（如,電,。3）,K=（瓦也&）,則|s|=y/al+al+al;

忖=后=/憂+4+￡;

a-b=。1瓦+a2b2+a3b3；

/一云如仇+電慶+恁區(qū)

cos（a,b）='/i--------;

J蕭+a[+aU憂+稻+昭

②已知4（21，%21）,8（劣2，仍，石）,則J31—22）2+（%一92丫+（.一石）2,

或者d(AB)=|命其中磯4B)表示4與B兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.

4、向量日在向量日上的投影為|a|cos(a,b)=a.

吼

四、法向量的求解與簡單應(yīng)用

1、平面的法向量：

如果表示向量方的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個向量垂直于平面a,記作nJ_a,如果ftJ_a,那

么向量方叫做平面a的法向量.

幾點(diǎn)注意：

①法向量一定是非零向量;②一個平面的所有法向量都互相平行;③向量方是平面的法向量，向量由是與平

面平行或在平面內(nèi)，則有云?日=0.

第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向4=(比！%,為),廣=(22,92,22)；

第二步：那么平面法向量方=3?,z),滿足K￡=00嚴(yán)='

2、判定直線、平面間的位置關(guān)系

①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.

若云〃1，即不=Ab,則a//b;

若&_L即G?廣=0,則a.Lb.

②直線與平面的位置關(guān)系：直線/的方向向量為4,平面a的法向量為五，且Z_La.

若江〃方，即4=/(日，貝ZJ_a;

若江J_4，即4?日=0,則alla.

3、平面與平面的位置關(guān)系

平面a的法向量為灑，平面§的法向量為由.

若落〃n2，即亦=狀2，則a〃￡;若落_L汝,即落?日2=0,則a_L￡.

五、空間角公式

1、異面直線所成角公式:設(shè)4,征分別為異面直線，2上的方向向量，夕為異面直線所成角的大小，則COS0=

2、線面角公式:設(shè)/為平面。的斜線，江為，的方向向量，方為平面a的法向量，夕為

/與a所成角的大小，則sin。=cos，

3、二面角公式：

設(shè)?11,為分別為平面a,B的法向量，二面角的大小為仇貝寸0=伉，房）或兀一伉，元）（需要根據(jù)具體情況判斷

相等或互補(bǔ)），其中|cosJ|=3熟.

六、空間中的距離

求解空間中的距離

1、異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算.

如圖，設(shè)兩條異面直線a,b的公垂線的方向向量為沆這時分別在a,b上任取A,8兩點(diǎn)，則向量在日上的正

射影長就是兩條異面直線a,6的距離.則4=AB--=以之也即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線

1?11?1

上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.

2、點(diǎn)到平面的距離

A為平面a外一點(diǎn)（如圖）,n為平面a的法向量，過A作平面a的斜線48及垂線AH.

\AB-n\_\AB-n\

\AH\=\AB\-sin。=|AB|?|cos<AB,n>\=\AB\

\AB\-\n\|n|

\AB-n\

同

名校模擬練

一、解答題

【冷7】（2024?江西九江?三模）如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB〃CD,AB_L

BC,/BAD=^-,AB=ADAPAD為等邊三角形.

o

⑴證明：PB_LAD；

⑵若二面角P—4D—8的大小為冬，求二面角A—PB—C的正弦值.

O

[?8]（2024?安徽蕪湖?三模）如圖，三棱錐ABCD中，平面ABD，平面ACD,平面ABD，平面BCD,平

面力CD_L平面BCD,

⑴求證：AD,BD,CD兩兩垂直；

出若。4=1,。0=2,。。=3,。為人8中點(diǎn)，口為4。中點(diǎn)，求_8口與平面。。。所成角的正弦值.

9](2024?四川成都?三模)如圖，三棱柱AB?！欣忾L都為2,4&BC=60°,。為4。與AC,

(1)證明：平面BCD,平面ABiG；

(2)若。注=節(jié)■，求二面角4—CB1—G的余弦值.

U(2024?江西南昌?三模)如圖1,四邊形ABCD為菱形，ZABC=看，E,F分別為A。，OC的中點(diǎn)，如

圖2.將△ABC沿AC向上折疊，使得平面ABC_L平面ACFE,將ADEF沿EF向上折疊.使得平面

DEF_L平面ACFE,連接BD.

(1)求證：A,B,D,E四點(diǎn)共面：

(2)求平面AEDB與平面FDBC所成角的余弦值.

159

（2024?北京順義?三模）如圖在幾何體ABCDEE中，底面ABCD為菱形，乙4BC=60°,AE//DF,

AE±AD,AB=AE=2DF=^.

（1）判斷AO是否平行于平面CEF,并證明；

（2）若面EAB_L面4BCD；求：

⑴平面ABCD與平面CEF所成角的大??；

（ii）求點(diǎn)A到平面CEF的距離.

（2024?安徽合肥?三模）如圖一：等腰直角44BC中AC,且47=2,分別沿三角形三邊向外作

等腰梯形ABB2A2,BCG83,CAA3G使得442=B3=CG=1,/。443="442=合，沿三邊AB,

O

BO,CA折疊，使得A2A3,B2B3,C2C3,重合于4,B1,G，如圖二

圖一圖二

⑴求證：44i，BQr

（2）求直線CG與平面AA.B.B所成角6的正弦值.

【題13】（2024?河北秦皇島?三模）如圖，在三棱柱ABC—ABG中，C4=CB,四邊形ABBA為菱形,

（1）證明：

（2）已知平面ABC，平面ABB.A,,求二面角B—CC「A的正弦值.

（2024?河南?三模）如圖，在直三棱柱ABC—AB?中，。是棱BC上一點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)。不重合），且

4。_L。。，過4作平面BCCiBi的垂線I.

（1）證明：/〃A。；

⑵若47=CG=2,當(dāng)三棱錐G—ACD的體積最大時，求AC與平面ADC,所成角的正弦值.

(2024?江蘇宿遷?三模)如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個圓柱組合而成，瓦。1為半個圓

柱上底面的直徑，AACB=90°,AC=BC=2,點(diǎn)E,F分別為AC,AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。為瓦心的中點(diǎn).

⑴證明：平面BCD〃平面GEF；

(2)若P是線段GF上一個動點(diǎn)，當(dāng)CG=2時，求直線4P與平面BCD所成角的正弦值的最大值.

。：(2024?廣東汕頭?三模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，A4_L平面

ABCD,24=2,M是BC中點(diǎn)，N是PD中點(diǎn).

⑴證明：直線〃平面上4B；

(2)若戶苕=3GC,求平面PCD與平面GMN的夾角的余弦值.

162

（2024?浙江紹興?三模）如圖，在直三棱柱ABC—ABQi中，AB_LB。，AB=BC=BB1二6,D、E

分別為AC,BBi的中點(diǎn)，設(shè)平面AQE交棱BC于點(diǎn)F.

⑴求BF;

（2）求二面角G—。?一。的平面角的正切值.

1$（2024?湖南長沙?三模）如圖，在四棱臺ABCD-中，AD//BC,

AB_LDDi,CD=2,AD=3,BC=4,/ADB=30°.

⑴證明：平面ADD,A}_L平面ABCD；

⑵若441±AD,四棱臺ABCD—的體積為3等=2,求平面ABCD與平面CDDG

夾角的余弦值.

（2024?山東煙臺?三模）如圖，在直三棱柱ABC-ABQi中，AB=BC=BB[=2,M,N分別為BBV,

AC中點(diǎn)，且GM_L48.

⑴證明：GM_LAN；

⑵若。為棱45上的動點(diǎn)，當(dāng)ON與平面ABC所成角最大時，求二面角A—DM-N的余弦值.

（2024?四川成都?三模）中國是風(fēng)箏的故鄉(xiāng)，南方稱“鴿”，北方稱“育”.如圖，某種風(fēng)箏的骨架模型是四

棱錐P—4BCD,其中4B=4D=AP=2,CB=CD=CP=4,AC交BD于點(diǎn)、O.

（2）若力。=2/5,且二面角P—AC—B為等,求直線PB與平面PZLD所成角的正弦值.

O

（2024?山東青島?三模）如圖所示，多面體ABCDEF,底面ABCD是正方形，點(diǎn)。為底面的中心，點(diǎn)”

為EF的中點(diǎn)，側(cè)面4DEF與BCEF是全等的等腰梯形，EF=4,其余棱長均為2.

⑴證明:MO_L平面ABCD；

（2）若點(diǎn)P在棱CE上，直線BP與平面所成角的正弦值為2署，求EP.

（2024?新疆喀什?三模）如圖，在正四棱臺ABCD—4mGOi中，AB.BA=60°,AB==4,S

是CD的中點(diǎn).

（1）求證:直線AC_L平面BDDB；

（2）求直線ED］與平面ABB/i所成角的正弦值

(2024?浙江?三模)如圖，在三棱柱ABC—ABC中，底面43。是邊長為2的正三角形，平面

ACC.A,，底面4BC,/從力。=看，人4=2,E,F分別是力。，BQ的中點(diǎn)，P是線段EF上的動點(diǎn).

O

(1)當(dāng)P是線段EF的中點(diǎn)時，求點(diǎn)P到平面ABB,Ar的距離；

(2)當(dāng)平面PCC］與平面BBGC的夾角的余弦值為時，求EP.

145

【題24】(2024?湖南邵陽?三模)如圖所示，四棱錐P—ABCD中，B4_L平面ABCD,AB//CD,AB.LAD,

AP=AB=2AO=2CD,E為棱PC上的動點(diǎn).

(1)求證：BCLAE；

(2)若屋=2病,求直線DE與平面PBC所成角的正弦值.

(2024?江西新余?二模)如圖，在