新定義題型02壓軸解答題的深度剖析與策略歸納

目錄

01考情透視?目標導航.................................................2

02知識導圖?思維引航.................................................3

03知識梳理?方法技巧................................................4

04真題研析?精準預測................................................5

05核心精講?題型突破................................................8

題型一：集合新定義8

題型二：函數與導數新定義10

題型三：立體幾何新定義12

題型四：三角函數新定義14

題型五：平面向量與解三角形新定義16

題型六：數列新定義18

題型七：圓錐曲線新定義20

題型八：概率與統(tǒng)計新定義22

重難點突破：高等數學背景下新定義24

差情;奏汨?日標旦祐

創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用是新時代的主旋律，也是高中數學教學與學習中需要不斷滲透與培養(yǎng)的一種基本

精神與能力！借助“新定義”，可以巧妙進行數學知識中的概念類比、公式設置、性質應用、知識拓展與創(chuàng)

新應用等的交匯與融合，很好地融入創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用.

所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了高中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號,

要求同學們讀懂題意并結合已有知識、能力進行理解，根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型。

考點要求目標要求考題統(tǒng)計考情分析

年卷第題，分

2024I1917預測2025年新高考試

2024年北京卷第21題，15分

理解概念，掌握應卷第19題結構考查數列新

數列新定義2023年北京卷第21題，15分

用，提升思維。定義問題，壓軸題，難度

2022年北京卷第21題，15分

比較大.

2021年北京卷第21題，15分

〃用識導圖?思維引航\\

㈤3

知過回［里?方法拈，

1、代數型新定義問題的常見考查形式

（1）概念中的新定義；

（2）運算中的新定義；

（3）規(guī)則的新定義等.

2、解決“新定義”問題的方法

在實際解決“新定義”問題時，關鍵是正確提取新定義中的新概念、新公式、新性質、新模式等信息，確

定新定義的名稱或符號、概念、法則等，并進行信息再加工，尋求相近知識點，明確它們的共同點和不同

點，探求解決方法，在此基礎上進行知識轉換，有效輸出，合理歸納，結合相關的數學技巧與方法來分析

與解決！

0

〃真題班拚精海aN

1.(2024年新課標全國I卷數學真題)設相為正整數，數列4,“+2是公差不為0的等差數列，若從

中刪去兩項處和%(z<j)后剩余的4m項可被平均分為小組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數

歹I1％,。2,。4,"+2是(V)—可分數列.

⑴寫出所有的億/),l<i<j<6,使數列4,出，…,%，是(，")—可分數列；

(2)當加之3時，證明：數列。1，。2，“”。4,“+2是(2,13)—可分數列；

(3)從L2,...,4M+2中一次任取兩個數i和/1</),記數列01M2,…，%?+2是(V)—可分數列的概率為

以，證明：P>1.

O

2.(2024?北京?高考真題)已知集合

k,w)|zF{1,2},je{3,4},%e{5,6},ive{7,8},且i+j+左+w為偶數}.給定數列A:,外,小，和序

列…&其中工=6",如叱)e/(/=l,2,…,s),對數列A進行如下變換：將A的第4，九匕,“項均

加1,其余項不變，得到的數列記作((A)；將［(A)的第八人,給叫項均加1,其余項不變，得到數列記作

砧⑷;……；以此類推,得到(…與二伊)，簡記為C(A).

⑴給定數列A:l,3,2,4,6,3,1,9和序列3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫出。(A)；

⑵是否存在序列。，使得。(A)為％+2,%+6,%+4,4+2,%+8,%+2,%+4,%+4,若存在，寫出一個符合

條件的。；若不存在，請說明理由；

(3)若數列A的各項均為正整數，且％+%+%+%為偶數，求證：“存在序列。，使得。(A)的各項都相等”

的充要條件為=%+%=%+/=%+%”.

3.（2023?北京?高考真題）已知數列｛%｝,也｝的項數均為根（，">2）,且見,2e｛l,2,…,加｝,｛%｝,也｝的前〃

項和分別為4,紇，并規(guī)定4=1=0.對于丘｛0,1,2,…,機｝,定義〃=max｛z?出44,觸｛0,1,2,…,〃小，其

中，max”表示數集M中最大的數.

（1）若4=2,為=1,%=3,4==3,之=3,求為，小公g的值；

⑵若％2白，且2rz<%+%，/=1,2,…，加一1,,求小

（3）證明：存在p,q,sJe｛0,l,2,…,加｝,滿足〃>ds使得4+田=A。+及.

4.（2022?北京?高考真題）已知Q:%,生，…，/為有窮整數數列.給定正整數m，若對任意的〃e｛1,2,…,加｝,

在Q中存在許ai+l，4+2，…，ai+j（/2。），使得％+G+1+G+2+…+%）="，則稱。為〃?-連續(xù)可表數列.

⑴判斷Q：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數列？是否為6-連續(xù)可表數列？說明理由；

⑵若七為8-連續(xù)可表數列，求證：上的最小值為4；

⑶若。：％,%，…，以為20-連續(xù)可表數列，且%+%+…+必<20,求證：k>l.

5.（2021.北京.高考真題）設p為實數.若無窮數列｛4｝滿足如下三個性質，則稱｛%｝為況?數列：

①q+p20,且/+?=0；

②4,t<%”,3=1,2,…）；

③%+“e｛%，+a，，+P，%+a，，+P+l｝，（7%〃=1,2,…）.

（1）如果數列｛%｝的前4項為2,-2,-2,-1,那么｛4｝是否可能為兄數列？說明理由；

（2）若數列｛4｝是現數列，求生；

（3）設數列｛4｝的前"項和為S”.是否存在況，數列｛%｝,使得5,2%恒成立？如果存在，求出所有的0；

如果不存在，說明理由.

6.（2020?北京?高考真題）已知｛%｝是無窮數列.給出兩個性質：

2

①對于｛q｝中任意兩項%%-?>/）,在｛4｝中都存在一項,使巴~=冊；

aj

②對于｛q｝中任意項％（九.3）,在｛4｝中都存在兩項處,0（左>/）.使得%=".

（I）若%=如=1,2,…），判斷數列｛4｝是否滿足性質①，說明理由；

（11）若%=27（"=1,2「-），判斷數列｛%｝是否同時滿足性質①和性質②，說明理由;

（III）若｛4｝是遞增數列，且同時滿足性質①和性質②，證明：｛4｝為等比數列.

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：集合新定義

【典例1-1】給定平面上一些點的集合D及若干個點勺,…記，月e=1,2,…川,若對于VPeD,J|巨用?

Z=1

為定值，我們就稱（。片￡,…尺）為一個穩(wěn)定點集.

⑴判斷集合D=｛（尤,y）I尤20,y20,x+y42｝與點片（0,0）,尺（2,0）,月（0,2）構成的0幾6,月）是不是穩(wěn)定點

集，并說明理由；

⑵判斷集合U=｛（xj）|尤②+丁=2｝,以及點A（1,1）,B（1,-1）,C（-1,1）,D（-1,-1）構成的（U,A,B,C,D）是不是穩(wěn)

定點集，并說明理由；

⑶若集合。=｛（和）|/+丁=1｝及單位圓O：d+y2=i中的內接2024邊形的頂點《，P2,L,鳥。24構成的

1=1_

（2幾2，-23）是一個穩(wěn)定點集，求E西的值.

2024

【典例1-2】二進制是計算技術中廣泛采用的一種數制，二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數，它的

基數為2,進位規(guī)則“逢二進一”，借位規(guī)則“借一當二”.記十進制下的正整數燒在二進制下的表示為

1

m=<2^2*+4_]2*+■.F42+%（a*=1,qe｛0,1[,z=0,1,■,—1j,若ak+?H------at+a0=3,則稱m為“Z20

數”.記/（"）表示集合｛〃+1,力+2,…,2〃｝中“Z20數”的個數.

⑴計算〃3）,〃4）；

⑵求/（2"+2）（〃22）；

（3）求證：V5eN+,3nGN+,有/（〃）=s；并求出所有s,使得〃的取值唯一.

【變式1-1]已知集合加={%,%,%,…<%<%<…<a”,〃eN+)具有性質：對任意

l<z<;<n(z,JGN+),%+6與%-勾至少有一個屬于M,則稱“為“封閉集”.

⑴若集合手={3,4,5},2={0,3,6),判斷產,。是否是“封閉集”?并說明理由；

⑵若集合p={4,%,生}(0<囚<。2<%)是“封閉集”，且生=2024,求集合尸；

⑶設集合4={4，%,生，…，%}(0<4<%<%<…〈見，”24,〃eN+)是“封閉集”，證明：當〃24時,

%”1

[命題預測]

1.已知根為大于。的偶數，集合G"={cda=(%J2,…4Jji+L+…+晨=03€{1,-1},，=1,2「..加}.給定項

數為"2的有限數列A：4,。2,…,4“，對于集合G“中任意元素。=(4W,方“)，記c(a,A)=+12a2+.

(1)若加=4,數列A:4,3,2,1,寫出C(a,A)的所有可能值.

⑵對于各項均為正數的數列A：%,…,4“，證明：存在％eC,“，使得

\C(a0,A^<max[al,a2,---,am}-rrnn{al,a2,---,am}.

⑶對于各項均為正數的數列A:a外,和8：么也,…,么"，證明：存在%eC?,,使得

|。(％,4)[411^{(71，。2，一-4},『(4,3)|40^佑也,...,6",}同時成立.

注：maxg],%,…M,J表示％,。2,…，,中最大的數，而或陽如…此/表示4,電，…，。",中最小的數.

題型二：函數與導數新定義

【典例2-1】有一種速度叫“中國速度”，“中國速度”正在刷新世界對中國高鐵的認知.由于地形等原因，在

修建高鐵、公路、橋隧等基建時，我們常用曲線的曲率(Curvature)來刻畫路線彎曲度.曲線的曲率定義

如下：記y=r(x)為y=的導函數，y=/"(x)為y=r(x)的導函數，則曲線y=在點仕/⑺)處

『㈤

的曲率為K(x)=3

(1+(加)))

⑴已知函數g("=e2，+e3,求曲線y=g(x)在點(O,g(O))處的曲率K(O)；

⑵已知函數/(x)=sinx+cosx,求曲線y=的曲率K(x)的范圍.

【典例2-2】牛頓法是17世紀牛頓在《流數法與無窮級數》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法.

具體步驟如下：設/是函數/(x)的一個零點，任取與作為「的初始近似值，過點(尤。,/(5))作曲線y=/(x)

的切線4,設4與X軸交點的橫坐標為毛，并稱王為r的1次近似值；過點(%,/■(七))作曲線y=/(x)的切

線3設4與X軸交點的橫坐標為尤2,稱9為r的2次近似值；一直繼續(xù)下去，得到士,與W，…,天.一般地，

過點))作曲線y=/(x)的切線射，記1?+1與x軸交點的橫坐標為x同，并稱x?+1為r的〃+1次近似值,

稱數列｛%｝為牛頓數列.

⑴若函數/(力=x+lnx的零點為=1.求『的2次近似值；

⑵設/伙a<2)是函數〃x)=f+◎+6,力eR)的兩個零點，數列｛%｝為函數/⑺的牛頓數列，數列｛g｝

滿足c”=￡^(〃€寸)/“>/?.

(i)求證：數歹！J｛Ing｝為等比數列；

rS12

(ii)證明：2J—<-.

z=iqInq

【變式2-1］在幾何學常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光

滑曲線C：y=/(x)上的曲線段A8,其弧長為心，當動點從A沿曲線段運動到B點時，A點的切線人

也隨著轉動到B點的切線。，記這兩條切線之間的夾角為它等于。的傾斜角與匕的傾斜角之差).顯然,

當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以

-ZAC7

定義K=,為曲線段A8的平均曲率；顯然當3越接近A,即As越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處

△s

。-A。W

的彎曲程度，因此定義*=￡%甚=；(若極限存在)為曲線C在點A處的曲率.(其中y',y〃分

。+竹

別表示y=/(x)在點A處的一階、二階導數)

(1)求單位圓上圓心角為60。的圓弧的平均曲率;

⑵求橢圓K

2夜W

(3)定義。(y)=為曲線y=/(尤)的“柯西曲率”.已知在曲線/(x)=xlnx-2x上存在兩點P(%，〃%))

F77

和。伍,〃％))，若8占且P,。處的“柯西曲率”相同，求沃+強的最小值.

命題預測］」

-------

1.設函數y=〃x)的定義域為。，其導函數為廣(尤)，區(qū)間/是。的一個非空子集.若對區(qū)間/內的任意

實數X,存在實數1，使得％且使得?廣⑺成立，則稱函數y=〃x)為區(qū)間/上的

⑺函數”.

⑴判斷函數/(x)=cosx是否為［0,可上的“Me函數”，并說明理由;

⑵若函數g(x)=/-依是[0,2]上的“M⑵函數”.

(i)求。的取值范圍；

(五)證明:VXG[1,2],g(x+2)>6(lnx-l).

題型三：立體幾何新定義

【典例3-1】空間直角坐標系。-乎中，任何一個平面的方程都能表示成布+gy+Cz+D=0(其中

A,民C,。eR&+笈+°z片0),且為=(A,aC)為該平面的法向量.

(1)若平面c：x+y+z=2,13-.im+y+z=1,且c_L/?,求實數的值；

(2)請利用法向量和投影向量的相關知識證明：點P(x0,%,Zo)到平面4+3y+Cz+r>=0的距離為

“=若記集合。={(尤，*)|閔+3+3=2}所圍成的幾何體為［/,求U的內切球的表

面積；

(3)記集合T={(x,y,z)\|x|+|小2,|小|z|<2,|z|+|x|<2}中所有點構成的幾何體為W.

①求W的體積V的值；

②求W的相鄰(有公共棱)兩個面所成二面角的大小.

【典例3-2】球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖，球。的半徑為R.A、B、C為

球面上三點，劣弧BC的弧長記為a,設表示以。為圓心，且過8、C的圓，同理，圓C，。2的劣弧AC、

A3的弧長分別記為6、c,曲面ABC(陰影部分)叫做球面三角形.若設二面角A-OB-C,

3-OC—A分另!]為a、夕、/,則球面三角形的面積為S球面5C=(a+/?+z-I)長.

(1)若平面。45、平面。4C、平面OBC兩兩垂直，求球面三角形A3c的面積；

(2)若平面三角形A8C為直角三角形，AC±BC,設/A0C=4，ZBOC=62,44。8=久.則：

①求證：cos0}+cos02-cos0^=1

,jrrr

②延長4。與球0交于點。.若直線ZM,DC與平面ABC所成的角分別為：，pBE=ABD,2e(0,1],s

為AC中點，T為3C中點，設平面03c與平面EST的夾角為。，求sing的最小值，及此時平面AEC截球。

的面積.

【變式3-1】定義：多面體"在點尸處的離散曲率為

①，=1-+/。/。3+…+/Qk-FQ//2尸2)，其中P為多面體M的一個頂點，。個=12…,k,

左23且左?N*)為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面0尸。2、平面QPg、L、平面。一尸以和

平面以PQj為多面體"的所有以P為公共點的面.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD,底面

A3Q)為正方形，CD=2,DP=2A/3.

⑴求四棱錐尸-ABC。在頂點C處的離散曲率;

（2）求四棱錐P-ABCD內切球的表面積；

（3）若。是棱PB上的一個動點，求直線C。與平面ABCD所成角的取值范圍.

?命題預測卜

1.在空間直角坐標系。邛z中，這點尸（%,%,Z。）且以力=34c）為方向向量的直線方程可表示為

士包=匕4==⑥即#0）,過點P5,%,z。）且以A=（a,b,c）為法向量的平面方程可表示為

abc

ax+by+cz=ax0+by0+cz0.

（i）已知直線4的方程為F=＞=-（Z-D，直線4的方程為-。-1）=；=丁.請分別寫出直線4和直線4的

一個方向向量.

⑵若直線4：F=y=TzT）與/2：一（1）=卜丁都在平面。內，求平面。的方程；

⑶若集合/=｛（x，N，z）||x|+|y|+|z|=2｝中所有的點構成了多面體。的各個面，求。的體積和相鄰兩個面

所在平面的夾角的余弦值.

題型四：三角函數新定義

【典例4-1］在三角函數領域，為了三角計算的簡便并且追求計算的精確性，曾經出現過以下兩種少見的三

角函數：定義1-cos。為角夕的正矢（Versine或地燈燈/sine）,記作versin。；定義1-sin。為角。的余矢

（Coversed或coversedsin^）,記作covers。.

（1）設函數/（X）=A/3versinx+coversx-1-^3,求函數〃x）的單調遞減區(qū)間;

r,7171J2-versin2x,versinx<covers%

⑵當xe時,設函數g(x)=<若關于X的方程g（x）=k的有三個實

2-|covers2.rl,versinx>coversx

根為＜/＜三，貝！I：

①求實數上的取值范圍;

②求versing+3Jc°vers(X+%)的取值范圍.

【典例4-2】對于定義域為R的函數y=g(x),若存在常數T〉0,使得y=sin(g(x))是以T為周期的周期函

數，則稱y=g(x)為“正弦周期函數”，且稱T為其“正弦周期”.

(D判斷函數y=x+cos5是否為“正弦周期函數”，并說明理由；

⑵已知y=g(x)是定義在R上的嚴格增函數,值域為口,且〉=8(同是以T為“正弦周期”的“正弦周期函數”，

若g(0)=],g(T)W，且存在x°e(O,T),使得g(x0)=|,求g(2T)的值；

(3)已知＞="尤)是以T為一個“正弦周期”的“正弦周期函數”，且存在。＞0和A＞0,使得對任意xeR,都

有Mx+a)=4z(x),證明：、=人(無)是周期函數.

【變式4-1]如果一個實數是有理數，或是對有理數進行有限次加、乘和開二次方根運算的結果，或是對這

些結果繼續(xù)進行有限次加、乘和開二次方根運算的結果，則稱這個實數為可解數.如果一個角的正弦值和余

弦值都是可解數，則稱這個角為可解角.如：30。,45。,120。角都是可解角.

⑴判斷2+6，下子，次是否為可解數(無需說明理由)；

⑵證明：72。角是可解角；

(3)已知每個可解數a都是某些整系數多項式函數/(彳)=。0+罕+02*+1+%%"("eN)的零點，這些多

項式中，x的最高次數〃最小，且系數%,出，…，?！钡淖畲蠊s數為1的多項式函數稱為a的最小

多項式函數.任一可解數a的最小多項式函數中x的最高次數“必為2"(meN).例如：&的最小多項式

函數不是g(x)=(x2-2)x=d_2x,而是/(x)=V-2.證明：20。角不是可解角，并求整數度數的銳角中最

小的可解角.

命題預測

1.給定函數/(X),設g(x)=/(x)sinx,若存在實數P<0,4>0,使得g(x)在區(qū)問［p,q］上是嚴格單調函數,

則稱［。,司為的“正弦單調區(qū)間”，并將4”的最大值稱為了⑺的“正弦單調值”.

(D判斷/(x)=sinx是否存在“正弦單調區(qū)間”，并說明理由；

(2)若〃x)=e『證明：對任意的非零實數〃J“X)的"正弦單調值”為定值；

(3)若〃司=6+6,/+6、。，當。力變化時，求的“正弦單調值”的最大值，以及“X)的"正弦單調值”

取最大值時實數的取值集合.

題型五：平面向量與解三角形新定義

【典例5-1］如圖，設3、Qy是平面內相交成磯0<a<兀)的兩條射線，［、1分別為Ox、Or同向的單

ULJU

位向量，定義平面坐標系X。伊為仿射坐標系，在a-仿射坐標系中，若QPnxq+y/,則記力

⑴在:-仿射坐標系中，若￡=(也1),求口；

(2)在a-仿射坐標系中，若￡=(-1,3),5=(-3,1),且Z與B的夾角為T，求cose；

(3)如圖所示，在方-仿射坐標系中，B、C分別在x軸、y軸正半軸上，園=1,OD=^OC,E、/分

別為3。、BC中點，求礪.麗的最大值.

【典例5-2】定義VA5C三邊長分別為。，b,c,則稱三元無序數組S，4c）為三角形數.記。為三角形數

的全集，即（a,Ac）e。.

⑴證明：”（《,仇。）€?！笔恰埃ê?揚,正卜?！钡某浞植槐匾獥l件；

（2）若銳角VA3C內接于圓。，且x9+y彷+z^=0,設/=（x,y,z）（x,y,z>0）.

①若/=（3,4,5）,求心小L農；

②證明：I&D.

【變式5-1】定義向量=（4]）的“親密函數”為g（x）=asin2x+bcos2x.設向量AB=—的“親密函數”

為/（X）.

⑴求“X）的單調遞增區(qū)間；

⑵若方程/，有三個連續(xù)的實數根X],%,W,且占<%<%,，X3+2X1=3X2,求實數4的值；

⑶已知VA2C為銳角三角形，a,6,c為VABC的內角A,B,C的對邊，6=2,且/=:，求VABC

面積的取值范圍.

命題預測T

_uuin/un、

.對于平面向量為（（左=），定義“生變換”：（）

1=4,yj1,2,…az=4%=(%女cos0-yksin9,xksin0+ykcos6),

（0<^<7l）

⑴若向量q=(2,1),e=］，求。2；

(2)求證：同=|近；

⑶己知方=(',%)，礪=(尤2，%)，且西與礪不平行，次=4(網，兩=小(麗)，求證:SAOAB=S40A，B'?

題型六：數列新定義

【典例6-1］已知數列｛4｝的前w項和為S.，若對每一個“eN*,有且僅有一個“zeN*,使得S,“〈a”<S,“M，

則稱｛。,｝為“X數列".記"=S,”+「a”,〃eN*,稱數列色｝為｛。,｝的“余項數列”.

⑴若｛%｝的前四項依次為0,1,-1,2,試判斷｛%｝是否為“X數列”，并說明理由；

⑵若5“=2用，證明｛。“｝為“X數列”，并求它的“余項數列”的通項公式；

(3)已知q=1的正項數列｛%｝為“X數列”，且｛4,｝的“余項數歹!J”為等差數列，證明S“<1+2-2.

【典例6-2］已知｛%｝是由不全相同的正整數組成的有窮數列，其前〃項和為S“，q=L集合

A=｛Sa|Sn=2k-l,keZ｝,A中元素個數為將A中所有元素取出，并按從小到大排列，記為數列也,｝.若

111.

丁+7+…則稱數列｛r%｝為根?，數列.

⑴若an+2=an+l+%，。2=1,寫出一個2~2數列｛%｝；

(2)若應｝是公比為偶數的等比數列，證明：｛4｝為m~2數列：

(3)若m~?數列｛q｝是等差數列，求才的最小正整數.

【變式6-1]若數列｛X“+%｝是等差數列，則稱｛XJ與｛匕｝互為和等差數列.已知S”為數列｛%｝的前〃項

和.

[2^=1

⑴若見=°一4=-2"-/+2,試問電｝與也｝是否互為和等差數列？說明你的理由.

⑵設也｝為等比數列，Sn=2an+n,且｛4｝與也｝互為和等差數列.

①求也｝的通項公式；

②設c“=”，求數列｛c,｝的前〃項和Tn.

命題預測

1.把一列函數按一定次序排列稱為函數列，記為｛力⑺｝.例如：函數列｛%2x,3x,…見…｝可以記為

力⑺二處女^^記力⑺為力⑴的導函數.

⑴若f?⑺=疝況證明：｛方(2024)｝為等差數列.

(2)已知定義在R上的函數列｛力(%)｝滿足:力'(尤)>f?(x),且對任意的〃eN*，都有力(0)=n.

(i)設x°20,證明：左(毛)=，的充要條件是x0=0.

(ii)取定正數%,使數列｛力(％)｝是首項和公比均為4的等比數列，證明：q>^.

題型七：圓錐曲線新定義

22

【典例7-1】定義：對橢圓c*+==ig>6>0）及任意一點尸（如%）,稱直線竽+若=1為C關于點P

的“極線”.

結論1：若點尸在橢圓C上，則C關于點尸的極線就是C在點尸處的切線.

結論2（橢圓的光學性質）：從橢圓一個焦點發(fā)出的光線照射到橢圓上，其反射光線會經過另一個焦點.

試根據上面的定義和結論解決下列問題：

22

已知68是橢圓C:3+.=l的兩個焦點，c關于點尸（T,o）的極線）與C相交于A8兩點.

⑴求|明;

（2）設C在點A處的切線為匕，在點5處的切線為過在"上且在C外一點。作C的兩條切線，切點分別

為證明：直線MN/,%相交于一點；

⑶若。（機〃）是C上除頂點以外的任意一點,直線QR和。鳥分別與直線/號+號=0相交于點S,T,證明:

磔［》為定值.

22

【典例7-2】已知P（2,l）為橢圓「:乙+乙=1上一點，對于「上任意兩點A,B,我們定義A3關于尸的生

82

成點的形成過程：過戶作平行于A3的直線交「于異于尸的一個點（若A與8重合，則為:T在A處的切

線；若A3與尸處切線平行，則交點為尸），記為［AB］,,且對V”eN*,記5+1）4=卜公司”稱{2A…?…}

為A關于P的生成點列.

⑴已知A（2應,0）,B（O,-V2）,直接寫出［A,司「和3A的坐標；

⑵若A,5,Ce：T,且AB,C均在第一象限，證明：

（3）已知。為「上異于尸的一點，且。在第一象限內，若。關于尸的生成點列中至少有一點是尸，求出所有滿

足題意的點Q的坐標.

【變式7-1】已知尸為坐標平面內一定點，A為平面上的任意點，向量向=(x,y),點A繞著點P逆時針旋

轉。角后得到點B,則麗=(疣0$6-a11(9,%81116+加05。)，我們稱該過程為平面上點的旋轉，對平面上的

任一點做旋轉，則稱其為平面的旋轉變換.平面上的某二次曲線能夠通過旋轉變成反比例函數圖象，我們

稱該二次曲線為“反比例曲線”.

(1)證明曲線1-看=1是“反比例曲線”，并求出旋轉后的反比例函數圖象的表達式.

22

(2)證明：“雙曲線工-當=1(。＞0/＞0)是，反比例曲線，”的充要條件是“該雙曲線是等軸雙曲線”.

ab

22

⑶若存在雙曲線氏，-2=1伍＞0,。＞0)是“反比例曲線”，過原點。。的直線區(qū)-y=0(0〈左＜1)交該雙曲

線E于點A，將QA繞點A旋轉至能在雙曲線E的漸近線上找到點。一點。滿足|0。&=|0閨，以此類推，

過點0,1(〃eN)作斜率為k的直線交雙曲線E于點4，將。,一4繞點4旋轉至能在雙曲線E的漸近線上找

到點?！埃c?！皾M足|QT4=|QA|.在中，設底邊。,一0“上的高為%求

命題預測

1.現定義：若圓A上一動點圓A外一定點N,滿足|聞乂|的最大值為其最小值的兩倍，則稱N為圓A

的“上進點”.若點G同時是圓A和圓8的“上進點”，則稱G為圓“A83”的“牽連點”.已知圓

A:(x+l)2+(y+l)2=1.

⑴若點C為圓A的“上進點”，求點C的軌跡方程并說明軌跡的形狀；

(2)已知圓2:(x-2>+(y-2了=1,且P,。均為圓“A區(qū)3”的“牽連點”.

(i)求直線P。的方程；

(ii)若圓H是以線段尸。為直徑的圓，直線/：了=丘+；與反交于兩點，探究當人不斷變化時，在>軸

上是否存在一點W,使得>軸平分4WV?若存在，求出點W的坐標；若不存在，請說明理由.

題型八：概率與統(tǒng)計新定義

【典例8-1］已知數列｛叫的通項公式為%=3〃-2,也｝的通項公式為a=2"-1,設集合

4=｛q,生,。J,4=,也,…,勺｝(。JeN*).

(1)在4u當中任取三個不同的元素，記所取的三個元素中在A4n心中的元素個數為X,求隨機變量X的

分布列和數學期望.

/\fl,XGA/

⑵定義在全集U上的子集M的特征函數為(尤)=」尤任出.設U=4oi°U練，記事件R■

心Jx)+源(x)=0,求事件R發(fā)生的概率P(R).

【典例8-2】在信息論中，嫡(entropy)是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息燧、信源

牖.若把信息嫡定義為概率分布的對數的相反數，設隨機變量X的所有取值為

1,2,3廣.,〃(“€1<),「(乂=7)=口，定義信息燧：H(X)=H.(PI，P2,…，P")=-SPilog?Pi,乞Pi=1,i=1,2,…,n

i=l?=1

(1)若〃=2,且Pi=必，求隨機變量X的信息燧;

⑵若A=g+g，P2=*，Pk+i=2Pk，k=2,3人.,n，求隨機變量X的信息燧;

(3)設x和y是兩個獨立的隨機變量，求證：H(xr)="(x)+H(y).

【變式8-1】高血壓(也稱血壓升高)，是血液在流動時對血管壁造成的壓力值持續(xù)高于正常范圍的現象，

典型癥狀包括頭痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鳴等.最新的調查顯示，中國成人高血壓的患病率為27.9%,

大概每三位成人中就有一位是高血壓患者.改善生活方式和藥物治療是最常用的治療方式，同時適當鍛煉

可以使血壓水平下降，高血壓發(fā)病率降低，控制高血壓的發(fā)展.

(1)某社區(qū)為鼓勵和引導轄區(qū)居民積極參加體育健身活動，養(yǎng)成良好的鍛煉習慣，開展“低碳萬步走，健康在

(2)社區(qū)將參加徒步走活動的隊員分成了甲、乙、丙三組進行挑戰(zhàn)賽，其規(guī)則：挑戰(zhàn)權在任何一組，該組都

可向另外兩組發(fā)起挑戰(zhàn)，首先由甲組先發(fā)起挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)乙組、丙組的概率均為若甲組挑戰(zhàn)乙組，則下

21

次挑戰(zhàn)權在乙組.若挑戰(zhàn)權在乙組，則挑戰(zhàn)甲組、丙組的概率分別為-；若挑戰(zhàn)權在丙組，則挑戰(zhàn)甲組、

乙組的概率分別為：，

(i)經過3次挑戰(zhàn)，求挑戰(zhàn)權在乙組的次數X的分布列與數學期望；

(ii)定義：己知數列｛%｝,若對于任意給定的正數￡(不論它多么小)，總存在正整數N。，使得當〃〉乂

時，(A是一個確定的實數)，則稱數列｛。.｝為“聚點數列”，A稱為數列｛?！埃木埸c.經過〃次挑

戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權在甲組的概率為%,證明數列｛《｝為“聚點數列”，并求出聚點A的值.

附:回歸方程9=%+&中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為A=

a-y-bx.

\命題預測1

1.錯排問題最早由伯努利與歐拉系統(tǒng)研究，歷史上稱為伯努利―歐拉的裝錯信封問題.現在定義錯排數

/5,，九）為將q,a2,生，L,?！肮病眰€元素排列在偽，b2,b3,L,2共〃個位置上，其中有機個元素

不在其對應位置上的情況數（%的對應位置為4,左?N*,左W〃）.容易得到，尸（1,1）=0,/（2,2）=1,

/（3,3）=2,規(guī)定P（0,0）=L

⑴計算：F（4,4）,F（5,5）；

（2）記4=八，｛4｝的前，項和為S“，證明：S,=攻坐（〃eN*）；

F［n,n）+F［n-Y,n-Y）v72、1

⑶定義錯排概率P（〃,力。為隨機將q,4，的，L,?！肮病眰€元素排列在4，b2,b3,L,2共〃個位置

1m（一1丫

上，其中恰有加個元素不在其對應位置上的概率，證明：尸（耳加）=7——一.

'71M一1!II

重難點突破：高等數學背景下新定義

【典例9-1】帕德逼近是法國數學家亨利?帕德發(fā)現的一種用有理函數逼近任意函數的方法.帕德逼近有“階”

的概念，如果分子是〃7次多項式，分母是"次多項式，那么得到的就是［〃?,〃］階的帕德逼近，記作用“”一

般地，函數f（x）在x=0處的四川階帕德逼近定義為：尺,口）=?+丁+產了…，且滿足

〃。）=鼠”（。）/（。）=（0）,f"（0）=<?（0）,…，尸）（0）=蠕"）（0）.

注：尸（X）=［尸（切’"⑶（尤）=（x）=［r"f（x）］.

已知函數/(X)=，在x=0處的［1,1］階帕德逼近為%(x)=.

(D求(尤)的解析式；

⑵當x<2時，比較，⑺與%(x)的大??；

13

(3)證明：當%>0時，X-<-.

2

【典例9-2)請閱讀下列2段材料：

材料1：若函數y=的導數〃力仍是可導函數，則尸⑺的導數［，⑺了稱為/⑺的二階導數，記為

f"(x)：若/”(x)仍是可導函數，則尸'⑺的數［/⑺］'稱為/(X)的三階導數，記為尸”(X);以此類推，我

們可以定義”階導數：設函數y=〃x)的〃-1階導數/T(x)(心2,〃eN+)仍是可導函數，則r'T(x)的

導數［產?)］’稱為"X)的〃階導數，記為廣(江即數(力=［1尸(明】

材料2：帕德逼近是法國數學家亨利?帕德發(fā)現的對任意函數的一種用有理函數逼近的方法.帕德逼近有階的

vn

概念，如果分子是小次多項式，分母是”次多項式，那么帕德逼近就是一階的帕德逼近.

n

一般地，函數/(元)在x=0處的上〃,〃］階帕德逼近函數定義為：R(x)=*++…+?：”1且滿足/⑼=R(O),

JL-iiZ|八十,??十Zy人

/(O)=7?'(O),r(O)=7?"(O),/(E)(O)=R(E)(O)(其中e=2.71878…為自然對數的底數).

請根據以上材料回答下列問題：

⑴求函數/(x)=ln(x+l)在x=0處的［1』階帕德逼近函數R(x),并比較與火⑺的大小;

(2)求證：當xe(0,4<o)時，恒成立.

(3)在⑴條件下,若〃(%)=/(同在(。,+8)上存在極值，求機的取值范圍

【變式/1】記S“為有窮數列｛%｝的前"項和，若｛%｝滿足下列兩個條件則稱為凡階“期待數列"：①