高數(shù)下考試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)的極值點(diǎn)為：

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.x=3

2.若lim(x→0)(sinx/x)^2=1，則下列選項(xiàng)中正確的是：

A.lim(x→0)sinx/x=1

B.lim(x→0)sinx/x=0

C.lim(x→0)sinx/x=2

D.lim(x→0)sinx/x不存在

3.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2+2x+1，則f(x)的圖像是：

A.開口向上的拋物線

B.開口向下的拋物線

C.直線

D.雙曲線

4.下列函數(shù)中，連續(xù)函數(shù)是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x^3

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，則f(x)的圖像在x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：

A.1

B.2

C.3

D.4

6.若lim(x→0)(sinx-x)/x^3=1/6，則下列選項(xiàng)中正確的是：

A.lim(x→0)sinx/x=1/2

B.lim(x→0)sinx/x=1/3

C.lim(x→0)sinx/x=1/6

D.lim(x→0)sinx/x不存在

7.設(shè)函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)，則f(x)的圖像是：

A.開口向上的拋物線

B.開口向下的拋物線

C.直線

D.雙曲線

8.下列函數(shù)中，可導(dǎo)函數(shù)是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x^3

9.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，則f(x)的圖像在x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：

A.1

B.2

C.3

D.4

10.若lim(x→0)(sinx-x)/x^3=1/6，則下列選項(xiàng)中正確的是：

A.lim(x→0)sinx/x=1/2

B.lim(x→0)sinx/x=1/3

C.lim(x→0)sinx/x=1/6

D.lim(x→0)sinx/x不存在

11.設(shè)函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)，則f(x)的圖像是：

A.開口向上的拋物線

B.開口向下的拋物線

C.直線

D.雙曲線

12.下列函數(shù)中，可導(dǎo)函數(shù)是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x^3

13.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，則f(x)的圖像在x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：

A.1

B.2

C.3

D.4

14.若lim(x→0)(sinx-x)/x^3=1/6，則下列選項(xiàng)中正確的是：

A.lim(x→0)sinx/x=1/2

B.lim(x→0)sinx/x=1/3

C.lim(x→0)sinx/x=1/6

D.lim(x→0)sinx/x不存在

15.設(shè)函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)，則f(x)的圖像是：

A.開口向上的拋物線

B.開口向下的拋物線

C.直線

D.雙曲線

16.下列函數(shù)中，可導(dǎo)函數(shù)是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x^3

17.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，則f(x)的圖像在x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：

A.1

B.2

C.3

D.4

18.若lim(x→0)(sinx-x)/x^3=1/6，則下列選項(xiàng)中正確的是：

A.lim(x→0)sinx/x=1/2

B.lim(x→0)sinx/x=1/3

C.lim(x→0)sinx/x=1/6

D.lim(x→0)sinx/x不存在

19.設(shè)函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)，則f(x)的圖像是：

A.開口向上的拋物線

B.開口向下的拋物線

C.直線

D.雙曲線

20.下列函數(shù)中，可導(dǎo)函數(shù)是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x^3

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.函數(shù)f(x)=x^2在x=0處不可導(dǎo)。（）

2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上一定可導(dǎo)。（）

3.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)。（）

4.函數(shù)f(x)=e^x在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。（）

5.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處連續(xù)。（）

6.若函數(shù)f(x)在x=a處不可導(dǎo)，則f(x)在x=a處一定不連續(xù)。（）

7.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處一定可導(dǎo)。（）

8.函數(shù)f(x)=x^3在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。（）

9.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f'(a)存在。（）

10.函數(shù)f(x)=sinx在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。（）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述拉格朗日中值定理的內(nèi)容。

2.如何求函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[1,3]上的平均變化率？

3.請(qǐng)說明如何判斷一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)是否可導(dǎo)。

4.簡(jiǎn)述泰勒公式的定義及其應(yīng)用。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，并舉例說明。

2.闡述洛必達(dá)法則的適用條件及其求解過程，并給出一個(gè)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決不定型極限問題的實(shí)例。

試卷答案如下

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.A,B,C

解析思路：函數(shù)f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=0，x=1，x=-1，這些點(diǎn)為極值點(diǎn)。

2.C

解析思路：由極限的性質(zhì)，若lim(x→0)f(x)/g(x)=A，則lim(x→0)f(x)=A*lim(x→0)g(x)。由于g(x)=x^3，當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→0，所以f(x)也趨于0。

3.A

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2+2x+1是一個(gè)二次多項(xiàng)式，其圖像為開口向上的拋物線。

4.A,B,D

解析思路：f(x)=|x|在x=0處連續(xù)，但在x=0處不可導(dǎo)；f(x)=x^2在所有點(diǎn)都連續(xù)且可導(dǎo)；f(x)=1/x在x=0處不連續(xù)，不可導(dǎo)；f(x)=x^3在所有點(diǎn)都連續(xù)且可導(dǎo)。

5.B

解析思路：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x的值，再代入f(x)求出對(duì)應(yīng)的y值，找出圖像與x軸的交點(diǎn)。

6.C

解析思路：使用洛必達(dá)法則或泰勒公式可以求出sinx在x=0附近的近似值，進(jìn)而求出極限。

7.A

解析思路：函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1處有間斷點(diǎn)，因此圖像為開口向上的拋物線。

8.A,B,D

解析思路：與第一題解析思路相同。

9.B

解析思路：與第五題解析思路相同。

10.C

解析思路：與第六題解析思路相同。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析思路：函數(shù)f(x)=|x|在x=0處可導(dǎo)。

2.×

解析思路：連續(xù)不一定可導(dǎo)，例如f(x)=|x|在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)。

3.√

解析思路：函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)。

4.√

解析思路：指數(shù)函數(shù)e^x在其定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。

5.√

解析思路：可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件。

6.×

解析思路：不可導(dǎo)不一定是由于不連續(xù)。

7.×

解析思路：連續(xù)不一定可導(dǎo)。

8.√

解析思路：多項(xiàng)式函數(shù)在其定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。

9.√

解析思路：可導(dǎo)的定義是導(dǎo)數(shù)存在。

10.√

解析思路：三角函數(shù)sinx在其定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.拉格朗日中值定理的內(nèi)容是：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么存在至少一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

2.求函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[1,3]上的平均變化率，可以使用公式平均變化率=(f(b)-f(a))/(b-a)，代入f(3)=9和f(1)=1，得到平均變化率=(9-1)/(3-1)=4。

3.判斷一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)是否可導(dǎo)，可以通過計(jì)算該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是否存在來判斷。如果導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。

4.泰勒公式的定義是：如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，那么存在一個(gè)泰勒多項(xiàng)式Pn(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!，使得在x=a附近，f(x)可以近似表示為Pn(x)。泰勒公式可以用于求函數(shù)在某一點(diǎn)的近似值。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系是：可導(dǎo)是連續(xù)的充分不必要條件。如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)；但