PAGE1（北師大版）七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章相交線與平行線》專題巧解平行線中的拐點(diǎn)問(wèn)題題型一過(guò)一個(gè)拐點(diǎn)作平行線求角度1．（2024秋?渝北區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD，∠BAP＝33°，∠DCP＝21°，則∠P的度數(shù)為（）A．52° B．53° C．54° D．55°【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，則∠BAP＝∠APE，再由AB∥CD可知PE∥CD，故∠DCP＝∠EPC，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵∠BAP＝33°，∠DCP＝21°，∴∠BAP＝∠APE＝33°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠DCP＝∠EPC＝21°，∴∠P＝∠APE+∠EPC＝33°+21°＝54°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2024春?新昌縣期末）李四在學(xué)習(xí)“平行線”的知識(shí)后，將手中的等腰直角三角形擺放在直尺上，如圖所示，則∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1+∠2＝90° D．2∠1+∠2＝180°【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，先根據(jù)豬腳模型可得∠GEH＝∠3+∠4＝90°，然后利用對(duì)頂角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，從而利用等量代換可得∠1+∠2＝90°，即可解答．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠5＝∠3，∵AB∥CD，∴∠EF∥CD，∴∠6＝∠4，∵∠GEH＝∠5+∠6＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∵∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠1+∠2＝90°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024春?道縣期末）某小區(qū)車(chē)庫(kù)門(mén)口的“曲臂直桿道閘”（如圖）可抽象為如圖所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．當(dāng)車(chē)牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的BC段將繞點(diǎn)B緩慢向上抬高，CD段則一直保持水平狀態(tài)上升（即CD與AE始終平行），在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠ABC+∠BCD的度數(shù)始終等于（）度A．360 B．180 C．250 D．270【分析】過(guò)點(diǎn)B作BG∥AE，利用平行線的性質(zhì)可得∠BAE+∠ABG＝180°，∠C+∠CBG＝180°，從而可得∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，然后根據(jù)垂直定義可得∠BAE＝90°，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BG∥AE，∴∠BAE+∠ABG＝180°，∵AE∥CD，∴BG∥CD，∴∠C+∠CBG＝180°，∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握鉛筆模型是解題的關(guān)鍵．4．（2024?平輿縣一模）如圖，是賽車(chē)跑道的一段示意圖，其中AB∥DE，測(cè)得∠B＝130°，∠D＝120°，則∠C的度數(shù)為（）A．120° B．110° C．140° D．90°【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，由平行線性質(zhì)可得∠B，∠D，∠BCF，∠DCF的關(guān)系，進(jìn)而求得∠C．【解答】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB．∵AB∥DE，∴DE∥CF；∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°；∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝110°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，解題時(shí)需要作輔助線求解．5．（2024春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．55° B．75° C．80° D．105°【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，利用平行線的性質(zhì)得出∠3＝∠1+∠2＝75°．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，如圖所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，則∠DFG可以表示為（）A．180°﹣x B．90°+x C．90°﹣x D．180°﹣2x【分析】過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB，先證AB∥GH∥CD，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，進(jìn)而得∠EGF＝∠EGH+∠FGH＝∠BEG+∠DFG，然后根據(jù)∠EGF＝90°，∠BEG＝x，得90°＝x+∠DFG，由此可得∠DFG的度數(shù)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB，如圖所示：∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，∴∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，∴∠EGF＝∠EGH+∠FGH＝∠BEG+∠DFG，∵∠EGF＝90°，∠BEG＝x，∵90°＝x+∠DFG，∴∠DFG＝90°﹣x．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解問(wèn)題的關(guān)鍵，正確地作出輔助線是解決問(wèn)題的難點(diǎn)．7．如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，則∠AGC的度數(shù)是【分析】過(guò)點(diǎn)F作FM∥CD，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM∥∵AB∥∴AB∥∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，∵∠BAG=150°，∠DEF=130°，∴∠MFA=30°，∠EFM=50°，∴∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°，∵CG∥EF，∴∠AGC=∠EFA=80°．故答案為80°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算．8．（2024秋?海安市期末）如圖，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：AB∥CD；（2）探究∠A，∠AEC，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若∠BDC＝140°，∠F＝20°．求∠C的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠A+∠ABD＝180°，結(jié)合已知∠A＝∠BDC，得到∠BDC+∠ABD＝180°，于是問(wèn)題得證；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，于是有EH∥CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠A+∠AEH＝180°，∠C+∠CEH＝180°，從而得出∠A+∠AEC+∠C＝360°；（3）在△CEF中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出12∠AEC+∠C=160°，結(jié)合（2）中的結(jié)論得出∠AEC+∠C＝220°，從而求出∠【解答】（1）證明：∵AE∥BD，∴∠A+∠ABD＝180°，∵∠A＝∠BDC，∴∠BDC+∠ABD＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∠A+∠AEC+∠C＝360°，理由：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，由（1）知AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠A+∠AEH＝180°，∠C+∠CEH＝180°，∴∠A+∠AEH+∠C+∠CEH＝360°，即∠A+∠AEC+∠C＝360°；（3）解：∵∠AEC的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∠CEF=1在△CEF中，∠F+∠CEF+∠C＝180°，∵∠F＝20°，∴12∠AEC+∠C=160°∵∠A＝∠BDC，∠BDC＝140°，∴∠A＝140°，∵∠A+∠AEC+∠C＝360°，∴∠AEC+∠C＝220°②，②﹣①得，∠AEC＝120°，∴∠C＝100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?南召縣期末）課堂上老師呈現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：下面提供三種思路：思路一：過(guò)點(diǎn)F作MN∥CD（如圖（1））；思路二：過(guò)點(diǎn)P作PN∥EF，交AB于點(diǎn)N；思路三：過(guò)點(diǎn)O作ON∥FG，交CD于點(diǎn)N．解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)思路一（圖（1）），可求得∠EFG的度數(shù)為；（2）根據(jù)思路二、思路三分別在圖（2）和圖（3）中作出符合要求的輔助線；（3）請(qǐng)你從思路二、思路三中任選其中一種，試寫(xiě)出求∠EFG的度數(shù)的解答過(guò)程．【分析】（1）過(guò)F作MN∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)；（2）由圖可得，思路二輔助線的做法為過(guò)P作PN∥EF；思路三輔助線的做法為過(guò)O作ON∥FG；（3）若選擇思路二，過(guò)P作PN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠NPD的度數(shù)，再根據(jù)∠1的度數(shù)以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠EFG的度數(shù)；若選擇思路三，過(guò)O作ON∥FG，先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠BON的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖（1），過(guò)F作MN∥CD，∵M(jìn)N∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案為：120°；（2）由圖可得，思路二輔助線的做法為過(guò)P作PN∥EF；思路三輔助線的做法為過(guò)O作ON∥FG；（3）若選擇思路二，理由如下：如圖（2），過(guò)P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若選擇思路三，理由如下：如圖（3），過(guò)O作ON∥FG，∵ON∥FG，∠1＝30°，∴∠PNO＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠BON＝∠PNO＝30°，又∵EF⊥AB，∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，∵ON∥FG，∴∠EFG＝∠EON＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．題型二過(guò)多個(gè)拐點(diǎn)作平行線求角度1．（2024秋?建平縣期末）如圖，直線CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，則∠1+∠2＝（）A．30° B．35° C．36° D．40°【分析】過(guò)點(diǎn)A作l1的平行線，過(guò)點(diǎn)B作l2的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠MAB+∠ABN＝180°，然后計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作l1的平行線AM，過(guò)點(diǎn)B作l2的平行線BN，則∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN＝180°，∵∠CAB＝135°，∠ABD＝85°∴∠3+∠4＝135°+85°﹣180°＝40°，∴∠1+∠2＝40°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2024春?福田區(qū)期中）中華武術(shù)，博大精深．小明把如圖1所示的武術(shù)動(dòng)作抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題．如圖2，已知AB∥CD，∠C＝90°，∠B＝78°，∠E＝98°，則∠F的度數(shù)是（）A．106° B．110° C．118° D．120°【分析】過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，從而可得AB∥FH∥EG∥CD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠B+∠HFB＝180°，∠EFH＝GEF，∠C+∠CEG＝180°，從而可得∠HFB＝102°，∠CEG＝90°，進(jìn)而可得∠EFH＝∠GEF＝8°，最后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥FH∥EG∥CD，∴∠B+∠HFB＝180°，∠EFH＝GEF，∠C+∠CEG＝180°，∴∠HFB＝180°﹣∠B＝102°，∠CEG＝180°﹣∠C＝90°，∴∠GEF＝∠CEF﹣∠CEG＝98°﹣90°＝8°，∴∠EFH＝∠GEF＝8°，∴∠EFB＝∠EFH+∠HFB＝102°+8°＝110°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024春?新洲區(qū)期末）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠D，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【分析】過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，過(guò)點(diǎn)D作DH∥EF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，過(guò)點(diǎn)D作DH∥EF，則∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，此類(lèi)題目難點(diǎn)在于過(guò)拐點(diǎn)作平行線．4．如圖所示，若AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)是．【分析】過(guò)E作EQ∥CD，過(guò)F作FW∥CD，過(guò)G作GR∥CD，過(guò)H作HY∥CD，根據(jù)平行線的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【解答】解：如圖1，過(guò)E作EQ∥CD，過(guò)F作FW∥CD，過(guò)G作GR∥CD，過(guò)H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．故答案為：900°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．5．（2024春?慈溪市期中）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，點(diǎn)G，H在兩條平行線AB，CD之間，∠AEG與∠FHG的平分線交于點(diǎn)M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，則∠M＝．【分析】過(guò)點(diǎn)G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根據(jù)已知易得：AB∥GN∥MP∥KH∥CD，再利用鋸齒模型可得∠AEG+∠GHF＝∠EGH+∠HFD＝104°，然后利用角平分線的定義可得∠AEM=12∠AEG，∠MHF=12∠GHF，從而可得∠AEM+∠MHF＝52°，進(jìn)而可得∠AEM+∠MHK＝32°，最后利用豬腳模型可得∠EMH＝∠【解答】解：過(guò)點(diǎn)G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD，∵GN∥AB，∴∠AEG＝∠EGN，∵GN∥KH，∴∠GHK＝∠NGH，∵KH∥CD，∴∠KHF＝∠HFD＝20°，∴∠AEG+∠GHK+∠KHF＝∠EGN+∠NGH+∠HFD，∴∠AEG+∠GHF＝∠EGH+∠HFD，∵∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，∴∠AEG+∠GHF＝104°，∵EM平分∠AEG，MH平分∠GHF，∴∠AEM=12∠AEG，∠MHF=1∴∠AEM+∠MHF=12（∠AEG+∠∵∠KHF＝20°，∴∠AEM+∠MHK＝32°，∵M(jìn)P∥AB∥KH，∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠MHK，∴∠AEM+∠MHK＝∠EMP+∠PMH＝32°，即∠EMH＝32°，故答案為：32°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2024春?金湖縣期末）如圖，AB∥CD，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EH、FH分別是∠AEG和∠CFG的角平分線．若∠G＝110°，則∠H＝°．【分析】過(guò)點(diǎn)G作GM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEG+∠EGM＝180°，再結(jié)合已知可得CD∥GM，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠CFG+∠MGF＝180°，從而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分線的定義可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分別是∠AEG和∠CFG的角平分線，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=1∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+1∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，故答案為：125．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?寶豐縣期末）已知直線MN、PQ，點(diǎn)A、B為分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)C為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．（1）求證：MN∥PQ；（2）如圖2，射線AE、BD分別平分∠MAC和∠CBQ，AE交直線PQ于點(diǎn)E，BD與∠NAC內(nèi)部的一條射線AD交于點(diǎn)D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度數(shù)．【分析】（1）過(guò)C作CS∥MN，由已知可以得到PQ∥CS，從而得到MN∥PQ；（2）連接DC并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，由已知可以得到∠DAC=12∠NAC，再由∠EAD＝∠EAC+∠【解答】（1）證明：過(guò)C作CS∥MN，如圖，∵CS∥MN，∴∠NAC＝∠ACS，∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ，∴∠BCS＝∠CBQ，∴PQ∥CS，∴MN∥PQ；（2）解：如圖，連接DC并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，則：∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB，∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC，∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC，又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB．∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC，∴∠DAC=12∠∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD=12∠MAC+=12（∠MAC+∠＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的應(yīng)用，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)及利用輔助線解題的方法是解題關(guān)鍵．8．（2024春?潛山市月考）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若∠M＝90°，則∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM與∠DFM的角平分線交于點(diǎn)N，則∠N的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，則AB∥CD∥MP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，則AB∥CD∥NQ，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和角平分線的定義可得答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案為：270°；（2）過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點(diǎn)N，∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF=12∠EMF=故答案為：12n【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和角平分線的定義是解題關(guān)鍵．9．（2024春?全椒縣期末）如圖1，AB∥CD，過(guò)點(diǎn)F作FP∥CD，可得FP∥AB．利用平行線的性質(zhì)，可得：∠EFG與∠BEF，∠DGF之間的數(shù)量關(guān)系是，∠EFG+∠AEF+∠CGF＝°．利用上面的發(fā)現(xiàn)，解決下列問(wèn)題：（1）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)M是∠AEF和∠FGC平分線的交點(diǎn)，∠EFG＝126°，求∠EMG的度數(shù)；（2）如圖3，AB∥CD，GM平分∠CGF，EM⊥GM，EF平分∠BEM，若∠EFG比∠CGF大8°，則∠CGF的度數(shù)是．【分析】（1）由已知得AB∥FP∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠EFP＝∠BEF，∠PFG＝∠DGF，據(jù)此可得出∠EFG與∠BEF，∠DGF之間的數(shù)量關(guān)系；先由AB∥FP∥CD得∠EFP+∠AEF＝180°，∠PFG+∠CGF＝180°，據(jù)此可得出∠EFG+∠AEF+∠CGF的度數(shù)；（2）設(shè)∠AEM＝∠MEF＝α，∠CGM＝∠MGF＝β，則∠AEF＝2α，∠CGF＝2β，由（1）的結(jié)論得∠EMG＝∠AEM+∠CGM＝α+β，∠EFG+∠AEF+∠CGF＝360°，進(jìn)而得126°+2α+2β＝360°，據(jù)此可得∠EMG的度數(shù)；（3）設(shè)∠CGM＝θ，則∠MGF＝∠CGM＝θ，∠CGF＝2θ，∠DCF＝180°﹣2θ，由（1）的結(jié)論及EM⊥GM得∠AEM＝90°﹣θ，進(jìn)而得∠BEF=12(90°+θ)，再由（1）的結(jié)論得∠EFG=225°?32θ，然后根據(jù)∠EFG比∠【解答】解：∠EFG與∠BEF，∠DGF之間的數(shù)量關(guān)系是：∠EFG＝∠BEF+∠DGF．理由如下：∵AB∥CD，F(xiàn)P∥CD，∴AB∥FP∥CD，∴∠EFP＝∠BEF，∠PFG＝∠DGF，∴∠EFP+∠PFG＝∠BEF+∠DGF，即：∠EFG＝∠BEF+∠DGF；∠EFG+∠AEF+∠CGF＝360°．理由如下：∵AB∥FP∥CD，∴∠EFP+∠AEF＝180°，∠PFG+∠CGF＝180°，∴∠EFP+∠PFG+∠AEF+∠CGF＝360°，即：∠EFG+∠AEF+∠CGF＝360°．故答案為：∠EFG＝∠BEF+∠DGF，360°；（2）∵EM平分∠AEF，GM平分∠FGC，∴設(shè)∠AEM＝∠MEF＝α，∠CGM＝∠MGF＝β，∴∠AEF＝2α，∠CGF＝2β，由（1）的結(jié)論得：∠EMG＝∠AEM+∠CGM＝α+β，∠EFG+∠AEF+∠CGF＝360°，又∵∠EFG＝126°，∴126°+2α+2β＝360°，∴α+β＝117°，∴∠EMG＝α+β＝117°；（3）設(shè)∠CGM＝θ，∵GM平分∠CGF，∴∠MGF＝∠CGM＝θ，∴∠CGF＝2θ，∴∠DCF＝180°﹣∠CGF＝180°﹣2θ，由（1）的結(jié)論得：∠EMG＝∠CGM+∠AEM，∠EFG＝∠BEF+∠DGF，∵EM⊥GM，∴∠EMG＝90°，∴∠AEM＝90°﹣θ，∴∠BEM＝180°﹣∠AEM＝180°﹣（90°﹣θ）＝90°+θ，∵EF平分∠BEM，∴∠BEF=1∴∠EFG=∠BEF+∠DGF=1∵∠EFG比∠CGF大8°，∴∠EFG＝∠CGF+8°，即：225°?3解得：θ＝62°，∴∠CGF＝2θ＝124°．故答案為：124°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，難點(diǎn)是類(lèi)比思想、方程思想在解題中的應(yīng)用．題型三過(guò)拐點(diǎn)作平行線的證明題1．如圖,已知∠1=70°，∠2=30°,EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求證：AB∥CD.【分析】先過(guò)點(diǎn)E在∠BEC的內(nèi)部作EM∥AB，求出∠BME的度數(shù)，根據(jù)角平分線求出∠BEC的度數(shù)，從而求出∠CEM的度數(shù)，然后根據(jù)∠CEM=∠2，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出EM∥AB.【解答】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E在∠BEC的內(nèi)部作EM∥AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM∥CD,又∵EM∥AB∴AB∥CD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)E在∠BEC的內(nèi)部作EM//AB．2．如圖，點(diǎn)E在線段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求證：BE⊥DE.【分析】過(guò)點(diǎn)E在∠BED的內(nèi)部作EM∥AB，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根據(jù)∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，從而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可證明BE⊥DE.【解答】證明：過(guò)點(diǎn)E在∠BED的內(nèi)部作EM∥AB，則∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB∥CD，EM∥CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．3．（2024秋?原陽(yáng)縣校級(jí)期末）如圖，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，求證：AB∥EF．【分析】解本例的困難在于圖形中沒(méi)有“三線八角”，考慮創(chuàng)造條件，在圖中添置“三線八角”或作出與AB或CD平行的直線，利用平行線的性質(zhì)和判定求證．【解答】解：過(guò)C點(diǎn)作CG∥AB，過(guò)點(diǎn)D作DH∥AB，則CG∥DH，∵∠B＝25°，∴∠BCG＝25°，∵∠BCD＝45°，∴∠GCD＝20°，∵CG∥HD，∴∠CDH＝20°，∵∠CDE＝30°，∴∠HDE＝10°∴∠HDE＝∠E＝10°，∴DH∥EF，∴DH∥AB，∴AB∥EF．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，輔助線是常見(jiàn)的作法，證明過(guò)程注意選用有用的條件作為證明的依據(jù)．4．（2024春?陽(yáng)江期末）如圖1，AB∥CD，EOF是直線AB、CD間的一條折線．（1）試證明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果將折一次改為折二次，如圖2，則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之間會(huì)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．【分析】（1）作OM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根據(jù)平行線的傳遞性得OM∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【解答】（1）證明：作OM∥AB，如圖1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如圖2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．5．（2024春?蒙陰縣期末）如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A、B分別在l1與l2上．直線l3和直線l1、l2交于點(diǎn)C和D，在直線CD上有一點(diǎn)P．（1）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1，求出PE∥l2∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2，即可得出答案；（2）分為兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在l2下方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在l1上方時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【解答】解：（1）如圖，當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2，∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD；（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），則有兩種情形：①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在l2下方時(shí)，有結(jié)論：∠APB＝∠PAC﹣∠PBD．理由是：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1，則∠APE＝∠PAC，又∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠BPE＝∠PBD，∵∠APE＝∠APB+∠BPE，∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD；②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在l1上方時(shí)，有結(jié)論：∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．理由是：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l2，則∠BPE＝∠PBD，又∵l1∥l2，∴PE∥l1，∴∠APE＝∠PAC，∵∠BPE＝∠APE+∠APB，∴∠PBD＝∠PAC+∠APB，∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，證明過(guò)程類(lèi)似．6．（2024秋?長(zhǎng)安區(qū)期末）如圖1，AB∥CD，在AB、CD內(nèi)有一條折線EPF．（1）求證：∠AEP+∠CFP＝∠EPF；（2）在圖2中，畫(huà)∠BEP的平分線與∠DFP的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，試探索∠EPF與∠EQF之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，已知∠BEP和∠DFP均為鈍角，點(diǎn)G在直線AB、CD之間，且滿足∠BEG=1n∠BEP，∠DFG=1n∠DFP，（其中n為常數(shù)且n＞1），直接寫(xiě)出∠【分析】（1）首先過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，然后根據(jù)AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，據(jù)此判斷出∠AEP+∠CFP＝∠EPF即可；（2）首先由（1）可得∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ；然后根據(jù)∠BEP的平分線與∠DFP的平分線相交于點(diǎn)Q，推得∠EQF=12（360﹣∠EPF），即可判斷出∠EPF+2∠（3）首先由（1）可得∠EGF＝∠AEG+∠CFG，∠EPF＝∠BEP+∠DFP；然后根據(jù)∠BEP=1n∠BEG，∠DFP=1n∠DFG，推得∠EPF=1n×（360°﹣∠EGF【解答】證明：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，又∵∠1+∠2＝∠EPF，∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF；（2）如圖2，，由（1）可得：∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEP的平分線與∠DFP的平分線相交于點(diǎn)Q，∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ=12（∠BEP+∠DFP）=12[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]∴∠EPF+2∠EQF＝360°；（3）由（1）可得：∠EGF＝∠AEG+∠CFG，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵∠BEG=1n∠BEP，∠DFG=1∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG=1n（∠BEP+∠DFP）=1n[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]∴n∠EGF+∠EPF＝360°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．7．小華在學(xué)習(xí)“平行線的性質(zhì)”后，對(duì)圖中∠B，∠D和∠BOD的關(guān)系進(jìn)行了探究：（1）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)O在AB，CD之間，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由；小華添加了過(guò)點(diǎn)O的輔助線OM，并且OM∥CD請(qǐng)幫助他寫(xiě)出解答過(guò)程；（2）如圖2，若點(diǎn)O在CD的上側(cè)，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）式．【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（2）求出AB∥CD∥OM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（3）求出AB∥CD∥OM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：如圖：過(guò)O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：如圖：過(guò)O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，證明過(guò)程類(lèi)似．題型四與拐點(diǎn)有關(guān)的綜合探究題1．（2024春?望奎縣期末）課題學(xué)習(xí)：平行線問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化思想．【閱讀理解】“兩條平行線被第三條直線所截”是平行線中的一個(gè)重要的“基本圖形”．與平行線有關(guān)的角都存在著這個(gè)“基本圖形”中，且都分布在“第三條直線”的兩旁．當(dāng)發(fā)現(xiàn)題目的圖形“不完整”時(shí)要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將其補(bǔ)充完整．將“非基本圖形”轉(zhuǎn)化為“基本圖形”這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．有這樣一道典型問(wèn)題：例題：如圖（1），已知AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB、CD之間，探究∠BED與∠B、∠D之間的關(guān)系．解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB．∵EF∥AB，AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∵∠BED＝∠BEF+∠DEF，∴∠BED＝∠B+∠D．【學(xué)以致用】（1）當(dāng)∠B＝30°，∠D＝35°時(shí)，∠BED＝°．（2）①如圖（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度數(shù)．②如圖（3），在①的條件下，若AF、CF分別平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度數(shù)．【分析】（1）因?yàn)椤螧ED＝∠B+∠D，所以當(dāng)當(dāng)∠B＝30°，∠D＝35°時(shí)，∠BED＝65°；（2）①如圖所示過(guò)點(diǎn)E作EF//AB，利用平行線的定理和推論可知∠AEC＝∠AEF+∠CEF，最后計(jì)算出∠AEC的度數(shù)；②已知AF、CF分別平分∠BAE和∠DCE，所以可以推導(dǎo)出∠BAF和∠DCF的度數(shù)，利用（1）的結(jié)論可知∠AFC的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠BED＝∠B+∠D，又∵∠B＝30°，∠D＝35°，∴∠BED＝65°，故答案為：65°；（2）①過(guò)點(diǎn)E作EF//AB，如圖：∵EF//AB，AB//CD，∴EF//AB//CD，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，又∵∠A＝135°，∠C＝130°，∴∠AEF＝180°﹣135°＝45°，∠CEF＝180°﹣130°＝50°，∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝45°+50°＝95°，答：∠AEC的度為95°；②∵∠BAE＝135°，AF平分∠BAE，∴∠BAF=1∵∠DCE＝130°，CF平分∠DCE，∴∠DCF＝65°，由（1）問(wèn)可知：∠AFC＝∠BAF+∠FCD＝67.5°+65°＝132.5°，答：∠AFC的度數(shù)為：132.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的重點(diǎn)是平行線的性質(zhì)和角度的計(jì)算，可以利用豬蹄模型和鉛筆模型的解題思路，很容易得出計(jì)算結(jié)果．2．（2024春?葉縣期中）如圖1、圖2，已知∠1+∠2＝180°（1）若圖1中∠AEF＝∠HLN，試找出圖中的平行線，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，試探究∠P與∠Q的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)答案，不寫(xiě)過(guò)程）【分析】（1）AB∥CD，EF∥HL；由同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得AB∥CD；延長(zhǎng)EF交CD于G，由平行線的性質(zhì)及已知∠AEF＝∠HIN，可得∠EGL＝∠HLN，從而可判定EF∥HL；（2）∠P＝3∠Q；作QR∥AB，先由平行線的性質(zhì)推得∠RQN＝∠QND，從而∠MQN＝∠QMB+∠QND；同理可得∠P＝∠PMB+∠PND；將∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，代入關(guān)系式∠P＝∠PMB+∠PND，計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）AB∥CD，EF∥HL理由如下：∵∠1＝∠AMN，∠1+∠2＝180°∴∠AMN+∠2＝180°∴AB∥CD；延長(zhǎng)EF交CD于G∵AB∥CD∴∠AEF＝∠EGL∵∠AEF＝∠HLN∴∠EGL＝∠HLN∴EF∥HL；（2）∠P＝3∠Q理由如下：∵AB∥CD，作QR∥AB，∴∠RQM＝∠QMB，QR∥CD∴∠RQN＝∠QND，∴∠MQN＝∠RQM+∠RQN＝∠QMB+∠QND同理可得∠P＝∠PMB+∠PND∵∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND∴∠P＝∠PMB+∠PND＝3∠QMB+3∠QND＝3（∠QMB+∠QND）＝3∠MQN∴∠P＝3∠Q．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定定理及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?小店區(qū)校級(jí)期末）（1）問(wèn)題背景：如圖1，已知AB∥CD，點(diǎn)P的位置如圖所示，連結(jié)PA，PC，試探究∠APC與∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，以下是小明同學(xué)的探索過(guò)程，請(qǐng)你結(jié)合圖形仔細(xì)閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學(xué)式）：解：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（），∴∠A+∠C＝+（等式的性質(zhì)）．即∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）類(lèi)比探究：如圖2，已知AB∥CD，線段AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，則∠AEC＝．（3）拓展延伸：如圖3，若∠ABC與∠ADC的角平分線相交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BFD與∠AEC之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）利用題干中的思路，依據(jù)兩條直線平行的判定，平行線的性質(zhì)和等式的性質(zhì)解答即可；（2）利用類(lèi)比的方法，依據(jù)（1）的思路與方法解答即可；（3）利用類(lèi)比的方法，依據(jù)（1）的思路與方法分別計(jì)算∠BFD與∠AEC，觀察結(jié)論即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性質(zhì)）．即∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案為：平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）過(guò)點(diǎn)E作EP∥AB，如圖，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案為：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分別是∠ABC，∠ADC的平分線，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．過(guò)點(diǎn)F作FP∥AB，如圖，則∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案為：2∠BFD＝∠AEC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，利用類(lèi)比的方法解答是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?長(zhǎng)春期末）小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，已知：AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接BE，ED，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．小亮幫助小明給出了該問(wèn)的證明．證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．請(qǐng)你參考小亮的思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：直線l1∥l2，直線EF和直線l1、l2分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在直線l1、l2上，猜想：如圖②，若點(diǎn)P在線段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度數(shù)．拓展：如圖③，若點(diǎn)P在直線EF上，連接PA、PB（BD＜AC），直接寫(xiě)出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】猜想：過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，從而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度數(shù)；拓展：分情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在射線DF上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在射線CE上時(shí)，然后過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行探究角之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：猜想：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線DP上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在射線CE上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；綜上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系為∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練作出輔助線構(gòu)造平行線，然后通過(guò)平行線的性質(zhì)得到內(nèi)錯(cuò)角相等．5．（2024春?蕪湖期末）【閱讀理解】?jī)蓷l平行線間的拐點(diǎn)問(wèn)題經(jīng)常可以通過(guò)作一條直線的平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化．已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，則∠APD的度數(shù)為；（2）如圖2，設(shè)∠A＝α，∠D＝β，猜想α，β，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，AP⊥PD，∠ODN=13∠PDC，AN交DP于點(diǎn)O，∠PAN+【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE＝∠A＝50°，∠EPD＝180°﹣150°＝30°，即可求出∠APD的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPE＝∠CDP＝β，∠APE+∠PAB＝180°，即可解答；（3）由AP⊥PD，得到∠P＝90°，根據(jù)題意求出∠NOD+∠OND＝90°，即可解答．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE＝∠A＝50°，∠DPE+∠D＝180°，∴∠DPE＝180°﹣150°＝30°，∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝50°+30°＝80°，故答案為：80°；（2）α+β﹣∠DPA＝180°，證明如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠DPE＝∠D＝β，∠APE+∠A＝180°，∴∠APE＝180°﹣α，∠DPE＝∠DPA+∠APE＝∠DPA+180°﹣α，∴β＝∠DPA+180°﹣α，∴α+β﹣∠DPA＝180°；（3）∵AP⊥PD，∴∠P＝90°，∵∠PAN+1∴∠PAN+1∵∠PAN+∠POA＝90°，∴∠POA=1∵∠POA＝∠NOD，∴∠NOD=1∵∠ODN=1∴∠NOD+∠OND=1∴∠N＝180°﹣（∠NOD+∠OND）＝180°﹣90°＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)及垂線，掌握平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2024春?安徽月考）（1）如圖1，直線AB∥CD．點(diǎn)P在直線AB，CD之間，試說(shuō)明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明說(shuō)明的過(guò)程是這樣的：“過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，…”請(qǐng)按照小明的思路寫(xiě)出完整的解答說(shuō)明過(guò)程．（2）①直線AB∥CD，點(diǎn)P，Q在直線AB，CD之間，且點(diǎn)P，Q在直線AC的同側(cè)，如圖2，試探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②直線AB∥CD，點(diǎn)P，Q在直線AB，CD之間，且點(diǎn)P，Q在直線AC的兩側(cè)．如圖3，試探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．請(qǐng)?jiān)冖佗谌芜x一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解答．（3）如圖4，若a∥b，直接寫(xiě)出圖中x的度數(shù)（不用說(shuō)理）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；（2）①過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥CD，如圖5，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，∠BAP+∠APE＝180°，∠EPQ+∠PQF＝180°，∠FQC+∠QCD＝180°，根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，即可得出答案；（3）如圖4，根據(jù)平行線模型﹣鋸齒模型定理，朝向左邊的角的和＝朝向右邊的角的和，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，120°角的鄰補(bǔ)角為60°，所以可列x+48°＝60°+30°+30°，求出x即可得出答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥PE，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵CD∥PE，∴∠DCP+CPE＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；（2）①過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥CD，如圖5，∵PE∥AB，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥QF，∴∠EPQ+∠PQF＝180°，∵QF∥CD，∴∠FQC+∠QCD＝180°，∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；（3）x＝72°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟