考前突破04圓的相關(guān)證明與計算（2大必考題型）

題型一：圓的基本性質(zhì)的證明與計算

題型二：與切線有關(guān)的證明與計算

?精淮提分

題型一：圓的基本性質(zhì)的證明與計算

【中考母題學(xué)方法】

1.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，48是O。的直徑，8c,8。是OO的兩條弦，點c與點。在的

兩側(cè)，￡是02上一點（OE>BE）,連接。C,CE,且NBOC=2NBCE.

（2）如圖2,若BD=2OE,求證：BD//OC.（請用兩種證法解答）

2.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，48是。。的直徑，8C,8。是。。的兩條弦，點。與點。在的

兩側(cè)，E是OB上一點、（OE>BE）,連接。C,CE,HZBOC=2ZBCE.

（2）如圖2,若BD=2OE,求證：8?！∣C.（請用兩種證法解答）

3.（2024?安徽?中考真題）如圖，O。是V/BC的外接圓，。是直徑上一點，//CO的平分線交45于點

E,交。。于另一點尸，F(xiàn)A=FE.

⑴求證：CDLAB；

⑵設(shè)尸垂足為M,^OM=OE=1,求4c的長.

4.(2024?江蘇蘇州?中考真題)如圖，V48c中，AB=4亞，D為AB中點,ABAC=ZBCD,cosZADC=—,

O。是的外接圓.

(1)求8c的長；

⑵求O。的半徑.

5.(2024?陜西?中考真題)如圖，直線/與O。相切于點/,N8是。。的直徑，點C,。在/上，且位于點

N兩側(cè)，連接3C,BD,分別與。。交于點￡,F,連接斯，AF.

(1)求證：NBAF=NCDB；

(2)若。。的半徑r=6,AD=9,AC=12,求好的長.

6.(2024?新疆?中考真題)如圖，在OO中，是。。的直徑，弦CD交4B于點、E,AD=BD-

(1)求證：AACDsAECB；

(2)若/C=3,5C=1,求CE的長.

7.(2024?貴州?中考真題)如圖，48為半圓。的直徑，點尸在半圓上，點P在的延長線上,尸C與半圓

相切于點C,與。產(chǎn)的延長線相交于點D,/C與。尸相交于點E,DC=DE.

⑴寫出圖中一個與NOEC相等的角：

(2)求證：OD工4B；

(3)若CM=2OE,DF=2,求尸8的長.

8.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，直線/與OO相切于點。，48為O。的直徑，過點A作/￡_U于點E,

延長AB交直線/于點C.

CDE

⑴求證：4D平分/C4E；

⑵如果BC=1,DC=3,求。。的半徑.

9.（2024廣東深圳?中考真題）如圖，在△48。中，AB=BD,為△48。的外接圓，BE為。。的切線,

NC為OO的直徑，連接DC并延長交BE于點￡.

(1)求證：DE1BE；

（2）若/3=5而，BE=5,求。。的半徑.

【中考模擬即學(xué)即練】

10.（2025?山東臨沂?一模）如圖，OO為VNBC的外接圓，直徑ADBC于E，過點A作O。的切線

/尸與//8C的平分線交于點F,BF交AC于點G,交/。于點H,交。。于點M,連接AM.

(1)求證：ZACB=2ZABF；

(2)若tan//W5=2,BC=2,求CG的長.

11.（2024?廣東?模擬預(yù)測）綜合運(yùn)用

如圖所示，圓內(nèi)接四邊形A8C。中，點2平分己才萬，C4平分4CD.

⑴求證：NCDE=2NECD.

⑵若cosNCBN=；,求證：NBDC=4NCBD.

⑶求證：BC2-AB2=CA-AD.

12.（2024?湖北?模擬預(yù)測）如圖，在。。中，弦48,C。相交于點且NB=CD.

⑴求證：AD=BC；

⑵連接?！?，BD,若臺。是。。的直徑，4B=2AD=8,求OM的長.

13.（2024?貴州?模擬預(yù)測）如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于。。，AB=AC,ZABD=ZCBE,BE交OO于點、F,

D,C,E三點共線.

⑴圖中與石相等的是

⑵求證：BE〃AD；

(3)若4D=6,cos￡=g,求CE的長.

14.(2024?江蘇南京?二模)如圖，AB、C。是。。的兩條弦，NC與相交于點￡,AB=CD.

(1)求證：AC=BD；

(2)連接3C,作直線E。，求證：EO1BC.

15.(2024?貴州黔東南?二模)如圖，是VN2C的外接圓，且AC=BC,過點8作8EL/C,垂足為

點、E,延長BE交O。于點。，連接/D,CD,C。，并延長CO交8。于點?

(1)寫出圖中一個與N/C。相等的角：」

⑵求證：CD=CF-,

⑶若3c=10,BE=6,求。。的半徑.

16.(2024?天津紅橋?一模)己知與OO相切于點B,直線/O與OO相交于C,。兩點(40>/C),E為

麗的中點，連接?！瓴⒀娱L，交的延長線于點尸.

ABFABF

圖①圖②

⑴如圖①，若￡為。尸的中點，求//的大?。?/p>

(2)如圖②，連接3。與。尸相交于點G,求證：ND=NF.

17.(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測)如圖，已知。。的內(nèi)接V/2C為等邊三角形,連接頂點C與圓心。，并延

長交43于點。，交O。于點E,連接E4,EB.

士C

E

⑴圖中與全等的三角形是________,圖中度數(shù)為30。的角有________彳

(2)求證：AAEDs^CEB；

⑶連接3,OB,判斷四邊形0NE8的形狀，并說明理由.

18.（2024?安徽宣城?模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于。。是。。的直徑，C為優(yōu)弧的中點，連接

AC,CD,OC,延長交于點E.

(1)求證：ZACO=ZDCO.

⑵求證：BA=BE.

19.（2025?安徽?模擬預(yù)測）如圖，是。O的弦，半徑垂足為。，弦CE與4B交于點、F,連接

AE,AC,BC.

⑴求證：NBAC=NE；

(2)若N3=8,DC=2,CE=3屈,求CF的長.

20.（2025?湖北十堰?模擬預(yù)測）如圖，OO的直徑垂直弦C。于點E,尸是圓上一點，。是5尸的中點,

連接CF交02于點G,連接BC.

⑴求證：GE=BE；

⑵若/G=6,BG=4,求CD的長.

21.（2025?廣東?模擬預(yù)測）如圖，點。，E在以ZC為直徑的。。上，/NDC的平分線交。。于點2,連接

BA,EC,EA,過點￡作E//_L4C,垂足為〃，交于點足

⑴求證：AE2=AF-AD;

77

(2)若sinN/8O=97,AB=5,求

5

22.(2024?浙江?模擬預(yù)測)如圖，是半徑為5的。。的直徑，C是顯的中點，連接CD交于點E,連

接/C,AD,OC.

(1)求證：OC_L/D.

(2)若B￡=l,求AD的長.

(3)如圖2,作C尸，48于點H,交力。于點尸，射線CB交力D的延長線于點G,若OH=l,求NG的長.

23.(2024?貴州黔東南?一模)如圖，48為。。的弦，CD為。。的直徑，與CO相交于點E,連接/C,

BC,BD,過點3作2廠INC于點尸.

(1)求證：NABF=NBCD；

(2)當(dāng)NBCZ)=N4C。時，求證：ABVCD■,

⑶在(2)的條件下，若/3=6,SABD=22.5°,求圖中陰影部分的面積.

24.（2024,黑龍江哈爾濱?一模）已知：為。。的直徑，弦CD交NB于點”，點/為弧/C上一點，連接

DF交AB于點E,交AC于點G,ZAEF=NBAC+NACF.

（2）如圖2,在（1）的條件下,連接8。，當(dāng)/ACD=2/ACF,AE=4,3。=6時，求/G的長.

25.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，N8是。。的直徑，5C,AD是。。的兩條弦，點C與點。在的

兩側(cè)，E是。2上一點（OE>BE）,連接。C,CE,旦NBOC=2NBCE.

（2）如圖2,若BD=2OE,求證：AD〃OC.（請用兩種證法解答）

26.(2024?湖北十堰?一模)如圖，在V48c中，以48為直徑作。O,交于點。，過。作O￡〃BC交。。

于點E,連接/￡,2旦/。.

(1)求證：ZABE=ZCBE；

(2)若/C=45。，NC/E=15。，求/4BC的度數(shù);

S2

⑶若DF=\,—=￡，求/E的長.

27.(2024?湖南?模擬預(yù)測)如圖(1)所示，己知在V48c中，AB=AC,。在邊上，點廠為邊02中

點，為以。為圓心，8。為半徑的圓分別交C8,/C于點。，E,連接跖交OD于點G.

圖⑴圖⑵

(1)如果OG=Z)G,求證：四邊形CEG。為平行四邊形；

(2)如圖(2)所示，連接OE,如果NA4c=90。,/。尸E=/DOE,/O=8,求邊05的長;

(3)連接8G,如果aOBG是以02為腰的等腰三角形，且尸，求第的值.

題型二：與切線有關(guān)的證明與計算

【中考母題學(xué)方法】

1.(2024?廣西?中考真題)如圖，己知是V/3C的外接圓，=點。，E分別是8C,/C的中點,

連接DE并延長至點P,使DE=EF,連接AF.

(1)求證：四邊形48。9是平行四邊形；

⑵求證：4尸與O。相切；

3

(3)若tan/A4C=—,SC=12,求。。的半徑.

2.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)如圖，V/BC中，NACB=9Q°,AC=BC,。。經(jīng)過3,C兩點，與斜邊

AB交于點、E,連接C。并延長交48于點交O。于點。，過點E作E尸〃CD,交/C于點尸.

⑴求證：E廠是OO的切線；

(2)若W=4夜，tanZBCD=,求(W的長.

3.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，V/2C中，N/C8=90。，點。為NC邊上一點，以點。為圓心，OC

為半徑作圓與4S相切于點。，連接CD.

⑴求證：NABC=2NACD；

(2)若NC=8,BC=6,求。。的半徑.

4.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在V/BC中，4C=BC,ZACB=90°,經(jīng)過/、C兩點，交AB于

點。，C。的延長線交43于點凡DE〃CF交BC于點、E.

⑴求證：DE為OO的切線；

（2）若ZC=4,tan/CFE>=2,求O。的半徑.

5.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在V48c中，以48為直徑的。。交BC于點-L4C,垂

足為E.。。的兩條弦尸叢陽相交于點尸,/。4￡=/5陽.

(1)求證：DE是OO的切線；

(2)若NC=30o,C￡>=2^,求扇形08。的面積.

6.(2024?四川?中考真題)如圖，4B為0。的弦，。為々的中點，過點。作交03的延長線于

⑴求證：CD是。。的切線；

(2)若。1=3,BD=2,求AOCD的面積.

7.(2024?遼寧?中考真題)如圖，OO是VN8C的外接圓，45是的直徑，點。在前上，AC=BDE

在胡的延長線上，^CEA=ACAD.

(1)如圖1,求證：CE是。。的切線；

(2)如圖2,若NCEA=2NDAB,OA=8,求加5的長.

8.(2024?山東濟(jì)寧?中考真題)如圖，V/3C內(nèi)接于OO,D是BC上一點、,AD=AC.￡是OO外一點,

NBAE=NCAD/ADE=NACB,連接BE.

(1)若48=8,求/￡的長；

⑵求證：E8是。。的切線.

9.(2024?甘肅蘭州?中考真題)如圖，V4BC內(nèi)接于OO,48為OO的直徑，點。為O。上一點,BC=BD,

延長氏1至E,使得N4DE=NCB4.

(1)求證：是OO的切線；

(2)若80=4,tan/CZM=；,求ED的長.

10.(2024?四川資陽?中考真題)如圖，已知N8是O。的直徑，/C是＜3。的弦，點。在O。外,延長DC,

48相交于點E,過點。作于點尸，交NC于點G,DG=DC.

⑴求證：DE是OO的切線；

(2)若O。的半徑為6,點尸為線段6M的中點，CE=8,求。尸的長.

11.(2024?四川雅安?中考真題)如圖，45是。O的直徑，點C是。。上的一點，點尸是加延長線上的一

點，連接NC,NPC4=NB.

⑴求證：尸C是。。的切線;

(2)若sin/B=g,求證：AC=AP；

(3)若CD_L48于Z>,PA=4,BD=6,求40的長.

12.(2024?四川巴中?中考真題)如圖，V/3C內(nèi)接于。。，點。為前的中點，連接/￡＞、BD,BE平分N4BC

交4D于點E,過點。作。尸〃3c交NC的延長線于點尸.

(1)求證：。尸是OO的切線.

(2)求證：BD=ED.

(3)若?！?5,CF=4,求AB的長.

13.(2024?江蘇宿遷?中考真題)如圖，在。。中，48是直徑，C。是弦，且/3_LCD,垂足為E,AB=20,

CD=12,在9的延長線上取一點尸，連接CF,使NFCD=2NB.

(1)求證：C戶是。。的切線;

⑵求跖的長.

14.(2023?湖南張家界?中考真題)如圖，是V48c的外接圓，4D是O。的直徑，尸是4D延長線上一

點，連接C￡>,CF,MZDCF=ZCAD.

(1)求證：C戶是。。的切線;

3

(2)若4D=10,cosB=-f求FZ)的長.

15.(2024?西藏?中考真題)如圖，48是OO的直徑，C,。是。。上兩點，連接4C,BC,CO平分

CELDB,交。8延長線于點E.

(1)求證：CE是。。的切線；

3

(2)若。。的半徑為5,sin￡>=-,求AD的長.

16.(2024?浙江?中考真題)如圖，在圓內(nèi)接四邊形4BCD中，AD<AC,AADC<ABAD,延長/。至點E,

使/￡=/C,延長以至點尸，連結(jié)斯，使乙4FE=N4DC.

(1)若ZARE=60。，CD為直徑，求的度數(shù).

⑵求證：①EF〃BC；②EF=BD.

17.(2024?山東濰坊?中考真題)如圖，已知VN8C內(nèi)接于。。，48是。。的直徑，N■氏4c的平分線交。。

于點。，過點。作DE1/C,交/C的延長線于點￡,連接8DCD.

(1)求證：DE是。。的切線；

⑵若CE=1,sinZBAD=1,求。。的直徑.

18.(2024?山東濟(jì)南?中考真題)如圖，48,8為OO的直徑，點￡在訪上，連接點G在的

延長線上，AB=AG,AEAD+AEDB=45°.

⑴求證：/G與。。相切；

(2)若8G=4j^,sin/D/￡=；,求DE的長.

19.(2024?內(nèi)蒙古?中考真題)如圖，A/CD內(nèi)接于。。，直徑A8交CD于點G,過點。作射線DF,使得

ZADF=ZACD,延長DC交過點3的切線于點￡,連接8C.

(1)求證：。尸是。。的切線；

Q

(2)若CD=§CG,BE=3CE=3.

①求DE的長；

②求。。的半徑.

20.(2023?四川資陽?中考真題)如圖，已知。。的圓心。在V48C的邊/C上，與/C相交于/、￡兩點,

且與邊8C相切于點。，連結(jié)DE.

⑴若B4=BD,求證：N3是。。的切線;

(2)若CD=4,CE=2,求。。的半徑.

21.(2024?山東日照?中考真題)如圖1,為。。的直徑，NB=12,C是上異于43的任一點，連接

AC,BC,過點/作射線4。，NC,Z)為射線上一點，連接CD.

A

圖1圖2圖3

【特例感知】

(1)若8c=6.貝!MC=.

(2)若點C,。在直線同側(cè)，且ZADC=NB,求證：四邊形/BCD是平行四邊形;

【深入探究】

若在點C運(yùn)動過程中，始終有tanN4DC=6，連接。。.

(3)如圖2,當(dāng)CD與OO相切時，求。。的長度；

(4)求。。長度的取值范圍.

22.(2024?廣東廣州?中考真題)如圖，在菱形4BC。中，NC=120。.點E在射線8c上運(yùn)動(不與點8,

點。重合)，AAEB關(guān)于AE的軸對稱圖形為△/跖.

(1)當(dāng)/A4尸=30。時，試判斷線段4月和線段4。的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若N3=6+64，。。為△/￡尸的外接圓，設(shè)。。的半徑為

①求『的取值范圍；

②連接入直線ED能否與OO相切？如果能，求3E的長度；如果不能，請說明理由.

【中考模擬即學(xué)即練】

23.(2024?湖北恩施?模擬預(yù)測)如圖，已知四邊形/BCD中，ND48=/A8C=90。，點。是N8的中點,

ACOD=90°,以AB為直徑作半圓OO.

⑴求證：是。。的切線；

(2)若OC與。。的交點〃是OC的中點，。。的半徑為2,求CO的長.

24.(2024?河北?模擬預(yù)測)如圖1,在R￡Z3C中，AACB=90°,AC=6,BC=8,延長◎至點，使40=8,

連接2。，以4D為直徑的。。繞點/順時針旋轉(zhuǎn).

(1)如圖2,。。旋轉(zhuǎn)。時，。。與/C第一次相切.

(2)在(1)的條件下，判斷。。與AD的位置關(guān)系并加以證明.

(3汝口圖3,若。。與2C相切于點與◎相交于點N,設(shè)陰影部分的面積為S,求S的值.

25.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測)如圖，48為O。的直徑，點￡,尸是上異于8的兩點，延長//，BE

相交于點。，在4D的延長線上取點C,連接5C,已知=NCBD，NCAB,

2

(1)求證：8C是OO的切線;

⑵若O。的半徑為2,CD=6,求/尸的長.

26.(2024?湖南?模擬預(yù)測)如圖，已知力B為。O的直徑，。為OO上一點，C為A4延長線上一點，連接CD,

過點。作。尸，40于點￡,交CD于點尸，且滿足44。。=乙4。廠.

(1)求證：直線CD是。。的切線;

(2)若sinC=；,BD=8,求跖的長.

27.(2024?云南昆明?一模)如圖，OO與等邊V/8C的邊NC,48分別交于點。，E,/E是直徑，過點。

作。尸±BC于點、F.

⑴求證：。尸是。。的切線；

(2)連接跖，當(dāng)即是OO的切線時，求。。的半徑r與等邊V/8C的邊長a之間的數(shù)量關(guān)系.

28.(2024?安徽合肥?一模)如圖，在四邊形/BCD中，NO平分4B4D.點。在/C上，以點。為圓心，OA

為半徑，作。。與8C相切于點8,30延長線交。。于點￡,交4。于點凡連接/E,DE.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若/￡=。￡=8,求/廠的長.

29.(2024?江蘇南京?模擬預(yù)測)如圖，在半徑為10cm的。。中，NB是OO的直徑，C。是過OO上一點C

的直線，且4DLDC于點D,NC平分/A4。，點￡是8C的中點，OE=6cm.

(1)求證：CD是。。的切線;

⑵求