專題二平移型“將軍飲馬”問題

知識與方法

一、“造橋選址”模型

問題：如圖3-2-1,河的兩側(cè)有兩定點A,B,請在河的兩岸找到點P,Q（河的兩岸是平行的直線，PQ必須與

河岸垂直），使得AP+PQ+QB:最短.

方法:將AP沿與河岸垂直的方向平移，點A移動到點A，,點P移動到點Q，則.A4'=PQ.連接A，B,線段A'B

與直線b的交點為Q；過點Q，作QP」b,連接AP；即此時.最短.

二、“將軍遛馬”模型

問題：在直線1上找兩個動點P,Q（P,Q兩動點間距離為定值），使得AP+PQ+BQ的距離之和最小，該如何

處理呢？（“兩動兩定型”）

--定長

PQ

定點力

定點4?/

左"^右

圖3-2-3

方法一：先對稱后平移

如圖3-2-4,作定點A關(guān)于動點所在直線1的對稱點A，,將點A，沿平行于直線1的方向從左到右平移PQ的

長度得點A",連接A"B交直線1于點Q,將點Q沿直線1從右到左平移PQ的長度得點P,即此時AP+PQ+BQ

最短?贊/

定點＜?、/對稱+平移A.

s—FT——7方左T-----------T右

A.......A"

方法—：先平移后人:j/r小

如圖3-2-5,將點A沿平行于直線1的方向從左到右平移PQ的長度得點A1,作定點A，關(guān)于動點所在直線1

的對稱點A“，連接A”B交直線1于點Q,將點Q沿直線1從右到左平移PQ的長度得點P,即此時AP+PQ+BQ

最短.

典例精析

例如圖326,正方形AB-CD的邊長為6,E,F是對角線BD上的兩個動點，且EF=2企,連接CE,CF廁ACEF

周長的最小值為.

答案：4V5+2企

圖3-2-6

【簡析】典型的“平移型將軍飲馬問題”（要將“一定兩動”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟啥ㄒ粍印眴栴}即轉(zhuǎn)化為“飲馬問題”）.具體思路

均是構(gòu)造定點關(guān)于動點所在直線的對稱點.

解法一：先對稱后平移

如圖327①,易得點A與點C關(guān)于直線BD對稱，將點A沿射線BD方向平移2a個單位長度到點C,

連接CC交BD于點F；將點F沿射線DB方向平移2四個單位長度到點E',連接CE,CF,此時ACEF的周長最

小.

如圖②，因為A,（2兩點關(guān)于BD對稱，易得AE=CE,由平移易得四邊形AEFC為平行四邊形，所以AE=

C'F=CE,,由兩點之間線段最短知CF+CF最短為CC；即CE+CF的最小值為CC的長，因為ACEF有一定邊EF,

即此時ACEF的周長最小.

由勾股定理易得CC=4近，即ACEF的周長最小值為4V5+2V2.

圖3-2-7

解法二：先平移后對稱

如圖328①，將點C沿射線BD方向平移2企個單位長度到點C,作C關(guān)于BD的對稱點C"，連接CC”,

則交BD于點F,將點F沿射線DB

方向平移2/個單位長度到點E1,連接CE',止匕時ACEF的周長最小.

如圖②，因為C,C”兩點關(guān)于BD對稱.易得C'F=LF,由平移易得四邊形CEFC為平行四邊形，所以CF=

C'F=CE,由兩點之間線段最短知CF+CF最短為CC”,即CE+CF的最小值為CC”的長，因為ACEF有一定邊EF,

即此時ACEF的周長最小.

由勾股定理易得CC=4V5,BPACEF的周長最小值為4V5+2V2.

①②

圖3-2-8

反思與總結(jié)

平移型，，將軍飲馬，，問題，需要我們有化動為定思想，將某動點看作定點，再通過平移定線段轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”

問題來解決.

進(jìn)階訓(xùn)練

1.如圖329,正方形ABCD內(nèi)接于。0,線段MN在對角線BD上運動，若。0的面積為2兀,MN=1,則AAMN

周長的最小值是()

圖3-2-9

A.3B.4

C.5D.6

2.如圖3-2-10,在平面直角坐標(biāo)系中，長為2的線段CD(點D在點C右側(cè))在x軸上移動,A(0,2),B(0,4),

連接AC,BD,則AC+BD的最小值為)

A.2V5B.2V10

C.6V2D.3V5

3.如圖3211，已知直線lillkhj之間的距離為8點P到直線11的距離為6點Q到直線b的距離為4PQ=

4V在直線上上有一動點A,直線卜上有一動點B,滿足AB_L12,且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=

圖3-2-11

4.如圖3212矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E為CD的中點,P,Q為BC上兩個動點且PQ=3,當(dāng)CQ=

時.四邊形APQE的周長最小.

圖3-2-12

5.如圖3-2-13,在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點0在坐標(biāo)原點，頂點A,C分別在x軸.y軸上,B,D兩點坐

標(biāo)分別為B(-4,6),D(0,4),線段EF在邊OA上移動，保持EF=3,當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標(biāo)

為.

6.如圖3214,已知sinC=|,長度為2的線段DE在射線CF上移動，點B在射線CA上，且BC=5,則ABDE

7.如圖3215，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-2,。),點B(0,4),點E(O,1).將AAEO沿x軸向右平移得到△AEO,

連接AB,BE,則當(dāng)A'B+BE，取最小值時，點E的坐標(biāo)為.

圖3-2-15

8.如圖3216直線1外有一點D,點D到直線1的距離為5,AABC中,/ABC=9(F,AB=6,tanNC4B=/邊AB

在直線1上滑動，則四邊形ABCD周長的最小值為.

圖3-2-16

9.如圖3-2-17，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B(-3,0)兩點與y軸交于C(0,-3),對稱軸為直線x=-l,

直線y=-2x+m經(jīng)過點A,且與y軸交于點D,與拋物線交于點E,與對稱軸交于點F.

⑴求拋物線的解析式和m的值

(2)在y軸上是否存在點P,使得以D,E,P為頂點的三角形與AAOD相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存

在，試說明理由.

⑶直線y=l上有M,N兩點(M在N的左側(cè))，且MN=2,若將線段MN在直線y=l上平移，當(dāng)它移動到某一

位置時，四邊形MEFN的周長會達(dá)到最小，請求出周長的最小值(結(jié)果保留根號).

10.已知拋物線y=a久2_2ax+c(a,c為常數(shù)，a/))經(jīng)過點C(0,-l),頂點為D.

(1)當(dāng)a=l時，求該拋物線的頂點坐標(biāo).

⑵當(dāng)a>0時，點E(0,l+a),若DE=2<2DC,,求該拋物線的解析式.

(3)當(dāng)a<-l時，點F(0,l-a),過點C作直線1平行于x軸，M(m,0)是x軸上的動點,N(m+3,-l)是直線1上的動點.

當(dāng)a為何值時，F(xiàn)M+DN的最小值為2VIU,并求此時點M,N的坐標(biāo).

進(jìn)階訓(xùn)練I

1.B［解析］連接AC.VOO的面積為2私.I?O的半徑為近，則.BD=2正=AC.

由正方形的性質(zhì)，知點C是點A關(guān)于BD的對稱點.

過點C作CA〃BD,且使(C4=1.

連接AA交BD于點N,取NM=1,連接CM,則點M,N為所求點.

理由:：A'C//MN,A'C=MN,.\四邊形MCA'N為平行四邊形.

，A'N=CM=AM,故AAMN的最小周長=AM+AN+MN=A'N+AN+1AA'+1.

???A'A=J（2V2）2+F=3,：.2MN的周長的最小值為3+1=4.故選B.

2.B［解析］作A(0,2)關(guān)于x軸的對稱點A<0,-2)過A作A，E〃x軸目4E=CD=2,,故E(2,-2).連接BE交x

軸于點D1.

連接ACDE,則AC=AC,四邊形CDEA，為平行四邊形,A'C=DE..\AC=DE.

AC+BD=A'C+BD=DE+BD

.?.AC+BD的最小值等于BE的長，

/.AC+BD的最小值==BE=02+（2+4最=2V10.

3.16［解析］作PF±12TF交I1于E,在PF上截取PC=8,連接QC交卜于B作BAL1于A,此時

PA+AB+BQ最小.

：AB=PC=8,AB〃PC,

四邊形ABCP是平行四邊形.

.\PA=BC.

.\PA+BQ=CB+BQ.

PA+BQ最小值為QC的長.

過點Q作QDLPF交PF的延長線于D.

在RtAPQD中，4D=90。,PQ=4同,PD=18,DQ=JPQ2-PD2=V156,CD=PD-PC==18-8=10.

QC=y/DQ2+CD2=V156+102=16.

4.|［解析］：E為CD中點,CD=AB=4,AD=BC=8,DE=2.：.AE=y/AD2+DEe=V82+22=2g.

VPQ=3,

..?要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小.

將點A向右平移3個單位長度到點M，作點E關(guān)于BC的對稱點F,連接MF交BC于Q.截取PQ=3,如圖

所示易知四邊形AMQP為平行四邊形，

AP=MQ.AP+EQ=MQ+EQ.

此時MQ+EQ最小.

過M作MN_LBC于N,

設(shè)CQ=x很!］NQ=8-3-x=5-x.

易知MN=AB=4,CF=CE=2,AMNQsAfCQ,.?.絲=理.工±,

CFCQ2X

解得：X=卿CQ=|.

故答案為：|

5.(-0.4,0)［解析］如圖所示作點D關(guān)于x軸的對稱點H，連接EH,

D(0,4),H(0,-4),ED=EH.

將點H向左平移3個單位長度，得到點G(-3,-4),.?.EF=HG,EF〃HG....四邊形EFGH是平行四邊形

EH=FG..\FG=ED.VB(-4,6),BD=7(-4-0)2+(6-4)2=2瓜又EF=3,.?.四邊形BDEF的周長

=BD+DE+EF+BF=2*+FG+3+BF.要使四邊形BDEF的周長最小,則應(yīng)使FG+BF的值最小.而當(dāng)F,G,B三點共線時

FG+BF的值最小.設(shè)直線BG的解析式為：y=kx+b(W0).

*.?B(-4,6),G(-3,-4),{-4k-b=b=-4,.?.仁=-,V=-10%-34.

lb=-34.

當(dāng)y=o時,x=-3.4,，F(xiàn)(-3.4,0).，E(-0.4,0).

6.2V10+2［解析］作點B關(guān)于直線CF的對稱點B,將點B，沿射線CD方向平移2個單位長度到點B”,

連接BB”,交CF于點E,將點E沿EC方向平移2個單位長度到點，連接BD,BD,此時ABDE的周長最小.

由sinD=|,SC=5,易得BB=6,由勾股定理易得B『=2/lO,,則"DE的周長的最小值為2V10+2.

7.(*1)［解析］如圖，將點B(0,4)沿射線AE方向平移線段AE的長度得點M,則點M的坐標(biāo)為(2,5).連接

BM,ME,易證四邊形BMEA是平行四邊形，則A'B=E'M.

???點E的坐標(biāo)為(0,1),將AAEO沿x軸向右平移得到△AEO：

設(shè)AA，=n,則EE=n,.,.點E(n,l),即點E在直線y=l上.

作點M關(guān)于直線y=l的對稱點M：連接EM；則點M，坐標(biāo)為(2,-3).

當(dāng)點B,E,M在同一條直線上時,BE+EM最小，即此時AB+BE取得最小值.設(shè)直線BM的表達(dá)式為y=kx+b,

k=

則2成3解得

b=4,

直線BM'的表達(dá)式為y=-1x+4.

當(dāng)y=l時，一+4=1,

解得久=*

；?點E的坐標(biāo)是(*1).

8,18［解析］解法一：作點D關(guān)于直線1的對稱點D，,將點D沿射線AC方向平移AC的長度到點D"連

接DD”，再將點C沿平行于1方向平移交DD”于點C,將AB沿直線1向左平移到AB位置，且使/ABC=90。,

連接DA'ACA'D'.

因為D,D兩點關(guān)于1對稱，易得DA'=由平移易得四邊形ADD"C為平行四邊形，所以DA'=D'A'=

由兩點之間線段最短知DC+DC最短為DD”,即DA+DC的最小值為DD”的長，因為四邊形ABCD有兩條定

邊，即此時周長最短.

過D“作D”E，DD；易得D”E=6,D，E=2,在R3DED”中易得DD”=10,即四邊形ABCD周長的最小值為18.

解法二：乾坤倒轉(zhuǎn)兩動點看成定點一先對稱再連接

將動點A,C看作定點，則本題迅速變?yōu)槲覀兪熘摹皟啥ㄒ粍有汀憋嬹R問題，易得下圖，可得四邊形ABCD周

長的最小值為18.

9.解：⑴：拋物線的對稱軸為直線x=-l,與x軸的交點為A,B(-3,0),

???可以設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-l).

把CQ-3)代入彳導(dǎo)a=l,

..?拋物線的解析式為y=x2+2x-3.

.直線y=-2x+m經(jīng)過點A(1,O),

0=-2+m.m=2.

(2)如圖①,

①

???直線AF的解析式為y=-2x+2,交y軸于D,與拋物線交于點E,/.D(0,2).

由｛:二；上‘3解得憂/或｛;含中點在第二象限。5,12).

過點E作EPLy軸于P.

ZEPD=ZAOD=90°,ZEDP=ZODA,

AEDP^△ADO".P(0,12).

過點E作EP」DE交y軸于P',

同法可證AP'DEsAADO.

ZEP'D=ZDAO.

tan乙EP'D=tanZ-DAO.

.EP__OD_._5__2._25

?,,—.,,,—.??irr—乙.，

PP'OAPP'1

???P(0,14.5).

綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為(0,12)或(0,14.5).

⑶：E,F為定點,；.線段EF的長為定值.

.?.當(dāng)EM+FN的和最小時,四邊形MEFN的周長最小.

如圖②，畫出直線y=l,將點F向左平移2個單位得到F1,

作點E關(guān)于直線y=l的對稱點E；連接EF與直線y=l交于點M,連接FN,

由作圖可知,EM=EMFN=F'M.

二EM尸三點共線,

EM+FN=E'M+F'M=此時EM+FN的值最小.

?，點F為直線y=-2x+2與直線x=-l的交點，

VE(-5,12),/.E'(-5,-10).

如圖②，延長FF交線段EE于W,

???FF'〃直線y=l,

/.FW±EE,,

在RtAWEF中，EF=y]EW2+FW2=J(12—4產(chǎn)+(—1+=4倔

在RtAE'F'W中,.E'F'=y/E'W2+F'W2=J(4+