2025年中考數(shù)學一輪復習學案（全國版）

第六章圖形的變化

6.1尺規(guī)作圖

備考指南〉

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1基本尺規(guī)作圖及相幾何作圖題分尺規(guī)作圖和無刻度作圖，是全國中考的

☆☆

應(yīng)判斷熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些

考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范

等原因?qū)е率Х帧?/p>

從考點頻率看，尺規(guī)作圖是幾何作圖的基礎(chǔ)，也是高

考點2無刻度直尺作圖☆頻考點、必考點，所以必須熟練尺規(guī)作圖，而無刻度

作圖是近幾年的新考法，有幾個省市著重考查此類題

型。從題型角度看，以解答題為主，分值8分左右，

著實不少!但選擇題、填空題考查幾何作圖題也不少。

☆☆☆代表必考點，☆☆代表?？键c，☆星表示中頻考點。

叫I知識清單》

考點1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

1.由作角平分線過程求解。這類作圖主要考查了的性質(zhì)定理和尺規(guī)作圖，勾股定理、菱形判

定等知識。

2.由作垂直平分線過程求解。這類作圖主要考查了的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角

形內(nèi)角和定理，掌根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)等。

考點2.無刻度直尺作圖

1.網(wǎng)格中有一線的無刻度作圖。這類作圖主要考查作圖-對稱變換，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等

知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用的思想解決問題。

2.網(wǎng)格中有一三角形的無刻度作圖。這類作圖主要考查格點作圖，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾

股定理，全等三角形、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵。

3.網(wǎng)格中有四邊形的無刻度作圖。這類作圖主要考查了作圖、位似圖形、勾股定理、平行四

邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握尺規(guī)作圖的常見作法是解題關(guān)鍵。

4.特殊圖形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查了作圖一復雜作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基

本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖成基本作圖，逐步操作，也考查了全

等三角形的判定與性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)等。

5.平行四邊形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查作圖-復雜作圖、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)。

6.矩形、菱形、正方形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查了復雜作圖，掌握__________的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵。

【提示】幾何作圖題分尺規(guī)作圖和無刻度作圖，是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。

每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點頻率看，尺規(guī)作圖是幾何作圖的基礎(chǔ)，也是高頻考點、必考點，所以必須熟練尺規(guī)作圖，

而無刻度作圖是近幾年的新考法，有幾個省市著重考查此類題型。

2.從題型角度看，以解答題形式出現(xiàn)的情況成為常態(tài)，分值8分左右。

巨|考點梳I"）

考點L基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

【例題1】（2024深圳）在如圖的三個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線/。平分NA4c

的是（）

①③

A.①②B.①③C.②③D.只有①

【變式練1】（2024長春一模）如圖，在△48C中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的

是（）

A.AF=BFB.AE=-AC

2

C.ZDBF+ZDFB=9Q°D.ZBAF=ZEBC

【變式練2］（2024江蘇連云港一模）如圖，在nZBCD中，ZABC=150°.利用尺規(guī)在8C、BA

上分別截取BE、BF，使BE=BF；分別以E、E為圓心，大于工所的長為半徑作弧，兩弧在

2

NCA4內(nèi)交于點G；作射線BG交。。于點若AD=&\，則88的長為.

【變式練3】（2024山東煙臺一模）如圖，。。是△/BC的外接圓，N/BC=45。.

A

（1）請用尺規(guī)作出。。的切線40（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，若48與切線所夾的銳角為75。，。。的半徑為2,求的長.

考點2.無刻度直尺作圖

【例題2】（2024武漢市）如圖是由小正方形組成的3x4網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.AABC

三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務(wù)，每個任務(wù)的畫線不得超過三

（1）（2）

（1）在圖（1）中，畫射線/￡）交5C于點。，使2。平分/的面積；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在射線40上畫點E,使NECB=N4CB；

（3）在圖（2）中，先畫點H使點/繞點廠順時針旋轉(zhuǎn)90°到點C,再畫射線力廠交于點G；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將線段48繞點G旋轉(zhuǎn)180°,畫對應(yīng)線段W（點4與點M對應(yīng)，點8

與點N對應(yīng)）.

【變式練1］（2024湖南長沙一模）如圖是7x6的正方形網(wǎng)格，已知格點（頂點在小正方形頂

點處的三角形稱為格點三角形），請僅用無刻度直尺完成下列作圖（要求保留作圖痕跡，不要求寫作

（1）圖1中，在N5邊上找一點。，作線段CD,使得SE8=；S.〃BC；

一3

（2）圖2中，在邊上找一點E,作線段CE,使得

【變式練2】（2024廣州一模）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，四邊形"BCD的頂點都在格點上，僅

用無刻度的直尺在所給定的網(wǎng)格中按要求完成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示.

（1）在圖1中，先以點A為位似中心，將四邊形48co縮小為原來的5,畫出縮小后的四邊形/4G2,

再在48上畫點E,使得。E平分四邊形/BCD的周長；

⑵在圖2中，先在NB上畫點尸，使得庭=BC,再分別在，43上畫點M,N,使得四邊形BCMN

是平行四邊形.

【變式練3】（2024深圳一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，僅用無刻度的直

尺作圖：

（1）在8C上取點M,使四邊形/現(xiàn)"為平行四邊形；

（2）在CD的延長線上取一點F,使四邊形8QE4為平行四邊形.

日|真題在線〉

考點1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

I.（2024河北?。┯^察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段8D一定是的（

B

A.角平分線B.高線C.中位線D.中線

2.（2024四川成都市）如圖，在Y45CD中，按以下步驟作圖：①以點3為圓心，以適當長為半徑

作弧，分別交氏4,于點M,N；②分別以N為圓心，以大于工"乂的長為半徑作弧，

2

兩弧在。內(nèi)交于點0；③作射線8。，交/。于點E,交3延長線于點尸.若CD=3,

￡?E=2,下列結(jié)論錯誤的是（）

F

A

A.ZABE=ZCBEB.BC=5

BE5

c.DE=DFD.---——

EF3

3.（2024武漢市）小美同學按如下步驟作四邊形48CD：①畫/M4N；②以點A為圓心，1個單

位長為半徑畫弧，分別交ZW,AN于點、B,D；③分別以點8,。為圓心，1個單位長為半徑畫弧,

兩弧交于點C；④連接5C,CD,BD.若NZ=44。，則NCS。的大小是（

C.68°D.70°

4.（2024湖南省）如圖，在銳角三角形45。中，2。是邊上的高，在B4,5C上分別截取線

段BE,BF，使BE=BF；分別以點E,歹為圓心，大于的長為半徑畫弧，在N48C內(nèi)，

2

兩弧交于點P,作射線BP,交AD于點M,過點M作上W工AB于點N.若MN=2,AD=AMD,

貝UAM=

5.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交x

軸正半軸于點/，交y軸正半軸于點N,再分別以點M,N為圓心，大于;血W的長為半徑畫弧，兩

弧在第一象限交于點〃，畫射線08,若〃（2a—貝!|a=

yj

o

6.（2024貴州省）如圖，在中，以點N為圓心，線段N3的長為半徑畫弧，交BC于點、D,

連接4D.若48=5,則4D的長為

7.（2024河南?。┤鐖D，在RtZ\45C中，3是斜邊N5上的中線，BE//。。交/C的延長線

于點￡.

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作NEQ0,使NECM=NZ,且射線CM交班于點尸（保留作圖

痕跡，不寫作法）.

（2）證明（1）中得到的四邊形CD8E是菱形

8.（2024四川達州）如圖，線段ZC、8。相交于點。.且4B〃CD,AE_LBD于點、E.

（1）尺規(guī)作圖：過點。作8。的垂線，垂足為點尸、連接/方、CE；（不寫作法，保留作圖痕跡,

并標明相應(yīng)的字母）

（2）若AB=CD,請判斷四邊形NECE的形狀，并說明理由.（若前問未完成，可畫草圖完成此

問）

9.（2024廣西）如圖，在AZ8C中，N/=45°,AOBC.

（1）尺規(guī)作圖：作線段43的垂直平分線/,分別交25,ZC于點。，E：（要求：保留作圖痕跡,

不寫作法，標明字母）

（2）在（1）所作的圖中，連接若48=8,求BE的長.

10.（2024廣州）如圖，Rtz\48C中，.

A

K

（1）尺規(guī)作圖：作/C邊上的中線8。（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線5。繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到。。，連接/D,CD.求證：

四邊形48CD是矩形.

11.（2024福建?。┤鐖D，已知直線/1〃

______________________________Z.

______________________________￡2

（1）在4,，2所在的平面內(nèi)求作直線/，使得/〃/]〃，2，且/與4間的距離恰好等于I與/2間的距離；

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若/1與，2間的距離為2,點48,C分別在//人上，且為等腰直角三

角形，求“BC的面積.

12.（2024甘肅臨夏）根據(jù)背景素材，探索解決問題.

平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形45cz>EE

背

六等分圓原理,也稱為圓周六等分問題,是-個古老而經(jīng)典的幾何問題’1A

景

旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個圓分成六等份的問題.這個問題由A

素

歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述.

材誕

已

知

點C與坐標原點。重合，點。在X軸的正半軸上且坐標為（2,0）

條

件

操①分別以點C,。為圓心，3長為半徑作弧，兩弧交于點尸；

作②以點尸為圓心，PC長為半徑作圓；

步③以的長為半徑，在OP上順次截取DE=EF=FA=AB^

0(C)DX

驟④順次連接QE,EF,FA,AB,BC,得到正六邊形N8CDEE.

問題解決

任

根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫

務(wù)

作法）

任

務(wù)將正六邊形4BCDEE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。，直接寫出此時點￡所在位置的坐標：

二

13.（2024甘肅威武）馬家窯文化以發(fā)達的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線條流暢細致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶

藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形

三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,己知。。和

圓上一點Af.作法如下：

①以點M為圓心，長為半徑，作弧交。。于4,2兩點；

②延長交。。于點C；

即點B,。將。。的圓周三等分.

彩陶紋樣三點定位法三等分圓周

圖1圖2

（1）請你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將。。的圓周三等分（保留作圖痕跡,

不寫作法）；

（2）根據(jù)（1）畫出的圖形，連接N5,ZC,若。。的半徑為2cm,則的周長為cm.

考點2.無刻度直尺作圖

1.（2024天津市）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點4RG均在格點上.

（2）點E在水平網(wǎng)格線上，過點乙尸作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點作切線，分別與尸

的延長線相交于點8C,△48。中，點M在邊BC上，點N在邊48上，點尸在邊ZC上.請用無

刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點使△〃?官的周長最短，并簡要說明點

的位置是如何找到的（不要求證明）.

2.（2024吉林?。﹫D①、圖②均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.點/,B,C,

D,E,O均在格點上.圖①中已畫出四邊形45CD,圖②中已畫出以為半徑的。0,只用無刻

度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.

圖①圖②

(1)在圖①中，面出四邊形48CD的一條對稱軸.

(2)在圖②中，畫出經(jīng)過點E的。。的切線.

3.(2024江西省)如圖，/C為菱形/BCD的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保

留作圖痕跡)

(1)如圖1,過點B作ZC的垂線;

(2)如圖2,點E為線段48的中點,過點8作ZC的平行線.

專項練習〉

考點1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

1.如圖，在A/8C中，AB=AC,44=36。，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與/C交于點。，則以下推斷

錯誤的是()

D

B"-----J--------'C

A.BD=BCB.AD=BDC.NAD8=108°D.CD=~AD

2

2.（2021湖北黃石）如圖，在RtZ\48C中，NACB=90°,按以下步驟作圖：①以8為圓心，任

意長為半徑作弧，分別交氏4、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于的長為半徑

作弧，兩弧相交于點P;③作射線AP,交邊/C于。點.若/B=10,3C=6,則線段CD的長為（）

3.如圖，已知直線AB和AB上的一點C,過點C作直線AB的垂線，步驟如下:

第一步：以點C為圓心，以任意長為半徑作弧，交直線AB于點D和點E；

第二步：分別以點D和點E為圓心，以。為半徑作弧，兩弧交于點F；

第三步：作直線CF,直線CF即為所求.

ACBA力CE/B

第一步

下列關(guān)于。的說法正確的是（）

A.a^-DEB.a^-DEC.a>-DED.a<—DE

2222

4.如圖，在△/8C中，以/為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交48、ZC于點M、N；再分別以M、

N為圓心，大于工VN的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸；連結(jié)/尸并延長交8C于點。.則下列說法正

2

確的是（)

A.AD+BD<ABB.40一定經(jīng)過△48C的重心

C.NBAD=/C4DD.NO一定經(jīng)過△/BC的外心

5.如圖，等腰△403中，頂角N/O2=40°,用尺規(guī)按①到④的步驟操作：

①以。為圓心，。/為半徑畫圓；

②在。。上任取一點尸（不與點/,8重合），連接AP;

③作N5的垂直平分線與交于N；

④作4P的垂直平分線與。。交于E,F.

結(jié)論I：順次連接M,E,N,尸四點必能得到矩形;

結(jié)論II：O。上只有唯一的點尸，使得S扇形扇形NOB.

對于結(jié)論I和II,下列判斷正確的是（）

A.I和II都對B.I和II都不對C.I不對II對D.I對II不對

6.如圖，線段N8是半圓。的直徑。分別以點/和點。為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交

2

于M,N兩點，作直線跖V,交半圓。于點C,交4B于點E,連接/C,BC,若ZE=1,則8C

A273B.4C.6D.3V2

7.已知線段N8,按如下步驟作圖：①作射線/C,使/CL/8；③以點/為圓心，長為半徑作

弧；④過點E作EP_LA8于點尸，貝!|/尸：48=()

A.1：遍B.1：2C.1：V3D.1：72

8.已知：口/OCO的頂點O(0,0)，點C在x軸的正半軸上，按以下步驟作圖：

①以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交。/于點交OC于點N.

②分別以點M，N為圓心，大于aAW的長為半徑畫弧，兩弧在//OC內(nèi)相交于點E.

③畫射線。E,交工。于點尸(2,3),則點/的坐標為()

9.如圖，在火/A/BC中，ZC=90°,NB=20。，分別以點/,3為圓心，大于工28的長為半徑

2

作弧，兩弧分別相交于點跖N,作直線跖V,交8C于點，連接Z。，則NC4。的度數(shù)為.

10.如圖，NMON=40°,以。為圓心，4為半徑作弧交0M于點/,交ON于點8,分別以點力,

5為圓心，大于處/臺的長為半徑畫弧，兩弧在NM6W的內(nèi)部相交于點C,畫射線OC交品于點D,

￡為。/上一動點，連接BE,DE,則陰影部分周長的最小值為.

5C

D

11.如圖，在矩形Z5CD中，AB=6,BC=10,以點5為圓心、8C的長為半徑畫弧交4。于點E,

再分別以點C,E為圓心、大于gCE的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作射線8尸交CD于點G,則

2

CG的長為一

12.如圖，已知△45C,G4=CS,/4C。是△4SC的一個外角.請用尺規(guī)作圖法，求作射線。尸,

使CP〃AB.（保留作圖痕跡，不寫作法）

13.請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

己知：Za,直線/及/上兩點4,B.

求作：Rt^ABC,使點C在直線/的上方，且//8C=90°,ZBAC=Za.

（1）請用尺規(guī)作圖法，作的垂直平分線昉，垂足為￡,交4D于尸;（不要求寫作法，保留作

圖痕跡）

（2）在（1）條件下，連接8R求ND39的度數(shù).

15.如圖，四邊形/BCD是矩形.

(1)用尺規(guī)作線段NC的垂直平分線，交N8于點￡,交CO于點尸(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)若3c=4,NR4C=30°,求BE的長.

16.如圖，已知尸是。。外一點.用兩種不同的方法過點P作。。的一條切線.要求：

(1)用直尺