專題圓的有關(guān)位置關(guān)系（36題）

一、單選題

（2024?福建?中考真題）

1.如圖，己知點(diǎn)A,B在。。上，ZAOB=12。，直線MN與。O相切，切點(diǎn)為C,且C為A8

（2024?上海?中考真題）

2.在VA3C中，AC=3,3C=4,AB=5,點(diǎn)尸在VA3C內(nèi)，分別以A、B、P為圓心畫，

圓A半徑為1,圓B半徑為2,圓尸半徑為3,圓A與圓尸內(nèi)切，圓P與圓8的關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

（2024?河南?中考真題）

3.如圖，。。是邊長為4G的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，連接80,

CD.以點(diǎn)。為圓心，3D的長為半徑在。。內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）

16K

C.-----D.16TI

3

（2024.四川瀘州?中考真題）

4.如圖，EA,即是。。的切線，切點(diǎn)為A,D,點(diǎn)B,。在。。上，若NB4E+4CD=236。,

則N￡=()

E

A

A.56°B.60°C.68°D.70°

二、填空題

（2024?浙江?中考真題）

5.如圖，48是。。的直徑，AC與。O相切，A為切點(diǎn)，連接BC.已知NACB=50°,則N3

的度數(shù)為________

（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）

6.如圖，四邊形ABCD是0。的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)。在四邊形ABCD內(nèi)部，過點(diǎn)C作0。的

切線交43的延長線于點(diǎn)P,連接若NAO3=140。，ZBCP=35。，則NADC的度數(shù)

為.

（2024?天津?中考真題）

7.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,F,G均在格點(diǎn)上.

（1）線段AG的長為；

（2）點(diǎn)E在水平網(wǎng)格線上，過點(diǎn)A,E,尸作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)作切線，分

別與AE,AF的延長線相交于點(diǎn)3,C,VABC中，點(diǎn)時(shí)在邊BC上，點(diǎn)N在邊43上，點(diǎn)

P在邊AC上.請用不刻序的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M,N,P,使△MNP的

周長最短，并簡要說明點(diǎn)M,N,P的位置是如何找到的（不要求證明）.

（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）

8.如圖，已知兩條平行線乙、/點(diǎn)A是4上的定點(diǎn)，于點(diǎn)B，點(diǎn)C、。分別是6、

4上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC=3。，連接CD交線段A3于點(diǎn)E,BH工CD于點(diǎn)H,則當(dāng)NA4H

最大時(shí)，smZBAH的值為

9.如圖，的圓心為“（4,0）,半徑為2,P是直線、=尤+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作。〃

的切線，切點(diǎn)為。，則PQ的最小值為

（2024.山東煙臺(tái)?中考真題）

10.如圖，在DABCD中，ZC=120°,AB=8,BC=10.E為邊CO的中點(diǎn)，尸為邊AD上

的一動(dòng)點(diǎn)，將ADEF沿族翻折得AZ/EF，連接AD',3D,則△ABD面積的最小值為

三、解答題

（2024.廣東.中考真題）

11.如圖，在VABC中，ZC=90°.

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作ZA的平分線AD交2C于點(diǎn)Z）；（保留作圖痕跡，不要求寫

作法）

（2）應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點(diǎn)。為圓心，0c長為半徑作。。.求證：A3與0。

相切.

（2024?內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）

12.如圖，VA3C中，NACB=90。，AC=BC,經(jīng)過8,C兩點(diǎn)，與斜邊A3交于點(diǎn)E,

連接C。并延長交AB于點(diǎn)交。。于點(diǎn)。，過點(diǎn)E作所〃CD,交AC于點(diǎn)況

⑴求證：是。。的切線；

Q）若BM=4五,tanZBCD=,求OAf的長.

（2024.四川內(nèi)江?中考真題）

13.如圖，是。。的直徑，C是go的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AD的垂線，垂足為點(diǎn)E.

(1)求證：AACES^ABC；

⑵求證：CE是0。的切線；

(3)若AD=2CE,OA=血,求陰影部分的面積.

(2024?江蘇鹽城?中考真題)

14.如圖，點(diǎn)C在以力B為直徑的0。上，過點(diǎn)C作0。的切線/,過點(diǎn)A作垂足

為D,連接AC、BC.

(1)求證：△ABCsaACD；

(2)若AC=5,CD=4,求。。的半徑.

(2024?四川涼山?中考真題)

15.如圖，A3是。。的直徑，點(diǎn)。在。。上，AE＞平分NBAC交。。于點(diǎn)。，過點(diǎn)。的直

線DE工AC,交AC的延長線于點(diǎn)E,交的延長線于點(diǎn)尸.

(1)求證：是。。的切線；

(2)連接E。并延長，分別交。。于M,N兩點(diǎn)，交AD于點(diǎn)G,若。。的半徑為2,2尸=30。,

求GM-GN的值.

(2024?山東煙臺(tái)?中考真題)

16.如圖，A3是。。的直徑，VABC內(nèi)接于。O,點(diǎn)/為VABC的內(nèi)心，連接C/并延長交

。于點(diǎn)。，E是BC上任意一點(diǎn)，連接AD,BD,BE,CE.

⑴若NABC=25。，求的度數(shù)；

(2)找出圖中所有與W相等的線段，并證明；

⑶若C/=2應(yīng)，DI*應(yīng),求VABC的周長.

(2024.甘肅.中考真題)

17.如圖，A3是。。的直徑，BC=BD，點(diǎn)E在的延長線上，S.ZADC=ZAEB.

⑴求證：3E是0。的切線；

(2)當(dāng)。。的半徑為2,3c=3時(shí)，求tan/AEB的值.

(2024?山東威海?中考真題)

18.如圖，己知A3是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，且30=8.點(diǎn)E是線段A3延長線

上一點(diǎn)，連接EC并延長交射線AD于點(diǎn)F.NFEG的平分線EH交射線AC于點(diǎn)H,/H=45°.

(2)若BE=2,CE=4,求謖的長.

(2024?陜西?中考真題)

19.如圖，直線/與。。相切于點(diǎn)A,A3是。O的直徑，點(diǎn)C,。在/上，且位于點(diǎn)A兩側(cè),

連接BC,BD,分別與。。交于點(diǎn)E,F,連接EF,AF.

B

⑴求證：NBAF=NCDB；

⑵若。。的半徑廠=6,AD=9,AC=12,求￡尸的長.

(2024?湖北?中考真題)

20.Rt^ABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。在AC上，以O(shè)C為半徑的圓交A3于點(diǎn)￡),交AC于

點(diǎn)E.且=

(2)連接08交。。于點(diǎn)/，若4。=百,4石=1,求弧CP的長.

(2024.貴州.中考真題)

21.如圖，48為半圓。的直徑，點(diǎn)P在半圓上，點(diǎn)P在4B的延長線上，PC與半圓相切于

點(diǎn)、C,與O廠的延長線相交于點(diǎn)。，AC與OP相交于點(diǎn)E,DC=DE.

(1)寫出圖中一個(gè)與NOEC相等的角：；

⑵求證：OD±AB；

(3)若Q4=2OE,DF=2,求尸8的長.

(2024.青海?中考真題)

22.如圖，直線A3經(jīng)過點(diǎn)C,且OA=O3,CA=CB.

（1）求證：直線AB是。。的切線；

⑵若圓的半徑為4,ZB=30°,求陰影部分的面積.

（2024.天津?中考真題）

23.已知VAO3中，入42。=30。,43為。。的弦，直線MN與。。相切于點(diǎn)C.

（。如圖①，若AB〃MN,直徑CE與A3相交于點(diǎn)。，求NAOB和/3CE的大??；

⑵如圖②,若OB//MN,CGLAB,垂足為G,CG與OB相交于點(diǎn)F,OA=3,求線段OF的長.

（2024?四川樂山?中考真題）

24.如圖，。。是VABC的外接圓，A3為直徑，過點(diǎn)C作。。的切線C。交斜延長線于點(diǎn)

D,點(diǎn)、E為CB上一點(diǎn),MAC=CE.

（1）求證：DC//AE；

（2）若EF垂直平分08,D4=3,求陰影部分的面積.

（2024?江蘇蘇州?中考真題）

25.如圖，VABC中，AB=4日。為中點(diǎn)，NBAC=/BCD,cosZADC=^-,QO

是AACD的外接圓.

（1）求BC的長;

⑵求。。的半徑.

（2024.甘肅臨夏?中考真題）

26.如圖，直線/與。。相切于點(diǎn)。，A3為。。的直徑，過點(diǎn)A作A￡_L/于點(diǎn)E,延長A3

⑵如果BC=1,DC=3,求。。的半徑.

（2024?廣西?中考真題）

27.如圖，已知。。是VABC的外接圓，AB=AC.點(diǎn)。，E分別是BC,AC的中點(diǎn)，連

接。E并延長至點(diǎn)R使DE=EF,連接AF.

⑴求證：四邊形尸是平行四邊形；

⑵求證：AF與0。相切；

3

（3）若tan/BAC=—,3c=12,求。。的半徑.

4

（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）

28.如圖，VABC內(nèi)接于。。，A3為。。的直徑，CDLAB于點(diǎn)。，將△CDB沿BC所在

的直線翻折，得到△<%?,點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為E,延長EC交54的延長線于點(diǎn)E

⑴求證：CF是。。的切線;

(2)若sinNCFB=，Z,AB=8,求圖中陰影部分的面積.

2

(2024?湖北武漢?中考真題)

29.如圖，VABC為等腰三角形，。是底邊3C的中點(diǎn)，腰AC與半圓。相切于點(diǎn)D,底邊BC

與半圓。交于E,歹兩點(diǎn).

⑴求證：A3與半圓。相切；

(2)連接。4.若CD=4,CF=2,求sin/OAC的值.

(2024?北京?中考真題)

30.如圖，A3是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，OD平分/AOC.

⑴求證：OD//BC；

(2)延長DO交。。于點(diǎn)E,連接CE交OB于點(diǎn)尸，過點(diǎn)B作。。的切線交OE的延長線于點(diǎn)

2若WOF=5PE=1,求。。半徑的長?

BF6

(2024.湖南?中考真題)

31.【問題背景】

已知點(diǎn)A是半徑為r的0。上的定點(diǎn)，連接。4,將線段繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

0(0。＜&＜90。)得到。￡,連接AE,過點(diǎn)A作。O的切線/,在直線/上取點(diǎn)C,使得/CAE

為銳角.

【初步感知】

【問題探究】

(2)以線段AC為對角線作矩形使得邊相＞過點(diǎn)E,連接CE,對角線AC,30相

交于點(diǎn)F.

①如圖2,當(dāng)AC=2r時(shí)，求證：無論。在給定的范圍內(nèi)如何變化,BC=CD+ED總成立:

二圖2

4CF7AR

②如圖3,當(dāng)AC=?r,法=：時(shí)，請補(bǔ)全圖形，并求tana及啜-的值.

3OE3BC

;

圖3

(2024.黑龍江綏化?中考真題)

32.如圖1,。是正方形A3CD對角線上一點(diǎn)，以。為圓心，OC長為半徑的。。與4D相切

于點(diǎn)E,與AC相交于點(diǎn)尸.

圖2

⑵若正方形ABCD的邊長為0+1，求。。的半徑.

(3)如圖2,在(2)的條件下，若點(diǎn)M是半徑OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MVLOC交CE

于點(diǎn)N.當(dāng)C0:FM=1:4時(shí)，求CN的長.

(2024.北京?中考真題)

33.在平面直角坐標(biāo)系xQv中，。。的半徑為1,對于0。的弦和不在直線A3上的點(diǎn)C,

給出如下定義：若點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)C在。。上或其內(nèi)部，且/ACB=a,則稱點(diǎn)C

是弦A3的“a可及點(diǎn)

⑴如圖，點(diǎn)A(0,l),3(1,0).

①在點(diǎn)G(2,0),C2(l,2),c3G,o］中，點(diǎn)是弦A3的“a可及點(diǎn)”，其中。=

O.

②若點(diǎn)。是弦A3的“90?？杉包c(diǎn)”，則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)的最大值為；

(2)已知尸是直線>=瓜-班上一點(diǎn)，且存在。。的弦MN,使得點(diǎn)尸是弦MN的“60?？杉?/p>

點(diǎn)記點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為/,直接寫出/的取值范圍.

（2024?廣東廣州?中考真題）

34.如圖，在菱形ABCD中，NC=120。.點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)8,點(diǎn)C重合）,

△AEB關(guān)于AE的軸對稱圖形為4AEF.

（1）當(dāng)N54F=30。時(shí)，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由;

（2）若AB=6+6石，。。為的外接圓，設(shè)。。的半徑為「

①求『的取值范圍；

②連接ED,直線FD能否與。。相切？如果能，求郎的長度；如果不能，請說明理由.

（2024?云南?中考真題）

35.如圖，是0。的直徑，點(diǎn)。、尸是0。上異于A、3的點(diǎn).點(diǎn)C在。。外，CA^CD,

延長所與C4的延長線交于點(diǎn)點(diǎn)N在SA的延長線上，NAMN=NABM,

=點(diǎn)//在直徑AB上，ZAHD=90。，點(diǎn)E是線段。月的中點(diǎn).

⑴求NA/中的度數(shù)；

⑵求證：直線G0與相切：

（3）看一看，想一想，證一證：

以下與線段CE、線段￡8、線段CB有關(guān)的三個(gè)結(jié)論：CE+EB<CB,CE+EB=CB,

CE+￡B>CB,你認(rèn)為哪個(gè)正確？請說明理由.

（2024?河北?中考真題）

36.已知。。的半徑為3,弦MN=2小,VA3C中,Z.ABC=90°,AB=3,BC=3s/2.在平

面上，先將VABC和。。按圖1位置擺放（點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，點(diǎn)A在。。上，點(diǎn)C在。。內(nèi)）,

隨后移動(dòng)VA3C,使點(diǎn)8在弦MN上移動(dòng)，點(diǎn)A始終在。。上隨之移動(dòng)，設(shè)BN=x.

(2)當(dāng)。V力WN時(shí)，如圖2,求點(diǎn)B到Q4的距離，并求此時(shí)x的值;

(3)設(shè)點(diǎn)0到BC的距離為d.

①當(dāng)點(diǎn)A在劣弧MN上，且過點(diǎn)A的切線與AC垂直時(shí)，求d的值;

②直接寫出d的最小值.

參考答案:

1.A

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為亳的中

點(diǎn)，三角形內(nèi)角和可求出/。。4=；義(180。-36。)=72。，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】VZAOB=72°,C為AB的中點(diǎn)，

ZAOC=36°

OA^OC

Z0C4=1x(180°-36°)=72°

:直線MN與。。相切，

二ZOCM=90°,

ZACM=ZOCM-ZOCA=18°

故選：A.

2.B

【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得

到答案，熟記圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??圓A半徑為1,圓尸半徑為3,圓A與圓尸內(nèi)切，

二圓A含在圓尸內(nèi)，即上4=3-1=2,

.?.P在以A為圓心、2為半徑的圓與VABC邊相交形成的弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：

當(dāng)?shù)绞?位置時(shí)，圓尸與圓B圓心距離尸8最大，為

正+不=后，

V17<3+2=5,

圓產(chǎn)與圓B相交,

故選：B.

3.C

【分析】過D作DE，3c于E,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)求出

N3DC=120。，利用弧、弦的關(guān)系證明BO=CD,利用三線合一性質(zhì)求出,

NBDE=gNBDC=60。,在中，利用正弦定義求出8。，最后利用扇形面積公式求

解即可.

【詳解】解：過。作DEL3c于E,

D

V。。是邊長為4后的等邊三角形ABC的外接圓,

5C=4A/3-ZA=60°,ZB￡>C+ZA=180°,

ZBDC=120°,

:點(diǎn)。是8c的中點(diǎn),

BD=CD，

：.BD=CD,

：.BE=-BC=2^/3,NBDE=LNBDC=60°,

22

BD=———=2也=4,

sinZBDEsin60°

.01207r-4216兀

陰影=F"=亍’

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形面

積公式，解直角三角形等知識，靈活應(yīng)用以上知識是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正

確作輔助線是解題關(guān)鍵.

根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得ZBAD+ZBCD=180°,由NBAE+/BCD=2360得

ZEAD=56°,由切線長定理得E4=￡D,即可求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接AD,

四邊形ABC3是。。的內(nèi)接四邊形，

ZBAD+ZSCD=180°,

?/NBAE+/BCD=236。,

：.ZBAE+ZBCD-(ABAD+ABCD)=236°-180°,

即/BAE-/BAD=56°,

/.NEW=56。，

VEA,ED是。。的切線，根據(jù)切線長定理得，

,EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA=56°,

：.ZE=180°-ZEAD-NEDA=180°-56°-56°=68°.

故選：C.

5.40°##40度

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：AC與O。相切，

ZBAC=90°,

又?:ZACB=50°,

：.NB=90°-ZC=90°-50°=40°,

故答案為：40°.

6.1050##105度

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，連接OC,

利用等邊對等角得出NQ4B=NO54=20。，ZOCB^ZOBC,利用切線的性質(zhì)可求出

ZOBC=ZOCB=55°,然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：連接。C,

ZOAB=ZOBA=1(180°-ZAOB)=20°,NOCB=NOBC,

:CP是切線，

NOCP=90°,即ZOCB+Z.BCP=90°,

?.*ZBCP=35°,

ZOBC=ZOCB=55°,

：.ZABC=ZABO+ZOBC=75°,

:四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

，ZADC=180°-ZABC=105°,

故答案為：105。.

7.&圖見解析，說明見解析

【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作點(diǎn)M關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)Al1、M2,連接加叫、M,M2,分別與AB、AC相交

于點(diǎn)E、P,△ACVP的周長等于加1加2的長，等腰三角形的腰長為&M，當(dāng)A”的

值最小時(shí)，叫加2的值最小，此時(shí)〃是切點(diǎn)，由此作圖即可.

【詳解】(1)由勾股定理可知，AG=EF=0，

故答案為：42

(2)如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為M；連接VE并延長，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)/門取圓與網(wǎng)格

線的交點(diǎn)。和格點(diǎn)〃，連接?！辈⒀娱L，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)〃2；連接得知2,分別與AB，

AC相交于點(diǎn)N,P,則點(diǎn)M,N,P即為所求.

【分析】證明AACE經(jīng)A3DE(ASA),得出BE=AE=；A2,根據(jù)_LCD,得出Z.BHE=90°,

說明點(diǎn)”在以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取線段8E的中點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，08為半徑畫圓，

則點(diǎn)//在。。上運(yùn)動(dòng)，說明當(dāng)A”與。。相切時(shí)NA4H最大，得出OHLAH,根據(jù)

AO=AE+OE=3OE,禾!］用$也/及出=歿=匹=工，即可求出結(jié)果.

AO3OE3

【詳解】解：??,兩條平行線4、6,點(diǎn)A是4上的定點(diǎn)，ABL/2于點(diǎn)8

???點(diǎn)5為定點(diǎn)，A5的長度為定值，

???lx//l2,

：?ZACE=/BDE,/CAE=/DBE,

;AC=BD,

：.△ACE^ABZ)E(ASA),

BE=AE=-AB

2f

,:BHLCD,

：.NBHE=90。,

???點(diǎn)H在以跖為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

如圖，取線段班的中點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，05為半徑畫圓，

BD

則點(diǎn)H在OO上運(yùn)動(dòng)，

???當(dāng)AH與0。相切時(shí)ZBAH最大,

OH工AH,

9：AE=BE=2OE,

：.AO=AE+OE=3OE,

?：OH=OE,

..加口_°H_OE_1

AO3OE3

故答案為：J.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性

質(zhì)，解直角三角形等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡.

9.2幣

【分析】記直線y=x+4與X,y軸分別交于點(diǎn)A,K,連接QM，PM,KM■由直線解析式

可求得點(diǎn)A、K的坐標(biāo)，從而得△OAK,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理

得：PQ=^PM--QM-,由QM=2,則當(dāng)口欣最小時(shí)，尸。最小，點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)

最小值為KM,由勾股定理求得的最小值，從而求得結(jié)果.

【詳解】解：記直線>=尤+4與x,y軸分別交于點(diǎn)A,K,連接PM,KM,

解得：x=~4,

即K(0,4),A(T,0)；

而M(4,0),

OA=OK=OM=4,

.?.△OAK,ZXOKM均是等腰直角三角形,

ZAKO=ZMKO=45°,

：.ZAKM=90°,

???QP與O"相切，

??.ZPQM=90°f

???PQ=yjPM2-QM2,

?.?QM=2,

當(dāng)PQ最小時(shí)即PM最小，

???當(dāng)PM_LAK時(shí)，取得最小值，

即點(diǎn)尸與點(diǎn)K重合，此時(shí)最小值為KM,

在RtAOKM中，由勾股定理得：KM=y/OM2+OK2=4^>

PQ=J32-4=277,

；.PQ最小值為2近.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，垂線段最

短，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.20V3-16##-16+20A/3

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB=8,AB//CD,ZABC=60°,由折疊性質(zhì)

得到￡0'=止=4,進(jìn)而得到點(diǎn)視在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過E作

交AB延長線于M,交圓E于以，此時(shí)力到邊A3的距離最短，最小值為DM的

長，即此時(shí)面積的最小，過C作于N,根據(jù)平行線間的距離處處相等得到

EM=CN,故只需利用銳角三角函數(shù)求得CN=56即可求解.

【詳解】解：：在DABCD中，ZBCZ)=120°,AB=8,

CD=AB=8,AB//CD,則ZABC=180?！?BCD=60。，

為邊CD的中點(diǎn)，

/.DE=CE=-CD=4,

2

1/ADEF沿EF翻折得AD'EB，

:.ED=DE=4,

...點(diǎn)加在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過E作交A3延長線于M,

交圓E于力，此時(shí)視到邊的距離最短，最小值為DM的長，即△"￡>'面積的最小，

過。作CN_LAB于N,

???AB//CD,

:?EM=CN,

在中，BC=10,ZCBN=60°,

，CN=BC-sm600=10x—=5y/3,

2

D'M=ME-ED'=5^-4,

△A5D面積的最小值為:x8x34一4)=20』一16,

故答案為：20后-16.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系、

銳角三角函數(shù)等知識，綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵.

11.⑴見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定等知識.熟練上述

知識是解題的關(guān)鍵.

(1)利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；

(2)如圖2,作DE2AB于E,由角平分線的性質(zhì)定理可得OE=OC,由DE是半徑，

DE±AB,可證A3與0。相切.

【詳解】(1)解：如圖1,AD即為所作；

圖1

(2)證明：如圖2,作DE工AB于E,

圖2

：AD是NC4D的平分線，DCLAC,DE±AB,

：.DE=DC,

是半徑，DE,AB,

A3與。。相切.

12.(1)見解析

Q)OM=亞

【分析】(1)連接OE,延長EO,交。。于點(diǎn)尸，連接尸222根據(jù)直徑所對的圓周角是直

角求出NDBE=45。，得ZDPE=45。，ZDOE=90°,由環(huán)〃CD可得NFED=NOOE=90。，

從而可證明￡F是。。的切線;

(2)由tanN8CO=」得我=!，nnDB1-,口BMDMDB1

即可=；，證明ADBM^ACM,得不="

2BC2AC2AMCM~AC~2

由BM=40得AW=8&，故可得42=120,由勾股定理求出AC=3C=12,得DB=6,

由勾股定理求出05=66，C0=D0=3喬，根據(jù)黑=g求出00=2如，進(jìn)一步求出

OM=OD-DM=3亞-2亞=亞

【詳解】(1)證明：連接OE,延長EO,交。。于點(diǎn)P,連接尸如圖,

AB=BC,ZACB=90°,

VABC是等腰直角三角形,

/.ZABC=45°,

是。。的直徑,

.??NCBD=90。,

??.ZDBE=ZCBD-ZABC=90。—45。=45°,

.?./EPD=/DBE=45。,

：./DOE=2ZDPE=2x45。=90°,

?.?EF//CD,

：.ZFEO=/DOE=90°,即OE_LEF,

???。石是OO的半徑，

???斯是。。的切線；

(2)解：VZDBC=90°tanZBCD=-

f2f

.DB1

??——,

BC2

?.?BC=AC,

.DB-1

??一，

AC2

'/ZDMB=ZCMA,ZA=ZDBM,

ADBM^ACM,

.BMDMDB1

"AM-CM-AC_2'

'?*BM=4A/2,

AM=2BM=8應(yīng),

A3=AW+3M=8&+4應(yīng)=120,

在等腰直角三角形ABC中，AC2+BC2=AB2,

：.AC2+AC2=AB2=(12&『，

解得，AC=12,

：.AC=BC=12,

：.DB=-BC=6,

2

在RAQC中，CD=J3c2+DB°=J12?+6?=6/,

CO=DO=3小,

乂CM2,

CM=2DM,

2DM+DM=CD=66，

/.DM=2A/5

/.OM=OD-DM=3也-2亞=非

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角

定理，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造圓周角是解答本題的關(guān)

鍵.

13.⑴見解析

(2)見解析

⑶g兀-1

【分析】+(1)分別證明4cB=N4EC,ZBAC=ZEAC,從而可得結(jié)論；

(2)連接OC,證明/E4C=NACO,可得OC〃AE,再進(jìn)一步可得結(jié)論；

(3)連接。3、OD,證明四邊形是矩形，可得DF=EC,再證明仞=。3,可得

ZDAB=ZDBA=45°,可得ZDOA=2ZDBA=90°,利用S陰影部分=S扇形皿。-5AA的可得答案.

【詳解】(1)證明：：A3是。。的直徑

NACB=90。，

又：CELAD,

：.ZAEC=90°,

ZACB=ZAEC,

：C是的中點(diǎn)，

BC=DC，

：./BAC=NEAC,

**?AACE^AABC；

(2)證明：連接OC

???ZCAO=ZACO,

9：ABAC=ZEAC,

：.ZEAC=ZACO,

：.OC//AE,

VCE1AZ),

???CELOC,

?e,OC是。。的半徑,

???CE是。。的切線;

?.?A5是O。的直徑，

???ZADB=90°,

?.?ZAEC=ZECO=90°,

???四邊形DEC方是矩形，

???DF=EC,

〈OC是半徑，。是30的中點(diǎn),

：.DF=FB,OC±DBf

即DB=2DF=2EC,

,:AD=2CE,

:.AD=DB,

：.ZDAB=ZDBA=45°9

：.ZDOA=2ZDBA=90°,

90。兀x(及『

S陰影部分=S扇形A0。-S^--xV2xV2=-7i-l

A0D36022

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定及扇形的面積公式，熟練地掌握相似三角

形的判定和切線的判定是解決本題的關(guān)鍵。

14.(1)見解析

【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，作出輔

助線，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

(1)連接OC,根據(jù)題意得ZOCD=/OC4+N71C?=90。，ZACB=ZACO+ZOCB=90°,

利用等量代換確定NACD=/ABC,再由相似三角形的判定即可證明；

(2)先由勾股定理確定45=3,然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖所示：

：CD是。。的切線，點(diǎn)C在以48為直徑的。。上，

NOCD=ZOCA+/ACD=90°,/ACB=ZACO+/OCB=90°,

NACD=NOCB,

；OC=OB,

：.NOBC=NOCB,

：./ACD=/ABC,

'：ADVI,

=90°,

：.ZADC=ZACB,

AABCS^ACD；

(2)VAC=5,CD=4,

AD=452-42=3,

由(1)得△TWCNACD,

.ABACAB5

>.----....即Hn----——

ACAD53

???O。的半徑為925+2=2§5

3o

15.(1)見詳解

72

⑵一

25

【分析】(1)連接O。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線得到。D〃AC,根據(jù)平行線的

性質(zhì)得NODb二90。，即可證明；

(2)連接MQAN,先解RtZiODF,求得OF=4,DF=26,則A尸=6,AE=3,可證

明AD=DF=2^/3,由ADGOS^AGE,得——=——=—,故DG=—AD,AG=—AD,證明

AGAE355

72

AMGDsAAGN,即可得到GM-GN=GZ>G4=一.

25

【詳解】(1)解：連接。0,

9

：OA=ODf

：.N2=N3,

???AD平分/BAC,

???N1=N2,

???Z1=Z3,

???OD//AC,

：.ZODF=ZAED

,:DEAC,

：.ZAED=90°,

：.ZODF=90°f

即OD_LEF,

???oo是。O的半徑

???斯是。。的切線；

(2)解：連接MD,AN,

E

N

u：ZF=30°,

???在Rt^OD/中，OF=2OD=4,

由勾股定理得：DF=yjoF2-OD2=2V3

JAF=2+4=6,

???在Rt&4EF中，N尸=30。，

???AE=-AF=3

2f

VZF=30°,ODLEF

：.ZDOF=60°=Z2+Z3,而Z2=/3,

JN2=30。，

AZ2=ZF,

AD=DF=26，

OD//AE,

???ADGOS^AGE,

.DG_OP_2

**AG-AE-3'

23

DG=-AD,AG=-AD,

：AM=AM9

：.ZANG=ZMDG,

???ZMGD=ZAGNf

：.AMGD^AAGN,

.MGGD

^~AG~'GN"

：.GMGN=GDGA=-AD-AD=—AD2=—x(2⑹一=—.

552525,’25

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，30。的直角三

角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

16.(1)115°

(2)DI=AD=BD,證明見解析

(3)30

【分析】⑴利用圓周角定理得到ZACB=90°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求ZCAB=65°,

然后利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)求解即可；

(2)連接加，由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到內(nèi)心，NCAI=NBAI,ZACI=/BCI,然后利用

圓周角定理得到mR=NOCB=NAC7,AD=BD,利用三角形的外角性質(zhì)證得

NDAI=NDIA,然后利用等角對等邊可得結(jié)論；

(3)過/分別作/QJ_A5,IFA.AC,IP±BC,垂足分別為。、F、P,根據(jù)內(nèi)切圓的性

質(zhì)和和切線長定理得到AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得CF=2=CP,

AB=13,進(jìn)而可求解.

【詳解】(1)解：?..AB是。。的直徑，

AZADB=ZACB=90°,又ZABC=25°,

ZCAfi=90°-25°=65°,

:四邊形ABEC是OO內(nèi)接四邊形，

ZCEB+ZG4B=180°,

NCEB=180°-ZCAB=115°；

(2)解：DI=AD=BD,

證明：連接加，

?點(diǎn)/為VABC的內(nèi)心,

.ZCAI=ABAI,ZACI=ZBCI=-ZACB=45°,

2

??AD=BD，

；?ZDAB=NDCB=ZACI,AD=BD,

9：ZDAI=ZDAB+ZBAI,ZDIA=ZACI+ZCAI,

ZDAI=ZDIA,

**?DI-AD=BD；

（3）解：過/分別作/。，AB,IF1AC,IPLBC,垂足分別為。、F、P,

:點(diǎn)/為VABC的內(nèi)心，即為VA3c的內(nèi)切圓的圓心.

，。、F、P分別為該內(nèi)切圓與VA3C三邊的切點(diǎn)，

AAQ^AF,CF=CP,BQ=BP,

；CI=2垃,NIFC=90°,ZACI=45°,

：.CF=C7cos45°=2=CP,

13

VDI=AD=BD,DI=一母,ZADB=90°,

2

AB=yJAD2+BD2=0x—收=13,

2

???NABC的周長為AB+AC+BC

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF

=2x13+2x2

=30.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)心

性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、切線長定理以及解直角三角形，熟練掌握相

關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

17.（1）見解析

（2）tanZAEB=—

【分析】（1）連接BD，OC,OD,證明垂直平分CD,得出NAFD=90。，證明CD〃3E,

得出NABE=NAFD=90。，說明即可證明結(jié)論;

（2）根據(jù)AB是。。的直徑，得出NACB=90。，根據(jù)勾股定理求出

AC=S/AB2-BC2=742-32=々，根據(jù)三角函數(shù)定義求出tanZABC=—=—，證明

BC3

ZAEB=ZABC,得出tanNAE&=tanNABC=也即可.

3

【詳解】（1）證明：連接BD,OC,OD,如圖所示:

'-*BC=BD，

：.BC=BD,

?；OC=OD,

???點(diǎn)0、3在的垂直平分線上,

???03垂直平分CD,

：.ZAFD=90°,

ZADC=ZAEB,

：.CD//BE,

???ZABE=ZAFD=90°,

???AB上BE,

??,A5是0。的直徑，

**?BE是00的切線；

（2）解：:。。的半徑為2,

***AB=2x2=4,

「A5是。。的直徑，

???NAC6=90。，

,:BC=3,

???AC=ylAB2-BC2=742-32=>/7,

.AC幣

??tan/ABC--,

BC3

;AC=AC9

：.AADC=AABC,

???ZAEB=ZADC,

：.ZAEB;ZABC,

tanZAEB=tanNABC=-

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，勾股定理，求一個(gè)角的正切值，圓周角定理，垂直平

分線的判定,平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

18.（1）見解析

24

（2）AF-y

【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)角

平分線的定義得到/尸=90。是解題的關(guān)鍵.

（1）連接OC,根據(jù)圓周角定理得到=即可得到OC〃AD,然后

根據(jù)角平分線的定義得到ZF=ZFEG-ZFAE2ZH=2x45°=90°,然后得到

ZOCE=ZF=90°即可證明切線；

（2）設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)0（72+庭2=0石2,可以求出r,然后根據(jù)AECOSA￡E4,即

可得到結(jié)果.

【詳解】（1）證明：連接oc,

則/Q4C=/OC4,

又?:BC=CD,

BC=CD，

：.NDAC=ZCAB=-NDAB,

2

ZDAC=ZOCA,

：.OC//AD,

：.NOCE=NF,

,/EH平分NFEG,

：.NFEG=2NHEG,

：.ZF=/FEG-ZFAE=2/HEG-2NCAB=2(ZHEG-ZC4B)=2ZH=2x45°=90°,

ZOCE=ZF=90°,

又：OC是半徑,

...族是。。的切線;

,則。石=。5+3￡=〃+2,

■.*OC2+CE2=OE2,即r+42=(廠+2『,

解得廠=3,

E4=AB+BE=2r+2=8,OE=5,

又?.?OC\\AD,

.**△￡CO0°A￡K4,

,即§=竺，解得

OEOC535

19.(1)見解析

/、42后

(,2)EF=^—

【分析】（1）利用切線和直徑的性質(zhì)求得N54￡>=N期4=90。，再利用等角的余角相等即可

證明/SAF=NCD3；

（2）先求得AB=12=AC,瓦）=15,證明VABC和是等腰直角三角形，求得AE的

長，再證明AB阱SABDC,據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）證明：：直線/與。。相切于點(diǎn)4

ZBAD=90°,

ZBDA+ZABD=90°,

,/AB是0O的直徑，

，ZBE4=90°,

ABAF+ZABD=9Q°,

：.NBAF=NCDB；

（2）解：：r=6,

AB=2r=12=AC，BD=\/AB2+AD2=^122+92=15'

:直線/與。。相切于點(diǎn)A,

NR4c=90。，

VABC是等腰直角三角形，

ZABC=ZACB=45°,

：A3是。。的直徑，

ZBEA=90°,

AABE也是等腰直角三角形，

AE=BE=AB-cos45°=672，

BF=BF，

：.ZBEF=ZBAF,

,：NBAF=NCDB,

：.ZBEF=ZBDC,

△BEF^^BDC9

.BEEF672EF

..——=——，即二一=-----，

BDCD1512+9

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，

勾股定理等知識點(diǎn)的應(yīng)用，掌握切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

20.⑴見解析

1T

⑵弧CF的長為

【分析】（1）利用SSS證明△O3D四△O3C,推出NOD5=NOCB=90。，據(jù)此即可證明結(jié)論

成立；

（2）設(shè)0。的半徑為x,在RUAOE）中，利用勾股定理列式計(jì)算求得x=1,求得ZAOD=60°,

再求得/COF=60。，利用弧長公式求解即可.

【詳解】（1）證明：連接OD,

BD=BC

在AOBD和△03C中，＜OB=OB,

OD=OC

AOBDmAOBC（SSS）,

ZODB=Z.OCB=90°,

為0。的半徑,

...AB是。。的切線;

（2）解：VAODB=9G°,

：.ZODA=90°,

設(shè)。。的半徑為x,

在RtAAOD中，AO2=OD2+AD2,即（x+l『=尤?+（否）

解得x=l,

OD=OC=1,04=2,cosZAOD=-=-,

OA2

：.ZAOD=60°,

■:Z\OBD^^OBC,

???ZBOD=ZCOF=|(180°-60°)=60°,

???弧CT的長為窄己=g.

1ol)3

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)的定義，弧長公式.正確引出輔助線

解決問題是解題的關(guān)鍵.

21.(l)NDCE(答案不唯一)

【分析】(1)利用等邊對等角可得出/DCE=/DEC,即可求解；

(2)連接OC,利用切線的性質(zhì)可得出NDCE+NACO=90。，利用等邊對等角和對頂角的

性質(zhì)可得出NAOE=NOCE,等量代換得出ZAEO+NC4O=90。，然后利用三角形內(nèi)角和定理

求出NAOE=90。，即可得證；

(3)設(shè)OE=2,貝U可求AO=O9=8O=2x,EF=x,OD=2x+2,DC=DE=2+x,^RtAO￡>C

中，利用勾股定理得出(2+2"=(x+2y+(2x)2,求出尤的值，利用tanQ=罟=若可求出

OP,即可求解.

【詳解】(1)解：：OC=OE,

NDCE=NDEC,

故答案為：/DCE(答案不唯一)；

(2)證明：連接OC,

,/PC是切線,

AOCLCD,即"CE+NACO=90。，

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZACO,

VZDCE=ZDEC,ZAEO=ZDEC,

：.ZAEO+ZCAO=90°,

：.NAOE=90。，

:.OD±AB；

(3)解：設(shè)OE1=x,貝UAO=O尸=3O=2x,

EF=OF-OE=x,OD=OF+DF=2x+2,

:.DC=DE=DF+EF=2+x,

在Rt^ODC中，OD2=CD2+OC2,

：.(2+2X)2=(X+2)2+(2X)2,

解得玉=4,x2=0(舍去)

AOD=10fCD=6,OC=8,

OPOC

…?tanZ八)=----=-----,

ODCD

.OP_S

??=一，

106

40

解得。尸=￡,

BP=OP-OB=—.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股