專題01代數(shù)計(jì)算問題（實(shí)數(shù)、整式、分式、二次根式）

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模型01實(shí)數(shù)的計(jì)算

模型02整式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)

模型03分式的運(yùn)算及化簡(jiǎn)

模型04二次根式的計(jì)算

代數(shù)式的計(jì)算通常出現(xiàn)在各地市的中考大題第1題,分值在5-10分左右，主要考查實(shí)數(shù)的計(jì)算、整式的運(yùn)

算與化簡(jiǎn)求值、分式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值、二次根式的計(jì)算等，題目為基礎(chǔ)題，比較容易得分，學(xué)生需

要牢記相關(guān)易錯(cuò)點(diǎn)、公式和口訣，避免出現(xiàn)低級(jí)的計(jì)算錯(cuò)誤。

模型01實(shí)數(shù)的計(jì)算

考I向I預(yù)I測(cè)

1.實(shí)數(shù)的計(jì)算一般為解答題第1題：

2.涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：零次累、-1的奇偶次累、數(shù)的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞、絕對(duì)值、開方運(yùn)算、特殊角的三

角函數(shù)值等，一般為3-5個(gè)知識(shí)點(diǎn)的組合：

3.乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕涉及的一般為絕對(duì)值小于5的數(shù)字，開方運(yùn)算涉及的一般為100以內(nèi)的數(shù)字.

答|題|技|巧

1.實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以

進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方.

2.在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減,

有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

3.實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

①運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、累的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角

函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等.

②運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算,

無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

③運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

4.常見的公式及易錯(cuò)點(diǎn)：

(1)負(fù)整數(shù)指數(shù)累：(加為正整數(shù))；

(2)零指數(shù)幕：a°=l(awO)

(3)特殊角的三角函數(shù)值：

sin30°=-,sin45°=也，sin60°-—,

222

cos30°=^.,cos45°=—,cos60°=-,

222

tan30°=—^―)tan45°=1,tan60°=-J3-

(4)常見的易錯(cuò)點(diǎn)：—2?=—4,(—2)2=4,—2<=—L,(—2廠2=工

44

-I2025=(—1產(chǎn)=—1,-I2024=-l,(-l)2024=1

|題型學(xué).

(2024?濟(jì)南)計(jì)算：V9-(TT-3.14)°+(3T+|V3|-2cos30。.

,支式

1.(2024?樂山模擬)計(jì)算：(2024-TT)°+|V3-1|-(1)-1+V12.

2.(2024?五華區(qū)校級(jí)模擬)計(jì)算：V9-2cos45°-(1-7r)°+(j)-1+|-V2|.

3.(2024?甘肅二模)計(jì)算：V9-(I)-1+cos60°-(TT-2024)°.

4.（2024?荷塘區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：2tcm60。+|V3-2|+（卷廣】一浮

乙U乙乙乙

5.計(jì)算:

(1)727+7=8-712;(2)(V3)0-4^77+(V9)3-

6.計(jì)算：

(1)5-(-5)+6x(-2)；(2)(-6)2x-V8.

模型02整式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)

STSIMTS"...................................

1.常考的形式有直接化簡(jiǎn)整式；先對(duì)整式化簡(jiǎn)，再代人字母的值求整式的值：；給出解題過程，尋找過

程中的錯(cuò)誤并寫出正確的結(jié)果；出現(xiàn)的位置一般為解答題的第1或第2題：

2,題目必考乘法公式，還會(huì)涉及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式等，涉及1個(gè)字母或2個(gè)字母：

3.代值時(shí)：除直接給出字母的值，還會(huì)結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算、方程（組）等求出字母的值，還可能會(huì)涉及整體代

人法

答I題I技I巧

1.有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似.

2.“整體”思想在整式運(yùn)算中較為常見，適時(shí)采用整體思想可使問題簡(jiǎn)單化，并且迅速地解決相關(guān)問題，此時(shí)

應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號(hào)括起來(lái).

3.整式的化簡(jiǎn)求值：先按運(yùn)算順序把整式化簡(jiǎn)，再把對(duì)應(yīng)字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似.

4.常用的乘法公式：

（1）完全平方公式：（a±Z?）2=a2±2ab+b2；

（2）平方差公式：（〃+b）（Q-匕）="一萬(wàn)2.

題筌市例

＞哀創(chuàng)（2024?甘肅）先化簡(jiǎn),再求值：［（2〃+4）2-（2a+4）(2a-b)]^2Z?,其中〃=2,b=-1.

＞變式

1.(2024?連州市二模)化簡(jiǎn)：(a-3)(a+3)-(?-3)2.

2.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)三模）化簡(jiǎn)：（/71+3）（機(jī)-3）-（7/7+1）2.

小明的解答如下：

解：原式=蘇-9-（nr+m+1）=m2-9-m2-m-1=-m-10.

小明的解答正確嗎？如果不正確，請(qǐng)寫出正確的解答.

3.（2024?北戴河區(qū)一模）已知多項(xiàng)式尸=（x+2）2+x（l-x）-9.

Cl）當(dāng)尤=0時(shí)，求尸的值；

（2）若x為整數(shù)，試說明多項(xiàng)式產(chǎn)能被5整除.

4.(2024?城中區(qū)校級(jí)三模)求代數(shù)式2(x-j)2+(-4X3J+6X2J2)+2孫的值，其中|x-3|+Jx+y=0.

5.（2024?城中區(qū)校級(jí)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：（x-2y）2+2（x-y）（無(wú)+y）-3x（尤-2y）,其中尤=2,

尸-1.

6.(2024?北京模擬)已知尤2+2x-1=0,求代數(shù)式(x+1)2+x(x+4)+(x-3)(x+3)的值.

模型03分式的運(yùn)算及化簡(jiǎn)

事SOWS"..............................

1.?？嫉男问接袃煞N：給出分式，直接化簡(jiǎn)求結(jié)果；給出分式化簡(jiǎn)的過程，根據(jù)題意補(bǔ)全過程或?qū)ふ?/p>

解題過程中的錯(cuò)誤并寫出正確的化簡(jiǎn)結(jié)果；先化簡(jiǎn)分式再由字母或式子的值進(jìn)行求解

2.題目一般為2-3項(xiàng)的混合運(yùn)算，涉及1個(gè)字母或2個(gè)字母，字母的指數(shù)一般不超過2,字母的系數(shù)為10

以內(nèi)的有理數(shù)：

3.解題過程中涉及的運(yùn)算有：分式的加減乘除、通分、約分、去括號(hào)法則等，分子或分母為多項(xiàng)式時(shí)，還會(huì)

涉及因式分解。

答|題|技|巧

1.分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)

的先算括號(hào)里面的.最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算.

2.分式的化簡(jiǎn)求值：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡(jiǎn)的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果

要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

|題型不例

（2024?哈爾濱）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式（2-尤2+,+1）+曷的值，其中X=2COS30°-tan45°.

,支式

1.（2025?泗洪縣一模）先簡(jiǎn)化，再求值：（含-嘉）+君，其中x=W+L

2.⑵24?西城區(qū)校級(jí)模擬）先化簡(jiǎn),再求值：（1一三）一學(xué)詈,其中x=5.

3.（2024?深圳模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：（第一i）士史二鏟，其中。=1.

、。+2）a+2

4.（2024?平江縣二模）已知/-尤-i=o,求（芻一工）+J2f的值.

%+1xJ%2+2%+1

5.（2024?朝陽(yáng)區(qū)一模）已知x+2y+2=0,求代數(shù)式（彳-"的值.

xx-2y

6.（2024?大余縣二模）如圖是學(xué)習(xí)了分式混合運(yùn)算后，甲，乙兩名同學(xué)解答一道題目中第一步的做法，選

擇其中一名同學(xué)的做法，完成解答過程.

計(jì)巢碧-冬）?蒙

甲同學(xué)乙同學(xué)

解：原式=［痣一螳止Q+1)Q—1)

解：原式=4緯君1）*屋粽磊］?騾.2x

我選擇：同學(xué)

7.（2024?開封二模）化簡(jiǎn)：（/+三）.七二1,下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運(yùn)算過程:

vx+lx—Yx

解：原式=［就蒿+

x(x+l)X2-1

甲同學(xué)(%+1)(%-1)%

x2-lXx2-l

解：原式=5r：+——?------

Xx-1X里

乙同學(xué)

（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是,乙同學(xué)解法的依據(jù)是;（填序號(hào)）

①等式的基本性質(zhì);

②分式的基本性質(zhì);

③乘法分配律；

④乘法交換律.

（2）請(qǐng)選擇一種解法，寫出完整的解答過程.

模型04二次根式的計(jì)算

WfSlWfii...................................

二次根式的計(jì)算主要考查二次根式的混合運(yùn)算，常結(jié)合乘法公式、零指數(shù)幕、整數(shù)指數(shù)塞、特殊角的三角

函數(shù)進(jìn)行綜合考查。

答I題I技I巧

二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注

意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式”.

③二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式.

④在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往

能事半功倍.

（2024?甘肅）計(jì)算：V18-V12X

,支式

1.（2024?甘州區(qū)二模）計(jì)算：4V2xV3—（V3+V2）2+

2.（2024?臨渭區(qū)三模）計(jì)算：V27-J1XV6+V454-V5.

3.（2024?浙江模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：2缶+通）（￡1一曲）—a（a—4）+14，其中。=痣一2.

（2024?青神縣模擬）計(jì)算：感—2|+（-1）-2-（2022-字）。

4.+而?

5.計(jì)算：（遮一I/一（百+企）（遮一/）.

6.計(jì)算：

（1）（3V3-1）（373+1）-（2V3-I）2;

⑵（2g—J）x遙-馬里.

砂真嶺煉

1.（2024?北京）計(jì)算：（兀-5）°+迎一25出30°+|一/「

2.（2024?青海）計(jì)算：V18-tan45o+7T°-|-V2|.

3.（2024?吉林）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+1）（a-1）+a2+l,其中a=g.

4.（2024?重慶）計(jì)算:

（1）CI（3-61）+（Q-1）（〃+2）;

⑵。+"白磊

5.（2024?濰坊）（1）計(jì)算：g+（3-2—|—3k

（2）先化簡(jiǎn),再求值：（a+i一言）+若,其中a二百+2.

6.（2024?西寧）先化簡(jiǎn)，再求值：（3〃-1）2-2〃（4〃-1）,其中〃滿足層-4〃+3=0.

11

7.（2024?山西）（1）計(jì)算：（-6）x：—（一）2+[(-3)+(-1)]；

32

11x+2

(2)化簡(jiǎn)(——+——)+

x-1x+1x2—l'

8.（2。24?廣安）先化簡(jiǎn)但1一言）一沖,再?gòu)?2,。，1,2中選取一個(gè)適合的數(shù)代入求值.

（2024?甘南州）先化簡(jiǎn)，再求值：上+軟+丫2—AA

9.4+(―+1),且X滿足-2SXW2,取一個(gè)值即

X2+2XX2-4X+4x-2

可.

io.（2024?煙臺(tái)）利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下：BE3DOQ若加是其顯示結(jié)

(*+Z^)

果的平方根，先化簡(jiǎn):再求值.

m-39-m2血+3

11.（2024?綿陽(yáng)）（1）計(jì)算：兀。+4迎+2|1-cos45°|-（一次產(chǎn)；

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+工）+之二1,其中刀=魚+1.

vX7X

12.（2024?北京）已知a-b-1=0,求代數(shù)式迎:當(dāng)必的值.

a12-32ab+b2

13.（2024?淄博）化簡(jiǎn)分式：序一點(diǎn)+上一并求值（請(qǐng)從小宇和小麗的對(duì)話中確定a,b的值）

a2-2ab+b2a-b

小宇小麗

14.（2024?泰安）⑴計(jì)算：2±加60。+8廠2一?一“+J（_3）2；

（2）化簡(jiǎn)：（萬(wàn)一空匚）+%2—1

'XJX

?模核套用

1.（2024?茂南區(qū)校級(jí)一模）計(jì)算：（—2）2-我+（&-1）。+（3-1.

2.（2024?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：2cos30。一（兀―2024）。+|百—21

3.（2024?湘陰縣二模）計(jì)算：|—百|(zhì)一2s出60。+弓）T+（2023