培優(yōu)點(diǎn)06概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實(shí)，題型新穎，綜合性增強(qiáng)，難度加深，主要考查學(xué)生的

閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力.要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過(guò)閱讀分析判斷獲取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、

各事件間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解.

知識(shí)導(dǎo)圖

?考點(diǎn)一：概率和數(shù)列的綜合問(wèn)題

★概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型

?考點(diǎn)二:概率和函數(shù)的綜合問(wèn)題

ill

考點(diǎn)一：概率和數(shù)列的綜合問(wèn)題

規(guī)律方法概率問(wèn)題與數(shù)列的交匯，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類(lèi)型：

⑴求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率2或均值以左）的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法（一般構(gòu)造等比數(shù)列），求

出通項(xiàng)公式.

（2）求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和.

（3）利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限.

[例1]（2024?山東荷澤?一模）若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=（-1嚴(yán)”，記在數(shù)列｛%｝的前〃+2（〃wN*）

項(xiàng)中任取兩數(shù)都是正數(shù)的概率為則（）

2

A.—B.P9<Pl0C.6o<%D.<當(dāng)

【變式1】（2024?黑龍江?二模）某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為：，從第二題開(kāi)

始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為。；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為;.記甲同學(xué)回答

第〃題時(shí)答錯(cuò)的概率為A，當(dāng)“22時(shí)，恒成立，則M的最小值為（）

,9749八47八49

A.---B.---C.—D.—

1321326666

【變式2】（2023?晉中模擬）晉中市是晉商文化的發(fā)源地，且擁有豐富的旅游資源，其中有保存完好的大院

人文景觀（如王家大院，常家莊園等），也有風(fēng)景秀麗的自然景觀（如介休綿山，石膏山等）.某旅行團(tuán)帶游客

2

來(lái)晉中旅游，游客可自由選擇人文景觀和自然景觀中的一處游覽.若每位游客選擇人文景觀的概率是可，選

O

擇自然景觀的概率為:，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.

（1）從游客中隨機(jī)選取5人，記5人中選擇人文景觀的人數(shù)為人求才的均值與方差；

（2）現(xiàn)對(duì)游客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若選擇人文景觀記2分，選擇自然景觀記1分，記已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分為〃分

的概率為只，求匕

【變式3］（2023?邯鄲模擬）某市為了讓廣大市民更好地了解并傳承成語(yǔ)文化，當(dāng)?shù)匚穆镁謹(jǐn)M舉辦猜成語(yǔ)大

賽.比賽共設(shè)置〃道題，參加比賽的選手從第一題開(kāi)始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所

有題目.設(shè)某選手答對(duì)每道題的概率均為P（0〈KD,各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.

⑴記答題結(jié)束時(shí)答題個(gè)數(shù)為其當(dāng)〃=3時(shí)，若￡（力>1.75,求0的取值范圍；

（2）①記答題結(jié)束時(shí)答對(duì)題的個(gè)數(shù)為匕求雙力；

②當(dāng)時(shí)，求使￡（10>4的n的最小值.

參考數(shù)據(jù)：1g2=0.301,1g3—0.477.

考點(diǎn)二:概率和函數(shù)的綜合問(wèn)題

規(guī)律方法構(gòu)造函數(shù)求最值時(shí)，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對(duì)變量范圍的限制.

【例2】（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)mN*,?！盀椋?x+3）"-（x+l）”的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和,

c=2/-3,feR,〃=華］+學(xué)］++瞪］（㈤表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)），則（“一1+電+4的最小值

為.

【變式1］（2024?黑龍江?二模）某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為從第二題開(kāi)

始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為:；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為《記甲同學(xué)回答

第〃題時(shí)答錯(cuò)的概率為匕，當(dāng)時(shí)，恒成立，則〃的最小值為（）

97「49「47「49

A.B.C.—D.—

1321326666

【變式2】（2023?浙江金麗衢十二校聯(lián)考）某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件，每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的

概率為0.5,二等的概率為0.4,若達(dá)不到一、二等，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨(dú)立.己

知生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表：

—-住

等級(jí)一等一寺—二?生寸

利潤(rùn)（萬(wàn)元/每件）0.80.6-0.3

（1）求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；

（2）求該公司每天所獲利潤(rùn)J（萬(wàn)元）的均值；

（3）若該工廠要增加日產(chǎn)量，需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加〃件，其成本也將相應(yīng)提升〃一In〃（萬(wàn)元）,

假如你作為工廠決策者，你覺(jué)得該廠目前該不該增產(chǎn)？請(qǐng)回答，并說(shuō)明理由.

（In2^0.69,In3^1.1）

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、選擇題

1.（23-24高三上?江西宜春?階段練習(xí)）從1-20中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，記隨機(jī)變量4為這3個(gè)數(shù)中相鄰數(shù)

組（a,a+l）的個(gè)數(shù).如當(dāng)這三個(gè)數(shù)為11,12,14時(shí)，小=1；當(dāng)這三個(gè)數(shù)為7,8,9時(shí)，&=2.則E（J）的值

約為（）

A.0.22B.0.31C.0.47D.0.53

2.（22-23高二下?江蘇常州?階段練習(xí)）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次

傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，下列說(shuō)法正確的是（）

A.2次傳球后球在丙手上的概率是:B.3次傳球后球在乙手上的概率是!

C.3次傳球后球在甲手上的概率是。D.〃次傳球后球在甲手上的概率是：

3.（2023?河北唐山?二模）拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子兩次，記第一次得到的點(diǎn)數(shù)為a,第二次得到的點(diǎn)

數(shù)為6,則函數(shù)/（x）=；x3+62+bx+c沒(méi)有極值點(diǎn)的概率為（）

A.1B.Ac.HD,1

418363

4.（22-23高二下?四川眉山?階段練習(xí)）先后任意地拋一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，所得點(diǎn)分別記

為。和6,則函數(shù)辦2+云存在極值的概率為（）

,13”17八19八23

A.—B.—C.—D.—

36363636

5.（22-23高三?寧夏吳忠?階段練習(xí)）設(shè)='尤<°，若函數(shù)〃尤）的最小值為b

x—QIn%,x>0

是從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么。恒成立的概率是（）

3325

A.—B.-C.-D.一

5436

6.（22-23高三上?貴州銅仁?期末）已知,，。是方程（產(chǎn)―5，+4）（/—5/+6）=0的根，則函數(shù)

g（X）=P%3+/2+%_］在（――+⑹上是遞增函數(shù)的概率是（）

B.L79

C.——D.

A.1121616

7.（22-23高三上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）若拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,則“在函數(shù)

/（尤）=ln（尤2+?+24的定義域?yàn)镽的條件下，滿(mǎn)足函數(shù)g（x）=,一：：為偶函數(shù)”的概率為

\Cl十L/JJi

（）

A.—B.—C.-D.-

171396

8.（2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、

乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)〃（〃eN*）次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為X.，

恰有1個(gè)黑球的概率為P,,恰有2個(gè)黑球的概率為工，則下列結(jié)論不正確的是（）

.167

A.p=—，%=—

227227

B.數(shù)列｛2°“+%-1｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛0“+2%-1｝是等比數(shù)列

D.X*的數(shù)學(xué)期望磯x“）=l+（gJ（”eN*）

二、多選題

1.（23-24高三上?重慶渝中?期中）甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，持球人把球傳給另外兩人中的任意一

人是等可能的.從一個(gè)人傳球到另一個(gè)人稱(chēng)傳球一次.若傳球開(kāi)始時(shí)甲持球，記傳球〃次后球仍回到甲手

里的概率為則下列結(jié)論正確的是（）

比二B.C.匕。“）D.

2.（22-23高二下?河南許昌?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（）

A.公共汽車(chē)上有10位乘客，沿途5個(gè)車(chē)站，乘客下車(chē)的可能方式有IO,種.

B.兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是g；

C.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是3,3,5,3,6,11,若這組數(shù)據(jù)的平均

數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為12.

D.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~,則尸=

3.（23-24高三下?浙江?開(kāi)學(xué)考試）日常生活中植物壽命的統(tǒng)計(jì)規(guī)律常體現(xiàn)出分布的無(wú)記憶性.假設(shè)在一

定的培養(yǎng)環(huán)境下，一種植物的壽命是取值為正整數(shù)的隨機(jī)變量X,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，它近似滿(mǎn)足如下規(guī)律：

對(duì)任意正整數(shù)"，壽命恰好為”的植物在所有壽命不小于九的植物中的占比為10%.記“一株植物的壽命為

為事件4,“一株植物的壽命不小于"”為事件紇.則下列結(jié)論正確的是()

A.尸⑷=0.01

B.尸(4)=0.9"-

c.設(shè)巴=尸(4/%)，則｛4｝為等比數(shù)列

D.設(shè)工=〃尸(A),則￡果<10

k=\

三、填空題

1.(2023?江蘇南京?二模)一個(gè)袋子中有〃(〃eN*)個(gè)紅球和5個(gè)白球，每次從袋子中隨機(jī)摸出2個(gè)

球.若“摸出的兩個(gè)球顏色不相同”發(fā)生的概率記為O(〃)，則P(〃)的最大值為.

2.(23-24高二上?四川成都?期末)已知〃個(gè)人獨(dú)立解決某問(wèn)題的概率均為且互不影響，現(xiàn)將這〃

4

9

個(gè)人分在一組，若解決這個(gè)問(wèn)題概率超過(guò)—,則〃的最小值是

三、解答題

1.(2024?遼寧?一模)近年來(lái)，某大學(xué)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，大力推行全民健身運(yùn)動(dòng)，向全校學(xué)生開(kāi)放了

兩個(gè)健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.

(1)該校學(xué)生甲、乙、丙三人某周均從A,2兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身，若甲、乙、丙該周選擇A

健身中心健身的概率分別為求這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率；

(2)該校學(xué)生丁每周六、日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身中心的其中一個(gè)，

其中周六選擇A健身中心的概率為。.若丁周六選擇A健身中心，則周日仍選擇A健身中心的概率為I；

24

若周六選擇3健身中心，則周日選擇A健身中心的概率為(求丁周日選擇8健身中心健身的概率；

(3)現(xiàn)用健身指數(shù)上(左€[0,10])來(lái)衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動(dòng)后的健身效果，并規(guī)定左值低于1分的學(xué)

生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其上值低于1分的概率為0.12.現(xiàn)從

全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直至抽取到

一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過(guò)".若抽取次數(shù)的期望值不超過(guò)3且〃>7,求〃的

最大值.

參考數(shù)據(jù)：0.8829b0.025,0.8830~0.022,0.8831?0.019,ln0.88~-0.128.

2.(2023?上海長(zhǎng)寧?一模)己知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，公差d=2.

⑴若幾=100,求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵從集合｛%外,%,%，如3｝中任取3個(gè)元素，記這3個(gè)元素能成等差數(shù)列為事件A,求事件A發(fā)生的概

率尸(A).

3.(23-24高三上?廣西柳州?階段練習(xí))假設(shè)L市四月的天氣情況有晴天，雨天，陰天三種，第二天的

天氣情況只取決于前一天的天氣情況，與再之前的天氣無(wú)關(guān).若前一天為晴天，則第二天下雨的概率為

了，陰天的概率為：；若前一天為下雨，則第二天晴天的概率為了，陰天的概率為楙；若前一天為陰天，

則第二天晴天的概率為:，下雨的概率為g；已知L市4月第1天的天氣情況為下雨.

⑴求L市4月第3天的天氣情況為晴天的概率；

⑵記。“為L(zhǎng)市四月第n(neN+,?<30)天的天氣情況為晴天的概率，

(i)求出?！钡耐?xiàng)公式；

(ii)L市某花卉種植基地計(jì)劃在四月根據(jù)天氣情況種植向日葵，為了更好地促進(jìn)向日葵種子的發(fā)芽和生

長(zhǎng)，要求提前3天對(duì)種子進(jìn)行特殊處理，并盡可能地選擇在晴天種植.如果你是該花卉種植基地的氣象顧

問(wèn)，根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)你對(duì)該基地的種植計(jì)劃提出建議.

4.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))將連續(xù)正整數(shù)1,2,L,〃("eN*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)123n,

網(wǎng)”)為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如當(dāng)”=12時(shí)，此數(shù)為123456789101112,共有15個(gè)數(shù)字，尸(12)=15),現(xiàn)從這個(gè)

數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，。(〃)為恰好取到0的概率.

⑴求P(IOO).

(2)當(dāng)“V2021時(shí)，求尸(〃)的表達(dá)式.

(3)令g(〃)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字。的個(gè)數(shù)，/⑸為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，〃(")=/(")-g(”)，

S=|h(n)=1,?<100,?eN*j,求當(dāng)“eS時(shí)p(n)的最大值.

5.(2024?廣東汕頭?一模)2023年11月，我國(guó)教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高

中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng).我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進(jìn)行科

學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并

且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮?，所?/p>

沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到〃顆番

石榴(不妨設(shè)“顆番石榴的大小各不相同)，最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能

在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前%顆番石榴，自

第k+1顆開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設(shè)左=仞，記

該學(xué)生摘到那顆最大番石榴的概率為P.

(1)若〃=4,左=2,求尸；

(2)當(dāng)〃趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求尸的最大值及P取最大值時(shí)r的值.

(取工+,++」一=ln3)

kk+1n-1k

6.(2023?石家莊模擬)國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中小學(xué)校每年組織一次在校學(xué)生健

康體檢，現(xiàn)某學(xué)校有4000名學(xué)生，假設(shè)攜帶乙肝病毒的學(xué)生占麻，某體檢機(jī)構(gòu)通過(guò)抽血的方法篩查乙肝病

毒攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)4000次.為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專(zhuān)家給出了一種

化驗(yàn)方法：隨機(jī)按照4個(gè)人進(jìn)行分組，將各組4個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這次個(gè)

人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別化驗(yàn)

一次.假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立.

(1)若勿=0.4,記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為才，當(dāng)A取何值時(shí)，才的均值最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；

(2)若"=0.8,設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用為5元，“個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用為A+4元.求當(dāng)“取何值

時(shí)，每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的均值最小，并求化驗(yàn)總費(fèi)用.

參考數(shù)據(jù)及公式：，訶心3.16,(1+X)"-1+〃X(AGN*,A22,01).

7.(2023?廣州模擬)隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之間圍繞5G用戶(hù)的爭(zhēng)奪越來(lái)越激烈，5G手機(jī)

也頻頻降價(jià)飛入尋常百姓家.某科技公司為了打開(kāi)市場(chǎng)，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎(jiǎng)免費(fèi)送5G手機(jī)”優(yōu)惠活

動(dòng)方案的內(nèi)部測(cè)試，測(cè)試成功后將在全市進(jìn)行推廣.

⑴公司內(nèi)部測(cè)試的活動(dòng)方案設(shè)置了第/(/GN*)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的名額為3/+2,抽中的用戶(hù)退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)

充新的用戶(hù)，補(bǔ)充新用戶(hù)的名額比上一次中獎(jiǎng)用戶(hù)的名額少2個(gè).若某次抽獎(jiǎng)，剩余全部用戶(hù)均中獎(jiǎng)，則活

動(dòng)結(jié)束.參加本次內(nèi)部測(cè)試第一次抽獎(jiǎng)的有15人，甲、乙均在其中.

①求甲在第一次中獎(jiǎng)和乙在第二次中獎(jiǎng)的概率；

②求甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的分布列和均值；

(2)由于該活動(dòng)方案在公司內(nèi)部的測(cè)試非常順利，現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣.報(bào)名參加第一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有20萬(wàn)

9+—1'

用戶(hù)，該公司設(shè)置了第，/GN*)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為“=——-——,每次中獎(jiǎng)的用戶(hù)退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)

充相同人數(shù)的新用戶(hù)，抽獎(jiǎng)活動(dòng)共進(jìn)行2〃(AGN*)次.已知用戶(hù)丙參加了第一次抽獎(jiǎng)，并在這2〃次抽獎(jiǎng)活

9

動(dòng)中中獎(jiǎng)了，在此條件下，求證：用戶(hù)丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的均值小于

培優(yōu)點(diǎn)06概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型(2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)

概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實(shí)，題型新穎，綜合性增強(qiáng)，難度加深，主要考查學(xué)生的

閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力.要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過(guò)閱讀分析判斷獲取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、

各事件間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解.

知識(shí)導(dǎo)圖

?考點(diǎn)一：概率和數(shù)列的綜合問(wèn)題

★概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型

?考點(diǎn)二:概率和函數(shù)的綜合問(wèn)題

ill考點(diǎn)分類(lèi)講解

考點(diǎn)一：概率和數(shù)列的綜合問(wèn)題

規(guī)律方法概率問(wèn)題與數(shù)列的交匯，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類(lèi)型：

⑴求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率2或均值￡(&)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求

出通項(xiàng)公式.

(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和.

(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限.

【例1】(2024?山東荷澤?一模)若數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為%=(-l)a〃，記在數(shù)列｛4｝的前〃+2(〃eN*)

項(xiàng)中任取兩數(shù)都是正數(shù)的概率為匕，則()

2

A.=~B,月<耳。C.<耳D.耳<當(dāng)

【答案】C

【分析】利用分類(lèi)討論及通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，再利用組合數(shù)公式和古典概型的概率的計(jì)算公式求出概率的通

式即可求解.

【詳解】〃為奇數(shù)時(shí)，前〃+2項(xiàng)中有彳個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，即有彳個(gè)正數(shù)，

22

Q1〃+3〃+1

P_等_FF_("+3)5+1)_九+3,[=:，故A錯(cuò)誤；

nC；+2(n+2)(n+l)4(n+2)(n+l)4(〃+2)?

”為偶數(shù)時(shí)，前”+2項(xiàng)中有〃三+2個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，即有〃三+2個(gè)正數(shù)，

22

「2(n+2\n

p一等.〔。丁僅+2”“，

"C+2(”+2)5+1)4(n+2)(n+l)4(M+1)

f'『熱吟'故B錯(cuò)誤；

147

耳=7~瓦=寶＞&),故C正確；

4x1326

%=1E2=白3＜晶，故D錯(cuò)誤.

4x1313

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)分類(lèi)討論，利用組合數(shù)和古典概型的概率的計(jì)算公式求

出概率的通式即可.

【變式1】(2024?黑龍江?二模)某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為：，從第二題開(kāi)

始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為:；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為;.記甲同學(xué)回答

第〃題時(shí)答錯(cuò)的概率為A，當(dāng)〃22時(shí)，匕4〃恒成立，則M的最小值為()

97「49八47649

A.B.C.—D.—

1321326666

【答案】D

【分析】

寫(xiě)出甲同學(xué)回答第〃題時(shí)答錯(cuò)的概率匕=*匕T+|，構(gòu)造得到數(shù)列［匕-1,是等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)

列通項(xiàng)得到數(shù)列｛5｝遞減，由函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】因?yàn)榛卮鸬趎-1題時(shí)有答對(duì)、答錯(cuò)兩種情況，則回答第〃題(“22)時(shí)答錯(cuò)的概率

=+1pp

P?1^-i~(~n-i)=~n-i，

所以『『卷■「"

1nQ9

由題意知耳=乎則勺_?，

所以1匕-是首項(xiàng)為5、公比為'的等比數(shù)列,

.8_21_821

所RCI＞以D匕一五二十聲’H即nD尺一十隸^^.

顯然數(shù)列｛舄遞減，所以當(dāng)"22時(shí)，^,<^=-Q^+-9x—1=-4QJ,

11111266

所以M的最小值為4?9.

66

故選：D.

【變式2】（2023?晉中模擬）晉中市是晉商文化的發(fā)源地，且擁有豐富的旅游資源，其中有保存完好的大院

人文景觀（如王家大院，常家莊園等），也有風(fēng)景秀麗的自然景觀（如介休綿山，石膏山等）.某旅行團(tuán)帶游客

2

來(lái)晉中旅游，游客可自由選擇人文景觀和自然景觀中的一處游覽.若每位游客選擇人文景觀的概率是勺，選

擇自然景觀的概率為游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.

（1）從游客中隨機(jī)選取5人，記5人中選擇人文景觀的人數(shù)為工求X的均值與方差；

（2）現(xiàn)對(duì)游客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若選擇人文景觀記2分，選擇自然景觀記1分，記已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分為〃分

的概率為凡，求

,2、210

【解析】⑴由題可知可（或者列出分布列），于是亞萬(wàn)=5X§=g,

/入2110

〃（乃=5X-X-=—

OOc/

（2）方法一由題可知

一+二」

23339,

12

當(dāng)〃23時(shí)，Pn=-Pn-l+-Pn-2,

22

即Pn~\-^Pn-\=Pn-\+~Pn-2,

.《2十；只為常數(shù)數(shù)列，

22721

且Pn+-Pn-i=P2+-Pi=-+-X-=1,

ooz)oo

"-362<

I-

f31Q49

.?.2—二是以a—￡=—2為首項(xiàng)，一斜公比的等比數(shù)歹u,

[oj5153

.34/2\_1

方法二由題可知A=:，

0

2117

23339,

12

當(dāng)〃23時(shí)，Pn=-Pn-l~\--Pn-2,

2

即PLPn-1=—q(Pn-LPn-D，

O

49

｛只一只-J是以2—為首項(xiàng)，一可為公比的等比數(shù)歹!J,

yo

又也滿(mǎn)足上式,

【變式3](2023?邯鄲模擬)某市為了讓廣大市民更好地了解并傳承成語(yǔ)文化，當(dāng)?shù)匚穆镁謹(jǐn)M舉辦猜成語(yǔ)大

賽.比賽共設(shè)置〃道題，參加比賽的選手從第一題開(kāi)始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所

有題目.設(shè)某選手答對(duì)每道題的概率均為0(0〈仄1),各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.

(1)記答題結(jié)束時(shí)答題個(gè)數(shù)為由當(dāng)〃=3時(shí)，若以力＞1.75,求o的取值范圍；

(2)①記答題結(jié)束時(shí)答對(duì)題的個(gè)數(shù)為匕求￡(D；

②當(dāng)0.時(shí)，求使￡(力〉4的〃的最小值.

參考數(shù)據(jù)：1g2?0.301,1g3心0.477.

解(1)根據(jù)題意，才的所有可能取值為1,2,3,

P(X=1)=l—p,〃(1=2)=0(1一夕)，

戶(hù)（才=3）=/,

所以MX）=1一夕+24（1一4）+3p=p+4+1,

由E（#=p+p+l>l.75得夕>；,

又0</?<1,

所以0的取值范圍是1).

(2)①尸(六啰=//(1—4，

其中4=0,1,2,…，72—1,P{Y=n）=p.

方法一V的均值￡（D=p（l—p）+2p（l—p）-\------F（〃一p）+np

=（1—p）[p+2/?2+3p-\------1-（77—I）/?77-1]+np,

設(shè)Sn=p+2p+3pH------1-（〃-

利用錯(cuò)位相減可得（1一0）S=〃+夕2+p-\-----F,"f—（〃一1）夕”,

所以￡（力=〃+/+6H------（77—1）p+np

__n+l

?2i3iin~\\nPP

=夕十P+P?------\P十夕—-!Z一.

方法二￡（D=（夕一夕2）+（2/—2夕3）+（3p-3p）H------1-[（77—1）p~l—（〃-1）p~\+np

=p+p+p~\-----\-p~x-\-p

]一夕?

5_f5Y+1

6⑹

②依題意，———>4,

5

1

/

即n+1^

b

1lg6

即/?+l>log

'57lg6—lg5

i6

lg2+lg3

~9.848,

21g2+lg3-1

所以〃>8.848,又〃eN*,故〃的最小值為9.

考點(diǎn)二:概率和函數(shù)的綜合問(wèn)題

規(guī)律方法構(gòu)造函數(shù)求最值時(shí)，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對(duì)變量范圍的限制.

【例2】(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))設(shè)MN*,a"為(2x+3)"-(x+l)"的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和,

c=2t-3,2=年］+華］++瞪］（㈤表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)），則（”T）2+S.+C）2的最小值

為.

【答案】1/0.2

yinv）n

【分析】賦值法求出%=5”-2"，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷〃〈等〈〃，確定黃=〃-1.結(jié)合等差數(shù)列求和公式得

%,將（〃-r）2+S“+c）2轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距的平方進(jìn)而求解.

【詳解】令x=l可得,

設(shè)〃》）=—（無(wú)刈，貝U尸（司=上譽(yù),

令/'（x）=0,得％=巳

當(dāng)x?l,e）時(shí)，/r（x）＞0,函數(shù)人%）單調(diào)遞增;

當(dāng)x?e,+8）時(shí)，/（無(wú)）＜0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞減.

貝U<-<—=ln^<ln—.

xe22

?-1“f乩-Inn.5

故對(duì)任后的〃之1,-----<ln—.

n2

故0<〃0<1,i^n—1<<n,即=n-1.

2母堂++瞪］

_/八〃2一n

=1+2++(〃-1)=一--,

2_

則(〃t)2+電+C)2的幾何意義為點(diǎn)伽,^1)5eN*)到點(diǎn)(t,3-20的距離的平方,

最小值即點(diǎn)(",2^)(〃eN*)至Uy=3-2x的距離的平方，

2

y=；(/-尤)與y=3-2x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)尤。=叵口e(1,2),

22

|2—3I1

且點(diǎn)(1,0)到直線y=3-2尤的距離4=J—L=忑,

1

點(diǎn)(2,1)到直線y=3-2尤的距離d2=,J=不，

22

(n-t)+(bn+c)的最小值為:

故答案為：/

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)最值及點(diǎn)點(diǎn)距的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷出

rin

進(jìn)而確定么.

【變式1】（2024?黑龍江?二模）某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為從第二題開(kāi)

始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為:；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為《記甲同學(xué)回答

第〃題時(shí)答錯(cuò)的概率為匕，當(dāng)時(shí)，恒成立，則〃的最小值為（）

.97-49八47八49

A.B.C.—D.—

1321326666

【答案】D

【分析】

寫(xiě)出甲同學(xué)回答第?題時(shí)答錯(cuò)的概率匕=:匕―+g，構(gòu)造得到數(shù)列［匕-是等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)

列通項(xiàng)得到數(shù)列｛￡｝遞減，由函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】因?yàn)榛卮鸬趎-1題時(shí)有答對(duì)、答錯(cuò)兩種情況，則回答第"題（"22）時(shí)答錯(cuò)的概率

Pn=^Pn-\+:匕-I+|>

所以《一3m

1noo

由題意知片=萬(wàn)，則6-y=五，

所以｛匕-是首項(xiàng)為：、公比為'的等比數(shù)列，

所以匕一即匕=*+工*」］.

"111112"-'"111112"-1

顯然數(shù)列優(yōu)｝遞減，所以當(dāng)*2時(shí)，匕4￡=2Q+白9、31=”4Q，

11111266

所以M的最小值為249.

66

故選：D.

【變式2】（2023?浙江金麗衢十二校聯(lián)考）某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件，每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的

概率為0.5,二等的概率為0.4,若達(dá)不到一、二等，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨(dú)立.已

知生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表：

―-迂

等級(jí)一等一寺三等

利潤(rùn)(萬(wàn)元/每件)0.80.6-0.3

(1)求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；

(2)求該公司每天所獲利潤(rùn)f(萬(wàn)元)的均值；

(3)若該工廠要增加日產(chǎn)量，需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加〃件，其成本也將相應(yīng)提升〃一In〃(萬(wàn)元)，

假如你作為工廠決策者，你覺(jué)得該廠目前該不該增產(chǎn)？請(qǐng)回答，并說(shuō)明理由.

(In2心0.69,In3^1.1)

【解析】(1)設(shè)一件產(chǎn)品是一等品為事件4則一件產(chǎn)品不是一等品為事件7,204)=0.5,PU)=0.5,2

件產(chǎn)品至少有一件為一等品事件為AA+AA+7A,

其概率P=P(4A)+爆—(4)PCA)=0.52+2X0.5X0.5=0.75.

(2)設(shè)一件產(chǎn)品為一等品為事件4二等品為事件8,次品為事件G

貝!］尸(4=0.5,P{B)=0.4,P(O=0.1,

則f的所有可能取值為1.6,1.4,1.2,0.5,0.3,-0.6,

P(f=-0.6)=［P(O］2=0.01,

戶(hù)(6=0.3)=娛戶(hù)(6)戶(hù)(。=2*0.4X0.1=0.08,

P(f=0.5)=C；?(4)?(0=2X0.5X0.1=0.1,

Plf=1.2)=［戶(hù)⑸2=0.16,

P(f=1.4)=4—(4)一(面=2X0.5X0.4=0.4,

P(4=1.6)=［尸⑷］』.25,

則f的分布列為

-0.60.30.51.21.41.6

P0.010.080.10.160.40.25

￡(§)=-0.6X0.01+0.3X0.08+0.5X0.1+1.2X0.16+1.4X0.4+1.6X0.25=1.22.

(3)由(2)可知，每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為1.22+2=0.61(萬(wàn)元)，則增加〃件產(chǎn)品，利潤(rùn)增加為0.61〃萬(wàn)元,

成本也相應(yīng)提高(A—In〃)萬(wàn)元，

所以?xún)衾麧?rùn)為0.617?—zz+ln72=Inn~0.39A,〃GN*,

設(shè)/'(x)=lnx~0.39x,則f(x)='—0.39,

X

當(dāng)￡〈翳時(shí)，/(X)>0，廣(X)單調(diào)遞增，

當(dāng)工>罌時(shí)，/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X=G時(shí)，/(X)取得最大值，

▼100

又2<-TT-<3,

因?yàn)閄只能取整數(shù)，所以x=2或x=3,此時(shí)F(x)可能為最大值，

f(2)=ln2-0.39X2^0.69-0.78

=-0.09<0,

f(3)=ln3-3X0.39^1.1-1.17=-0.07<0,

即在『(x)取得最大值時(shí)也是虧本的，所以不應(yīng)該增加產(chǎn)量.

口強(qiáng)化訓(xùn)練

四、選擇題

1.(23-24高三上?江西宜春?階段練習(xí))從「20中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，記隨機(jī)變量J為這3個(gè)數(shù)中相鄰數(shù)

組(a,4+1)的個(gè)數(shù).如當(dāng)這三個(gè)數(shù)為11,12,14時(shí)，4=1；當(dāng)這三個(gè)數(shù)為7,8,9時(shí)，自=2.則的值

約為()

A.0.22B.0.31C.0.47D.0.53

【答案】B

【分析】

確定隨機(jī)變量4的取值為0,1,2,結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫(xiě)出概率，即可計(jì)算出期望.

【詳解】隨機(jī)變量&的取值為0,1,2,

當(dāng)小=1時(shí)，所取的三個(gè)數(shù)中僅兩個(gè)數(shù)相鄰，兩數(shù)相鄰有19種情況，

其中相鄰兩數(shù)取1,2和19,20時(shí)，對(duì)應(yīng)取法為17種，

2x1717x16

其余17種情況取法均有16種，=1)=+=2^；

C20114U

1Q1Q

當(dāng)J=2時(shí)，即所取的三個(gè)數(shù)中兩兩相鄰，取法有18種，，尸(J=2)=k=77不,

C20114U

所以當(dāng)4=0時(shí)，即所取的三個(gè)數(shù)彼此不相鄰，取法有1140-18-306=798種，

「(9)=篙

.?.E("M+q+2x5=0.3.

v7114011401140

故選：B.

2.(22-23高二下?江蘇常州?階段練習(xí))甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次

傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，下列說(shuō)法正確的是()

A.2次傳球后球在丙手上的概率是:B.3次傳球后球在乙手上的概率是!

24

C.3次傳球后球在甲手上的概率是:D.〃次傳球后球在甲手上的概率是g

【答案】C

【分析】列舉出經(jīng)2次、3次傳球后的所有可能，再利用古典概率公式計(jì)算作答可判斷ABC,〃次傳球后球

-1

在甲手上的事件即為4,則有4+1=44+1+44M，利用全概率公式可得外包=5（1-。.），再構(gòu)造等比數(shù)

列求解即可判斷D.

【詳解】第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4個(gè)結(jié)

果，

它們等可能，2次傳球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1個(gè)結(jié)果，所以概率是故A錯(cuò)誤；

第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，

甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個(gè)結(jié)果，

它們等可能，3次傳球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3個(gè)結(jié)果，

所以概率為］故B錯(cuò)誤；

O

21

3次傳球后球在甲手上的事件為：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2個(gè)結(jié)果，所以概率為"=:，故C正確；

?次傳球后球在甲手上的事件記為4,則有A,+1=44+1+A4+I，

令P.=尸（4）,則p（4+114）=o,m+1IA）=p

-——1

于是得尸（4G=尸（4）尸（4、4）+P（A）尸（AM4）=P?-O+-（I-A）,

故P0+I=g（i—P"），則p”+i—g=—；（0“ig），

而第一次由甲傳球后，球不可能在甲手中，即月=0,貝ij有

數(shù)列｛2-3是以-;為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

所以P"一；=一：（一；）1，即必=一（一；）"』，故D錯(cuò)誤.

故選：C

3.（2023?河北唐山?二模）拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子兩次，記第一次得到的點(diǎn)數(shù)為a,第二次得到的點(diǎn)

數(shù)為6,則函數(shù)/（月=:無(wú)3+加+加；：+<7沒(méi)有極值點(diǎn)的概率為（）

1

BCD.

--H3

【答案】A

【分析】函數(shù)/'(x)沒(méi)有極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為尸(x)=0的A40,再列舉符合條件的基本事件，得出概率結(jié)果.

【詳解】f\x)=^+2ax+b,若〃x)沒(méi)有極值點(diǎn)，

貝1」A=44-4640,BPa2<b.

由題意知,所有的基本事件為36個(gè),其中滿(mǎn)足一女的有(U),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,4),(2,5),(2,6),共有9個(gè)，

所以P=39=1

364

故選：A.

4.(22-23高二下-四川眉山-階段練習(xí))先后任意地拋一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，所得點(diǎn)分別記

為〃和力，則函數(shù)/(%)=；/+：/+"；存在極值的概率為()

人13「17「19「23

A.—B.—C.—D.—

36363636

【答案】B

【分析】由函數(shù)/?=；/+J以2+如存在極值，得標(biāo)>46,用列舉法計(jì)算出滿(mǎn)足條件的情況，即可得到

本題答案.

【詳解】由題意得：f'(x)=x2+ax+b,

若/(x)在R上存在極值點(diǎn)，則/'(X)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以，A=/_46>0,即/>46,

當(dāng)b=1時(shí)，。=3,4,5,6共4種，

當(dāng)6=2時(shí)，。=3,4,5,6共4種，

當(dāng)6=3時(shí)，口=4,5,6共3種，

當(dāng)6=4時(shí)，。=5,6共2種，

當(dāng)6=5時(shí)，。=5,6共2種，

當(dāng)6=6時(shí)，。=5,6共2種，

滿(mǎn)足條件的("，〃)共有4+4+3+2+2+2=17種情況，總情況有36種，

17

所以函數(shù)/(無(wú))在R上存在極值點(diǎn)的概率尸=77.

故選：B

5.（22-23高三?寧夏吳忠?階段練習(xí)）設(shè)/（》）=（"-"），%-0,若函數(shù)”尤）的最小值為^（aeZ）,b

x-tzlnx,x>0

是從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么a<6恒成立的概率是