廣東省湛江市霞山區(qū)2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、選擇題

1.設(shè)集合a={-2,1},B={1,3},則AUB=()

A.{-2,1,3)B.{1}C.{-2,3}D.0

2.設(shè)zee,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點為Z,若則點Z所在區(qū)域的面積為（）

A.157tB.6兀C.3兀D.2兀

3.已知P(4B)=?，P⑷=|，則P(B|4)=()

13B.Ar15D.瞿

A。2211。2211

-三￡-￡-(\

4.^EAABC^,已知A,B,。的對邊分別為a,b,c,若4=-3——v與尸)

A.1B.2C.2D.叵

223

5.若直線/:y=kx+b與單位圓。:K2+丫2=1交于A,3兩個不同的點，貝明=是。A。3的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

6.大學生甲，乙兩名同學計劃今年五?一假期期間分別從岳陽樓，承德避暑山莊，都江堰，長沙橘子洲頭，蘇

州園林五個不同的景區(qū)隨機選三個景點前往打卡旅游，則兩人恰好有兩個景區(qū)相同的選法共有（）

A.36種B.48種C.60種D.72種

7.若雙曲線￡=1缶＞0,匕＞0）的離心率為療右焦點為0）,點E的坐標為名力則直線

OE（O為坐標原點）與雙曲線的交點個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.不確定

8.在數(shù)列｛時｝中，已知=3,且%l+l二二4a九+6n—5(nGN*),貝(］。15=()

A.4n-15B.2n-29C.2n-15D.4n-29

二'多項選擇題

9.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們

在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下

圖，貝!1（）

95%

90%

揚85%?..........??????......*...?...

..................................”....講座前

零80%?

由75%....................*....................?講座后

70%....*..................................

65%*........................................

??......................................

u1234567~8~~9~~10

居民編號

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為72.5%

B.講座后問卷答題的正確率的眾數(shù)為85%

C.講座前問卷答題的正確率的方差大于講座后正確率的方差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

10.函數(shù)/'(久)=sin(3K+0)(3>0,0<⑺<兀)的部分圖象如圖，若/(久)的相鄰兩個零點間的距離為方則

()

A.3=2

71

BD.0=不

c.fCO的零點形成的集合為｛x|x=k兀一金｝(kCZ)

D.的單調(diào)遞減區(qū)間為上兀+看,而+爭(keZ)

H.定義域為R的函數(shù)f(%)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若/(久)是奇函數(shù)，/(5=1，f'g)=o,且V%，yeR,/(%+

y)=/W'(y)+/'Q)/(y)，則()

A.HO)=1B.f'(0)=1

C./(2x)=2fO)/'(x)D.f(x+2兀)=f(x)

三'填空題

12.已知N=(%—2,2%—1),另=(1,一1)，若2〃另，則％=.

13.小明喜愛踢足球和打羽毛球.在周末的某天，他下午去踢足球的概率為|.若他下午去踢足球，則晚上一定

去打羽毛球；若下午不去踢足球，則晚上去打羽毛球的概率為之已知小明在某個周末晚上去打羽毛球，則下午

踢足球的概率為.

14.已知側(cè)棱長為/的正四棱錐的頂點都在直徑為6的同一球面上，則該正四棱錐的體積的最大值

是.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(%)—久.

(1)求〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a-a?</(x)在［—3,2］上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

16.如圖，在正三棱柱ABC中，4B=2A4i=4,。為的中點，。為&。的中點.

(1)證明：AD1平面40C；

(2)求平面A/C與平面&0C夾角的余弦值.

17.A,8兩人進行象棋友誼賽，雙方約定：在任意一局比賽中，一方獲勝，打成平局和失敗分別記m+3

分，加分和0分.比賽兩局，已知在每局比賽中A獲勝，打成平局和戰(zhàn)敗的概率分別為0.5,0.3,02各局的比

賽結(jié)果相互獨立.

(1)若小=2,求4兩局得分之和為5的概率；

(2)若m=3,用X表示8兩局比賽的得分之和，求X的分布列.

18.已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0),直線久斗與C交于A,B兩點，且|AB|=4.

(1)求p；

(2)設(shè)C的焦點為F,直線I:久=my+n與C交于Af,N兩點，且以為直徑的圓經(jīng)過尸，當1<n<

9時，求點F到/距離的取值范圍.

19.設(shè)等比數(shù)列：a,Pi，p2,ps,b,</i，q2,qt,c的公比為q,其中s,f都為正奇數(shù)，a,b,c

構(gòu)成單調(diào)遞增的正項等差數(shù)列.

(1)求證：|q|>1；

(2)求證：s>t；

(3)把P1P2…Ps%q2…%用mC,s,t表示.

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】解：因為集合4={—2,1},B={1,3},所以4UB={—2,1,3}.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)集合的交集運算求解即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：因為lW|z|W4,所以復(fù)數(shù)z再復(fù)平面對應(yīng)的點所在區(qū)域面積為巾42-丘.12=15死

故答案為：A.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.

3.【答案】C

3

【解析】【解答】解：由題意可得P(B|A)=錯^￥=黑

卜(力_/乙

故答案為：C.

【分析】由題意，利用條件概率公式求解即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：因為4=晉，=V3,所以a=gb,由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosX>

可得=反+c?—Zbccos/解得c=2b,則=竿=2.

故答案為：B.

【分析】由題意，利用余弦定理求解即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：因為。41。3,所以=解得b=±j百，所以b=^^是，0B的充分

不必要條件.

故答案為：A.

【分析】由題意，可得圓心到直線的距離為苧，列式求得b,再結(jié)合充分、必要條件的定義判斷即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】兩人恰好有兩個景區(qū)相同的選法共有之第=60種不同的選法.

故答案為：C.

【分析】由題意，根據(jù)排列、組合求解即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意，可得c=底遮，即a=l,b=Vc2-a2=2,則點E的坐標為(2,亭)，雙

曲線C的漸近線方程為、=±2%,因為直線。E的斜率k0E=^e(-2,2)，所以直線與雙曲線的交點個數(shù)為2.

故答案為：C.

【分析】由題意，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求得點E坐標，以及雙曲線的漸近線方程，比較直線0E的斜率與漸近線

的斜率即可判斷.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：因為即+i=4即+6n—5(nCN*),

所以與+i+2n+1=<2n+i+2(n+1)—1=4(tzn+271—1),又因為a1=3,所以的+2x1-1=4,

所以即+2n-1=4-4n-1=4n,所以斯=4n—(2九-1),所以a”=415-29.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推式求得數(shù)列的通項公式，再求值即可.

9.【答案】A,B,C

【解析】【解答】解：A、由圖可知：講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為螫/理=72.5%,故A正確；

B、講座后問卷答題的正確率的眾數(shù)85%,故B正確；

C、講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確得方差大于講座后正確率的方差，

故C正確；

D、講座后問卷答題的正確率得極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,故D錯誤.

故答案為：ABC.

【分析】由題意，根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)以及方差、極差的概念判斷即可.

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、易知，函數(shù)"X)的最小正周期為7=m則3=竽=2,故A正確；

B、因為/'(())=simp=點所以sin@='|,又因為。<9<兀，且在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以⑴=v，故B正確；

C、令/■(久)=sin(3K+R)=0,可得2久+髀kn(kCZ),解得久=一強+竽(keZ),故C錯誤；

D、當2MT+需W2x+]W2kir+李(keZ)時，解得kir+言WxWkn+罷,keZ,故D正確.

Z0Zo3

故答案為：ABD.

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合函數(shù)圖象先求函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷即可.

n.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A、因為函數(shù)“久)為定義在R上的奇函數(shù)，所以〃0)=0,故A錯誤；

B、由/(久+y)=f(x)fr(y)+尸(x)/(y),令y=0,可得/(*)=/(尤)尸(0)+尸⑺f(0)，

解得r(o)=i,故B正確;

C、令、=K，則/(2%)=f(x)尸(%)+尸(%)f(x)=2/(x)/Q),故C正確；

D、令y弓,則f(久+?=/(%)/嗎)+廣(初既)，因為臉=1，/(5)=0,

所以/(%+》=廣(X),所以/(—久+》=/'(一%),因為函數(shù)〃嗎為奇函數(shù)，所以,(久)為偶函數(shù)，

所以=/'(%)，所以/(X+卞=—/(久—分所以/(%+2兀)=/(尤),故D正確.

故答案為：BCD.

【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)即可判斷A；令y=0求得尸(0)=1即可判斷B；令y=x化簡即可判斷C；令、=

會弋入化簡，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)可得/(%)為偶函數(shù)即可判斷D.

12.【答案】1

【解析】【解答】解：因為五=(久—2,2久—1),b=(1,—1)＞且方〃b，

所以(久-2)X(-1)—(2久一1)X1=0,解得久=1.

故答案為：1.

【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示求解即可.

13.【答案】±

【解析】【解答】解：設(shè)小明在某個周末晚上去打羽毛球的概率為P(A),下午去踢足球的概率為P(B),

3

32133-9

25

-+X-3=-X--=--

5)p(552

-10

3

--

56

故答案為：Jg

【分析】由題意，根據(jù)條件概率公式求解即可.

14.【答案】等

【解析】【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為八,底面邊長為a,由題意可知(0,6),

I21后+（學J=I2

,21

解得h=V=-^a2h=x2（Z2-/i2）h=

6§

=32（3-八）2+（學）=32

97

可（joh—h2）h=4h2—可心,

V=8h-2h2=2八（4一八）,

當，＞0時，解得he(0,4),V單調(diào)遞增;

當7＜0時，解得h6(4,+8),V單調(diào)遞減，所以UWV(4)=等.

故答案為：票

【分析】設(shè)正四棱錐的高為心底面邊長為a,用h表示正四棱錐的體積，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求最值

即可.

15.【答案】⑴解：函數(shù)=我一久的定義域為R,/'(%)=——1,

令ro)=o,解得％=i或一1,

當:(久)>0時，久e(—8,—1］或％e口+8),當「(久)<0時，XG(-1,1),

故函數(shù)/(久)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,—1］和［L+8),減區(qū)間為(—1,1).

(2)解：由(1)得，〃K)在［—3,—1］,［1,2］上單調(diào)遞增，在［一1,1］上單調(diào)遞減，

2

由題意得，a-a<f(x)min,/(-3)=-6,/⑴=_|,

故。一。2=一6,解得a4一2或aN3,故實數(shù)a的取值范圍為(一8,-2］U［3,+8).

【解析】【分析】(1)求函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)由(1)的結(jié)論，求得/(久)的最小值，問題轉(zhuǎn)化為解不等式a-a?〈—6,求解即可.

16.【答案】(1)證明：因為4B=2A4i=4,O為AB中點，所以441=4。=2,

因為D為4。的中點，所以ADJ.A1O,

因為在正三棱柱ZBC—中，&41平面ABC,所以占410C,

因為。為正三角形ABC的邊AB的中點，所以AB1OC,

因為所以。Cl平面414B,所以。C1ZD,

因為&OCOC=。，&。u平面&0C,。。u平面&0C,

所以AD_L平面&0C.

(2)解：取&Bi的中點為。1連接。0「則。。"/44「

所以。Oil平面ABC,因為ZB1OC,所以O(shè)B,OC,001兩兩垂直，

以直線OB,OC,。。1分別為x,y,z軸建立空間坐標系，

所以4(—2,0,0),41(一2,0,2),D(—1,0,1).所以由(1)得，同=(1,0,1)為平面40C的法向量.

B(2,0,0),C(0,2V3,0),

所以西=(-4,0,2),=(-2,273,0),

設(shè)平面ABC的法向量為元=(x,y,z),

所以｛W；盛;2,不妨令%=i,則元=7,2).

\AD-n\33V6

所以平面4BC與平面&0C夾角的余弦值為兩而=0厝=-g-.

【解析】【分析】(1)由題意，根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；

(2)以。點為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解即可.

17.【答案】(1)解：若m=2,由已知條件得，A兩局得分之和為5等價于一勝一負,

所以A兩局得分之和為5的概率為以x0.2X0.5=0.2.

(2)因為在一局比賽中A獲勝，打成平局和戰(zhàn)敗的概率分別為0.5,0.3,0.2,

所以在一局比賽中B獲勝，打成平局和失敗的概率分別為0.2,0.3,0.5,

若巾=3,則X的可能取值為0,3,6,9,12,

P(X=0)=0.5x0.5=0.25,

P(X=3)=屐x0.3x0,5=0.3,

P(X=6)=0.32+廢x0.2X0,5=0.29,

P(X=9)=屐*0.2X0,3=0.12,

P(X=12)=0.22=0.04,

所以X的分布列為

X036912

p0.250.30.290.120.04

【解析】【分析】(1)血=2,由已知條件得，A兩局得分之和為5等價于一勝一負，由此求A兩局得分之和

為5的概率即可；

(2)在一局比賽中B獲勝，打成平局和失敗的概率分別為0.2,0.3,0.5,血=3時，X的可能取值為0,3,

6,9,12,分別求出相應(yīng)的概率，再求分布列即可.

18.【答案】⑴解：因為直線久=芻與C交于A,B兩點，且|AB|=4,所以2P=4,所以p=2.

(2)解：由已知得，F(xiàn)(l,0),設(shè)“(久1，%),N(%2，y2)，

由ly可得，y2_4my-4n=0,

(.%=my+n：：

22

所以+y2=4m,yxy2=-4n,/=16m+16n>0=>m+n>0,

因為以MN為直徑的圓經(jīng)過F,所以由?前=0,所以Qi-1)(久2-1)+y，2=。，

即(myi+n—l)(my2+n—1)+y1y2=0，

2

所以(而+l)y1y2+m(n—l)(yt+y2)+(n—l)=0,

=4m222

將+y2>%丫2=一4幾代入得4m2=n-6n+1,4(m+n)=(n-l)>0.

所以n豐1,且n2-6n+1>0,解得九>3+2/或n<3-2a,

因為14n＜9,所以3+2&WnW9,

設(shè)點F到直線MN的距離為d,

ST』=?0-1)2=n2-2n+l_I4(71-1)

所以d

2222

1+m4+4mAn—6n+5\n—6n+5

令n—1=te[2(心+1),8],

所以八？卜工=2

G[2V2,2(V2+1)].

【解析】【分析】(1)由題意，可知|AB|=2p,結(jié)合題意即可求p；

4n

(2)設(shè)時(久1，無)，N(x2,y2),聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達定理可得以+為=4M，=~＞將問

題轉(zhuǎn)化為兩?前=0,即(%i-1)(尤2-1)+%%=。，結(jié)合1W幾W9求出n的取值范圍，再根據(jù)點到直線的

距離公式求得d=21+，利用換元法求解即可.

\nVz—6n+5

19.【答案】(1)解：由題意知qs+i=，又匕＞。＞0,可得|q「+i=，＞1，

所以忖產(chǎn)1＞1，又s+1是正偶數(shù)，所以|q|＞l.

(2)證明：設(shè)等差數(shù)列a,b,c的公差為d,由題意得好+1=2=生蟲，qt+i=ca±2dt