熱點(diǎn)2-2函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

近三年高考中，對函數(shù)基本性質(zhì)的考查以選擇題和預(yù)計(jì)2025年高考仍將重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性、奇

填空題為主，偶爾也會在解答題中滲透考查，分值偶性、周期性與對稱性，尤其是這些性質(zhì)的綜合應(yīng)

的占比相對穩(wěn)定，是高考必考且重點(diǎn)考查的內(nèi)容之用.可能會繼續(xù)將函數(shù)性質(zhì)與其他數(shù)學(xué)知識如導(dǎo)

一.常將函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性數(shù)、不等式、數(shù)列等結(jié)合考查，增加題目的綜合性

結(jié)合在一起考查，同時(shí)還可能與函數(shù)圖像、函數(shù)零和難度.在保持傳統(tǒng)考查方式的基礎(chǔ)上，可能會進(jìn)

點(diǎn)、不等式等知識綜合命題.雖然考查形式多樣且一步創(chuàng)新命題形式，如設(shè)計(jì)一些新穎的函數(shù)模型或

綜合性強(qiáng)，但題目多基于對函數(shù)基本性質(zhì)的理解和實(shí)際應(yīng)用背景，考查學(xué)生運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問

應(yīng)用，部分題目在命題形式和考查角度上具有一定題的能力.

創(chuàng)新性.

熱點(diǎn)題型解讀

題型1函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）的判定題型6利用單調(diào)奇偶比較大小

題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)題型7利用單調(diào)奇偶解不等式

題型3函數(shù)奇偶性的判定題型8函數(shù)的周期性及應(yīng)用

題型4利用函數(shù)奇偶性求值求參題型9函數(shù)的對稱性及應(yīng)用

題型5"M+N.中值模型的應(yīng)用題型10函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

題型1函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）的判定

I-------------------------------'"1"---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------、

\I-0U*i

i判斷函數(shù)的單調(diào)性的4種方法

ii

1,定義法：按照取值、作差變形、定號、下結(jié)論的步驟判斷或證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

2、圖象法：對于熟悉的基本初等函數(shù)（或由基本初等函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)），可以通過利用圖象來判斷單i

調(diào)性；

3、直接法：利用已知的結(jié)論，直接得出函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性均

I

可直接得到

4、導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；

5、性質(zhì)法：（1）對于有基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)“加減”的性質(zhì)進(jìn)行判斷；（2）針對一些1

I

簡單的復(fù)合函數(shù)，可以利用符合函數(shù)的單調(diào)性法則（同增異減）來確定單調(diào)性.

I

【注意】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，尤其是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一定要注意原相應(yīng)函數(shù)的定義域.

1.（23-24高三上.江蘇南通?月考）函數(shù)/四=口^與的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[2,+8）D.（-oo,2]

【答案】A

【解析】函數(shù)/（x）=J-2-2X中,-尤2-2x20,解得-2WxW0,

又y=—x?—2x的開口向下，對稱軸方程為x=-l,

函數(shù)y=—必―2x在上單調(diào)遞減，在[-2,-1]上單調(diào)遞增，又>=?在上單調(diào)遞增,

因此函數(shù)/?=b-2x在[-1,0]上單調(diào)遞減，在[-2,-1]上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,0].故選：A

2.（24-25高三上?廣東普寧?月考）函數(shù)g（x）=x-|x-l|+l的單調(diào)減區(qū)間為（）

1

A.-oo,—B.C.[1,+8)D.-00,2][1,+00

2

【答案】B

丫2_丫?1丫1

【解析】g(x)=x-|x-l|+l=2一'",畫出函數(shù)圖象，如圖所示:

—X+x+l,x<1

根據(jù)圖象知：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為g，l.故選：B.

3.（23-24高三上?浙江紹興?期末）函數(shù)y=ln（尤2-2x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,0)D.(2,+oo)

【答案】C

【解析】由y=ln(/-2x),

.\X2-2X>0,解得x<0或%>2,

所以函數(shù)y=In(d-2x)的定義域?yàn)?-w,o)L(2,+8),

令叼=尤2_2h則函數(shù)"=/-2尤在(9,0)上單調(diào)遞減，在(2,y)上單調(diào)遞增,

而函數(shù)y=In”在(0,+8)上為增函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得y=ln(x2-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0).故選：C.

4.(24-25高三上?四川宜賓?一模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又(。,+")在是增函數(shù)的是()

A./(x)=e'+e-xB./(x)=ex-e-lC./(x)=x-3D,〃x)=xl小

【答案】B

【解析】對于A,7(f)=eT+e'=_f(x)J(x)是偶函數(shù)，不滿足條件.

對于B,/(-%)=e-A-ev=一(e'一小)=-/(%),函數(shù)/(尤)是奇函數(shù)，由于y=e',y=一1

均在(。,+回單調(diào)遞增，故〃x)=e-er在(0,+“)單調(diào)遞增，符合條件，

對于C,/(-%)=(T尸=_小=_/(》)，則f(x)是奇函數(shù)，

.y=三在(0,+e)單調(diào)遞增，且為正，.?.函數(shù)〃x)=x-3=g在(0,+8)單調(diào)遞減，不滿足條件.

對于D,f(~x)=-xln\-x\=-xln|x|=-f(x),函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，當(dāng)％>0時(shí)，/(x)=xlnx,

/(1)=|ln|=-1ln2-/(；)=%n；=-；ln2,此時(shí)［［卜/［；］,不是增函數(shù)，不滿足條件.

故選：B.

題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

利用單調(diào)性求參數(shù)的三種情況：

1、直接利用題意條件和單調(diào)性代入求參；

2、分段函數(shù)求參，每段單調(diào)性都符合題意，相鄰兩段自變量臨界點(diǎn)的函數(shù)值取到等號；

3、復(fù)合函數(shù)求參，注意要滿足定義域要求，通過分離常數(shù)法或構(gòu)造函數(shù)法轉(zhuǎn)化成恒成立或有解問題.

1.（24-25高三上?陜西渭南?月考）若函數(shù)〃%）=1。8。,5（辦-爐）在區(qū)間（_1,0）上單調(diào)遞增，貝壯的取值范圍

是（）

A.（0,2]B.[—2,0）C.[2,+co）D.2]

【答案】D

【解析】由于y=logo_5X在（0，+8）上單調(diào)遞減，令/=一尤2+奴，%e（-l,o）,

因?yàn)閥=log。/為減函數(shù)，又/'（x）=log。，（依-X?）在區(qū)間（T，。）上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，t=-d+依在（-1,0）上單調(diào)遞減，

且y-/+辦>。在（-1,0）上恒成立，因?yàn)?=一尤2+依為二次函數(shù)，開口向下，

對稱軸為天=（由仁-尤2+奴在㈠⑼上單調(diào)遞減，可得了-I,解得qV-2,

由f=-尤2+ax>0在（-1,0）上恒成立，即如>必，%e（-l,0）,

可得。<x在（—1,0）上恒成立，則

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（f,-2].故選：D.

已知函數(shù)〃x）=3儼：辦+5）在區(qū)間（1,4）單調(diào)遞減,則。的取值范圍

2.（24-25IWJ二上,山西大同?月考）

是（）

A.(-a>,2]B.(f,4)C.[2,4)D.[4,+oo)

【答案】A

【解析】因?yàn)閥=!在（0,+8）上單調(diào)遞減,y=正在[0,+8）上單調(diào)遞增,y=igX在定義域上單調(diào)遞增,

X

要使函數(shù)“X）=而（二辦+5）在區(qū)間（1，4）單調(diào)遞減，

則y=/一。％+5在（1,4）單調(diào)遞增且x2-ox+5>1在（1,4）恒成立,

_<1

所以2—,解得。02,所以，的取值范圍是（』2].故選：A

12-?+5>1

、12ov-2,x<l,

3.（24-25高三上?甘肅?期末）已知函數(shù)/（無）=工滿足Vx”/eR且無產(chǎn)斗,

[<7,X>1

（馬一國）"（）—/（々）]<。貝口的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,+⑹C.（1,2]D.（0,1）0（1,+?））

【答案】C

【解析】依題意，函數(shù)/(X)滿足％，尤2CR且X產(chǎn)馬，

(占一%)[/(周)一/'(%)]>0,則于(玲是R上的增函數(shù),

〃>0

因止匕<a>l,解得lva42,

2a-2<a

所以〃的取值范圍為(1,2].故選：C

2x+4,x<a

4.(24-25高三上?江蘇南京?期中)已知函數(shù)〃x)=在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是(

x2+l,x>a)

A.(-1,3]B.(9,3]C.[3,+oo)D.(-oo,-l]u[3,+<?)

【答案】C

2x+4,x<a

【解析】已知函數(shù)/(%)=21，當(dāng)％<a時(shí),

x+l,x>a

〃x)=2x+4單調(diào)遞增，所以最大值為2a+4；

當(dāng)x>a且a>0時(shí)，“司=》2+l在(a,yo)上單調(diào)遞增，最小值為"+1；

/、[2x+4,x<a

所以要使函數(shù)〃%)=2?在R上單調(diào)遞增，

貝！Ja?+122Q+4,解得3或aW-I(舍去).故選：C.

題型3函數(shù)奇偶性的判定

?—這

I、函數(shù)奇偶性的判斷方法

(D定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若

函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，再判斷了(-x)與±/(x)之一是否相等.

(2)圖象法：奇(偶)函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對稱.

(3)性質(zhì)法：同名加減不變，異名加減不可；同名乘除得偶，異名乘除得奇.

2、常見的奇函數(shù)與偶函數(shù)

(I)f(x)=ax+ax(?！?且。20)為偶函數(shù)；

(2)f[x}=ax-ax(?！?且。20)為奇函數(shù)；

x_x2x-]

(3)y(x)=—a—a—=—a——(。>0且。20)為奇函數(shù)；

a+a'ax+I

b—Y

(4)/(x)=logfl----(”>0且4/0,/?/0)為奇函數(shù)；

b+x

(5)/(x)=log：(Jx?+1±尤)(a>0且a20)為奇函數(shù);

(6)/(%)=麻+4+同一”為偶函數(shù)；

(7)/(%)=麻+耳一向一同為奇函數(shù).

1.(24-25高三上?天津北辰?期末)下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的是()

A.y=ex+e-xB.y=ex-e~xC.?=尤2-2尤D.y=x2cosx

【答案】B

【解析】由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得函數(shù)是奇函數(shù)，

對于A,y=定義域?yàn)镽,

A

/(_x)=e-+e^=e+e-=/(%),故y=e，+6-，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于>軸對稱，A錯(cuò)；

對于B,y=e^:-eT定義域?yàn)镽,

且"r)=eT_e，=-(e—eT)=_〃x),故y=e*-e7為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，B正確;

對于C,y=/-2x定義域?yàn)镽,

但其圖象為開口向上的拋物線，且對稱軸為尤=1,

所以y=f-2尤既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，C錯(cuò)；

對于D,y=x2cosx定義域?yàn)镽,

{1/(-x)=(-x)2cos(-x)=x2cosx=/(%),故yu/cosx為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于>軸對稱，D錯(cuò).

故選：B.

2.(24-25高三上?四川自貢?期中)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

2x22

A.y=co&x-xB.y=e-xC.y=log2Nx+1-xjD.y=sinx+4尤

【答案】A

【解析】/(x)=cosx—彳2的定義域?yàn)镽,JEL/(-x)=cos(-x)-(-x)2=cosx-x2=/(x),

故/1(Hucosx-x2為偶函數(shù)，A正確；

B選項(xiàng)，g(x)=e-x2的定義域?yàn)镽,g(-無)=--(-可2=±-丁，

g(f)Hg(x)，故g(x)=e*-V不為偶函數(shù),B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，?(元)=1°82(5/+1—尤)的定義域?yàn)榭?

=log+1_X2)-

/z(-x)+/i(x)=log220,

故/7(X)=log2(A/TW-q是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，［x)=sinx+4x的定義域?yàn)镽,_Et(-x)=sin(-x)-4x=-(sinx+4x)=-t(x),

故《x)=sinx+4x為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：A

f+3x+4

3.（24-25高三上?青海?期中）設(shè)函數(shù),則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

%?+2%+3

A./(x+l)+lB./(x+l)-l

c.D.

【答案】c

彳2+3尤+4_(無2+2x+3)+(x+l)x+l1

【解析】/（%）=--------n——+l

%2+2%+3爐+2x+3(x+l)2+2

所以/（xT）+"TT）=7Tl+i+^77i+i=2,

所以函數(shù)“X）的圖象關(guān)于（Tl）對稱，

所以〃x-l）-1的圖象關(guān)于（0,0）對稱，是奇函數(shù).故選：C

4.（24-25高三上?河北邢臺?月考）已知函數(shù)f（x）的定義域是R,則下列命題中不正確的是（

A.若外"是偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，貝株（〃力）是偶函數(shù)

B.若〃x）是偶函數(shù)，g（尤）為奇函數(shù)，則〃g（x））是偶函數(shù)

C.若f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，則/■（/（》））也是單調(diào)遞減函數(shù)

D.若/（X）是單調(diào)遞增函數(shù)，則/（/（》））也是單調(diào)遞增函數(shù)

【答案】C

【解析】對于A,令，7（x）=g（/（x））,貝|]/7（-X）=g（〃-X））=g（/（x））=/7（x）,

所以〃（X）為偶函數(shù)，即g（f（x））是偶函數(shù)，故A正確；

對于B,令加尤）=/（g（x））,則〃2（-_1）=/（8（-切=/（一8（動(dòng)=/（8（動(dòng)，

所以鞏無）是偶函數(shù)，即/（g（x））是偶函數(shù)，故B正確；

對于C,取〃x）=-x,則在R上單調(diào)遞減，

則/（/（》））=/（-x）=尤，在R上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

對于D,因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，任取占,％eR,且占<%，

則以A)<f(x2),所以/(/(&))<(7(/))，

所以/(/(元))也是單調(diào)遞增函數(shù)，故D正確.故選：C.

題型4利用函數(shù)奇偶性求值求參

.■immaMBmmHiiMamHiaMmiaiflMimMimHiaBiiBmaMiaaiaiamaimBMaBimmBaBmamaiBaaamaBimaMaBaBimmBaimmaMiamaiiMiiMiHiaaimmmaBiiHimaMmmaHiammBimaaiiHim?????■??????^y

i

3、由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)：若函數(shù)解析式中含參數(shù)，則根據(jù)/(—%)=—/(X)或/(—%)=/(%),利用待;

定系數(shù)法求參數(shù)；若定義域含參數(shù)，則根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用區(qū)間的端點(diǎn)值之和為0求參數(shù).

2、由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值：若所給的函數(shù)具有奇偶性，則直接利用/(-x)=-/(%)或/(-x)=/(x)求

解；若所給函數(shù)不具有奇偶性，一般利用所給的函數(shù)構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)或偶函數(shù)，然后利用其奇偶性求值.

1.(24-25高三上?江蘇鹽城?月考)已知/(無)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，/=logi,則

3

f(-9)=()

A.2B.3C.-2D.-3

【答案】A

【解析】因/(尤)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(-9)=-/(9)=-1。8工9=1。839=2.故選：A

3

2.(24-25高三上?河南南陽?月考)已知定義在R上的偶函數(shù)/'(x)滿足當(dāng)xe[O,+8)時(shí)，

/⑺大f2+-1x,0,x—>2,2,則/,(“.一2、)、)=——.

【答案】1

【解析】因/(x)是在R上的偶函數(shù)，貝1]/(-2)=/(2)=2-2=。，故/(〃_2))=/(0)=1.

3.(24-25高三上?湖南?月考)已知〃刈=早上是偶函數(shù)，則〃=()

2—1

A.2B.1C.0D.-1

【答案】A

【解析】函數(shù)/。)=絲也的定義域?yàn)?3,0)-(0,+?),

2-1

2X-sinx2r-sin(-x)[2“-2(aT)」sinx八

由/(幻是偶函數(shù)，得/⑴-/(r)=二U,

2^-12一"_]2^-1

而sinx不恒等于0,則2*=2("T"恒成立，即尤=(。-1)彳恒成立，所以a=2.故選：A

4.(24-25高三上?安徽?期中)若〃x)=log4J--是奇函數(shù)，則/=()

A.|B.當(dāng)C.&D,2

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，已知/(x)=bg4「--a-》是奇函數(shù)，

1

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=log4———b,

L-X

函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閧x\xX1},定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

此時(shí)，函數(shù)/'(X)一定不是奇函數(shù)，故awo,

則有占一"0,且awO,變形可得(1-磯1一硝一切20,

所以x)=0的根為-1,解可得故/(x)=log4J——\-b,

2Y—x2

又因?yàn)椤癤)為奇函數(shù)，則有〃T)+/(X)=O,

HPlog4J-—!-￡>+log4」——g-b=0,

1+x21-x2

即一20+log4+log4=0,所以一2b+log4|l|=0,

2(1+x)2(1-町|4|

_2

即—26—1=0,故6=.所以/=U=VL故選：c.

題型5“M+N”中值模型的應(yīng)用

1

；若函數(shù)/(x)=奇函數(shù)+a,則我們把它稱為準(zhǔn)奇函數(shù)，求準(zhǔn)奇函數(shù)最大值+最小值之和(M+N),我們

把它叫做中值模型.

(1)若/(x)為奇函數(shù),則其最大值與最小值和為0,即/(%)_+/(X)min=0；

M+M=0

(2)若/(%)為奇函數(shù),則；

/(-xo)+/(xo)=O

'M+N=la

(3)常見考向y(x)=奇函數(shù)+

f(~x0)+f(x0)=2a

1.(24-25高三上?山東棗莊?期中)若函數(shù)=廠三；+sinx的最大值為M,最小值為N,則M+N=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】/(x)=X++sinx=—+sinx+1,xeR

')x2+lx2+l

令g(x)=^Tl+sinx，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=^-^±l+sinx的最大值為M,最小值為N,

所以函數(shù)g(x)的最大值為Af一1,最小值為N-1,

因?yàn)間(T)=-^―+sin(-x)=_--^――sinX=-g⑺，

人~?L4"T"i

所以函數(shù)g(》)=7、+sin尤是奇函數(shù)，

所以g(x)max+g(x)而n=°，即MT+N—1=。，所以M+N=2.故選：B.

2.(24-25高三上?河南?期中)已知函數(shù)〃9=黑、2+天+0(。為常數(shù))，若外力在[-2,4]上的最大值

為M,最小值為加，且M+相=6,則。=()

A.6B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】因?yàn)椤▁)=|^^+x+a=|^|^+Al+l+a，xe[-2,4]，

4>^=X-1G[-3,3],貝ij/(x)=g(/)=+/+1+。,

設(shè)W)=^^7+，，fe[—3,3],則h(f=s；([)T=-+r]=f(r),

乙十乙乙I*乙(乙-I乙J

所以。")是奇函數(shù)，最大值為M-(1+。)，最小值為根-。+〃)，

則"一(1+。)+小一(1+〃)=0,由"+刃=6,解得〃=2.故選：D.

3.(23-24高三上?安徽安慶?月考)設(shè)函數(shù)=在區(qū)間[-2,2]上的最大值為最小值為N,

則(M+N-1產(chǎn)3的值為.

【答案】1

【解析】由題意知，〃力==亨+??-2,2]),

設(shè)g(x)=^^,貝廳(x)=g(x)+l,

因?yàn)間(T)-x=_g(x),所以g(x)為奇函數(shù)，

所以g(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值的和為0,故M+N=2,

所以(M+N-1產(chǎn)3=(2-1嚴(yán)3=].

故答案為：1.

4.(23-24高三下?上海徐匯?月考)若函數(shù)/(xhar+Wogza+Gnj+Z在(-8,0)上有最小值一5(。、b為

常數(shù))，則函數(shù)f(x)在(0,E)上最大值為.

【答案】9

【解析】考慮函數(shù)g(虐=加+blog21+Jx。+1b定義域?yàn)镽,

又g(—x)=ci(—x)+blog?[-x+~+])=—cix^+Z?log21j=—j—Z?log2(x+Jx，+1)=—g(x),

=0

所以g(尤)=加+61。82(尤+后旬是奇函數(shù)，則g(龍)111ax+8(4,-

設(shè)〃尤)的最大值為M，最小值為小，則〃?=-5,

3

又〃x)=ax+Z?log2(x+Jx，+1)+2=g(x)+2,

所以M=g(x)max+2，m=8(力神+2，

所以M+m=g(x)1mx+2+g(xL+2=4,

貝lJ"—5=4,所以M=9,

故答案為：9.

題型6利用單調(diào)奇偶比較大小

一般解法是先利用奇偶性，將不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上

的自變量的函數(shù)值，然后利用單調(diào)性比較大小.

1.（24-25高三上?甘肅蘭州?月考）已知定義在R上的函數(shù)在（3,2）內(nèi)為減函數(shù),且〃x+2）為偶函數(shù),

則的大小為（）

A./（-1）＜/（4）＜/^B./（4）＜/（-1）＜/[^

C.7[^＜/（4）＜/（-1）D./（-l）＜/[y]＜/（4）

【答案】B

【解析】/（尤+2）為偶函數(shù)，.?./（x+2）=/（-x+2）,

?"⑷=/（0）,慮）寸目,

0＞-1＞-1,定義在R上的函數(shù)/（X）在（一叫2）內(nèi)為減函數(shù)，

.?/（O）＜/（-l）＜/f-1\QP/（4）＜/（-l）＜/M,故選：B.

2.（24-25高三上?山東濰坊?月考）己知函數(shù)/（x）滿足/（I-尤）=/（尤+3）,且/（%）在（0,2）上是增函數(shù)，則了⑴,

〃|），/（：）的大小順序是（）

A./（i）＜/（|）＜/（|）

C./（|）＜/（1）＜/（1）

【答案】B

【解析】由函數(shù)/（尤）滿足/（1一X）=/（元+?,得函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于直線x=2對稱,

1Q

顯然/（1）=/§）,/（!）=/（!）.而已＜1＜9，/（X）在（0,2）上是增函數(shù)，

因此/§）＜“）＜〃!）,所以/g）vf（i）＜/（|）.故選:B

3.（24-25高三上?河北邯鄲?模擬預(yù)測）已知〃無）在（1,+8）上單調(diào)遞增，若〃x+l）為偶函數(shù)，。=/卜

°則（）

A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b

【答案】A

【解析】因?yàn)?(x+1)為偶函數(shù)，貝x+l)=/(x+l),

所以“X)關(guān)于X=1對稱，所以=

令g(x)=e*-x-l,貝!|g<x)=e*-l,

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,所以g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(l)=e-2>。，即e*>x+l,所以e?>e?>]+1=],

7Q

當(dāng)%>1時(shí)，由e">x+l得，x>ln(x+l),則5>1115,

由上可得1<ln|<：<丁，又/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以小崗<嗎)<?。菁葱?/p>

所以a>c>6.故選：A.

4.(24-25高三上?江蘇鎮(zhèn)江?月考)已知/(x)=V+x_sinx,g(x)為偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，g(x)=/(x),設(shè)

a>b>0,貝!]()

A./(a)+f(-b)>g(b)+g{-a)B./(。)+/(-6)>gS)-g(-a)

C.f(b)+f(-a)>g(a)+g(-b)D.f(b)+f(-a)>g(a)-g(-b)

【答案】B

【解析】f'{x)=3x2+1-cosx>0,/(-x)=(-x)3-x+sinx=-/(%),/(x)是在R上遞增的奇函數(shù)，

當(dāng)尤20時(shí)，g(x)=/(x),g(x)是偶函數(shù),且xe(ro,0),g(x)單調(diào)遞減,

且/⑷=g(a)，〃b)=g(6)，/(?)>于f(O)=0,g(a)>g(6)>。,

/(匕)+/(一。)=/(匕)—/(a)=g(6)—g(a)<g(a)+g(6)=g(a)+g(—b)，

/(b)+/(—a)=/(b)—/(a)=gGO—g(a)<0<g(a)-g(8)=g(a)—g(-8)

二C不成立,D不成立；/(-6)+/(a)=-/(b)+/(a)=—g(b)+g(a)<g(a)+g0)=g(-a)+g(b),

/(-6)+/(a)=-，(6)+/(a)=-g(8)+g(a)>0>-g(a)+g(6)=—g(—a)+g(8)

二A不成立，B成立；故選：B.

題型7利用單調(diào)奇偶解不等式

解決此類問題時(shí)一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成/(&)>/(%)或</(x2)的形式，

i再根據(jù)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反，歹卜

出不等式(組)，同時(shí)不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.

II

【注意】在轉(zhuǎn)化時(shí)，自變量的取值必須在同一單調(diào)區(qū)間上；當(dāng)不等式一邊沒有符號“了”時(shí)，需轉(zhuǎn)化為含符，

號"尸’的形式.

1.(24-25高三上?天津紅橋?期末)已知函數(shù)/(x)是定義在上R的偶函數(shù)，若對于任意不等實(shí)數(shù)石,々€[。,口),

不等式-恒成立,則不等式/(2x)>/(x-1)的解集為()

B.1|%<-1或%>」

D.<x\x<--^x>-

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/■(》)是定義在R上的偶函數(shù)，貝|/(2x)>/(x—1)即為/(|2x|)>/(|x-l|),

對于任意不等實(shí)數(shù)占,務(wù)e[O,-H?),不等式(占-n)"5)-/1%)]<。恒成立，

可知/(X)在[0,+8)上單調(diào)遞減，J.H>0,|x-l|>0,

可得因<上一1],解得故選：C.

2.(24-25高三上?河北邢臺?期末)已知函數(shù)/■(*)是定義在R上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，對任意

的ae[-2,3],不等式-1)44恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是()

A.(-oo,3]B.[s]C.[13,+ao)D.1

【答案】B

【解析】令g(x)=〃尤一1)—2,則〃x)=g(x+l)+2,

由/(a-f)+/(/-1)<4,可得g(a-r+l)+2+g(/-1+1)+2<4,

即g(a-?+l)+g(a2)<0,g(67-Z+l)<-g(a2)=g(-a2).

因?yàn)椤ㄓ?是定義在R上的減函數(shù)，所以g(x)也是定義在R上的減函數(shù)，

t^a-r+1>-a2,即

因?yàn)閍e[-2,3],所以fW：,即實(shí)數(shù)/的取值范圍是.故選：B

3.(24-25高三上?山東臨沂?月考)已知函數(shù)人力是定義在R上的奇函數(shù)，〃尤)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且

"3)=0,則不等式(x—2)〃力<0的解集是()

A.(-oo,-3)U(2,3)B.(-3,0)U(2,3)

C._(3,+oo)D.(-3,0)(3,+oo)

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

且"3)=0,則〃-3)=—〃3)=0,且該函數(shù)在(—,0)上為增函數(shù)，"0)=0,

當(dāng)了<一3時(shí)，/(x)</(-3)=0；當(dāng)一3cx<0時(shí)，/(x)>/(-3)=0；

當(dāng)0<x<3時(shí)，/(%)</(3)=0；當(dāng)x>3時(shí)，/(x)>/(3)=0.

因?yàn)?x—2)〃x)<0,

當(dāng)x—2<0時(shí)，即x<2時(shí)，/(x)>0,貝I］一3<x<0或x>3,止匕時(shí)，一3<x<0；

當(dāng)x—2>0時(shí)，即x>2時(shí)，/(%)<0,貝i|x<-3或0<x<3,此時(shí)，2Vx<3.

綜上所述，不等式(x-2)〃x)<0的解集是(-3,0)11(2,3).故選：B.

4.(24-25高三上?山東德州?期末)己知函數(shù)無)是定義在R上的偶函數(shù).V%1；x2e［0,-H?),且為力馬，恒有

二㈤>T-若〃1)=1，則不等式的解集為()

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,-l)u(l,+co)D.(-1,1)

【答案】D

【解析】不妨設(shè)。4%<々，所以

則>一］=〃,)_〃%)<君一工；,

所以+<后+/(工2)，

令g(x)=『(x)+f，則g(%)<g(w)，

所以g(力=〃尤)+尤2在［0,+8)上單調(diào)遞增,

又“X)是偶函數(shù)，所以g(-x)=〃-x)+x2=/⑺+f=g(x),

即g(力=〃尤)+V也是偶函數(shù)，則其在(9，0］上單調(diào)遞減,

因?yàn)?(1)=1，所以g(l)=/(l)+f=2,

則"%)<2-公=>f(x)+x2<2=>g(x)<g(l),

所以國＜1,解之得久e(-1,1).故選：D

題型8函數(shù)的周期性及應(yīng)用

0O日?

是不為0的常數(shù))

(1)若〃X+Q)=/(X),則T=a；(2)若/(%+〃)=/(%-〃)，則7=2”；

]

(3)若/(x+a)=—/(九)，則T=2a；(4)若/(x+a)=〃x),則T=2a；

(5)若/(x+a)=-J^J，則T=2a；

(6)若/(x+a)=/(%+/?),則T=|a—@Qa手b)

￡,、1+/(X)

⑺若/(x+a),則T—2a；(8)若/(x+a)=[:，則T—4a；

1+/W1-/W

1.(24-25高三上?四川華鎏?月考)設(shè)/(X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且/(l+x)=/(-%).若f

()

A.--B.--C.-D.-

3333

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則"1+無)=/(r)=-〃力，

則—/(x+l)=f(x),故/(X)是以2為周期的周期函數(shù),

由則/日71故選：B.

2.(24-25高三上?黑龍江?月考)已知〃無)是定義在R上的函數(shù)，且/(x+l)-〃x)=l+/(x+l)〃x),

"1)=2,則/(2024)=()

A.-2B.-3C.-D.1

32

【答案】C

【解析】因?yàn)椤?1)-〃尤)=1+/(尤+1)〃尤)，

所以當(dāng)x=0時(shí)，/(l)-/(o)=l+/(l)/(o),又/'⑴=2,所以〃o)=g.

又由〃x+l)—〃x)=l+〃x+l)〃x),可得〃x+l)=三篇，

l+/(x)

1一仆)]

所以〃x+2)=〃(x+l)+l)=詈瑞

l+/(x)f(xY

l-〃x)

x

1(X+4)=〃(X+2)+2)=一〃1+2)=----\—=f()

故函數(shù)〃x)是以4為周期的函數(shù)，所以〃2024)=〃0)=g.故選：C.

3.(24-25高三上?甘肅臨夏?期末)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,〃x)為偶函數(shù)，/(尤+1)為奇函數(shù)，且當(dāng)

時(shí),f(x)=x+b,則出卜()

A.-B.0C.—D.—1

22

【答案】A

【解析】因/(x)為偶函數(shù),故〃-x)=/(x),又因〃x+D為奇函數(shù)，^f(-x+V)=-f(x+T),

則f(一x)=—f(x+2),故有/(x+2)=-/(x),

由/(x+4)=-f(x+2)=/(x)可得4是函數(shù)/(x)的一個(gè)周期.

又因/(X+D為奇函數(shù)，則函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)。,0)成中心對稱，

因函數(shù)/(元)的定義域?yàn)镽,則fm=l+b=0,解得6=一1,

故當(dāng)xe[0,1]時(shí)，f{x}=x-1,

故佃

故選:A.

4.(24-25高三上?河北?月考)已知定義在R上的函數(shù)/(了)，滿足了。-3)+/(5-x)=2,〃2元+2)為偶函

2023

數(shù)，/(無)滿足"2)=2,貝|工/。)=.

?=1

【答案】2024

【解析】因?yàn)閒(2x+為為偶函數(shù),則“2x+2)=/(-2x+2),

所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

因?yàn)?。-3)+/(5-x)=2,所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對稱，

所以函數(shù)/⑺的周期T=4x(2—1)=4,

令x=4,則/(4-3)+/(5-4)=2/⑴=2,得/⑴=1,貝I]/(3)=/⑴=1,

又"2)=2,令x=3,則/(3-3)+/(5-3)=/(0)+/(2)=2,得"0)=0,

則/(4)=/(0)=。，所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,