機(jī)密★啟用前

2024-2025學(xué)年度高三年級上學(xué)期第一次綜合素養(yǎng)測評

數(shù)學(xué)學(xué)科

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題共58分）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分.下列每小題所給選項(xiàng)只有一項(xiàng)符合題意，請將正確答

案的序號填涂在答題卡上）

x+3_

2-----------<0

1.已知不等式X-2%-3<°的解集為A,不等式x—2的解集為3,則AcB為（）

A.[-3,3]B.（-3,3）C.[-1,2]D.（-1,2）

2.已知同=6指,忖=1。》=一9,則向量a與b的夾角為（）

27t57r7T7T

A.—B.—C.-D.一

3636

3.如圖所示，為測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角

NM4N=30°,C點(diǎn)的仰角NC48=45°以及NM4C=75°,從C點(diǎn)測得NMC4=60°,已知山高

BC=100m,則山高M(jìn)N=()

A.120mB.150mC.50指mD.160m

,、，、S”3〃+4+a7+a.

4.已知等差數(shù)列｛叫和也｝的前〃項(xiàng)和分別為s“、Tn,若宣=-則378=（）

Ill3711137

A.——B.—D.

13132626

22

5.已知雙曲線c：=—2=l(a〉0,6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為居,工，尸是雙曲線C的一條漸近線上的

ab‘

3

點(diǎn)，且線段尸耳的中點(diǎn)N在另一條漸近線上.若cosNPgG=g,則雙曲線C的離心率為()

55

A-B.-C.2D.75

34

6.點(diǎn)尸(-2,-1)到直線/:(1+32)x+(l+2)y-2-42=0(2eR)的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線

方程分別為()

A713;3x+2y-5=0B.TH；3x+2y-5=0

C.屈;2x-3j+l=0D.7n；2x-3y+l=°

1gt三+3<x<0

+X

7.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?―3,3),且/(x)=<!若3/[x(x_2)]+2〉0,

i3+x2八，-

1g----------------,0<x<3

l3-xx+3

則x的取值范圍為()

A.(-3,2)B.(-3,0)o(0,1)0(1,2)

C.(-1,3)D.(-l,0)o(0,2)o(2,3)

8.已知/T21nx+@對也>0恒成立，則。的最大值為()

X

1

A.0B.-C.eD.1

e

二、多項(xiàng)選擇題(每題6分，共18分，每題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合要求，全部選對得6分,

錯(cuò)選得0分，部分選對得部分分)

9.若數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，則｛4｝的通項(xiàng)公式可以為()

2n

A.an=------B.an=2n-lC.an=n-3nD.an=2

n+1

10.函數(shù)/(x)=2sin(0x+e40〉O,|d<|J的部分圖象如圖中實(shí)線所示，C為函數(shù)與左軸的交

點(diǎn)，圓c與〃％)的圖象交于M,N兩點(diǎn)，且〃在y軸上，則()

i4\f\/..

A.(o=2B.圓的半徑為空

3

C.函數(shù)〃X)的圖象關(guān)于點(diǎn)E，0成中心對稱D.函數(shù)在丁蕓，口耳3上單調(diào)遞增

22

11.已知耳，鳥是橢圓C:工+2r=l(a〉6〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓C上，若「耳J_P6，.書尸心的

ab

面積等于4.則下列結(jié)論正確的是()

22

A.若點(diǎn)P是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+乙=1

84

B.若P是動點(diǎn)，則》的值恒為2

C.若尸是動點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是

D.若P是動點(diǎn)，則|P耳|+|。閭的取值范圍是［40,+可

第n卷(非選擇題共92分)

三、填空題(每題5分，共15分)

2

12.已知a是第四象限角，且sin2a=—耳，貝Ucose-sina=.

13.已知/(x)=x2+cosx,若a=于e4,6=c=則°,6,c按從小到大排列

為：.

14.定義:對于函數(shù)/(%)和數(shù)列｛%,｝,若(乙+1-玉)/'(%")+/(%)=。，則稱數(shù)列｛七｝具有“/(%)函

數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)〃龍)圖象的最低點(diǎn)為(O,T),且/(x+l)=/(x)+2x+l,若數(shù)列｛七｝具有

“〃龍)函數(shù)性質(zhì)”，且首項(xiàng)為1的數(shù)列｛4｝滿足4=ln(x?+2)-ln(x?-2),記｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，

ri\

則數(shù)列s“?--5的最小值為.

四、解答題(本大題有5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并

寫在答題紙的相應(yīng)位置，否則無分?jǐn)?shù).)

15.已知數(shù)列｛4〃｝為遞增的等比數(shù)列，S.為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且S3=14,2=4.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

M2m

(2)記bm為數(shù)列｛4｝在區(qū)間(2,2](meN*)中的所有項(xiàng)的和，求數(shù)列｛bm｝的前m項(xiàng)和Tm.

16.已知函數(shù)/(x)=R>g2；?log2'|(14xW4),g(x)=4'+4~1—a-2x—a-2~x+1.

(1)求函數(shù)最大值；

(2)設(shè)不等式/(X)WO的解集為A,若對任意為eA,存在使得菁=g(%2)，求實(shí)數(shù)。的

值.

17.如圖，拋物線「：:/=22%(夕〉0),%(2,1)是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)"作兩條斜率存在且互相垂直的動

直線設(shè)4與拋物線「相交于點(diǎn)A3,與拋物線「相交于點(diǎn)c，D,當(dāng)M恰好為線段的中點(diǎn)

時(shí)，|附=2指.

18.已知函數(shù)/(x)=lnx-x+a.

⑴若直線y=(e—1)九與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)。的值；

/\

(2)若函數(shù)g(%)=4(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)耳和馬，且西<%2，證明：X2+%；>1+In—.(e為自然對

數(shù)的底數(shù))

19.法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費(fèi)馬點(diǎn)”，即平面內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距

離之和最小的點(diǎn)，托里拆利確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法如下：

①當(dāng)VABC三個(gè)內(nèi)角均小于120時(shí)，滿足NAO3=/BOC=NCQ4=120°的點(diǎn)。為費(fèi)馬點(diǎn)；

②當(dāng)VA3C有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).

請用以上知識解決下面的問題：

已知VA3C的內(nèi)角A&C所對的邊分別為名氏。，點(diǎn)”為VA3C的費(fèi)馬點(diǎn)，且

cos2A+cos2B—cos2C=1.

(1)求C；

(2)若c=4,求|心中|"8|+|"8卜阿。+|“。卜|他4|的最大值；

⑶^\M^+\MB\=t\MC\,求實(shí)數(shù)/的最小值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分.下列每小題所給選項(xiàng)只有一項(xiàng)符合題意，請將正確答

案的序號填涂在答題卡上)

x+3八

2-----------<0

1.已知不等式X-2%-3<°的解集為A,不等式x—2的解集為3,則為()

A.[-3,3]B.(-3,3)C.[-1,2]D.(-1,2)

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即得.

【詳解】解不等式2x—3<0,得一l<x<3,即A=(—1,3),

x+3

解不等式上」<0,得—3〈尤<2,即3=(—3,2),

x-2

所以A3=(—1,2).

故選：D

2.已知同=6后忖=l,a-Z?=-9,則向量。與6的夾角為()

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合向量的夾角公式，以及向量的夾角的范圍，即可求解;

【詳解】因?yàn)橥?6百,網(wǎng)=l,a?/?=-9,設(shè)向量。與6的夾角為。

a-b_-9_A/3

所以cos6=

|a||/?|6百xl2

5兀

又因?yàn)?e[0,可，所以。

~6

故選：B.

3.如圖所示，為測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角

ZMAN=30°,C點(diǎn)的仰角NC48=45°以及NM4c=75°,從C點(diǎn)測得NMC4=60。，已知山高

BC=100m,則山高M(jìn)N=()

A.120mB.150mC.50百mD.160m

【答案】C

【解析】

【分析】由題意，可先求出AC的值，從而由正弦定理可求A"的值，在心&WA入中,

AM=100圓，ZMAN=30°,從而可求得肱V的.

【詳解】解：在拓ABC中，ZG4B=45°,BC=100m,所以AC=100后m.

在，AMC中，ZMAC=J5°,ZMCA=6Q°,從而NAMC=45°,

由正弦定理得，因此AM=100百m.

sin45°sin60°

「MN

RtAMNA中,AM=100V3m,AMAN=30°,由二一=sin30°得=50點(diǎn)m;

AM

山iW]MN=50Gm;

故選：c

4.已知等差數(shù)列｛4｝和也｝的前〃項(xiàng)和分別為%Tn,若寸=-則378=（）

〃+/"2+%

1113711137

A.-----B.—C.-----D.—

13132626

【答案】C

【解析】

tz,++a?3a,

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式可得:[=7,管，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得

4+%2b6

變=粵，結(jié)合己知條件求解即可

Tn1血

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差為d,則%+%+%=%+2d+q+62+%+72=34+15d=34,

因?yàn)榛?4o=24，

%+%+%3a6_3/

所以或二5可

人2+b、o

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝和｛2｝的前〃項(xiàng)和分別為s“、Tn,滿足率=即上;

〃十/

n（4+%i）

所以S“_2.3x11+4—37

所以工一11色+如）一”—11+2-13

2

%+%+%3a$3a6337111

所以X

b2+bw~2b^~2''b^~213~^6

故選：C

5.已知雙曲線C:=—3=l（a〉0,6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，尸是雙曲線C的一條漸近線上的

ab

3

點(diǎn)，且線段尸耳的中點(diǎn)N在另一條漸近線上.若cos/P&K=g,則雙曲線。的離心率為（）

55廠

A.—B.—C.2D.

34

【答案】A

b

【分析】利用平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系求出tanNP^E，再由NO〃P￡得出自.=-2可得答案.

a

【詳解】因?yàn)镹,。分別是「耳,耳巴的中點(diǎn)，所以NO〃P￡,

3兀

又cosNP月片=->0,:.0<ZPF2F1<-,

sinNPF2R=Jl—cos2/”耳=|,

4

所以tanNPgK=—,

b4故」尸

所以％=-1=-§

a\a

故選：A.

6.點(diǎn)P(-2,-l)到直線1:(1+32)x+(1+4)y—2—44=0(%eR)的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線

方程分別為()

A.^3；3x+2y-5=0B.Til;3x+2y-5=0

C.713；2x-3j+l=0D.y/ii；2x-3j+l=0

【答案】A

【解析】

【分析】求出直線/所過的定點(diǎn)，再確定最大值條件即可求解.

【詳解】將直線/：(l+32)x+(l+/i)y-2-44=0(4eR)變形得x+y-2+2(3x+y-4)=。，

x+y-2=0fx=l

由L"“c，解得<,，因此直線/過定點(diǎn)A。/)，

3x+y-4=0[y=l

當(dāng)AP，/時(shí)，點(diǎn)尸(一2,-1)到直線/：(l+32)x+(l+2)y-2-42=0(2eR)的距離最大，

22

最大值為|=7(-2-1)+(-1-1)=V13,又直線AP的斜率kAP=三二|=|,

—2—13

3

所以直線/的方程為y—1=—5(%—1)，即3%+2y—5=0.

故選：A

1g---+2,-3<%<0

:+工若(尤-

7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?—3,3),且〃x)=<31nx2)]+2>0,

,3+x2八，c

1g---------------,0<x<3

3-xx+3

則x的取值范圍為()

A.(-3,2)B.(-3,0)0(0,1)0(1,2)

C.(-1,3)D.(一1,0)50,2)52,3)

【答案】D

【解析】

【分析】當(dāng)—3<x<0時(shí)，判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性可知g；當(dāng)0Wx<3時(shí)，根據(jù)單調(diào)性的

2

性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知“X)單調(diào)遞增，可得7(x)2-然后將原不等式轉(zhuǎn)化為

—3<x(x-2)<3

即可得解.

x(x-2)w0

6

【詳解】當(dāng)—3<%<0時(shí)，〃x)=lgT+展

x+3

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/(可在(-3,0)上單調(diào)遞減,

9

所以/(力>/(。)=_§；

當(dāng)0W龍<3時(shí)，/(x)=lgf-^--11--

<3-xJx+3

因?yàn)?:在［0,3)上單調(diào)遞增，y=lg?—1)為增函數(shù),

5-x

所以y=1g［三在［0,3)上單調(diào)遞增,

又、=—會在［0,3)上為增函數(shù)，所以/(x)=lg［三-展在［0,3)單調(diào)遞增，

2

所以〃x)N〃0)=—了

2

綜上，〃力2在(—3,3)上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時(shí)取等號.

所以不等式3f［x(x—2)］+2〉0of［x(x-2)］〉—|o?-3<-2)<3

x(x-2]w0

解得—l<x<3且xwO且x/2,即原不等式的解集為(—1,0)D(0,2)D(2,3).

故選：D

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解分段函數(shù)相關(guān)不等式時(shí)，需要根據(jù)自變量范圍進(jìn)行分類討論，利用單調(diào)性求解即

可.

8.已知2111］+旦對\&>0恒成立，則。的最大值為()

X

1

A.0B.-C.eD.1

e

【答案】D

【解析】

【分析】由題意得e'x—對X/x>0恒成立，令/(x)=xlnx,利用導(dǎo)數(shù)求得了(%)2—』，即

e

xlnx>—1,再令/=xlnx,g(/)=e'-/jj2-：),利用導(dǎo)數(shù)求出g?)的最小值，可求出。的取值范圍,

從而可求出。的最大值.

【詳解】由x'T2ln%+@(%>。)，得如”之％ln%+a，

x

所以e'inx-xlnx^Q對Vx>0恒成立，

令/(%)=xlnx,則((%)=In%+1在(0,+8)上單調(diào)遞增,

由/'(%)=0,得彳=!，

e

當(dāng)0<%<,時(shí)，f\x)<0,當(dāng)時(shí)，f\x)>0,

ee

所以/(%)在［O。)上遞減，在［%+8］上遞增，

所以即%

ee

令1=xlnx,g(0=er-t^t>-—^,

則g'?)=e'—l在—：,+8)上單調(diào)遞增，

由g'?)=。，得％=O,

所以當(dāng)—時(shí)，g'?)v0,當(dāng)，>0時(shí)，g'?)>0,

e

所以g⑺在-：,o1上遞減，在(0,+8)上遞增，

所以g?)min=g(°)=1，所以aWl，

所以。的最大值為1.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵

是通過對原不等式變形，將問題轉(zhuǎn)化為e*'-xlnxNa對\%>0恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最

值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.

二、多項(xiàng)選擇題(每題6分，共18分，每題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合要求，全部選對得6分，

錯(cuò)選得0分，部分選對得部分分)

9.若數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，則｛%｝的通項(xiàng)公式可以為()

n2

A.an=B.an—2n—\C.an=n-3nD.an=2"

n+1

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用作差法判斷A、B、D,利用特殊值判斷C.

n+1n_(zi+1)2-n(n+2)_1

【詳解】對于A：a-a

n+lnn+2n+1(”+2)(〃+l)++

Yl

所以4+i>%，所以4=——為遞增數(shù)列，故A正確；

n+1

對于B：a“+i—%=2（〃+1）—1—2〃+1=2,所以％+］>%,所以4=2〃—1為遞增數(shù)列，故B正確;

對于C：因?yàn)槭?〃2-3〃，貝!］弓=-2,a2=-2,所以a“=〃?一3〃不單調(diào)，故C錯(cuò)誤;

對于D：。用―?！?2.—2"=2"〉0,所以％+1>%,所以=2"為遞增數(shù)列，故D正確;

故選：ABD

10.函數(shù)/（x）=2sin（ox+。）［o>0，M<|J的部分圖象如圖中實(shí)線所示，C為函數(shù)/（%）與％軸的交

點(diǎn)，圓C與〃龍）的圖象交于MN兩點(diǎn)，且〃在y軸上，則（）

B.圓的半徑為一L

3

2021兀2023兀

C.函數(shù)八％）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱D.函數(shù)/（X）在上單調(diào)遞增

12'12

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圖象，求出了（%）解析式，可判斷ABC選項(xiàng)，對D選項(xiàng)，求出2x+g范圍即可判斷

【詳解】根據(jù)函數(shù)/（x）=2sin（（y%+9）的圖象以及圓C的對稱性，

可得N兩點(diǎn)關(guān)于圓心C（c,0）對稱,

rri

所以c=5，于是u=c+：=￡=/===°=2,故A正確;

3262。2

IJI]兀

由刃=2及41一《,0）得一,+夕=0+為1,左eZncp=飛+kn,keZ,

由于所以e=1,

所以/（x）=2sin[2x+1],/（O）=百，從而M（O,石），故半徑為|CM|=l1j+3w斗，故B錯(cuò)誤;

將[7,。]代入得f（，）-2sinf—+,所以是中心對稱，故C正確；

2021712023兀2023K2025兀TTTV9兀

當(dāng)工￡時(shí),2x+畀即2%HG3367tH-----,3367tH-----,止匕時(shí)

12'126,6366

“X）為減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

22

11.已知石，工是橢圓。：三+4=13〉6〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)「在橢圓。上，若尸耳，P《，月尸耳的

ab

面積等于4.則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點(diǎn)尸是橢圓短軸頂點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+乙=1

84

B.若尸是動點(diǎn)，則》的值恒為2

C.若尸是動點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是g,l]

D.若P是動點(diǎn)，則忸耳|+忸閭的取值范圍是[4近,+對

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓性質(zhì)以及一耳尸月的面積可得A正確；設(shè)P（x,y）可得y2=1,利用P耳，P罵并結(jié)合

橢圓方程可得B正確；由橢圓范圍可得2也可得離心率,即C錯(cuò)誤；由橢圓定義可得

儼可|+盧6|的取值范圍為[4忘,+可，即D正確.

【詳解】對于A,若點(diǎn)尸是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則b=c,a=J為，又5點(diǎn)尸=L42c=k=4,

?rrir22

22

所以儲=8,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+乙=1,故選項(xiàng)A正確；

84

對于B,設(shè)P（x,y）,由題意可知=；?2c-3=c?|y|=4①，

22

因?yàn)槭?尸工，所以“——乙=一1,即/+丁2=02②，又y=1③,

x-cx+ca

由②③及〃+°2=/得>2=（,又由①知丁=與，所以b=2.故選項(xiàng)B正確;

cc

2

對于C,由②③得所以02^82,從而"=52+022202=8,故?！?&.

軍,11,故選項(xiàng)c錯(cuò)誤;

所以橢圓的離心率e=f

a2J

對于D,由橢圓定義可得|尸盟+戶閭=2。24夜，即歸川+歸耳|的取值范圍為［40,+可，即選項(xiàng)D正

確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓離心率等范圍問題經(jīng)常利用橢圓定義以及橢圓性質(zhì)得出關(guān)系式，再由變量自身

范圍即可得出結(jié)論.

第II卷（非選擇題共92分）

三、填空題（每題5分，共15分）

~2

12.已知。是第四象限角，且sin2a=-§,貝！Jcosa-sina=.

【答案】巫

3

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得到cosa-sina>0,再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式，即可求解.

【詳解】由題意知，a是第四象限角，可得cosa>0,sina<0,所以cosa—sin（z>0,

25

因?yàn)閟in2a=一耳，可得(cosa-sino)2=cos2a+sin2a-2sinacosa=l-sin2a=—

3

故答案為：叵.

3

13.已知/(x)=f+cosx,若a=于e4,6=c=則°,6,c按從小到大排列

為：,

【答案】b<c<a

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)丸(x)=e*-(x+1),t(x)=lnx—(x-1),利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性最值得關(guān)系可比較出

C1_3

0<ln：<、<e和再結(jié)合原函數(shù)/(x)=x2+cosx的單調(diào)性和奇偶性即可比較大小.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'(力=好+以^^的定義域?yàn)镽,

/(-%)=(-x)2+cos(-x)=f(x),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

故以下只用討論函數(shù)在［0,+8)的單調(diào)性，

因?yàn)間'(x)=2-cosx>。在［0,+8)上恒成立，

所以g(x)=2x-sinx在［0,+oo)上單調(diào)遞增，

所以g(x)=2x-sinx>g(0)=0,

即/'(X)=2x—sinx?。在［0,+<?)上恒成立，

所以了(%)在［0,內(nèi))上單調(diào)遞增,則"％)在(f,0)上單調(diào)遞減，

設(shè)函數(shù)/z(x)=e*-(x+1),A(x)=ev-1,

當(dāng)尤<0時(shí)，h'(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，h'(x)>0；

所以函數(shù)九(x)=e，-(x+1)在(―,0)單調(diào)遞減，(0,+。)上單調(diào)遞增,

3—上］--1

所以以——)=4——〉丸(0)=0,即e4〉—〉0,

44e4

11—Y

設(shè)函數(shù)Xx)=ln%_(x_l),/(%)=——1=---,

XX

當(dāng)0<X<1時(shí)，t\x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，t\x)<0；

所以函數(shù)f(無)在(0,1)單調(diào)遞增，［1,+8)上單調(diào)遞減,

所以?9)=ln』—!</(1)=0,即

44444

51-2511-2)

所以0<ln3<±<e"所以/(In：)</(：)</e4,

44441J

又因?yàn)?=/jn：［=/［—In：］=/(ln|),c=/(一：)=/(：),

所以，

故答案為：b<c<a.

14.定義：對于函數(shù)八％)和數(shù)列｛尤“｝,若(%!+1—%)/'(%)+/(%)=。，則稱數(shù)列｛尤“｝具有""%)函

數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)八％)圖象的最低點(diǎn)為(O,T),且〃x+l)=/(x)+2x+l,若數(shù)列｛%｝具有

/(X)函數(shù)性質(zhì)”,且首項(xiàng)為1的數(shù)列｛%｝滿足%=ln(x?+2)-ln(x?-2),記｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“,

〃I

則數(shù)列s.?--5的最小值為.

12J

【答案】-----

2

【解析】

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解析式，再利用數(shù)列的遞推思想構(gòu)造等比數(shù)列，即可求和，從而用數(shù)列的單

調(diào)性來求出最小值.

【詳解】由二次函數(shù)最低點(diǎn)為(0,—4)可知：/(%)=依2-4(。>0),

X/(x+1)-/(x)=a(x+l)--4-av2+4=a(2x+l)=2x+l,所以a=l,

%+2

則/(%)=x2-4.由題意得a”=ln(x?+2)-ln(x?-2)=ln-^―

七一2

又由(Z+1—七)/'(%)+/(%)=。,得(%+1—)2%+解一4=0,

因?yàn)閤“-2〉0,所以

又x+2-（X"+2『x2-（七—2『

即互+i2天一2%'又3+2-不^，％-2-

)

所以上11互+2=2(%+42'則M%iK+2=2叱%3+2’即%=2%,

x.+i

故｛4｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以a“=2"T,S"=2"—l.

令L=S.-[—5]=[-5](2"-1),則%-q=(“-8)-2"T—g,

故當(dāng)〃W8時(shí)，cn+l<cn,當(dāng)〃上9時(shí)，c,i+1>cn,

故（"n=。9=-米

故答案為：------

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，根據(jù)二次遞推，則需要通過構(gòu)造兩邊對數(shù)，來得到等比數(shù)列遞推關(guān)系.

四、解答題（本大題有5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并

寫在答題紙的相應(yīng)位置，否則無分?jǐn)?shù).）

15.已知數(shù)列｛4｝為遞增的等比數(shù)列,S“為數(shù)列｛%,｝的前”項(xiàng)和,且S3=14,%=4.

（1）求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式；

m2m

（2）記bm為數(shù)列｛%｝在區(qū)間（2,2］（rneN*）中的所有項(xiàng)的和，求數(shù)列｛bm｝的前m項(xiàng)和1m.

產(chǎn)+34

【答案】（1）4=2"；（2）Tm=-------------2M.

【解析】

【分析】（1）設(shè)公比為4,根據(jù)邑=14,%=4,求得%q,寫出通項(xiàng)公式；

（2）由》7=1,m=2,加=3,…推出2”對應(yīng)的區(qū)間（2"122"］中包含｛%｝的項(xiàng)，然后利用等比數(shù)列的前"項(xiàng)和

公式和分組求和法求解.

【詳解】（1）設(shè)公比為4,由題意得，q+/+%=，■+%+出4=一+4+4q=14,

qq

解得4=2,4=2,或q=8,q=g（舍去），

所以%=2",故數(shù)列｛〃“｝通項(xiàng)公式為%=2".

(2)由題意得，仇對應(yīng)的區(qū)間為：Qi,2?],其中包含出，則偽=%；

為對應(yīng)的區(qū)間為：(22,24],其中包含生，%，則為=%+。4；

與對應(yīng)的區(qū)間為：(23,26],其中包含為，a5>。6，則4=q+。5+。6；……

心對應(yīng)的區(qū)間為：(272嗎,其中包含冊+1，am+2,a2m,則/=4旬+4初++%,，

因此粼=2"+2*2++22"',

Q/M+lZ1Om\

所以勾=—:，=2x4m-2",

故T=8(1-4")4(14)223+4

m-1-41-2-3

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前〃項(xiàng)和的方法

(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，Sn="(4+4)=〃q+"("T)d②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公

"212

navq-\

式S"=<—;

------

Ii-q

(2)分組轉(zhuǎn)化法:把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.

(3)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).

(4)倒序相加法:把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.

(5)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個(gè)數(shù)

列的前n項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解.

(6)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前"項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如斯=(—1)叭")類

型，可采用兩項(xiàng)合并求解.

16.已知函數(shù)=log2：-log2"|(lWx<4),g(x)=4'+4~x-a-2x-a-2~x+1.

(1)求函數(shù)/(%)的最大值；

(2)設(shè)不等式/(x)<0的解集為A,若對任意看eA,存在使得X=g(%)，求實(shí)數(shù)。的

值.

【答案】(1)2(2)-

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)運(yùn)算化簡為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的值域求出最值即可；

(2)先換元把指數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再分段分類討論求出最值，再根據(jù)已知等式求值即可.

【小問1詳解】

=log2；-log21=(log2x-2)-(log2x-1)

=(log2x)"-310g2尤+2,

l<x<4,0<log,%<2,

.,.當(dāng)log2X=0,即l=1時(shí)，/(l)=2,當(dāng)log2X=2,即x=4時(shí)，f(4)=0,

???當(dāng)x=l時(shí)，””的最大值為2.

【小問2詳解】

由/(x)W0,得l<log2X<2,

即2W九W4,...A=[2,4],

設(shè)"2*+2,則當(dāng)2xe[l,2],2,1,

g(x)=4x+4--x-a-2x-a-2-x+1=(2X+-a(2x+2-x)-l=r-at-1,

設(shè)人(%)=e—dt~\,

由題意，A=[2,4]是當(dāng)te2,1時(shí)，函數(shù)力⑺的值域的子集.

①當(dāng)￡<2,即aW4時(shí)，函數(shù)可。在2,|上單調(diào)遞增，

②當(dāng)3?』，即。25時(shí)，函數(shù)入⑺在2,|上單調(diào)遞減,

222

則5日不等式組無解.

——a<2,

2

③當(dāng)即4<a<5時(shí)，函數(shù)人⑺在2,1上單調(diào)遞減，|，|上單調(diào)遞增,

則函數(shù)h（t）的最大值是h（2）與丸的較大者.

令/z（2）=3—2a?4,得a4—g,

令=?一二。"4,得均不合題意.

。422

綜上所述，實(shí)數(shù)。的值為

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為A=[2,4]是/1（。=/一成一1

的值域的子集，從而得解.

17.如圖，拋物線「丁=2/5〉0）,河（2,1）是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)〃作兩條斜率存在且互相垂直的動

直線/1」2,設(shè)4與拋物線「相交于點(diǎn)A3,，2與拋物線「相交于點(diǎn)C,D，當(dāng)“恰好為線段的中點(diǎn)

時(shí)，|附=2指.

（1）求拋物線「的方程；

（2）求08的最小值.

【答案】（1）y2=2x

（2）12

【解析】

【分析】(1)設(shè)直線2=m(y—1),A(%聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)

定理，依題意可得〃〃=1,再由弦長公式得到方程，解得P即可；

⑵根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到ACDBUMCI-IMDI+IAMI-IMBI，X\MA[\MB^=3(1+m2),同理

可得31+3再由基本不等式計(jì)算可得.

【小問1詳解】

解法一：設(shè)直線48:*_2=鞏,_1),4(%,%),6(%,%)，

x=my-m+2,

聯(lián)立<2，得y-2pmy+2pm-4p=0,

y=2px

所以為+%=2p/n，X%=2pm—4p.

又因?yàn)镸(2,l)是AB的中點(diǎn)，所以七=p機(jī)=i,

又|=71+m2I%一為I=Vl+m24%%

=Jl+J16p_4=2^6，

代入化簡得(〃—1)(4/—3〃+l)=0,解得p=1.

故拋物線「的方程為V=2x.

解法二：設(shè)直線A3的傾斜角為8,再設(shè)A、3的坐標(biāo)都為(2+tcos6U+/sin6"),

代入拋物線方程得(l+fsin￡)2=2p(2+fcos8),

化簡得產(chǎn)sin?9+2%(sine-pcos6)+l—4p=0.

-2(sin。一〃cos。)1-4/?

"J/--,%sin2^

因?yàn)镸(2,l)是AB的中點(diǎn)，所以4+^=0,即，=tan氏

又因?yàn)?#=『修=2回］)而2。,

sin0

tan

將sin2e=f=rJ代入化簡得(0—1)(4p2—3°+1)=0,

1+tan01+p'

即P=l,所以拋物線「的方程為_/=2x.

【小問2詳解】

解法一：ACDB=(MC-MA)(MB-MD)

=MC-MB-MA-MB-MCMD+MA-MD

=-MCMD-MAMB=\MC\-\MD\+\MA\-\MB\,

由(1)可得%+