考綱解讀1．理解二項(xiàng)分布的試驗(yàn)?zāi)Ｐ停?．利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．考向預(yù)測(cè)1．在選擇題、填空題中考查二項(xiàng)分布及正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)．2．在解答題中考查二項(xiàng)分布的概率，或者綜合考查分布列、均值、方差等．知識(shí)梳理1．進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果滿足以下條件：(1)每次試驗(yàn)只有

的結(jié)果，可以分別稱為“成功”和“失敗”；(2)每次試驗(yàn)“成功”的概率為P，“失敗”的概率為1－P；(3)各項(xiàng)試驗(yàn)是

的．設(shè)X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則P(X＝k)＝

(k＝0,1,2,3…，n)一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述稱X服從參數(shù)為n，P的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為

．兩個(gè)相互對(duì)立相互獨(dú)立的CnkPk(1－P)n－kX～B(n，P)2．正態(tài)分布是現(xiàn)實(shí)中最常見的分布，它有兩個(gè)重要的參數(shù)：

，通常用X～N(μ，σ)表示服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布．當(dāng)μ和σ2給定后，就是一個(gè)具體的正態(tài)分布．正態(tài)分布密度函數(shù)滿足以下性質(zhì)(1)函數(shù)圖像關(guān)于直線

對(duì)稱；(2)

的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝

，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝

，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝

.均值μ，方差σ2(σ>0)x＝μσ(σ>0)68.3%95.4%99.7%基礎(chǔ)自測(cè)1．一臺(tái)X型號(hào)自動(dòng)機(jī)床在一個(gè)小時(shí)內(nèi)不需要工人照看的概率是0.8000，有4臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作，則在一小時(shí)內(nèi)至多2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是()A．0.1536 B．0.1808C．0.5632 D．0.9728[答案]

D[解析]

本小題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算．“一小時(shí)內(nèi)至多2臺(tái)機(jī)床需要工人照看”的事件有0,1,2臺(tái)需要照看三種可能，因此，所求概率為C400.200.84＋C410.210.83＋C420.220.82＝0.9728，或1－(C430.230.8＋C440.240.80)＝0.9728.故應(yīng)選D.[答案]

A[答案]

C4．(2010·廣東理)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.1587C．0.1586 D．0.1585[答案]

B5．(2009·安徽理)若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________.[例1]某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算：(1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；(3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率．(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位)[解析]

(1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率為P5(2)＝C52×0.82×(1－0.8)5－2＝10×0.82×0.23≈0.05.(2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率為1－P5(0)－P5(1)＝1－C50×0.80×(1－0.8)5－0－C51×0.81×(1－0.8)5－1＝1－0.00032－0.0064≈0.99.＝1－0.00032－0.0064≈0.99.(3)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的概率為0．8×C41×0.8×(1－0.8)4－1＝4×0.82×0.23≈0.02.9粒種子分種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5.若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒(méi)有發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種．(1)求甲坑不需要補(bǔ)種的概率；(2)求3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率；(3)求有坑需要補(bǔ)種的概率．(精確到0.001)[分析]本小題主要考查相互獨(dú)立事件和互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．(2011·東北四校聯(lián)考)某學(xué)校到哈爾濱第三中學(xué)參觀學(xué)習(xí)的三名教師被安排到某賓館住宿，這個(gè)賓館剩有三人間、四人間、五人間各一間，三人間每人每天住宿費(fèi)160元，四人間每人每天住宿費(fèi)130元，五人間每人每天住宿費(fèi)100元．每位教師每天都等可能地被安排在三個(gè)房間的任一間，若這三位教師在此賓館連續(xù)住5天．(每天都要重新安排)求：(1)這三位教師第一天被安排在三個(gè)不同房間的概率；(2)這三位教師的住宿費(fèi)之和至少有兩天在320元～370元的概率．(注：結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答)[例3]在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)X服從正態(tài)分布，即X～N(90,100)．(1)試求考試成績(jī)X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?80,100)間的考生大約有多少人？[分析]正態(tài)分布已經(jīng)確定，則總體的期望μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ就可以求出，這樣就可以根據(jù)正態(tài)分布在三個(gè)常見的區(qū)間上取值的概率進(jìn)行求解．[解析]

∵X～N(90,100)，(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是0.954，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成績(jī)X位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率是0.954.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率是0.683，∴考試成績(jī)X位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.683.一共有2000名學(xué)生，∴考試成績(jī)?cè)?80,100)間的考生大約有2000×0.683＝1366(人)．[點(diǎn)評(píng)]

解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟記正態(tài)變量的取值位于區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同時(shí)又要根據(jù)已知的正態(tài)分布確定所給區(qū)間屬于上述三個(gè)區(qū)間中的哪一個(gè).[例4](2009·遼寧理)某人向一目標(biāo)射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為.該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1∶3∶6.擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比．(1)設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的分布列；(2)若目標(biāo)被擊中2次，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求P(A)．[分析](1)考查二項(xiàng)分布；(2)考查互斥事件的概率加法和獨(dú)立事件的概率乘法公式．(2010·四川卷)某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購(gòu)買”字樣，購(gòu)買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買了一瓶該飲料．(1)求甲中獎(jiǎng)且乙、丙沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率；(2)求中獎(jiǎng)人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.[分析]①甲、乙、丙中獎(jiǎng)與否是等可能事件，而甲中獎(jiǎng)與乙，丙未中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的．②中獎(jiǎng)人數(shù)可為0,1,2,3且相互獨(dú)立，由獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率計(jì)算即可．[點(diǎn)評(píng)]

本題主要考查相互獨(dú)立事件，隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念及相關(guān)計(jì)算，考查了運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．1．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n其中p是一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率．實(shí)際上，Cnkpk(1－p)n－k正好是二項(xiàng)式[(1－p)＋p]n的展開式的第k＋1項(xiàng)．2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相等．注意恰好與至多(少)的關(guān)系，靈活運(yùn)用對(duì)立事件．3．二項(xiàng)分布要注意確定成功概率．4．在實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行概率、百分比計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)μ，σ求出，然后確定三個(gè)區(qū)間(范圍)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解．

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