2023八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章三角形的證明4角平分線第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)定理及逆定理教學(xué)設(shè)計(jì)（新版）北師大版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教材分析嘿，親愛的同學(xué)們，今天咱們要一起探索數(shù)學(xué)的奇妙世界，具體來說是北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)的第一章，三角形的證明第四課時(shí)——角平分線的性質(zhì)定理及逆定理。這個(gè)章節(jié)可是三角形證明中的精華，我們要用邏輯的利劍，揭開角平分線的神秘面紗。準(zhǔn)備好了嗎？讓我們一起走進(jìn)這個(gè)充滿挑戰(zhàn)和樂趣的數(shù)學(xué)世界吧！??????核心素養(yǎng)目標(biāo)分析在本節(jié)課中，我們旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)角平分線的性質(zhì)定理及逆定理，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，提升邏輯思維和推理能力，學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決實(shí)際問題。同時(shí)，通過小組合作探究，學(xué)生還能培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作和溝通能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

同學(xué)們?cè)谶M(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的基本性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)。這些知識(shí)為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，特別是對(duì)于全等三角形的判定方法，如SSS、SAS、ASA、AAS和HL，以及相似三角形的判定方法，如AA和SAS，這些都是在證明角平分線性質(zhì)時(shí)需要用到的。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

我們的學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，他們樂于探索數(shù)學(xué)規(guī)律，喜歡通過邏輯推理解決問題。在能力方面，他們已經(jīng)具備了一定的幾何證明能力，但面對(duì)更復(fù)雜的證明問題時(shí)，可能會(huì)感到一些挑戰(zhàn)。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的同學(xué)更傾向于獨(dú)立思考，有的則更偏好小組合作，因此在教學(xué)中，我會(huì)嘗試結(jié)合這兩種風(fēng)格，讓每個(gè)學(xué)生都能找到適合自己的學(xué)習(xí)路徑。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在理解角平分線的性質(zhì)定理及逆定理時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難：一是對(duì)角平分線概念的理解不夠深入，二是難以將定理應(yīng)用于具體的證明過程中，三是面對(duì)逆定理時(shí)，可能不清楚如何構(gòu)造滿足條件的圖形。為了幫助學(xué)生克服這些困難，我將通過實(shí)例講解、小組討論和練習(xí)題等多種教學(xué)方法，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握這些定理。教學(xué)資源-白板或黑板，用于繪制幾何圖形和證明過程

-直尺、圓規(guī)等幾何工具，供學(xué)生動(dòng)手操作

-角平分線性質(zhì)定理及逆定理的教學(xué)課件

-多媒體投影儀，用于展示課件內(nèi)容

-幾何軟件，如Geogebra，用于動(dòng)態(tài)演示定理

-學(xué)生練習(xí)冊(cè)和參考書，提供課后練習(xí)和鞏固

-小組合作學(xué)習(xí)材料，如分組討論記錄表

-互聯(lián)網(wǎng)資源，如數(shù)學(xué)教育網(wǎng)站，用于拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

-詳細(xì)內(nèi)容：

"同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了三角形的一些基本性質(zhì)，今天我們要探討的是三角形中的另一個(gè)重要元素——角平分線。大家還記得角平分線的定義嗎？它是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，將這個(gè)頂點(diǎn)的角平分成兩個(gè)相等角的線段。今天，我們就來一起研究角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，看看它們是如何幫助我們更好地理解三角形的性質(zhì)的。"

2.新課講授

-詳細(xì)內(nèi)容：

a."首先，我們來看角平分線的性質(zhì)定理。我將使用白板，一步步地展示這個(gè)定理的證明過程。首先，畫出三角形ABC，然后畫出角BAC的角平分線BD。接下來，我們將證明BD將AC平分。"

b."在講解完性質(zhì)定理后，我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生思考逆定理。逆定理告訴我們，如果一條線段平分了一個(gè)三角形的兩邊，那么它也平分了這兩個(gè)邊所對(duì)的角。我會(huì)通過一個(gè)具體的例子來解釋這個(gè)逆定理，并強(qiáng)調(diào)它與性質(zhì)定理之間的聯(lián)系。"

c."最后，我會(huì)簡(jiǎn)要介紹這兩個(gè)定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，比如在建筑設(shè)計(jì)、工程測(cè)量等領(lǐng)域，角平分線的性質(zhì)定理和逆定理是如何被應(yīng)用的。"

3.實(shí)踐活動(dòng)

-詳細(xì)內(nèi)容：

a."現(xiàn)在，請(qǐng)大家拿出自己的幾何工具，嘗試自己證明角平分線的性質(zhì)定理。在小組內(nèi)討論，看看你們能否找到不同的證明方法。"

b."接下來，我將提供一個(gè)實(shí)際問題，要求同學(xué)們運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理來解決問題。比如，在一個(gè)三角形中，已知一條角平分線，要求找出與這條角平分線對(duì)應(yīng)的內(nèi)角。"

c."最后，我會(huì)讓學(xué)生們嘗試構(gòu)造滿足角平分線逆定理的圖形。給出一些特定的三角形，讓學(xué)生們找出能夠平分三角形的兩邊且平分對(duì)應(yīng)角的角平分線。"

4.學(xué)生小組討論

-寫3方面內(nèi)容舉例回答：

a."討論如何證明角平分線的性質(zhì)定理時(shí)，學(xué)生們可能會(huì)提出以下觀點(diǎn)：通過證明兩個(gè)三角形全等來證明角平分線將第三邊平分。"

b."在解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生們可能會(huì)討論如何選擇合適的定理來解決問題，例如，如何判斷一個(gè)角平分線是否能夠存在。"

c."在構(gòu)造滿足逆定理的圖形時(shí)，學(xué)生們可能會(huì)討論如何利用對(duì)稱性來找到角平分線，以及如何利用尺規(guī)作圖的方法來驗(yàn)證自己的構(gòu)造。"

5.總結(jié)回顧

-內(nèi)容：

"今天，我們學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，這兩個(gè)定理是三角形證明中的重要工具。通過今天的課程，我希望大家能夠掌握以下幾點(diǎn)：首先，理解角平分線的定義和性質(zhì)；其次，學(xué)會(huì)證明角平分線的性質(zhì)定理和逆定理；最后，能夠?qū)⑦@些定理應(yīng)用到解決實(shí)際問題中。在課后，請(qǐng)大家完成練習(xí)冊(cè)中的相關(guān)題目，鞏固今天所學(xué)的內(nèi)容。"

用時(shí)：45分鐘學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.**知識(shí)掌握與應(yīng)用**：

-學(xué)生們能夠準(zhǔn)確地理解和掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的定義。

-學(xué)生們能夠運(yùn)用這些定理進(jìn)行幾何證明，解決與角平分線相關(guān)的實(shí)際問題。

-例如，學(xué)生能夠證明在三角形中，角平分線將對(duì)邊平分，以及能夠構(gòu)造滿足逆定理?xiàng)l件的圖形。

2.**邏輯思維能力提升**：

-學(xué)生們?cè)谧C明過程中，鍛煉了邏輯推理和演繹能力。

-通過分析角平分線的性質(zhì)定理，學(xué)生們學(xué)會(huì)了如何從已知條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)出結(jié)論。

-這種邏輯思維能力對(duì)于解決更復(fù)雜的幾何問題至關(guān)重要。

3.**幾何構(gòu)造與作圖能力**：

-學(xué)生們通過實(shí)際操作，提高了使用幾何工具進(jìn)行作圖的能力。

-在實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)，學(xué)生們學(xué)會(huì)了如何利用尺規(guī)作圖來驗(yàn)證角平分線的性質(zhì)。

-這種作圖能力對(duì)于理解和應(yīng)用幾何知識(shí)具有實(shí)用性。

4.**小組合作與溝通能力**：

-在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生們學(xué)會(huì)了如何與他人合作，共同解決問題。

-學(xué)生們通過分享和討論，能夠更好地理解彼此的思路，提高了溝通能力。

-這種合作精神對(duì)于未來學(xué)習(xí)和工作都是非常重要的。

5.**問題解決能力的增強(qiáng)**：

-學(xué)生們通過解決實(shí)際問題，如設(shè)計(jì)一個(gè)具有特定角度的角平分線的圖形，提高了問題解決能力。

-學(xué)生們學(xué)會(huì)了如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決。

-這種能力對(duì)于他們?cè)跀?shù)學(xué)和其他學(xué)科中的學(xué)習(xí)都是有益的。

6.**學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)力**：

-通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生們對(duì)幾何學(xué)產(chǎn)生了更濃厚的興趣。

-學(xué)生們認(rèn)識(shí)到幾何學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值，從而增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

-這種興趣和動(dòng)力將有助于他們?cè)谖磥淼膶W(xué)習(xí)中保持積極的態(tài)度。內(nèi)容邏輯關(guān)系①角平分線的定義及其性質(zhì)：

-定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，將該頂點(diǎn)的角平分成兩個(gè)相等角的線段。

-性質(zhì)：角平分線將對(duì)邊平分。

②角平分線的性質(zhì)定理：

-定理內(nèi)容：在三角形中，角平分線將對(duì)邊平分。

-關(guān)鍵詞：角平分線、三角形、對(duì)邊、平分。

-關(guān)鍵句：角平分線將對(duì)邊平分，即角平分線上的點(diǎn)到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

③角平分線的逆定理：

-定理內(nèi)容：如果一條線段平分了一個(gè)三角形的兩邊，那么它也平分了這兩個(gè)邊所對(duì)的角。

-關(guān)鍵詞：線段、三角形、平分、邊、角。

-關(guān)鍵句：平分三角形的兩邊的線段，也平分了這兩邊所對(duì)的角。

④角平分線的性質(zhì)定理的證明：

-證明方法：利用全等三角形的判定方法（如SAS、AAS等）。

-關(guān)鍵詞：全等三角形、SAS、AAS、角平分線、三角形。

⑤角平分線的逆定理的證明：

-證明方法：通過構(gòu)造輔助線，證明三角形全等，進(jìn)而證明角平分線。

-關(guān)鍵詞：輔助線、三角形全等、角平分線。

⑥角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的應(yīng)用：

-應(yīng)用場(chǎng)景：幾何證明、解決實(shí)際問題。

-關(guān)鍵詞：幾何證明、實(shí)際問題、角平分線、三角形。課后作業(yè)為了鞏固學(xué)生對(duì)角平分線性質(zhì)定理及其逆定理的理解和應(yīng)用，以下是一些課后作業(yè)題目：

1.**證明題**：

-題目：在三角形ABC中，D是角BAC的角平分線與邊BC的交點(diǎn)，證明AD平分BC。

-解答：證明過程如下：

1.連接BD和CD。

2.因?yàn)锽D是角BAC的角平分線，所以∠ABD=∠CBD。

3.在ΔABD和ΔCDB中，有∠ADB=∠CDB（對(duì)頂角相等），AB=CB（題目條件），∠ABD=∠CBD（步驟2）。

4.根據(jù)SAS全等條件，ΔABD?ΔCDB。

5.因此，AD=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。

2.**應(yīng)用題**：

-題目：在ΔABC中，角平分線AD將邊BC平分于點(diǎn)D，若AB=6cm，AC=8cm，求AD的長(zhǎng)度。

-解答：由角平分線的性質(zhì)定理知，AD平分BC，所以BD=DC。

1.設(shè)BD=DC=x。

2.則BC=2x。

3.在ΔABD和ΔACD中，由角平分線定理知，∠BAD=∠CAD。

4.由于AB=6cm，AC=8cm，根據(jù)角平分線定理，BD/AB=DC/AC。

5.即x/6=x/8。

6.解得x=3cm。

7.因此，AD=BD=3cm。

3.**構(gòu)造題**：

-題目：在ΔABC中，角平分線AD將邊BC平分于點(diǎn)D，構(gòu)造一個(gè)ΔAED，使得∠AED=∠BAC，且AD=AE。

-解答：構(gòu)造過程如下：

1.以A為圓心，以AD為半徑畫一個(gè)圓。

2.以D為圓心，以AD為半徑畫另一個(gè)圓。

3.兩個(gè)圓交于點(diǎn)E。

4.連接AE和DE。

5.由于AD=AE（都是圓的半徑），且∠AED=∠BAC（圓周角定理），所以ΔAED滿足題目條件。

4.**綜合題**：

-題目：在ΔABC中，角平分線AD將邊BC平分于點(diǎn)D，若AB=5cm，AC=10cm，證明ΔABD?ΔACD。

-解答：證明過程如下：

1.連接BD和CD。

2.因?yàn)锽D是角平分線，所以∠ABD=∠CBD。

3.在ΔABD和ΔCDB中，有∠ADB=∠CDB（對(duì)頂角相等），AB=CB（題目條件），∠ABD=∠CBD（步驟2）。

4.根據(jù)SAS全等條件，ΔABD?ΔCDB。

5.因此，AD=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。

6.由于AD是角平分線，所以ΔABD?ΔACD。

5.**拓展題**：

-題目：在ΔABC中，角平分線AD將邊BC平分于點(diǎn)D，若ΔABC是等腰三角形，證明AD垂直于BC。

-解答：證明過程如下：

1.因?yàn)棣BC是等腰三角形，所以AB=AC。

2.由于AD是角平分線，所以∠BAD=∠CAD。

3.在ΔABD和ΔACD中，有AB=AC（等腰三角形的性質(zhì)），AD=AD（公共邊），∠BAD=∠CAD（步驟2）。

4.根據(jù)SAS全等條件，ΔABD?ΔACD。

5.因此，∠ADB=∠ADC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）。

6.由于∠ADB和∠ADC是補(bǔ)角，所以它們互為直角，即AD垂直于BC。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

今天我們學(xué)習(xí)了三角形中一個(gè)重要的概念——角平分線，以及它的性質(zhì)定理和逆定理。以下是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容：

1.**角平分線的定義**：角平分線是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，將該頂點(diǎn)的角平分成兩個(gè)相等角的線段。

2.**角平分線的性質(zhì)定理**：在三角形中，角平分線將對(duì)邊平分。這意味著角平分線上的點(diǎn)到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

3.**角平分線的逆定理**：如果一條線段平分了一個(gè)三角形的兩邊，那么它也平分了這兩個(gè)邊所對(duì)的角。

4.**證明方法**：我們學(xué)習(xí)了如何通過全等三角形的判定方法（如SAS、AAS等）來證明角平分線的性質(zhì)定理。

5.**應(yīng)用實(shí)例**：我們通過實(shí)例看到了角平分線性質(zhì)定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，如建筑設(shè)計(jì)、工程測(cè)量等。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.**選擇題**：

-在ΔABC中，D是角BAC的角平分線與邊BC的交點(diǎn)，以下哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？

A.AD=BC

B.BD=DC

C.AB=AC

D.∠BAD=∠CAD

-答案：B、D

2.**填空題**：

-在ΔABC中，角平分線AD將邊BC平分于點(diǎn)D，若AB=6cm，AC=8cm，則AD的長(zhǎng)度為____cm。

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