撫州市2024-2025學(xué)年度上學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

高二數(shù)學(xué)試題卷

說(shuō)明：1.本卷共有4大題，19個(gè)小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分.

一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)符合題

目要求.

1.已知直線4：x+2y=O,‘2?+力+1=0,若4U,則a+2b=()

A.0B.1C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用垂直的關(guān)系可得斜率之積為-1,即可得解.

【詳解】由直線4：x+2y=O,4：*+勿+1=0，滿足/i，，2可得，

-gx1一力=-1,可得4+26=0,

故選：A.

2.圓心為(4,0)且過(guò)點(diǎn)(0,-3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.x2+(J-4)2=25B.Y+(y+4『=25

C.(x-4)2+v2=25D.(X+4)2+V2=25

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)各項(xiàng)給定圓的方程確定圓心，判斷(0,-3)是否在圓上即可.

【詳解】由V+(y—4)2=25的圓心為(0,4),A錯(cuò)；

由/+(了+4)2=25的圓心為(0,-4),B錯(cuò)；

由(x—4)?+/=25的圓心為(4,0),顯然點(diǎn)(0,—3)在圓上，C對(duì)；

由(x+4『+y2=25的圓心為(―4,0),D錯(cuò)；

故選：c.

2_

3.設(shè)片，乙為橢圓C：土+/=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，若兩?麗=0,則戶公卜忙閭=()

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)條件得到a=2,b=l,c=M，設(shè)PR=m,PF2=n,再利用橢圓的定義及條件得到m+n=4

且加2+/=QK)2,即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)闄E圓C:亍+「=1,所以。=2,6=1,°=百

又因?yàn)辂?庵=0,所以可，成，即尸片，尸鳥(niǎo)，

設(shè)PF[=ni,PF2=n,則加+“=4①，且加？+/=0百＞②，

由①2—②得到2加〃=4,即加〃=2,所以歸7訃歸月|=2,

故選：B.

4.如圖，三棱錐。一45C中，O4^a＞OB^b＞雙=1，且而=|■方，CN=~CB,則疝■=()

【答案】C

【解析】

【分析】利用空間向量的運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】如圖所示:

MN=MO+OC+CN

=-OM+OC+-CB

2

=-jtZ4+OC+1（O5-OC）

=--OA+-OB+-OC

422

3-1r1-

---ClH--bH--C.

422

故選：C.

5.若（2x—1）-=4+%（X—1）+%（X—1）2+%（X—1）3+°4（X—1）4+%（X—1）5，則下列結(jié)論中正確的是

（）

A.a0=-lB.%=-80

1-310

5

C.Ia0I+I?1I+I?2I+I?3I+I?4I+I?51=3D.（4+&+%）（4+。3+。5）=―--

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法逐項(xiàng)計(jì)算判斷.

【詳解】對(duì)于A,取x=l,得/=15=1,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,[2（x-1）+1『展開(kāi)式中（x—項(xiàng)的系數(shù)為C>24=80,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,二項(xiàng)式[2（x-1）+1『展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)均為正，取x=2,

得|<7Q|+|%|+|%I+I。3I+I。4I+I。51=。0++。2+。3+。4+。5=3，，C正確；

對(duì)于D,取X=2,得%+4]+%+。3+。4+。5=3、，取X=0,得/—%+%—。3+。4—。5=-L

,35-135+1310-1

聯(lián)AL解得/+%+%=2,%+%+%=——，因此3>+。2+%）（%+%+?5）=——，D錯(cuò)誤.

故選：C

6.已知過(guò)原點(diǎn)的直線/與圓C:（x—37+（了—4）2=49相交于4臺(tái)兩點(diǎn)，則14sl的最小值為（）

A.6B.V39C.4亞D.4V6

【答案】D

【解析】

【分析】判斷原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再由最小有直線co,最后應(yīng)用幾何法求弦長(zhǎng)即可.

【詳解】由（0—3丫+（0—4）2=25<49,即原點(diǎn)在已知圓內(nèi)部，且圓心。（3,4）,廠=7,

若原點(diǎn)為。，要使|48|最小，只需直線/八CO,而|CO|=,32+使=5,

所以最小朋=2x749-25=4痣.

故選：D

7.在“文化撫州，夢(mèng)想之舟”半程馬拉松比賽中，某路段設(shè)三個(gè)服務(wù)站，某高校5名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)

服務(wù)點(diǎn)做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)服務(wù)點(diǎn)，每個(gè)服務(wù)點(diǎn)至少1人，則不同的安排方法共有（）

A.25種B.150種C.300種D.50種

【答案】B

【解析】

【分析】利用先分組后分配來(lái)解題，分組中要注意均分組消序思想.

【詳解】五名同學(xué)分三個(gè)小組，

「2「201

若按2人，2人，1人來(lái)分有5.11=15種,

A?

若按3人，1人，1人來(lái)分有C；=10種,

再把這三個(gè)小組排列到三個(gè)服務(wù)站去共有A；=6種，

所以每個(gè)服務(wù)點(diǎn)至少有1人的不同安排方法有：（15+10）x6=150種,

故選：B.

22

8.如圖，己知巧，耳是雙曲線C二—二=1的左、右焦點(diǎn)，P,。為雙曲線。上兩點(diǎn)，滿足片尸〃鳥(niǎo)。，且

ao

優(yōu)@=|月P|=3陽(yáng)H，則雙曲線C的離心率為（）

V15n而

32

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得f=a，進(jìn)而可得/公尸'。=/公尸耳=90°,結(jié)合勾股定理運(yùn)算

求解.

【詳解】延長(zhǎng)。耳與雙曲線交于點(diǎn)P，

因?yàn)槎稰〃gP,根據(jù)對(duì)稱性可知陽(yáng)尸卜\F2P'\,

設(shè)區(qū)尸[=|4P]=f,則內(nèi)尸|=|VQ|=3f,

可得|金尸|—閨0|=2/=2a,即f=a,

所以|p0=4/=4a,則依圖=|Q工|+2a=5a,陽(yáng)P[=|gP|=3a,

即尸?！?閨=|。片?？芍?片尸坦=/片尸巴=90°,

在△0百心中，由勾股定理得|用+閨p「=|片瓦「

即/+（3°）2=4C2,解得0=：=孚.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.雙曲線離心率（離心率范圍）的求法

求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把6

用a,c代換，求e=￡的值；

a

2.焦點(diǎn)三角形的作用

在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái).

二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分.

9.已知空間向量浣=（—1,2,4）,3=（2,—4,x）,則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.當(dāng)加〃時(shí),x=3B.當(dāng)機(jī)//〃時(shí)，x=—8

C.當(dāng)麻+R=舊時(shí)，X=—3D.當(dāng)％=1時(shí),sin(m,77

7

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直、平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)判斷A、B；應(yīng)用向量坐標(biāo)加法及模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算列

方程求參數(shù)判斷C；由向量夾角的坐標(biāo)表示求余弦值，進(jìn)而確定正弦值判斷D.

【詳解】A：m.Ln則—2—8+4x=0,可得x=錯(cuò)；

2-4x

B：mIIn，則———=—,可得X=-8，對(duì)；

-124

C：|加+〃卜J1+4+(4+X)2=戈，可得％=—3或％=—5,錯(cuò);

1

D：x=l,則】=(2,-4,1),故cos(%,〃)—2—8+4~>貝Jsin(掰,〃)=孑*，對(duì).

721x721

故選：BD

10.如圖，在直三棱柱NBC—451G中，NB4c=90°,AB=4C=6,M=2,尸,G分別是棱8C,

C.存在點(diǎn)。，滿足ADJ.EFD.三棱錐￡>-EEG的體積不變

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)已知易得8MG為平行四邊形，有EF11BG,應(yīng)用線面平行的判定判定A；由直線與面

2所G相交判斷B；假設(shè)ADLEF,即BDL8G,令"D=xe[0,2]并應(yīng)用勾股定理列方程求解判斷C；

首先證與G//平面E/G,再由棱錐的體積公式判斷D.

【詳解】由題設(shè)，易得8。。田1是邊長(zhǎng)為2的正方形，豆GFIIB&IIBC,G/=：4G=；8C,

又E是5c的中點(diǎn)，則GE//8E且G尸=5￡,故BEbG為平行四邊形，

所以跖//BG,￡/a面44￡3,26匚面44田田，則所//平面4448,A對(duì)；

由上分析知，面ENG即為面BEPG,顯然直線RD與面BEFG相交，B錯(cuò)；

由EF//BG,若BDLEF,即8DL8G,

令用。=xe[0,2],則5。2=/+4，GZ）2=x2+l-2xcos45°=x2-V2x+b

而5G2=5，則BQ2+BG2=G￡>2,即8+岳=0，顯然無(wú)解，C錯(cuò)；

由G尸〃8G,8]G（z面斯G,G廠u面ERG,則4。"/平面所G,

又。在線段AG上，故。到面EEG距離為定值，且△￡/??的面積為定值,

所以三棱錐。-EEG的體積不變，D對(duì);

故選：AD

11.天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：在同一平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)

的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線.己知兩定片（-2,0）,7^（2,0）,動(dòng)點(diǎn)網(wǎng)叫）,打）滿足|尸片|忖聞=4,設(shè)p的

軌跡為曲線C,下列說(shuō)法中正確的有（）

A.P的橫坐標(biāo)最大值是2B.曲線C既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形

C.存在點(diǎn)P,使得坨，尸gD.△片尸￡面積最大值2

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用軌跡方程的代數(shù)關(guān)系來(lái)證明相關(guān)選項(xiàng)，對(duì)于A利用縱坐標(biāo)放縮去求橫坐標(biāo)范圍，對(duì)于B則利

用-不，-%的代入檢驗(yàn)就可作出判斷，對(duì)于C則利用方程組消元看看是否有解，對(duì)于D,則利用定義來(lái)求

面積，只需要看是否存在直角.

【詳解】由|助卜|年|=4可得：J（X°+2）2+*.J（X。-2『+胃=4,

即[（X；+Jo+4）+4/][卜；+*+4）-4%]=16,

即（%；+需+4）-16XQ=16=>卜；+y；+4）=16+1）=>x；+需+4=4&+1,

則Jo=—x；+4&；+1-4，

對(duì)于A,由—x；+4Jx；+1-4N0,得x；+4W4舊+1，

平方展開(kāi)化簡(jiǎn)得：解得-2也

即P的橫坐標(biāo)最大值是2后，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由（一玉,,一及））滿足（x；+y；+4）2-16x；=16，所以曲線。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又由（一%,%）），（%,—%）也滿足（X：+元+47-16x；=16，所以曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故B正確;

對(duì)于C,若存在點(diǎn)尸，使得PFJPB，則有后+為2=4,

又由于貝ijy；=—"+4收+1—4聯(lián)立,消去蘇可得：

4-X：=-x；+4Jx；+1-4=>Jx；+1=2=>片=3,即有解，所以存在點(diǎn)P,故C正確；

對(duì)于D,S△々咤=：|「周|P7^sin6=2sin。，△為隼面積最大值2,由選項(xiàng)C可知，

7T

存在，=女的最大值點(diǎn)尸，故D正確.

2

故選：BCD.

三、填空題：共3小題，每題5分，共15分.

22

12.雙曲線上+上一=1的離心率為2,求加=.

mm+1

3

【答案】--##-0.75

4

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的方程及離心率公式列方程求參數(shù)值即可.

【詳解】由題設(shè)，易知加<0<加+1,則a=Ym+\,b=J一加，所以c=l,

c13

由一二^^^=2,可得加=——.

aVm+14

3

故答案為：-■-

4

13.設(shè)〃為正整數(shù)，—々J展開(kāi)式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】112

【解析】

【詳解】由展開(kāi)式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大得〃=8則=C；(-2)'產(chǎn)4"令

8-4r=0,r=2則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C；(-2『=112

14.在平面凸四邊形N8CD中，CB=CD=4i，AB=AD,且/切。=60。，ZBCD=90°,將四邊形

n2兀

4BCD沿對(duì)角線AD折起，使點(diǎn)/到達(dá)點(diǎn)E的位置.若二面角￡-AD-C的大小范圍是,則三棱

33

錐E-BCD的外接球表面積的取值范圍是.

16兀52兀

【答案】~T，~9~

【解析】

【分析】取5。中點(diǎn)Q，連接QE，取△￡5。的外心。廠過(guò)點(diǎn)&作/，平面8C。，過(guò)點(diǎn)已作。。，平

面EBD交/于點(diǎn)0,進(jìn)而確定球心的位置及二面角C的平面角為NEQC并確定范圍，利用幾何

關(guān)系求球體半徑，即可得球體表面積的范圍.

【詳解】由題意知，△28。和△￡5。是等邊三角形，

取中點(diǎn)。2,連接0￡，取△￡8。的外心則Q是△BCD的外心,

過(guò)點(diǎn)。2作/，平面BCD,則三棱錐E-BCD的外接球球心在I上

過(guò)點(diǎn)。作0,01平面EBD交/于點(diǎn)。，則點(diǎn)。即為三棱錐E-BCD的外接球球心,

由5￡>_LQC,知，NE。2c為二面角后一助一。的平面角，則/后。2。?

712兀7171

設(shè)/02則0V8Vmax<]?

。。\=。，7T-26

Xoo=1x73x-=—,所以0。2=烏烏=1ce

1233cos，43cos6[33

因?yàn)镼。，平面CB。，3￡＞u平面C8。，所以。2。，助，

所以三棱錐￡—BCD的外接球半徑上=Q爐+。戈=1+。0；e

1久co

所以三棱錐E-BCD外接球的表面積S=4兀氏2e—^―,—^―.

,,_.「167r52兀

故答案為sl：—

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)球心的性質(zhì)確定位置，并求出二面角￡-HD-C的平面角/EQ。的范圍為關(guān)

鍵.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.解答寫

在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).

2

15.設(shè)直線/1:mx+3my-6=0Z2:^4-m^x+my+m-4m=0.

（1）若〃〃2,求/「42之間的距離；

（2）當(dāng)直線4與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形的面積最大時(shí)，求加的值.

【答案】（1）叵;

10

（2）m-2.

【解析】

【分析】（1）由直線平行的判定列方程求參數(shù)，再由平行線的距離公式求距離；

12

（2）根據(jù)已知可得0＜加＜4,再由三角形面積公式有S=-萬(wàn)（掰-2）'+2,即可確定面積最大時(shí)加的值.

【小問(wèn)1詳解】

由〃/右，則加2-3加一（4一加）=0,化簡(jiǎn)得4加2一12加=0，可得加=0或加=3,

當(dāng)加=0時(shí)，不成立，

當(dāng)加=3時(shí)，4:x+3y—2=0,，2：x+3y—3=0,

-2--3V10

此時(shí)IJ之間的距離為d=:.

Vl2+3210

【小問(wèn)2詳解】

fm>0

??.直線4與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形，八，則0〈加<4,

4-m>0

119

.../2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為5=5加（4-加）=-5（掰-2）~+2,

...當(dāng)掰=2時(shí)，S有最大.

16.已知。為原點(diǎn)，直線x+2y—3=0與圓C：/+了2+x—6y+掰=0交于P、0兩點(diǎn).

（1）若|尸。|=2不，求加的值；

（2）若過(guò)。點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為M、N,求四邊形。NCW面積的最大值.

37

【答案】（1）1（2）—

8

【解析】

【分析】（1）利用垂徑定理來(lái)求直線與圓相交的弦長(zhǎng)，從而可得方程求解加的值；

（2）利用勾股定理來(lái)求切線長(zhǎng)，從而可計(jì)算面積，然后可用基本不等式來(lái)求最值即可.

【小問(wèn)1詳解】

由圓x?+J?+x—6.y+加=0可得:

圓心為半徑其中加<心

(1、一±+6—3r

而圓心一萬(wàn),3到直線x+2v-3=0的距離4_2_止

I'V174

所以盧。|=2個(gè)戶—d?=2『714加一=2々，解得切=1,

即加的值為1.

【小問(wèn)2詳解】

0C\=JQI+32=半由（1）可矢口r二包/2,

由勾股定理可得|（W|=J。。？一/衛(wèi)-37-4加=標(biāo)

44

四邊形ONCN由兩個(gè)全等的直角三角形組成。所以

,______,__________,__________37

gor」37-4m/（37-4加）I<37Am+--m37

21122q（4J28

37

當(dāng)且僅當(dāng)加二——時(shí)成立

8

3737

所以當(dāng)加二—四邊形ONCM有最大面積—.

88

22

17.已知拋物線E：「=2px（）〉0）與雙曲線:-5=1的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為。，且。點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為3.

（1）求拋物線￡的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)（2,1）作一直線交拋物線￡于4臺(tái)兩點(diǎn)，求弦48的中點(diǎn)軌跡方程.

【答案】（1）y2=4x；

【解析】

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,%）,由點(diǎn)在雙曲線的漸近線上確定點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)在拋物線上求參數(shù)，

即可得方程；

（2）設(shè)/（石,%），5（%,8），中點(diǎn)M（x,y）,弘+%=2了，結(jié)合斜率兩點(diǎn)式及點(diǎn)差法得到2廣義二=4,

x-2

整理即可得軌跡，注意驗(yàn)證lx軸的情況.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,%）,因?yàn)辄c(diǎn)。在第一象限，所以丸〉0,

雙曲線口-/=1的漸近線方程為y=±孚X，

因?yàn)辄c(diǎn)。在雙曲線的漸近線上，所以比=26，所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,26）

又點(diǎn)0（3,26）在拋物線歹2=2.上，所以12=2夕x3,所以0=2,

設(shè)/($,%),5(x2,y2),中點(diǎn)M(x,力,yt+y2=2y,

7y-1Vi-y

若直線/的斜率存在，9

x-2x；-x2

由%2=4苞，只=4%，則（必一%）（乂+%）=4（再一%2），

所以2y**=4,即2y-3=4,

（X,-x2）x-2

整理得y2_、=2x_4,化簡(jiǎn)得=2x-^,

直線/的斜率不存在，48lx軸，弦48中點(diǎn)為（2,0）也符合,

綜上：軌跡方程為—=2》—

18.如圖，在三棱錐尸—Z8C中，AB1AC,APLBP,CALAP,BC=#，M、N分別為PB、

PA中點(diǎn).

（1）證明：BPLAC-,

（2）證明：平面CW與平面的交線///平面尸28；

（3）若PA=PB,二面角C—MN—/的正切值為2,求ZC的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析（3）1

【解析】

【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直即可得證；

（2）利用線面平行的判定和性質(zhì)定理來(lái)進(jìn)行推理證明即可；

（3）先把二面角的正切值轉(zhuǎn)化為余弦值，再利用空間向量法來(lái)求解二面角的余弦值，從而得到方程求解邊

長(zhǎng)，也可以利用空間關(guān)系來(lái)證明線面垂直，并作圖證明二面角的平面角，再求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閆C_L/8,ACLAP,ABIAP=A,/瓦/Pu平面尸

所以NC,平面尸48,又因?yàn)镻Bu平面尸48,所以「

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镹分別是PB,PZ的中點(diǎn)，

所以〃N〃4B,因?yàn)?8u平面48C，平面48C,

即“N//平面48C,又因?yàn)镸Nu平面MVC,而平面兒加。口平面48。=/,

所以MN〃/,而上W<z平面尸48,平面尸48,

所以///平面04B；

【小問(wèn)3詳解】

解法一：以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，48,ZC所在直線為xj坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

由（2）知，/CJ_平面尸48且/Cu平面48C,故平面N8CJ,平面尸45,

平面的法向量吊=（0,1,0）,

設(shè)AB=2a,則如=,5-4/,C（0,，5—44,0卜

N?,。,1),則CN=1,一,5—4°2,1J,=(1,0,0)

%?NM=0

設(shè)平面CMN法向量”=（x，F(xiàn)，z）,則——

々?CN=0

設(shè)二面角C—MN—/的平面角為8,已知tan6=2,所以（：056=好

5

解得：a=l.（設(shè)/C=a也同樣可以）

解法二：延長(zhǎng)MV,過(guò)C作CHLMN于〃點(diǎn)，連接/笈，過(guò)尸作PGL48于G點(diǎn)

■.■MN//AB,AB1AC:.MNVAC

.?.皿_1_面2。笈，MNVAH,

.,./zj/c為c—MN—/所成的二面角e

Ara

設(shè)ZC=a,,?,二面角C—MV—4的正切值為2,則——=2得AH=—

AH2

△PAB中P4=PB，PA1PB.\APAB為等腰直角三角形，

PG=a,AB-2Q

在VZ8C中，Ag2+ZC2=5。2,代入得〃+（2。）2=5,

解得：a—1,.1.AC=1.

19.如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)球a,Q，它們都與圓錐的側(cè)面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這

兩個(gè)球都與平面a相切，切點(diǎn)分別為公，修，數(shù)學(xué)家丹德林利用這個(gè)模型證明了平面a與圓錐側(cè)面的交線

為橢圓，記為「，々，鳥(niǎo)為橢圓「的兩個(gè)焦點(diǎn).設(shè)直線耳腦分別與該圓錐的母線交于48兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的母

線分別與球。1，。2相切于兩點(diǎn)，已知|ZC|=2—若，|2必=2+J8.以直線片用為x軸，在平面a內(nèi),

以線段公耳的中垂線為V軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

s

(i)求橢圓r的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)作斜率不為0的直線/,直線/與橢圓「交于P,。兩點(diǎn)，43分別為橢圓左右頂點(diǎn)，記NP

的斜率為左，時(shí)的斜率為加求出3

(3)已知8為橢圓r的右頂點(diǎn)，直線/與橢圓r相交于M,N兩苴(M,N兩點(diǎn)異于B&),豆BMLBN,

求的面積最大值?

2

【答案】⑴—+J=1；

4

(2)-；

3

⑶竺

25

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題設(shè)有|/月|+|/月|=|/。+|/刈=2°=4、,口―MC=2G=2c求橢圓參數(shù)，即可

得橢圓方程;

3

(2)設(shè)Q(x2,y2),/的方程為x=(y+l,聯(lián)立橢圓及韋達(dá)定理可得%%=](%+%)，再

k.Ji(ty-1)

由斜率的兩點(diǎn)式有廣=一:/2;整理化簡(jiǎn)即可得結(jié)果;

k2%依+3)

(3)設(shè)直線/為x=@+加(加豐2),聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理及向量垂直的坐標(biāo)表示可得關(guān)于參數(shù)后，加

的方程，即可求參數(shù)加=：,進(jìn)而確定直線/過(guò)定點(diǎn)，最后三角形面積公式得關(guān)于左的表達(dá)式，即可求最大

值.

【小問(wèn)1詳解】

22

設(shè)橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+4=1(。〉0,6〉0)，