機(jī)密★啟用前

江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校2025屆高三第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

本試卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，

寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單選題：（每小題5分，共40分.每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一項(xiàng)是符合題意）

N=[xeN|>=—^―eN],8={x|logjx<-1}.

1.已知〔x+2J5則AcB=（）

A.（2,6]B,{0,1}C,（2,6）D.{4}

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共匏復(fù)數(shù)為亍，若彳=含，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（）象限

A.-B.二C.=D.四

3.已知sin8+cose=，,貝|tan8+---=（）

2tan。

4881

A.-B.——C.-D.一一

3332

4.已知平面內(nèi)不共線的三個(gè)向量z、石、"兩兩夾角相等，且￡為單位向量，W=2（|=4,則

|2口一3+4的值為（）

A.2百B.6C.3GD.7

5.從1,2,……，10中取三個(gè)不同的數(shù)，按從小到大的順序排列，組成的數(shù)列是等差數(shù)列的概率為

（）

1111

A.-B.—C.-D.一

31246

6.已知點(diǎn)M、N在圓卡+「—2y—3=0上，點(diǎn)尸在直線Gx—y—3=0上，點(diǎn)。為"N中點(diǎn)，若

|"N|=20,則|尸。|的最小值為（）

A.V2B.2-73C.2-72D.V3

7.已知雙曲線C：；-1=1的兩焦點(diǎn)分別為《、F2,過右焦點(diǎn)月作直線/交右支于A、B點(diǎn)、,且

ab

-----*------?71

AB=3AF2,若/F1AB二,則雙曲線。的離心率為（）

8.已知可導(dǎo)函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,/'（X）是/（x）的導(dǎo)函數(shù)，且/（2x—1）為偶函數(shù)/'（2x+l）為奇

函數(shù)，/（0）=1,則廣（2024）+廣（2025）+廣（2026）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.比較兩組測(cè)量尺度差異較大數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，常使用離散系數(shù)，其定義為：離散系數(shù)=?等.某

均值

地區(qū)進(jìn)行調(diào)研考試，共20000名學(xué)生參考，測(cè)試結(jié)果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，且平均分為60,

離散系數(shù)為0.05,則下列說法正確是（）

（附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布尸Qz-■卜0.68,尸（|Z-4<2o■卜0.95）

A.學(xué)生考試成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為60x0.05=3

B.學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（60,9）

C,約有16800名學(xué)生的成績(jī)低于66分

D.全體學(xué)生成績(jī)的第84百分位數(shù)約為63

10.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為月，前〃項(xiàng)積為己知乙=2,則下列結(jié)論正確的是（

A.右(%23-1)(%24—1)<°則5024—5023〉1

B.右02026=02021則“2024=1

C.(62023-1)(62024-1)<0,則02023是?！ǖ淖畲笾?/p>

D對(duì)任意“eN*,邛<優(yōu)

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體45CD—48CQ1中，~BE=ABC^CF=ACD>^^(0,1),則下列說

B.三棱錐G-CEE的體積最大值為1

C.若/=工，則點(diǎn)用到直線EF的距離為迪

22

D.三棱錐G-CEF外接球球心軌跡的長(zhǎng)度近似為6

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知幕函數(shù)/(x)=(〃2—6"+9*T在((),+⑹上單調(diào)遞增，若正數(shù)口、b滿足3a+46=〃，貝I

43

-+-的最小值為___________.

ab

13.用0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有"個(gè)，貝|(l+x)3+(l+x)4+……+(l+x)"的展開式

中，好項(xiàng)的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

14.在拋物線/=2px(2>0)上有三個(gè)不同點(diǎn)A、B、C,焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,2)且

軸，尸為V4SC的重心，則V4SC的面積為.

四.解答題：(本大題共5小題.共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.設(shè)向量成=(gsinx,sinx+cosx),H=(2cosx,sinx-cosx),f(x)=加?元.

(1)求/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)在銳角V45C中，角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若/(幺)=1,a=2,

sinS+sinC=Y5，求V45c的面積

2

16.在四棱錐P—48C。中，底面48CD為直角梯形，ADIIBC,AD±AB,側(cè)面尸48J_底面48CD,

P4=PB=^，AD=^BC=2,且E、尸分別為尸C、CD的中點(diǎn).

(1)證明：DE〃平面PAB；

(2)若直線P尸與平面尸48所成的角為45°，求平面尸45與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

17.已知函數(shù)/(x)=x-(a+2)lnx,8(%)=二上

X

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)的最小值；

(2)設(shè)函數(shù)4x)=/(x)—g(x),討論函數(shù)〃(x)的單調(diào)性;

(3)若在區(qū)間［l,e］上存在一點(diǎn)/，使得/(xo)＜g(x0)成立，求。的取值范圍.

22

18.已知橢圓。：三+%=1(?！?〉0)的焦距為2,直線/：＞二丘+加(左＞0)與。交于〃、N兩

3

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為MN中點(diǎn)、.若kop,k=-1.

3

⑵若OM、ON的斜率分別為左、左2且始終滿足左住=/+勺+左2,求直線/的斜率左的值;

（3）A、8為橢圓C上關(guān)于原上對(duì)稱的兩點(diǎn)且滿足2麗=刀，直線也、4V交于點(diǎn)0,問：&Q4B

的面積是否為定值？若是求出此定值，若不是請(qǐng)說明理由.

19.（1）某公司為提升員工身體素質(zhì)，鼓勵(lì)員工參與“健康幫，活力無限”健身打卡活動(dòng).公司統(tǒng)計(jì)了開展

活動(dòng)后近5個(gè)月員工因健身而使身體指標(biāo)（如體脂下降、心肺功能提升等）明顯改善的人數(shù).統(tǒng)計(jì)結(jié)果如

下：

月份X12345

身體指標(biāo)明顯改善人數(shù)J33026020014090

若身體指標(biāo)明顯改善人數(shù)了與月份變量x（月份變量x依次為1,2,3,4,5,…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)預(yù)測(cè)

第6個(gè)月身體指標(biāo)明顯改善的大約有多少人？

（2）公司將參與健身打卡活動(dòng)的員工分成了X、KZ三組進(jìn)行健身競(jìng)賽，其規(guī)則：競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在任何一

組，該組都可向另外兩組發(fā)起競(jìng)賽，首先由X組先發(fā)起競(jìng)賽，挑戰(zhàn)￥組、Z組的概率均為:，若X組挑戰(zhàn)

y組，則下次競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在y組.若競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在y組，則挑戰(zhàn)x組、z組的概率分別為!■和J；若競(jìng)賽

發(fā)起權(quán)在z組，則挑戰(zhàn)x組、y組的概率分別為3和J；

44

①經(jīng)過3次挑戰(zhàn)賽后，求競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在Y組的次數(shù)〃的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②定義：已知數(shù)列｛%｝,若對(duì)于任意給定的正數(shù)￡（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N。，使得當(dāng)〃〉￡

時(shí)，舊,一旬<￡（A是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列｛%｝為“聚點(diǎn)數(shù)列”，A稱為數(shù)列｛%｝的聚點(diǎn).經(jīng)過〃

次競(jìng)賽后，競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在X組的概率為4,證明數(shù)列｛4｝為“聚點(diǎn)數(shù)列”，并求出聚點(diǎn)A的值.附：回歸

d=y—bx,

參考答案

一、單選題：（每小題5分，共40分.每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一項(xiàng)是符合題意）

^=jxeN|j=—,jGNl,J5=｛x|log1x<-l｝.

1.已知〔x+2J5則AcB=（）

A.(2,6]B.{0,1}C.(2,6)D.{4}

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出集合43,再利用交集的概念及運(yùn)算求答案即可.

【詳解】由題意知2={0』,4},3={市)2},

則Nc8={4},

故選：D.

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為亍，若彳=含，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第()象限

A.-B.二C.三D.四

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)得1=1_2i，則2=l+2i,即答案可求.

【詳解】由題意得彳=熹吉=2里=l—2i,

所以z=1+2i,則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

故選：A.

11

3.已知sine+cose=一，貝Utan0d-----=()

2tan。

4881

A.-B.——c.一D.--

3332

【答案】B

【解析】

【分析】在等式sin8+cos，=1兩邊平方，求出sin。cos6的值，再利用切化弦可求得tan0+-^―的值.

2tan。

【詳解】在等式sin9+cos8=L兩邊平方可得l+2sinecos6=，,可得sinOcosd=-？，

248

八1sin8cos0sin20+cos2018

所以tan。cos6(sin。sin6,cos6f_33-

—8

故選：B.

4.已知平面內(nèi)不共線的三個(gè)向量￡、b>"兩兩夾角相等，且￡為單位向量，W=2口=4,則

^2a-b+c|的值為（）

A.20B,6C.36D.7

【答案】B

【解析】

_2兀

【分析】分析可知三個(gè)向量2、B、1兩兩的夾角為q-，利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)可求得

2口-的值.

2兀

【詳解】由題意可知，三個(gè)向量￡、B、"兩兩的夾角為

由平面向量數(shù)量積的定義可得。/=忖一區(qū)卜05號(hào)=1義4*]—；）=—2,

同理可得a?c=—1,6.c=-4,

I-?-?-?I//—?—?-?\2/—?2-?2-*2-?—?—?―?—?—?

所以，2a-6+。=,（2Q-Z）+C）=74a+b+c-4Q,6+4Q?C-2b

=J4+16+4+8-4+8=6?

故選：B.

5.從1,2,……，10中取三個(gè)不同的數(shù)，按從小到大的順序排列，組成的數(shù)列是等差數(shù)列的概率為

（）

1111

A.-B.—C.—D.一

31246

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)取出的3個(gè)不同的數(shù)分別為0、6、c,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析可知故a、c同為奇數(shù)或同為偶

數(shù)，且。與c確定后，6隨之而定，利用古典概型的概率公式求解可得答案.

【詳解】設(shè)取出的3個(gè)不同的數(shù)分別為a、b、c,

不同的取法共有C；0=120種，

若這3個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則有a+c=2江

故。、c同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，且。與c確定后，6隨之而定.

C2+c2i

從而所求概率為55=--

C106

故選：D.

6.已知點(diǎn)M、N在圓2y—3=0上，點(diǎn)尸在直線Gx—y—3=0上，點(diǎn)。為"N中點(diǎn)，若

|"N|=20，則|尸。|的最小值為（）

A.桓B.2-V3C.2-V2D.V3

【答案】C

【解析】

【分析】求出圓的圓心為C（o,l）,半徑為r=2,利用勾股定理求出|c@的值，利用圓的幾何性質(zhì)可求得

\PQ\的最小值.

【詳解】圓V+j?—2y—3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為r+（了—=4,

所以，圓心為C（0,l）,半徑為r=2,

由中垂線的性質(zhì)可得則|。。|=J/—也竺174-2=6,

所以，點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，半徑為正的圓上,

點(diǎn)C到直線V3x-v-3=0的距離為d=匕上3=2,

V3+1

所以，同1*"煙=2-0.

故選：C.

22

7.已知雙曲線4=1的兩焦點(diǎn)分別為《、F2,過右焦點(diǎn)乙作直線/交右支于A、B點(diǎn)，且

ab

—,1*兀

幺8=32工，若/月則雙曲線C的離心率為()

【答案】D

【解析】

【分析】令|2￡|=/,可得出|48|=3/，忸閭=2/,由雙曲線的定義可得出恒國(guó)、忸周，在ANB耳中,

利用余弦定理可出/=5口，可得出以片|、|Zg|,然后在耳層中利用余弦定理可求得該雙曲線的離

心率的值.

【詳解】令|4刈|=」由方=3,，得|48|=3/,忸聞=2/,

由雙曲線定義|幺與|=以用+2a=t+2a,\BFl\=\BF2\+2a=2t+2a,

TT

在A48片中，NF、AB=—,

3

2

由余弦定理可得|2片|+\AB^-2\AF\-\AB\COSNF]AB=\BFX『，

得(7++(3/1—2(7+2a)x3/cosg=(2/+，整理得3^_10^=0，

解得/=所以，以周=/+24=修%閭=/=ga.

在△4大乙由余弦定理以用2+|N片「—2|4F；H/g|cosN片4B=|片片「，

,616Y<10Yc1610兀小、2

wBIciI+1ciI-2xd?6/cos-=（2cJ,

196r7

整理得——a2=4c2,則e=—=一.

9a3

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得。、。的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值；

（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。、。的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

8.已知可導(dǎo)函數(shù)/（力的定義域?yàn)镽,/'（x）是/⑴的導(dǎo)函數(shù)，且/（2x-1）為偶函數(shù)/'（2x+l）為奇

函數(shù)，戶（0）=1，則廣（2024）+廣（2025）+廣（2026）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得/'（1-/）+/'。+/）=0,由函數(shù)奇偶性的定義得出/（T—1）=/。-1）,求導(dǎo)得出

—/'（T—=進(jìn)而可推出函數(shù)/'（x）是周期為4的周期函數(shù)，以及函數(shù)/'（X）的對(duì)稱中心為

（1,0）,求出/'⑴、/'（0）+求'（2）的值,結(jié)合函數(shù)周期性可求得廣（2024）+廣（2025）+/'（2026）的值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'（2x+l）為奇函數(shù)，則/2x+l）=—/'（2x+l）,

即/'（_2x+l）+/'（2x+l）=0,令,=2x,則/'（1_/）+/'（1+/）=0,

所以，函數(shù)/'（X）的對(duì)稱中心為（1,0）,且廣（2-）+人）=0,①

在等式①中，令/=1可得2/'（1）=0,解得/'（1）=0,

在等式①中，令"0可得/'（0）+/'（2）=0,

因?yàn)楹瘮?shù)/（2》一1）為偶函數(shù)，則/（—2x—=—

令r=2x,可得/（一/-1）=/。-1）,求導(dǎo)得-/'（-/-1）=/'。T）,

則/'（/）+/'（-2-。=0,②

由①②可得/'（2T）=/'（_2T）,令s=—2T,則廣（4+S）=_T（S）,

所以，函數(shù)/'（x）是周期為4的周期函數(shù)，

所以，r（2024）+r（2025）+r（2026）=r（0）+r（l）+r（2）=0.

故選：C.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：

（1）若函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線x=a和X=b對(duì)稱，則函數(shù)/（X）的周期為7=2卜一小

（2）若函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（。,0）和點(diǎn)（仇0）對(duì)稱，則函數(shù)/（x）的周期為丁=2,一4；

（3）若函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)（a0）對(duì)稱，則函數(shù)“X）的周期為7=可。一葉

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

標(biāo)準(zhǔn)差

9.比較兩組測(cè)量尺度差異較大數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，常使用離散系數(shù)，其定義為：離散系數(shù)=里等.某

均值

地區(qū)進(jìn)行調(diào)研考試，共20000名學(xué)生參考，測(cè)試結(jié)果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，且平均分為60,

離散系數(shù)為0.05,則下列說法正確是（）

（附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（〃Q2）,尸（|Z-b0.68,尸（|Z-4<2o■卜0.95）

A.學(xué)生考試成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為60x0.05=3

B.學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（60,9）

C,約有16800名學(xué)生的成績(jī)低于66分

D.全體學(xué)生成績(jī)的第84百分位數(shù)約為63

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用離散系數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；利用正態(tài)分布的概念可判斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)分布3。原則

可判斷C選項(xiàng)；利用百分位數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，-=0.05,則學(xué)生考試成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為（7=60x0.05=3,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，由正態(tài)分布可知學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（60,9）,B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?6=〃+2cr,

則尸(Z<〃+cr)=0.5+0.5P(|Z-//|<cr)土0.5+0.5x0.95=0,975,

所以，績(jī)低于66分的學(xué)生人數(shù)約為20000x0.975=19500,C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)槭?Z<〃+cr)=0.5+0.5P(|Z-//|<cr)土0.5+0.5x0.68=0.84,

所以，全體學(xué)生成績(jī)的第84百分位數(shù)約為〃+b=63,D對(duì).

故選：ABD.

10.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列0｝的前"項(xiàng)和為匕，前〃項(xiàng)積為己知4=2,則下列結(jié)論正確的是()

A.若(4023-1)(4024_1)<0則^2024—^2023〉1

B.若02026=02021則，2024=1

C.32023—1)32024—1)<0，則02023是。"的最大值

D.對(duì)任意neN*,b；<2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，按公比q21,0<q<l探討單調(diào)性判斷AC；利用等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算判斷B；借助

等比數(shù)列通項(xiàng)公式推理判斷D.

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的公比為9,q>0,b“>0,而4=2,

對(duì)于A,若"I,則"b/T”S2023Tx狐24T)〉°，不符合題意，

若0<q<l,則數(shù)列｛"｝單調(diào)遞減,由S2023-1)(源24T)<0，得&023〉1也024<1，

于是，2024=6()24—6o23<1，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由。2026=02021，得畀=，2022,2023,202也025篇26=￡)24=1，則&024=1，B正確；

?2021

對(duì)于C,由選項(xiàng)A知，數(shù)列｛4｝前2023項(xiàng)都大于1,從第2024項(xiàng)起為都小于1的正數(shù)，

因此。2023是數(shù)列｛?！埃械淖畲箜?xiàng)，C正確；

2nx

對(duì)于D,b"=(b/T)'=b；q"g),Qn=b"-q-q-■-q-=邛可源+…+所。=b"q^，

產(chǎn)）,而4>1,則申=（邛）2>邛,因此￥<優(yōu)，D正確.

故選：BCD

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體4SCO-48]G2中，BE=ABC>CF=ACD>^^（0,1）,則下列說

B.三棱錐G-CEE的體積最大值為1

c.若4=工，則點(diǎn)用到直線斯的距離為迪

22

D.三棱錐G-CEF外接球球心軌跡的長(zhǎng)度近似為V3

【答案】AC

【解析】

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系求得直線方向向量可判斷A,由三棱錐體積公式可判斷

B,由點(diǎn)到線距離的向量法公式即可判斷C,設(shè)EF,CG的中點(diǎn)分別為T,S,過點(diǎn)T作平面4BC。的

垂線/,過點(diǎn)S作與棱CG垂直的平面判斷直線/與平面a交于點(diǎn)。為球心，得到點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度與

點(diǎn)T的軌跡長(zhǎng)度相等，即可判斷D.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)BE=CF=m（0<m<2）,

則耳（2,2,2）,G（0,2,2）,A（0,0,2）,F（0,2-m,0）,￡（2-m,2,0）.

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?=（―2,——2）,=（2—%2,—2）,

所以57?￡）]￡=-2（2-機(jī)）-2m+4=0,

所以軍上印，所以A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B：三棱錐G—CEF的體積jz=；-CQ=|x|xm（2-m）x2=-1（m-l）2+1,

所以當(dāng)機(jī)=1時(shí)，三棱錐G-CE尸的體積取得最大值g,B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C：若a=:，則m=1,F（O,1,O）,E（1,2,0）,

所以而=（1,1,0）,函=（2,1,2）,

(_\2

所以點(diǎn)4到直線￡F的距離"=|M|2-FBhIEC正確.

V1l閥J2

對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)EF,CG的中點(diǎn)分別為T,s,

過點(diǎn)T作平面ABCD的垂線/,過點(diǎn)S作與棱CQ垂直的平面a,

直線/與平面a交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。為外接球的球心，

顯然點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度與點(diǎn)T的軌跡長(zhǎng)度相等.

因?yàn)镋（0,2—機(jī),0）,￡（2-m,2,0）,所以—￡,2—

在平面N5CD內(nèi)，點(diǎn)T的軌跡方程為y—x=l,且0<x<l,l<y<2,

故點(diǎn)T的軌跡長(zhǎng)度近似為正，即三棱錐G-CM外接球球心軌跡的長(zhǎng)度近似為正，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知幕函數(shù)/(x)=(〃2—6〃+9卜7在Q+⑹上單調(diào)遞增，若正數(shù)/,滿足3a+4b=〃，則

43

—+；的最小值為___________.

ab

【答案】12

【解析】

【分析】由幕函數(shù)的定義與單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)〃的等式或不等式，解出"=4,可得出3a+4b=4,

43143

將代數(shù)式-+-與代數(shù)式a。。+4A)相乘，展開后利用基本不等式可求得-+-的最小值.

【詳解】因?yàn)榧魏瘮?shù)/⑺=(/-6〃+9)x"-3在(0,+。)上單調(diào)遞增，

?2-6?+9=1

則解得n=4,

〃一3>0

正數(shù)。、力滿足3a+4Z?=4,

2

ci——

等號(hào)成立,

b=—

2

43

因此，一+7的最小值為12.

ab

故答案為：12.

13.用0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有"個(gè)，貝U(l+x)3+(l+x)4+……+(l+x)"的展開式

中，X3項(xiàng)的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】330

【解析】

【分析】求出用0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)，得到〃的值.再根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)

公式求出展開式中V項(xiàng)的系數(shù)即可.

【詳解】當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)：其他三個(gè)數(shù)位從1,2,3這三個(gè)數(shù)字中任意排列，有A；=3x2xl=6種情

況.

當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2時(shí)：千位不能為0,所以千位有2種選擇（從1,3中選），百位從剩下的2個(gè)數(shù)字中選,

十位再從剩下的1個(gè)數(shù)字中選，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有2xA；=2x2xl=4種情況.

所以〃=10

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式9+1=對(duì)于（l+x>,展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為c；

Qk=3,4,…,10）.

那么（l+x）3+（l+x）4+…+（l+x）i。展開式中V項(xiàng)的系數(shù)為c；+c：+C；+…+C>

由組合數(shù)的性質(zhì)C：+C：T=C；+i，且C；=C：,則

C；+C；+C；+…+C：o=C：+C：+C；+.??+/=C+《+.?,+&=???=■?

11x10x9x8

可得C；1==330.

4x3x2xl

故答案為：330.

14.在拋物線/=2px（夕>0）上有三個(gè)不同點(diǎn)A、B、C,焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,2）且4F_Lx

軸，尸為V4SC的重心，則V4SC的面積為.

【答案】正

2

【解析】

【分析】由可求出拋物線的方程，由重心的性質(zhì)可求得線段3c的中點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求

出直線3c的方程，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合三角形的面積公式以及韋達(dá)定

理可求得結(jié)果.

【詳解】由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）且軸得尸（1,0）,即7=2,拋物線方程為/=4x,

設(shè)8（%1，%）、C（x2,y2）,貝卜4”相減可得（必一%）（必+%）=4（石一%）,

y2=4X2

7ji-y?4

BC所在直線斜率kBC==------

Xi-%%+%

記8c中點(diǎn)為。，又由尸為V45c的重心，可知萬=2兩,

/、/、/、12（加一1）=0[m=\/、

設(shè)點(diǎn)。（九〃），則（0,—2）=2（機(jī)—1,〃），可得｛\,解得〈一即點(diǎn)。（1,一1）,

2n=-2n=-l

所以，8c所在直線方程為y+l=—2（x—1）,即y=-2x+l,

y——2x+1/、？

聯(lián)立方程42（，得4——8x+l=0，△=（—8）—4x4>0,

y=4x

由韋達(dá)定理可得X1%=4,X；+x2=2,得k]—引=J（X[+》2）2-4》1》2=百，

故：MABC的面積為s=SAADB+S-ADC=~,以。卜,1一%|；x3XG=孑?.

故答案為：士.

2

三.解答題：（本大題共5小題.共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.設(shè)向量成=（Gsinx,sinx+cosx）,H=（2cosx,sinx-cosx）,=.

（1）求/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）在銳角V48C中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若/（幺）=1,a=2,

sinB+sinC=Y6，求V45c的面積

2

TT57r

【答案】(1)ku+—,kit+(左￡Z)

36

(2)10-573

【解析】

TT

【分析】（1）應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換化簡(jiǎn)求得/（x）=2sin（2x-一）,再利用正弦型

6

函數(shù)的性質(zhì)求遞減區(qū)間；

（2）由/（2）=1得/=與，結(jié)合正弦定理可得b+c=2指，結(jié)合余弦定理有〃+02一百兒=4,聯(lián)立

求得秘=20（2-6）,最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.

【小問1詳解】

由題意得/(x)-m-n-2V3sinxcosx+(sinx+cosx)(sinx-cosx)=V3sin2x-cos2x

=2sin(2x-.7T),

令2祈+巴V2x-—<2k7i+—(keZ),解得祈+工Vx<kTt+—[kGZ)

26236

JTSJT

所以/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為kn+-,kn+—（左eZ）.

【小問2詳解】

因?yàn)閂4SC為銳角三角形，由/（幺）=1得2sin[2N-6]=1,

由八|嗚]可得2"一會(huì)〔比爸，

所以2/—〃=巴，故/='，

666

在V45c中，由正弦定理得一^=27?=4,所以6+c='^（sin8+sinC）=2&,

sinAsinA

所以戶+。2+2兒=24①，

由余弦定理得〃+/-/=2bccosA?得/+c2—y/3bc=4②，

由①②解得be=20（2-6）,

所以V48C的面積為S“BC=-Z>csin^=10-573.

16.在四棱錐P—4BS中，底面48CD為直角梯形，ADHBC,AD±AB,側(cè)面尸45J_底面48CD,

PA=PB=屈，AD=-BC=2,且￡、尸分別為尸C、CD的中點(diǎn).

2

（2）若直線P尸與平面尸48所成的角為45°，求平面尸4g與平面尸8所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵

11

【解析】

【分析】（1）取網(wǎng)中點(diǎn)連接ZM、EM,推導(dǎo)出四邊形ZDEN為平行四邊形，可得出〃/

再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）推導(dǎo)出8C,平面尸4B,由線面角的定義可求得則GP=；（4D+5C）=3,PG=GF=3,然后

以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB、GF、GP所在直線分別為x、了、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法

可求得平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

【小問1詳解】

取尸8中點(diǎn)連接HI/、EM,

因?yàn)椤隇槭珻的中點(diǎn)，所以，MEIIBC,ME=-BC,

2

又因?yàn)锳DHBC,AD=-BC,所以，MEHAD,ME=AD,

2

所以，四邊形ZDEN為平行四邊形，則?！辍?/,

因?yàn)??！?平面「45,ZMu平面尸48,所以，DE//平面PAB.

【小問2詳解】

因?yàn)锳D〃BC,AD1AB,則BCLNB,

因?yàn)槠矫媸?5平面48CD,平面R43c平面48CD=48,8Cu平面48CD,

所以，8C_L平面尸48,

取48中點(diǎn)G,連接歹G,則FG〃8C,所以，尸G,平面尸48,

故PF與平面PAB所成的角為/GPP=45°，則GE=:(40+5C)=3,

所以，PG=GF=3,

又因?yàn)槭?=PB=A，則ZG=8G=dPB?-PG?=V14-9=，

如圖以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB、GF、GP所在直線分別為x、>、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸(0,0,3)、C(V5,4,0),￡>(-75,2,0),

所以定=(6,4,-3),CD=(-275,-2,0),

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為〃1=(x,y,z),

取x=l,貝!j=(1,—,

易知平面尸48的一個(gè)法向量為鼠=(0,1,0),

設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角為0,

?i-?2出J55

所以,cos0-|一|J」=—j=-

■Ml而11

所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值運(yùn).

11

1I/~t

17.已知函數(shù)/(x)=x-(a+2)lnx,g(x)=----

⑴若a=l,求函數(shù)/(x)的最小值;

(2)設(shè)函數(shù)//(x)=/(x)-g(x),討論函數(shù)丸(x)的單調(diào)性;

(3)若在區(qū)間［l,e］上存在一點(diǎn)飛,使得/(xo)<g(x。)成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)3-31n3

(2)答案見解析(3)(0,+。)

【解析】

【分析】(1)當(dāng)4=1時(shí)，求出函數(shù)/(X)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(X)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)/(X)

的最小值；

(2)求得+,對(duì)實(shí)數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可

求得函數(shù)力⑴的增區(qū)間和減區(qū)間；

(3)由題意可知，當(dāng)xe[l,e]時(shí)，/z(x)m,n<0,對(duì)實(shí)數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)〃(x)在區(qū)間

[l,e]上單調(diào)性，結(jié)合力(力皿證<0可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

3v—3

當(dāng)0=1時(shí)，/(x)=x—31nx,其中x>o,則/''(X)=l--=-——,

xx

由/'(x)<0可得0<x<3,由/'(x)〉0可得x>3,

所以，函數(shù)/⑺的減區(qū)間為(0,3),增區(qū)間為(3,+8),

所以，/(x)mm=/⑶=3-31n3-

【小問2詳解】

因?yàn)?z(x)=/(x)-g(x)=x-(o+2)lnx--^-^,其中%>0,

則h'(x)=\-。+2+￡±1=，-(a+2)x+(a+l)=(x—l)[x—(a+1)],

XXXX

當(dāng)a+lWO時(shí)，即當(dāng)aV—1時(shí)，由〃'(x)<0可得0<x<l,由〃'(x)〉0可得x>1,

此時(shí)，函數(shù)丸(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8)；

當(dāng)+時(shí)，即當(dāng)一1<。<0時(shí)，

由〃'(x)<0可得a+l<x<l,由〃'(x)〉0可得0<x<a+l或x>l,

此時(shí)，函數(shù)力⑴的增區(qū)間為(0,。+1)、(1,+⑹，減區(qū)間為(a+1,1)；

當(dāng)a+1=1時(shí)，即當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)任意的x>0,>0,

此時(shí)，函數(shù)/(X)的增區(qū)間為(0,+。)，無減區(qū)間；

當(dāng)Q+1>1時(shí)，即當(dāng)?！?時(shí),

由〃'(x)〉0可得0<x<l或x>a+l,由〃'(x)<0可得l<x<a+l,

此時(shí),函數(shù)丸(x)的增區(qū)間為(0,1)、(a+l,+e),減區(qū)間為(l,a+l).

綜上所述，當(dāng)a<—1時(shí)，函數(shù)〃(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8)；

當(dāng)一1<0<0時(shí)，函數(shù)/(X)的增區(qū)間為(0,。+1)、(1,+℃),減區(qū)間為(。+1,1)；

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)〃(x)的增區(qū)間為(0,+。)，無減區(qū)間;

當(dāng)。>0時(shí),函數(shù)%(x)的增區(qū)間為(0,1)、(a+l,+e),減區(qū)間為(l,a+l).

【小問3詳解】

由(2)可知，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)〃(x)在［l,e］上單調(diào)遞增，則〃口L=〃⑴=一a20,不合乎題意;

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)〃⑴在上單調(diào)遞減，在［a+1,+8)上單調(diào)遞增，

⑴若a+lWe,則a?e-1時(shí),則函數(shù)五(x)在［1,a+1］上單調(diào)遞減,在［a+l,e］上單調(diào)遞增,

所以，//(%僵=+=a-(2+a)ln(l+a)<0,

設(shè)加(a)=a—(2+a)ln(l+a)其中0<aWe-l,則機(jī)'(a)=——-----ln(l+a)<0,

1+a

所以，函數(shù)加(a)在(O,e—1］上單調(diào)遞減，則加(a)(機(jī)(0)=0,合乎題意;

(ii)若a+l>e,即當(dāng)a>e—1時(shí)，函數(shù)入⑴在［l,e］上單調(diào)遞減,

zy1「2_Op_1

所以，=Me)=e—(a+2)—1-<0,解得

e2—2e—1/xe~-2e—1—(e+l)(e—1)2el,

因m為-----------(e-l)=----------------------------)-=-------<0<1則ma〉e_］.

e+1e+1e+1

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,+。).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：討論含參函數(shù)的單調(diào)性，通常注意以下幾個(gè)方面：

(1)求導(dǎo)后看最高次項(xiàng)系數(shù)是否為0,須需分類討論；

(2)若最高次項(xiàng)系數(shù)不為0,通常是二次函數(shù)，若二次函數(shù)開口方向確定時(shí)，再根據(jù)判別式討論無根或

兩根相等的情況；

(3)再根據(jù)判別式討論兩根不等時(shí)，注意兩根大小比較，或與定義域比較..

18.已知橢圓。：三+%=1(。〉6〉0)的焦距為2,直線/：＞=依+機(jī)(左＞0)與C交于/、N兩

3

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為MN中點(diǎn)、.若如??左=-王

3

⑵若OM、ON的斜率分別為左、k2且始終滿足W=z+左+左2，求直線I的斜率k的值；

(3)A、B為橢圓C上關(guān)于原上對(duì)稱的兩點(diǎn)且滿足2加