重難點(diǎn)05解三角形的實(shí)際應(yīng)用

明考情.知方向，

2025年考向預(yù)測(cè)：正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

重難點(diǎn)題型解讀

迪正、余艇理判三角形形狀

敏2求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍

解三角形的實(shí)際應(yīng)用

避3幾何圖形中的計(jì)算

題型4正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

題型1正、余弦定理判定三角形形狀

1.已知在VABC中，三邊。，瓦c分別對(duì)應(yīng)三個(gè)內(nèi)角AB,C；且一—=c-b+a

c+b-ab

(I)求角C的大小；

(2)當(dāng)在VABC外接圓半徑R=1時(shí)，求VABC面積的最大值，并判斷此時(shí)VABC的形狀.

【答案】(1)C=g(2)VABC是等邊三角形，面積最大值為地

34

【解析】(1)根據(jù)題中條件，由余弦定理，求出cosC,進(jìn)而可得角C；

(2)根據(jù)正弦定理，由題中條件，求出。，再由題中條件，利用基本不等式，求出劭最大值，進(jìn)而可得三

角形面積的最大值，以及判斷三角形的形狀.

【詳解】(1)—.魯一伍一。)2="，^b2+a2-c2=ab,

c+b-ab'7

由余弦定理可得：cosC1"

lab2

-rr

又角C為VABC的內(nèi)角，所以0<C(］，因此C=§；

(2)因?yàn)閂ABC外接圓半徑R=l,

所以由正弦定理可得：2R=^—,則c=2RsinC=7^;

smC

所以〃+/一3=h,,貝！J〃人+3=〃+〃之2〃匕，:.ab<3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=石時(shí)等號(hào)成立,

「.ABCSABC=—absinC=^-ab<.

?曲244

即VABC的面積的最大值是述，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=退時(shí)等號(hào)成立；

4

因此，此時(shí)VABC是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

求解三角形中有關(guān)邊長(zhǎng)、角、面積的最值（范圍）問(wèn)題時(shí)，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式,

建立。+6,ab,之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.

2.在VABC中，角A、3、C所對(duì)的邊分別為。、b、c.已知2bsinA-后=0,且3為銳角.

（1）求角B的大小；

⑵若3c=3°+四,證明：VABC是直角三角形.

【答案】⑴（

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用正弦定理邊化角可解得sinB=且，再由B為銳角即可求解（2）利用正弦定理邊化角之后

2

再消元，可得sin（c-?）=g,再結(jié)合C的范圍即可得證

【詳解】（1）由正弦定理可知，三=口=，

sinAsmB

2bsinA-y/3a=0,「.2sinBsinA=石sinA

又在VABC中，sinA>0,;.2sinB=G，sinB=—,

TT

3為銳角，??.8=1.

(2)-3c=3a+y/3b

所以由正弦定理得：sinC=sinA+sinB=sinA+—,

32

又A=TZ■一+sinC=sin[q+c]+g=^^cosC+gsinC+g,

即，sinC—且cosC=，，.?.sinfc-->1=—,

222I3J2

故可得c-g=g,

3o

即Y

ABC為直角三角形.

3.（2023?上海虹口?一模）設(shè)VABC的內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

.,,、.[714I3八

2cos（7i+A）+sinI—+2AI+——0.

⑴求角A；

Q）若c-b力a,求證：VA2C是直角三角形.

3

【答案】⑴A=

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，化簡(jiǎn)2cos（7i+A）+sin[]+2A]+m=0,即可求得答

案；

（2）利用正弦定理邊化角可得sinC-sin3=3sinA,結(jié)合兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，求值，可得答案.

3

【詳解】（1）由條件2cos（兀+A）+sinf'+2A]+3=。，得一2cosA+cos2A+』=0,

<2）22

即2cos2A—2cosA+；=0,亦即[cosA—g1=0,

171

故COSA=5，因?yàn)?W（0,TI）,所以4=4.

（2）證明：由正弦定理及o一。='^〃得5111。一51113=避^1124,

33

由⑴知A=g,故B+C=§,于是sin（空-5]-sin5=^sin二，

33I3J33

則—^sinB=—f即cosfB+-^-|=,

222I6J2

因0v3<§,故+”,又c-b=a>0,C>B,

36663

從而

63

所以3=2,則。=9

o2

因此VABC是直角三角形.

4.(2024.上海寶山?二模)在&ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、6、c,己知

sin。A+sin2c=sin2B+sinAsinC.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若ABC的面積為出，求a+c的最小值，并判斷此時(shí)AfiC的形狀.

【答案】(嗚

(2)4,VABC為等邊三角形

【分析】(1)由正弦定理角化邊可得〃2+C2="+碇，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求3；

(2)由三角表面積可求得公=4,根據(jù)均值不等式可求得a+c的最小值，根據(jù)取得最小值可判斷三角形的

形狀.

【詳解】(1)由正弦定理得4+°2=/+%,

又由余弦定理得cosB=1+/->=旦=,

lac2ac2

因?yàn)?是三角形內(nèi)角，所以8=。；

(2)由三角形面積公式得：

c」?兀_也

SAUC=—CLCSWLIJ=—〃csin—=—etc=73,

ABC2234

解得QC=4,

因?yàn)椤?(?226^=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào)，

所以a+c的最小值為4,此時(shí)VABC為等邊三角形.

題型2求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍

1.(2024?上海寶山?一模)在VABC中,已知2+心儲(chǔ)+爐.

(1)若sinC=2sinB,且6=2,求VA2C的面積；

⑵若方+c=L求a的取值范圍.

【答案】⑴動(dòng)

⑵即

【分析】(1)結(jié)合正弦定理、余弦定理和面積公式即可求解；

(2)結(jié)合基本不等式求最值和三角形邊的關(guān)系即可求解.

「sin「

【詳解】(1)由正弦定理得7=」;=2,又b=2,從而c=4,

bsinB

從而A=1,

所以VASC的面積S=—Z?csinA=—x2x4xsin—=273.

223

(2)由a?=/+/—〃c=(〃+c)2—3bc=i—3〃。，

又be］等［=；,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=g時(shí)取等號(hào)，

311

從而。221_=所以。2彳，

442

又因?yàn)閂ABC中，b+c>a,從而a<l,

所以〃的范圍是

2.(2023?上海徐匯?三模)如圖，VABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、J

(1)若3a—c=3〃cosC,求角B的大??；

JT

(2)已知6=3、B=-,若。為VABC外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，求△ADC周長(zhǎng)的最大值.

【答案】⑴3=arccosg；

⑵3+2?

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再結(jié)合和角的正弦求解作答.

(2)由(1)及給定條件，求出，ADC,再利用余弦定理結(jié)合均值不等式求解作答.

【詳解】(1)在VABC中，由3a-c=3Z?cosC及正弦定理，得3sinA-sinC=3sin5cosC,

即3sin(B+C)-sinC=3sinBcosC,則3(sinBcosC+sinCcosB)-sinC=3sinBcosC,

整理得sinC(3cos5—l)=0,而sinCwO,即cos5=g,又因?yàn)?<3<?,

所以5=arccos；.

2兀

(2)在AADC中，AADC=y,AC=3,

2元

由余弦定理得4€'2=4￡)2+￡>(<-24￡>?￡>€'85可，

于是(AO+OCf=9+ADDC<9+(AD+DC),解得AD+OCV26，

4

當(dāng)且僅當(dāng)AD=DC=6時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)AO=OC=g時(shí)，△ADC周長(zhǎng)取得最大值3+2代.

3.(2023?上海青浦?一模)在VABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為b,c,且滿足人/一戶+四=().

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若6=26，求VA3C的周長(zhǎng)的最大值.

【答案】(1)8=3~

⑵4+2石

【分析】

(1)根據(jù)余弦定理可得B的大?。?/p>

(2)邊角互化，可得a+>+c=4sin(A+5j+2A,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.

【詳角畢】(1)由儲(chǔ)+°2一〃+〃c=o,可得〃2+/一〃2=一〃0,

ca2+/—一ac1

所以cos5=---------=——=——,

2aclac2

O<jr

又3式0,兀)，所以2=中.

(2)由⑴得2==,所以sinB=3,

32

b

則由正弦定理可得一二=4,

sinAsmCsin3

BP〃=4sinA,c=4sinC,

所以VABC的周長(zhǎng)a+Z?+c=4sinA+4sinC+2A/5，

又在VABC中,C=7r-A-B=--A,

3

貝Ua+匕+c=4sinA+4sin+2A/3=4sinA+y+2A/3,

3

0<A<71

TT

又在VABC中，^7i，所以0<4<彳，

0<——A<713

I3

所以當(dāng)A=9時(shí)，周長(zhǎng)取最大值為4+26.

o

4.(2023?上海?模擬預(yù)測(cè))高鐵的建設(shè)為一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供了強(qiáng)大的推進(jìn)力，也給人們的生活帶來(lái)極

大便捷.以下是2022年開(kāi)工的雄商高鐵線路上某個(gè)路段的示意圖，其中線段AB、8C代表山坡，線段C。為

75

一段平地.設(shè)圖中AB、3C坡的傾角滿足tan。=2，tan。=丘,長(zhǎng)250m,BC長(zhǎng)182m,CD長(zhǎng)132m.假設(shè)該路

段的高鐵軌道是水平的（與C。平行），且端點(diǎn)瓦尸分別與A。在同一鉛垂線上，每隔30m需要建造一個(gè)橋

墩（不考慮端點(diǎn)/建造橋墩）

⑴求需要建造的橋墩的個(gè)數(shù)；

（2）已知高鐵軌道的高度為80m,設(shè)計(jì)過(guò)程中每30m放置一個(gè)橋墩，設(shè)橋墩高度為（單位：m）,單個(gè)橋墩

的建造成本為W=0.65/z+5（單位：萬(wàn)元），求所有橋墩建造成本總和的最小值.

【答案】⑴18個(gè)

（2）715.625萬(wàn)元

【分析】（1）先由正切值得到余弦值，進(jìn)而計(jì)算得到得到AC的長(zhǎng)，再計(jì)算得出AD,結(jié)合每30m放置一個(gè)

橋墩，

即可求出需要建造的個(gè)數(shù).

（2）可設(shè)最左邊的橋墩到E的距離為X米，?！盀閺淖笸傻凇▊€(gè)橋墩的高度，寫(xiě)出*e［O,18］和xe（18,3O）

對(duì)應(yīng)的橋墩高度。.的表達(dá)式，然后利用數(shù)列求和求出所有橋墩的高度，計(jì)算出成本總和的最小值即可得

出答案.

752412

【詳解】（1）由tan<9=五，tan0=五，可得cos。=云，cos^=—,過(guò)點(diǎn)3向AC作垂線，垂足為

則

AM=ABcose=240,CM=BCcoscp=168fAD=AM+CM+CD=5^G,

故修建橋墩個(gè)數(shù)為54芳0=18個(gè).

（2）設(shè)最左邊的橋墩到石的距離為九米，4為從左往由第〃個(gè)橋墩的高度,

由第=24。3r8=13.6,AC之間可以建13或14個(gè)橋墩，當(dāng)可以建14個(gè)橋墩時(shí),

0240+168—13x30=18,當(dāng)18V元<30時(shí)，AC之間可以建13個(gè)橋墩，而=8,

7

即AM之間可以建8個(gè)橋墩，在xe［（M8］時(shí)，當(dāng)6=80—tanex=80—五%,

777

a?=80(x+30),%=80—(X+30x2),,.=80—(x+30九—30)；

^9<n<14,an=tan^[168-(x+30n-30-240)]

80-^(438-X-30H)；當(dāng)〃〃=80；同理寫(xiě)出％e[18,30],

a“表達(dá)式總結(jié)如下:

①當(dāng)xe[0,18]時(shí):

7二

80------(x+30〃-30),1<n<8

24

80-3(438-X-3(M9V〃W14

解得見(jiàn)=，

80,15<M<18

求和后得至IJ的高度總和/i(x)=80x8-([8x+30x^^i^—30x8]+80x6-5[438x6-6x-

30x6x(,4)]+80x4=962.5+1x

②當(dāng)xe(18,30)時(shí)：

-7

80-----(x+30〃-30),1<H<8

24

an=<80-—(438-x-30n),9<n<13

80,14<n<18

求和后得到的高度總和

^(x)=80x8--[8x+30x^li^-30x8]+80x5--[438x5-5x-

24212

30X5X(^+13)]+80X5=970-1J

所以當(dāng)xe[O,18],/?(0)min=962.5,當(dāng)xe(18,3O),962.5</?(%)<965.5,

即橋墩高度總和最小為962.5,成本最小值為0.65x962.5+5x18=715.625萬(wàn)元.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用數(shù)列求解最值問(wèn)題一般有三種方法：

(1)數(shù)列也是特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)，因此可以利用函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而確定數(shù)

列的最值.

(2)結(jié)合基本不等式求最值，將通項(xiàng)或者前w項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式求最值.

(3)利用相鄰項(xiàng)比較，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求最大值只需要滿足向，得出最值.

1%N%

題型3幾何圖形中的計(jì)算

1.如圖，矩形A2CD區(qū)域內(nèi)，。處有一棵古樹(shù)，為保護(hù)古樹(shù)，以。為圓心，D4為半徑劃定圓。作為保護(hù)

區(qū)域，已知AB=30m,AD=15m,點(diǎn)E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為CD上的動(dòng)點(diǎn)，滿足E尸與圓。相切.

(1)若NAOE=20°,求EP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在A8的什么位置時(shí)，梯形FE8C的面積有最大值，最大面積為多少？

(長(zhǎng)度精確到0.1m,面積精確到O.OlnP)

【答案】⑴23.3m

(2)當(dāng)AE=8.7時(shí)，梯形FEBC的面積有最大值，最大值為255.14

【分析】(1)設(shè)跖與圓D相切于對(duì)點(diǎn)連接則。DH=AD=15,在直角△HED和直

角AFHD中分別求出EH,HF,從而得出答案.

(2)先求出梯形AEED的面積的最小值，從而得出梯形正防。的面積的最大值.

【詳解】(1)設(shè)跖與圓。相切于對(duì)點(diǎn)連接DH,則。DH=AD=15

則AE=EH,所以直角VADE與直角△fiED全等

所以NADE=ZHDE=20°

在直角△//￡?中，EH=DHtan20°=15tan20°

ZHDF=90°-2ZADE=50°

在直角△FHD中,HF=ADtan50°=15tan50°

sin20°sin50°

EF=EH+HF=15(tan20°+tan50°)=15-----------1-----------

cos20°cos50°

口sin20°cos50°+cos20°sin500口sin(20°+50o)°

=15x------------------------------------------=15x——--------------

cos20°cos50°cos20°cos50°

=15x―—=15a23.3

cos20°cos50°cos50°

(2)設(shè)ZAD石=0,NHD產(chǎn)=90。-29,則AE=15tane,

切=15tan（90。-2。）

15

S、EFD=^-x￡FxD//=y[15tan^+15tan（90°-2^）]=yH5tan^+

tan2。

SV,DF=1XADXAE=—xl5tan0

yADE22

所以梯形3D的面積為S=sg+S萩=：（30tane+」^］=竽［2tan6+與9粵］

21tan23J212tan6/J

225L八1>225」一-一廠225A/3

------3tan0H---------------------x23tan0x-------------------

4Itan3J4vAtan62

當(dāng)且當(dāng)3tane=」^,即tan0=g時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)AE=15tand=15x走=5百土8.7

tan。33

即當(dāng)tan。=正時(shí)，梯形AEED的面積取得最小值約8

32

則此時(shí)梯形FEBC的面積有最大值15x30-225百合255.14

2

所以當(dāng)AE=8.7時(shí)，梯形EE8C的面積有最大值，最大值為255.14

2.如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形ABC。的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以/DCB和ZD4B

為圓心角的兩個(gè)扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個(gè)扇形的圓弧均與8￡?相切.

（1）若AO=4歷，AB=3A/37,BD=37（長(zhǎng)度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；

（2）若扇形的半徑為10米，圓心角為135。，則多大時(shí)，平行四邊形綠地ABC。占地面積最?。?/p>

【答案】⑴72兀

（2）22.5°

【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得ZA的大小，再根據(jù)正弦定理可得sin進(jìn)而求得扇形的半徑，從而

得到種植花卉區(qū)域的面積

（2）設(shè)ZBD4=。，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系可得AD,AB關(guān)于0的表達(dá)式，從而得到平行四邊形的面積表

200

達(dá)式0sin（26+45。）一1從而根據(jù)三角函數(shù)的最值求解即可

由+信一協(xié)42x37+32x37-37?16+9-371皿

【詳解】（1）由余弦定理,--,故A=120。,

2ADAB_2x4扃x3扃-24

BDAD,故5皿44瓦）=4^5111120°=^^,所以扇形的半徑

又由正弦定理有

sin120sinZABDBDV37

r=AB-sinNABD=3回坐=66,故種植花卉區(qū)域的面積S=2xk至x(6/『=72萬(wàn)

庖23'/

io_10一

(2)設(shè)NRDA=6,則44血=180°-135°-。=45°-6,故AD=—4ADB=./.,,故平行四邊形

singsin(430

”2][0]0.1%。_⑼_________100

綠地A5CD占地面積2sin。sin(45。-。)_&/..2sin^cos^-sin26

\)sin0-(cos0-sin0)

=sin2e+8s2"l=&sin（2e+45。）」,因?yàn)椤ǎā?巧，故要鈣。面積最小，則當(dāng)sin（2O+40=l,

即29+45。=90。，6=22.5。時(shí)ABCD面積取得最小值，即NBD4=22.5。多大時(shí)，平行四邊形綠地ABC。占地

面積最小

3.某公園要建造如圖所示的綠地Q4BC,OA,OC為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄AB與BC的

TT

總長(zhǎng)度為12米，S.ZBAO=ZBCO.設(shè)NBAO=a（0<a<一）.

2

TT

⑴當(dāng)AB=4,a時(shí)，求AC的長(zhǎng)；（結(jié)果精確到0.1米）

（2）當(dāng)A3=6時(shí)，求。4BC面積S的最大值及此時(shí)a的值.

【答案】（1）11.6米

37r_

（2）當(dāng)a時(shí)，養(yǎng)殖場(chǎng)（MBC最大的面積為180+18平方米

O

【分析】（1）在VABC中，根據(jù)余弦定理求解即可；

（2）當(dāng)AB=6時(shí)，可得SuZxgoBx&Lxsin（，-0）,再化簡(jiǎn)可得S=18點(diǎn)sin（2a-71+18,再根據(jù)正弦函

數(shù)的最值分析即可

TTTTTT）TT

【詳解】（1）在VABC中，AB=4,BC=8,/ABC=2兀----------=一，由余弦定理，得

3326

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=80+32石，故AC=J'80+32石藥1.6.

因此AC的長(zhǎng)約為11.6米.

7T)冗

(2)連接02.由題意，AB=BC=6,ZABO=ZCBO=TV——a=——a,

44

由正弦定理@=BC

在403c中,得OB=6A/2sina.

smasinZBOC

于是S=2x；OBxBAxsin3兀3兀6.)

=36A/2sinasin-—sina

27

=36sincrcoscr+36sin2a=18sin2cr+18(1—cos2cr)=18A/2sin^2cif——j+18,0<ex<—.當(dāng)2a—1=即a=-^-

37r

時(shí)，s取到最大值，最大值為180+18.因此，當(dāng)夕=丁時(shí)，養(yǎng)殖場(chǎng)O4BC最大的面積為18啦+18平方米

O

4.（2023?上海徐匯?一模）近年來(lái)，為“加大城市公園綠地建設(shè)力度，形成布局合理的公園體系”，許多城市陸續(xù)

建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)計(jì)劃在一塊邊長(zhǎng)為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,

以跳'中點(diǎn)A為圓心，尸G為半徑的扇形草坪區(qū)A3C,點(diǎn)尸在弧上（不與端點(diǎn)重合）,AB,弧BC、CA,PQ、

PR、R。為步行道，其中PQ與垂直,PR與AC垂直.設(shè)

⑴如果點(diǎn)尸位于弧BC的中點(diǎn)，求三條步行道尸。、PR、R。的總長(zhǎng)度；

（2）“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”對(duì)于“拉動(dòng)靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道

PQ、PR、R。開(kāi)辟臨時(shí)攤點(diǎn)，積極推進(jìn)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”發(fā)展，預(yù)計(jì)每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每米5萬(wàn)元、5萬(wàn)

元及5.9萬(wàn)元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少？（精確到1萬(wàn)元）

【答案】⑴200+1004（米）

（2）2022萬(wàn)元

【分析】（1）根據(jù)圖依次求出三條線段長(zhǎng)度即可求出總長(zhǎng)度;

(2)將尸2、PR、RQ三邊通過(guò)圖中的關(guān)系用關(guān)于。的等式表示，再記經(jīng)濟(jì)總效益W,將W進(jìn)行表示，通過(guò)輔助角

公式化簡(jiǎn)求出最值即可.

【詳解】(1)解:由題AC=200,EA=100,;.EC=100』,

.,.ZE4c=],同理=5，故ZBAC=；,

由于點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)尸位于，BAC的角平分線上，

則|尸。|=網(wǎng)=|叫sinZPAB=200xsin-=100,

6

|AC|=|AP|cosZPAB=200X￥=100A/3,

因?yàn)锳BAC=j,|A(2|=|A7?|=IOOA/3,

所以為等邊三角形，

則忸9=|4。=100有，

因此三條街道的總長(zhǎng)度為/=|尸。|+|依|+3。|=100+100+1006=200+1006(米).

EAF

(2)由圖可知|PQ卜|Msine=200sin。，

|P/?|=|AP|sin^-^=200sin一=100A/3cos<9-100sin6?,

[A。]=[AP|cose=200cose,

\AR\=\AP\cosg一“=200cos胃一“=100cos6?+100Asin6?,

在-4?Q中由余弦定理可知：

2

廬?！?|A7?|-2|Ae||A7?|cos^

=(200cosOp+(100cos6+1004sin0^

-2x200cose(100cose+100^sine)cos?

=30000,

則|R0=ioo6,

設(shè)三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益W,則

W=(|P2|+|P7?|)x5+|7?e|x5.9

=(200sin，+100石cos〃一100sin，)x5+590若

=1000sin,+3+5903

當(dāng)$吊,+m=1即時(shí)W取最大值，

最大值為1000+59073?2022.

答:三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高約為2022萬(wàn)元.

5.(2023?上海浦東新?一模)在臨港滴水湖畔擬建造一個(gè)四邊形的露營(yíng)基地，如圖48。所示.為考慮露營(yíng)客

人娛樂(lè)休閑的需求，在四邊形ABCO區(qū)域中，將三角形A8O區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形80區(qū)域設(shè)立

成燒烤區(qū)，邊AB、BC、CD、ZM修建觀賞步道，邊BO修建隔離防護(hù)欄，其中CD=100米，3c=200米,

(1)如果燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄(精確到0」

米)？

(2)考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形ABCD區(qū)域時(shí)，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，再使得花卉

觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道？

【答案】⑴247.4m

(2)應(yīng)使得AB=AD=100V5m,NC=g來(lái)修建觀賞步道.

247

【分析】(1)由三角形面積公式求出sinC=不，得到cosC=-不，利用余弦定理求出&)1247.4m；

(2)解法一：先得到燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，BD=100y/5m,C=g,設(shè)ZABO=c,利用正弦定理得

到40=不一.15$111&,48=不一,由面積公式得到5AMi=------------+cosl2a--it\\,結(jié)

合々€(0,|兀)，得到面積的最大值，及A8=AO=1006m,得到答案.

解法二：先得到燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，BD=lQQy/5m,C=^,設(shè)AB=x,AO=y,由余弦定理得到

結(jié)合基本不等式求出孫，止匕時(shí)：

BD=10075,500002S1xysinA<1250073,AB=AD=100y/5,得到

結(jié)論.

【詳解】(1)S=-BCCD-sinC=-x100x200sinC=9600,

Rcn22

24

解得：sinC=|j,

7

因?yàn)镃是鈍角，所以cosC=-石.

由余弦定理得：B￡>=7BC2+CD2-2BCC￡>COSC

=JlOO?+2002-2x100x200x(^-^?247.4,

故需要修建2474m的隔離防護(hù)欄；

(2)解法一：S=-BC-Cr>sinC<-BC-CD=10000,

Rcn22

當(dāng)且僅達(dá)C=|■時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)BD=100x/?m,設(shè)NABD=a,

ADAB

在△加中‘加一$山\-asin713

3

解得：=—=—Asin|兀一a

故ABD5000073..

S=3AD-AB-sinA=------------sinasin

3

250006

3

因?yàn)閍s0,—7i,所以2a——7ie——7i,—7i

故當(dāng)2a-gn=0,即a=g兀時(shí)，cos12a-1■兀］取的最大值為1,

S"25。警xg+1]=125006，

當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)AB=AO=1006

JT

答：修建觀賞步道時(shí)應(yīng)使得A2=AO=1006加，ZC=-.

解法二：SBCD=12C?CD-sinCWg200)=10000,

當(dāng)且僅達(dá)C=g時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)50=100石，

設(shè)AB=%,AD=y.則由余弦定理，

BD=\/AB2+AD2-2AB-AD-cosA=Jx2+y2-2xy-^=100A/5,

故由平均值不等式，50000=x2+y2-xy>xy,

從而$ABD=1■孫sinA<125004,

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100曲.

答：修建觀賞步道時(shí)應(yīng)使得AB=AO=1006m,ZC=|.

題型4正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

TT

1.某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，AO,為直線岸線，Q4=1000米，03=1500米，ZAOB=~,

該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧AB，過(guò)弧A8上一點(diǎn)尸按線段上4和依修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知

⑴求岸線上點(diǎn)A與點(diǎn)8之間的直線距離；

（2）如果線段以上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段PB上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記

ZPAB=0,則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）

【答案】（1）5004米

（2）55076元

【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可;

（2）先由正弦定理計(jì)算出相關(guān)長(zhǎng)度，再計(jì)算收益表達(dá)式，最后由輔助角公式求最值.

【詳解】(1)AB=>JOA2+OB2-2XOAXOBCOS

=715002+10002-2xl500xl000cos60°=500。，

岸線上點(diǎn)A與點(diǎn)3之間的直線距離為5006米.

500療_PA_PB

(2)APAB中，.2Tt.nsin0,

sinsin(y-a

=（生一。），尸2=呼豆"，（。＜0＜巴）,

A/33石3

設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益為y元，則

…non40000々./3000077.〃

y=40PA+30PB=-----產(chǎn)——sin(8)+------產(chǎn)——sin3

-733

10000V7.7i小。.小IOOOOA/7/C[-八.八、

=-----尸——[r4ylsin(t----6)+3sin0]=-----尸——(2,3cos6+sinff)

V33V3

=1。吧％+32回

V3

當(dāng)，+arctan2A=(即6a]—arctan2石e(0,f時(shí)，

10000拘—,一、

%=—"55076（兀）

所以?xún)啥尉W(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高約為55076元.

2.如圖，某公園有一三角形的花壇ABC,己知圍欄BC長(zhǎng)5米，AC長(zhǎng)7米，3=60,擬在該花壇中修建

一條直圍欄尸。（即線段尸。，點(diǎn)尸、。分別在三角形的兩邊上），以種植兩種不同顏色的菊花供游客觀賞，花

壇設(shè)計(jì)者希望通過(guò)圍欄實(shí)現(xiàn)兩種菊花的種植面積相等且同一時(shí)刻花壇邊游客近距離賞花的人數(shù)的最大值相

等.試問(wèn)：在VABC的邊上是否存在R。兩點(diǎn)，使得線段PQ既平分VABC的面積又平分其周長(zhǎng)？若存在，求

出所有滿足要求的點(diǎn)AQ的位置（結(jié)果精確到0.1米）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】存在，即長(zhǎng)約7.2米，8。長(zhǎng)約2.8米

【分析】

由余弦定理可計(jì)算AB的長(zhǎng),進(jìn)而求出VABC的面積以及周長(zhǎng),分情況討論點(diǎn)AQ在A&AC上，在以5c上,

在C4、C3上，列方程組計(jì)算可求出結(jié)果.

【詳解】由余弦定理，AC?=BC2+AB2—2BC-AB-COSB,可得：49=25+AB2-2x5xABx1,解得：A5=8.

2

所以S.ABC=；倉(cāng)忸5?sin6010石，周長(zhǎng)為20.

■-j.m―/..+AC*2—BC~11AC2+BC2-AB2_1

由余弦定理可r知：cosA=-----------------------=一，cosC=

2ACAB142ACBC7

則sinA=述，sinC=—

147

x+y=10

若點(diǎn)八。分別在9AC上，設(shè)A尸=%,AQ=y,于是有x<8,y<7,貝I1.<,該方程組無(wú)解.

—xysinA=5V3

、2

x+y=10x=5+45

若點(diǎn)八。分別在3ABe上，設(shè)8P=x,5Q=y,于是有xW8,yW5,貝lj1.…,解得

—xysinB=5v3y=5一小

%+y=10

若點(diǎn)尸、。分別在C4、C8上，設(shè)CP=x,C0=y,,于是有無(wú)<7,，45,貝|1.「「6，該方程組無(wú)解.

萬(wàn)孫smC=5"

綜上，存在84上點(diǎn)尸和5c上點(diǎn)。，其中成長(zhǎng)約7.2米，3Q長(zhǎng)約2.8米滿足題意.

3.如圖，A、B、。三地在以O(shè)為圓心的圓形區(qū)域邊界上，AB=30公里，AC=10公里，ZBAC=60°,。是

圓形區(qū)域外一景點(diǎn)，ZDBC=9009ZDCB=60°.

D

(1)。、A相距多少公里？(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)

⑵若一汽車(chē)從A處出發(fā)，以每小時(shí)50公里的速度沿公路行駛到。處.需要多少小時(shí)？(精確到小數(shù)點(diǎn)

后兩位)

【答案】⑴15.28公里

(2)1.25小時(shí)

【分析】(1)由余弦定理求出BC,由正弦定理得到VABC的外接圓半徑，即可求出O、A相距多少公里;

(2)求出8。，由正弦定理求出sinNABC,由余弦定理計(jì)算出公路的長(zhǎng)，根據(jù)汽車(chē)的速度，即可求出

所需的時(shí)間.

【詳解】（1）由題意，設(shè)圓的半徑為R,

在VABC中，AB=30,AC=10,Zfl4c=60。，

由余弦定理，

BC=yjAB2+AC2-2,ABACcosZBAC=A/302+102-2x30xl0xcos60°=10幣

由正弦定理，

BC

=2R,

sinZBAC

解得：=y721?15.28,

由幾何知識(shí)得，。、A間的距離即為半徑R,

04=尺=3仞=15.28,

3

A相距15.28公里

（2）由題意及（1）得

在RtZXCBD中，ZDBC=90°,NJDCB=60°,BC=IQ幣,

：.=tan60°=1077x^=10^,

在VABC中，AB=30,AC=10,Zfl4C=60°,

由正弦定理，

.“sinABACsin600后

sinZABC=AC--------------=lOx-----==------,

BC107714

.?.在△ABD中,

V21

cosZABD=cos(NABC+ZCBD)=cosZASC+^=-sinZABC=-

~14~

由余弦定理,

AD=AB2+BD2-2AB-BDcosZABD=卜+（10萬(wàn)了—2x30x10萬(wàn)x卜答:=10屈,

?.?一汽車(chē)從A處出發(fā)，以每小時(shí)50公里的速度沿公路AD行駛到。處，

.而中葉向ADIOA/39A/39,

??所需時(shí)間：t=——=---=----?1.25，

v505

需要1.25小時(shí).

4.如下圖，某公園東北角處有一座小山，山頂有一根垂直于水平地平面的鋼制筆直旗桿A3,公園內(nèi)的小

山下是一個(gè)水平廣場(chǎng)（虛線部分）.某高三班級(jí)數(shù)學(xué)老師留給同學(xué)們的周末作業(yè)是：進(jìn)入該公園，提出與測(cè)

量有關(guān)的問(wèn)題，在廣場(chǎng)上實(shí)施測(cè)量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.老師提供給同學(xué)們的條件是：已知AB=10

米，規(guī)定使用的測(cè)量工具只有一只小小的手持激光測(cè)距儀（如下圖，該測(cè)距儀能準(zhǔn)確測(cè)量它到它發(fā)出的激

光投射在物體表面上的光點(diǎn)之間的距離）.

（1）甲同學(xué)來(lái)到通往山腳下的筆直小路/上，他提出的問(wèn)題是：如何測(cè)量小山的高度？于是，他站在點(diǎn)C處,

獨(dú)立的實(shí)施了測(cè)量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決了問(wèn)題.