妙用極化恒等式解決平面向量數(shù)量積問(wèn)題

【題型歸納目錄】

題型一：定值問(wèn)題

題型二：范圍與最值問(wèn)題

題型三：求參問(wèn)題以及其它問(wèn)題

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

(1)平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和:

證明：不妨設(shè)48=a,/。=5,貝!jNC=a+B,DB-a-b

國(guó)卜定=(a+印第?+2aj+件①

網(wǎng)2=值=6一.=忖2一22彳+人②

①②兩式相加得：

|狗2+|詞2=2付+附=2(畫,+阿)

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：+--------極化恒等式

①平行四邊形模式：a-b=^\AC^-\DB^

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差

②三角形模式：a.S=|^M|2-||D5|2(M為3。的中點(diǎn))

BMC

第1頁(yè)

【典型例題】

題型一：定值問(wèn)題

【例1】如圖，在“3C中，D是3C的中點(diǎn)，E、廠是4D上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BACA=4,RFCF--1-

則赤?樂(lè)的值是（）

【答案】C

【解析】因?yàn)?。是BC的中點(diǎn)，E,尸是ND上的兩個(gè)三等分點(diǎn),

所以麗=詼+赤，CF^CD+DF=-BD+DF，

BA=BD+DA=RD+3DF，CA=CD+~DA=-BD+3DF,

所以BF.CF=(BD+DF){-BD+DF)=DF-BD=-1,

BACA=(BD+3DF){-BD+3DF)=9DF-BD=4,

--------2S------213

可得。尸=-,BD

OO

又因?yàn)榈Z=而+詼=麗+2麗，CE^CD+DE=-BD+2DF

所以礪?屈=（而+2灰）?（一而+2麗）=4灰.7

8

故選：C.

【變式1-1］如圖，在平行四邊形Z5CD中，AB=\,AD=2,點(diǎn)2分別是邊上的中

點(diǎn)，則麗?濟(jì)+曲?版=

AE

3

2

【答案】A

第2頁(yè)

【解析】取HF中點(diǎn)0,則麗?的=麗?麗=前2一場(chǎng)2=1一g)2=a,

GHHE=GHGF=GO2-OH2=1-(^)2=|,因止匕麗.怒+麗.屜,選A.

【變式1-2]如圖，在“BC中，。是5c邊的中點(diǎn),E,尸是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若詼=7,屜.屈=2,

則而.而=()

BDC

A.—2B.—1C.1D.2

【答案】B

【解析】依題意，。是3c邊的中點(diǎn),E,/是線段/。的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

mnVT：k11111~rQ4AD-BC36FD-BC-

火tfA-CA=\-bC-AU--bC-AU=-------------——/，

(2JI2)44

---*2---*2

—?—?(1—>2—(1—?2—4—>21—216FD-BC

BE,CE=\-BC——AD?——BC——AD\=-AD--z)C—-------------------—2，

(23只23J944

、---2---?2

因止匕而2=],前2=8，而.而.部—而]前川JFD-BC=—=_1

)44

故選：B.

題型二：范圍與最值問(wèn)題

【例2】已知下圖中正六邊形/8。￡尸的邊長(zhǎng)為4,圓。的圓心為正六邊形的中心，直徑為2,若點(diǎn)尸在正

六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓。的直徑，則麗?麗的取值范圍是()

APF

CD

A.[11,16]B.[11,15]

C.[12,15]D.[11,14]

【答案】B

【解析】由正六邊形/5CDEF的邊長(zhǎng)為4,圓。的圓心為正六邊形的中心,半徑為1,

第3頁(yè)

所以正六邊形ABCDEF的內(nèi)切圓的半徑為廠=CMsin600=4sin600=2#），

外接圓的半徑為尺=4,

又由加?麗=（而+而）?（而+而）=（而+血）?（由一血）

=PO-OM=PO-1

因?yàn)榫识肥希雌ゲ罚?點(diǎn)4］,可得用Lie［11,15］，

所以兩.麗的取值范圍是［11,15］.

故選：B.

【變式2-1］窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.每年新春佳節(jié)，我國(guó)

許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥

的愿望.圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形/8COE尸的邊長(zhǎng)為4,

圓。的圓心為正六邊形的中心，半徑為2,若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓。的直徑，則西7.麗

的取值范圍是（）

CD

圖一圖二

A.[6,12]B.[6,16]C.[8,12]D.[8,16]

【答案】C

【解析】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，AOAB、△05C、AOCD、AODE、AOEF、均

為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

當(dāng)點(diǎn)P位于正六邊形4BCOE尸的頂點(diǎn)時(shí)，|而|取最大值4,

當(dāng)點(diǎn)尸為正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，|而|取最小值，即|用L=4sing=2C,

所以，|所心［26,4］.

CD

第4頁(yè)

所以，PM-PN^(JPd+OMy(Jd+ON)=(Pd+OMy(Td-OM^=Pd2-4e[8,n].

故答案為：[8,12].

【變式2-2】正三角形/3C的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)。在邊42上，且麗=2次，三角形48c的外接圓的一條弦7W

過(guò)點(diǎn)。，點(diǎn)P為邊2c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MV的長(zhǎng)度最短時(shí)，西7?麗的取值范圍是()

A.[-1,5]B.[-1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【答案】D

【解析】設(shè)。為“8C外接圓的圓心，

因?yàn)辂?2萬(wàn)3，所以0O=g/C=l,

當(dāng)弦MV的長(zhǎng)度最短時(shí)，MN1OD,

n1AB13_

在"3C中，由正弦定理知，外接圓半徑一2sine-2昱,即0〃=6，

T

所以四V=2MD=2ylOM2-OD2=24回一儼=26,

因?yàn)?由+麗『^(PM-PN^2+4PM-PN,即(2所『^NM2+APM-PN,

---???21*2、21/t~~\2?2

所以PM-PN=PD--NM=PD---{2y/2j=PD-2,

因?yàn)辄c(diǎn)尸為線段8c上的動(dòng)點(diǎn)，

所以當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合(DQ1BC)時(shí)，|PD|M[N=\DQ\=即sin60。=2x曰=5

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，|兩島=|。。|，

在△BCD中，由余弦定理知，

222

\CD\=\BCI+\BD\-2|JBC|-|JBZ)|cosZ^5C=9+4-2x3x2x1=7,

所以?麗京=|。必=小，

綜上，I所卜[6,V7],

所以M麗=而2_2曰1,5].

第5頁(yè)

c

故選：D.

【變式2-3】四邊形/BCD為菱形，NBAC=3G°,AB=6,尸是菱形/BCD所在平面的任意一點(diǎn)，則秒.定

的最小值為（）

A.—30B.-27C.-15D.-9

【答案】B

【解析】由題意，四邊形/BCD為菱形，ZBAC=30°,可得ZCMC=60。,

在“BC中，由余弦定理得到/C=6jL

連接ZC和交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。為/C的中點(diǎn)，

連接。N,OC,OP,則用=麗+），PC=PO+OC=pd-OA，

2

所以強(qiáng)友=（麗+珂.（麗-叫=所2_而=PO-27>-27.

故選：B.

題型三：求參問(wèn)題以及其它問(wèn)題

【例3】設(shè)zUBC,勺是邊上一定點(diǎn)，滿足且對(duì)于邊上任一點(diǎn)P,恒有

麗?12港?錠.則（）

AP

A.ZABC=90°B.ABAC=90°C.AB=ACD.AC=BC

第6頁(yè)

【答案】D

【解析】如圖，取2c的中點(diǎn)

由極化恒等式可得：PB-PC=PD^-JDI'

2

同理，~P^B-P^C=P0D--BD,由于麗?定之厄?配，

則|所上|而J,所以均DL/B,

因?yàn)閝8=。是2c的中點(diǎn)，于是/C=5C.

故選：D.

【變式3-1］在。8C中，ZC=2BC=4,-4C8為鈍角，MN是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且"N=l,若南.國(guó)

3

的最小值為“則cosNNC5=-----------.

【答案］匕拽

【解析】取M2V的中點(diǎn)尸，取的=-用7，|麗|=|同"=；,

-21

函.函=（而+而）.（行+兩）=（而+而）.（而_府）=CP——

4

3

因?yàn)樗鞯淖钚≈怠?/p>

所以C%n=L

作CH，48,垂足為以，如圖,

第7頁(yè)

A

B

則CH=1,又BC=2,所以48=30。,

因?yàn)?C=4,

所以由正弦定理得：sin/=1,3sA=叵

44

所以cosNNC8=cos(150。-/)=-*cos/+；sin/

V3V15111-375

----X-----1-x—=------

24248

故答案為：匕至

8

【變式3-2］在AABC中，/C=28C=6,ZACB為鈍角,",N是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，旦MN=2,若由網(wǎng)

的最小值為3,貝UcosN/C2=

【答案】中

【解析】取線段MN的中點(diǎn)P,連接CP,過(guò)C作CO_L4B于O,如圖，PM=：MN=\,

依題意，C^-CN=(CP+PM\^CP-PM^=CPi-PM2=CP2-1,

因而?國(guó)的最小值為3,則冏的最小值為2,因此。。=2,

CO17/?CO2

在RtA^4(9C中，cosZ-OCA―――——,sinZ.OCA=------,在Rt^BOC中，cosZ.OCB=――=—,sinZ.OCB=

CTI33Cn3

所以cosZACB=cos(ZOCA+ZOCB)=cosZOCAcosZOCB-sinNOCAsinZOCB=2-2屈

9

故答案為：2-25

9

【變式3-3】設(shè)直角“3C,1是斜邊上一定點(diǎn).滿足勺8=J/8=1,則對(duì)于邊上任一點(diǎn)尸，恒有

6

PBPC>^B^C,則斜邊上的高是.

第8頁(yè)

【答案】2A/2

【解析】取8c中點(diǎn)D,貝I］麗.京=（而+麗）（麗+虎卜麗，+麗.（皮+麗）+皮.麗二麗?一方2,同理

耶?昭=麗,-質(zhì)?，又廊由2庭.蔗,故而飛耳52,即|而以耳科恒成立，所以以_LA8.作

CE1AB,則勺為E8中點(diǎn)，故EB=2P0B=2,所以/￡=4.又因?yàn)橹苯恰?C,故CE?=AE-EB=8,所以

CE=2^/2,即斜邊48上的高是2及

故答案為：2拒

第9頁(yè)

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

1.點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則萬(wàn)?方的最大值為（）

1113

A.2B.—C.3D.—

44

【答案】C

【解析】分別取N8,DE中點(diǎn)。，R,連接尸。，QR,

222

則由題5D=Z)C+5C-2DCxJ8CxcosZ5CZ)=l+l-2xlxlxcosl20°=3,即=

所以QD=J幽+Q

作圖如下，由圖可知當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到?；駿時(shí)P0最大,

所以莎屈=（R+訪）.（R+函）=（所+））?（網(wǎng)-訪）

------2?221?2]

=尸°/一。于*=3,

所以方.而的最大值為3.

故選：C.

2.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的

正六邊形前紙窗花.圖2中正六邊形/5C0E/的邊長(zhǎng)為4,圓。的圓心為該正六邊形的中心，圓。的半徑

為2,圓。的直徑||CO,點(diǎn)尸在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則兩.兩的最大值為（）

O2

第10頁(yè)

【答案】D

【解析】如圖，連接尸。，顯然礪=-麗，

^-m=(l^+OM)-(Pd+ON)=(Pd+OM)-(Pd-OM)=Pd2-OM2=PQ2-4，

點(diǎn)尸在正六邊形/BCD防的邊上運(yùn)動(dòng)，。是其中心，因此戶4的最大值等于其邊長(zhǎng)4,

所以兩.麗的最大值為4?-4=12.

故選：D.

3.在矩形N8CD中，AB=4,4D=3,在40上取一點(diǎn)跖在上取一點(diǎn)尸，使得4P=2,=過(guò)M

點(diǎn)族MNHAB交BC于N點(diǎn)、,若線段"N上存在一動(dòng)點(diǎn)E,線段CD上存在一動(dòng)點(diǎn)尸.

(1)若=用向量方萬(wàn)表示向量而=

(2)若麗.市=4,則|而+而|的最小值為.

【答案】

-LAB+\AD2V5

__11―?

【解析】(1)根據(jù)題意，可得MN〃AB且MN=AB,所以MN=AB,可得ME=gMN=qAB,

結(jié)合孤、AP=-AB,^^PE=PA+AM+ME=--AB+-AD+-AB=--AB+-AD-

3223363

(2)因?yàn)辂?麗=4,所以(而+再^=(而一方>+4麗?麗=|麗『+16,

觀察圖形可得：|麗2DM=2,當(dāng)斯工°時(shí)等號(hào)成立，

所以(而+而了22?+16=20,可得\PE+PF\>2"即|PE+司的最小值為2底

1—?1—?

故答案為：--AB+—AD；2行

63

第11頁(yè)

4.如圖，已知正方形/BCD的邊長(zhǎng)為2,過(guò)中心。的直線/與兩邊48,CZ）分別交于點(diǎn)N,若。是

的中點(diǎn)，則由?函的取值范圍是;若尸是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足2麗=肪5+（1-㈤反（&R）,貝IJ

麗.西的最小值是.

【解析】由直線/過(guò)正方形/BCD的中心。且與兩邊N8、CD分別交于點(diǎn)M、N,得。為九W的中點(diǎn)，

則的=_麗，QM-QN=（QO+0M）-（QO+ON）=QO-OM2>

由。是8C的中點(diǎn)，得|函|=1,又14|血區(qū)收，則-14因2-破24o,

所以甄?的取值范圍為［T,。］；

令麗=2而，則Of=2OP=WB+（\-A）OC,

則方=2無(wú)+1-灰元，即的-就=彳無(wú)-2而，于是赤=4而，即點(diǎn)7在直線8C上，

因止匕|而|21,|OP|>|,則麗?麗=（而+）7）?（而+麗）=司2_兩2,

ffi］1<|OM|<V2,因此PA/.PN=PO-OM2；-2=-（,

___7

所以PM-PN的最小值為一丁.

4

7

故答案為：［T，。］;-7

4

―.2—

5.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形488中，P是對(duì)角線"C上一點(diǎn)，且4尸=1/C,則DPAP=

若點(diǎn)M為線段AD（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則行?面的最小值為.

第12頁(yè)

__2______

【解析】AP=-AC,AB.AD=O,

—?—?—?2—?—?2—?2—?—?3—?2—?

故DP=AP—AD=—AC—AD=—AD+—AB—AD=一一AD+-AB,

55555

—?—?___2—?—??—?2—?—?3—?2—?

BP=AP-AB=-AC-AB=-AD+-AB-AB=——AB+-AD,

55555

故麻麗=卜：25+|可］一（而+|赤］

二/而!近2任君=0-1612

2525

點(diǎn)M為線段AD（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)前=加麗，0<m<l,

MB=—mBD=—mAD+mAB，

_____________?___o___o___

MP=MB+BP=-mAD+mAB一一AB+-AD

55

其中方.茄=0,

故當(dāng)機(jī)時(shí)，礪.礪取得最小值，最小值為一

48

121

故答案為：一=，--

25o

6.己知△4BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)。在平面/8C內(nèi)且方.麗=則方2.發(fā)的最大值

為,最小值為.

【答案】3-1

【解析】因?yàn)榉??麗=0，所以點(diǎn)。在以48為直徑的圓上，

記/用NC的中點(diǎn)分別為QE,

貝I]刀.反=（詼+司.（瓦+硝=（反+應(yīng)）.（方-間=反2_或2,

因?yàn)椤?BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，EA=1,所以萬(wàn)7皮=瓦2_],

易知，當(dāng)。,。,￡三點(diǎn)共線時(shí)。E取得最大值，此時(shí)?！?00=1,

所以刀?皮的最大值為方,—1=22-1=3，

當(dāng)D,E重合時(shí)DE取得最小值，止匕時(shí)方/皮的最小值為詼2_1=o_1=

故答案為：3;-1.

第13頁(yè)

c

7.太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，因而又被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.如圖所示

的圖形是由半徑為2的大圓。和兩個(gè)對(duì)稱的半圓弧組成的，線段〃N過(guò)點(diǎn)。且兩端點(diǎn)分別在兩個(gè)半圓

弧上，尸是大圓上一動(dòng)點(diǎn)，則兩■.兩的最小值為.

【答案】0

【解析］連接PO,可得布?麗=（麗+麗）?（而一麗）二所2—麗2=4■-麗2,

顯然當(dāng)前2最大，即可取得最大值2時(shí)，加.兩取得最小值0.

故答案為：0.

8.如圖，是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2,尸是平面上任意一點(diǎn).則西?（而+正）的最小值為.

3

【答案】

第14頁(yè)

【解析】在邊長(zhǎng)為2的在a/BC中，取8c的中點(diǎn)。，連接40并取其中點(diǎn)O,連接尸。，則

OD=-AD=—,

22

于是蘇?（而+左）=2萬(wàn)?麗=2（而+E）?（而+歷）

1（—*—>■—-—*i—3o3

=2（PO-OD）?（PO+OD）=2PO-2OD>-2x（-y）2

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)取等號(hào)，

—―—.3

所以尸/?（必+PC）的最小值為一萬(wàn).

故答案為：j3

9.如圖，半圓的半徑。/=3,點(diǎn)。為圓心，點(diǎn)C為半圓上不同于43的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)尸為半徑。C上的

動(dòng)點(diǎn)，貝I（蘇+而）?正的最小值為.

【解析】依題意，PA+PB=2PO,\PO\+\PC\=\OC\^3,

所以（蘇+麗）.卮=2所.京=-2|PO|-|PC|>-2x（|f（9|^|PC|）2=-|,

當(dāng)且僅當(dāng)I所|=|定|=|,即點(diǎn)尸是線段OC的中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，

—.—?,一9

所以（P/+PB）-PC的最小值為.

9

故答案為：-5

10.如圖直角梯形ABCD中，既是C。邊上長(zhǎng)為6的可移動(dòng)的線段，4）=4,=86,5。=12，則屜.而

第15頁(yè)

【解析】在8C上取一點(diǎn)G,使得5G=4,取EF的中點(diǎn)尸，連接DG.BP,如圖所示:

則。G=86，GC=8,CD=,+（8國(guó)=16,tan/3c￡）=半=6,即N8CZ）=60°,

麗.麗=；［（而+麗）1（而-而H=；］（2旃了-而〔=而2-9,

當(dāng)AP_LCD時(shí)，|而|取得最小值，此時(shí)|旃|=12xsin60。=6所以（礪.而）=（6B丫-9=99.

當(dāng)尸與。重合時(shí)，CP=13,BC=1