專題20銳角三角函數(shù)的核心知識點(diǎn)精講

o復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.通過復(fù)習(xí)進(jìn)一步理解銳角三角形函數(shù)的概念，能熟練應(yīng)用sinA,cosA,tanA表示直角三角

形中兩邊的比，熟記特殊角30°,45°,60°的三角函數(shù)值；

2.理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系，會運(yùn)用勾股定理，銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識來解某些簡

單的實(shí)際問題，從而進(jìn)一步把數(shù)和形結(jié)合起來，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識；

3.會用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識來解決某些簡單的實(shí)際問題。

O考點(diǎn)植理O

考點(diǎn)1:銳角三角函數(shù)的概念

如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,/A所對的邊BC記為a,叫做/A的對邊，也叫做/B的鄰

邊，NB所對的邊AC記為b,叫做NB的對邊，也是/A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c,叫做斜邊.

.，NZ的對邊a

銳角A的對邊與斜邊的比叫做/A的正弦，記作sinA,即BnsinA=————二—

斜邊c

/NZ的鄰邊b

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cosA,即mcosA=———-——二—

斜邊c

日子.的對邊a

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記作tanA,即tanA=---,,人二—

N4的鄰邊b

的對邊bN8的鄰邊N8的對邊b_

同理sinB二cos8=tan5二

斜邊斜邊N8的鄰邊a

考點(diǎn)2：特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下:

銳角asinacosatana

.717

30°

yr

45°1

，丁

60°后

考點(diǎn)3：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在RtZ\ABC中，ZC=90°,NA、ZB,NC所對的邊分別為a、b、c,則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b?=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

.a.b.a

sinA=—cos=—tan/S=—t

f-,u，

r=—cosE=-tan0二一

④-,h為斜邊上的高.

注意：

(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90°),是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

考點(diǎn)4：解直角三角形的應(yīng)用

(1)坡度坡角

在用直角三角形知識解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會用到以下概念:(1)坡

角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母比表示.坡度

?=-=t<ina

(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離「的比叫做坡度，用字母，表示，則,如圖,坡度通常

寫成7:卜:'的形式.

(2)仰角俯角問題

仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如

圖.

視線

冰平線

視線

(3)方位角問題

方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA,PB,

PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

（2）方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向

線0A,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60°.特別如：東

南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北

偏西45°.

G3典例引領(lǐng)

【題型1:銳角三角函數(shù)的概念】

【典例1】（2023?新疆?中考真題）如圖，在RtZ\48C中，以點(diǎn)2為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F,

交2C于點(diǎn)E,分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于軟F長為半徑作弧，兩弧在NB2C的內(nèi)部交于點(diǎn)G,作射線4G交

BC于點(diǎn)D.若2C=3,BC=4,貝UCD的長為（）

A.-7B.1C.3-D.2

oZ

【答案】c

【分析】過點(diǎn)n作DHIAB于點(diǎn)H,勾股定理求得力B,根據(jù)作圖可得AD是ABAC的角平分線，進(jìn)而設(shè)

CD=DH=x,貝ijBD=4-x,根據(jù)sinB=黑=*，代入數(shù)據(jù)即可求解.

DUAD

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)。作于點(diǎn)H,

B

A'C

E

在RLABC中，AC=3,BC=4,

■■AB=VxC2+BC2=732+42=5，

根據(jù)作圖可得AD是ABAC的角平分線,

.-.DC=DH

設(shè)CD=DH=x,BD=4-x

.?HDAC

__3

J，==5

解得：x=l

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，正弦的定義，勾股定理解直角三角形，熟練掌握基

本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

即時(shí)檢浦

1.（2022?吉林長春?中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機(jī)的示意圖，該起

重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)/,變幅索的底端記為點(diǎn)2,4。垂直地面，垂足為點(diǎn)D,BC1AD,垂足為點(diǎn)

C.設(shè)N4BC=a,下列關(guān)系式正確的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】■.BCLAC,

.?△ABC是直角三角形,

UBC=a,

.AC

???sma-,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義.在直角三角形中任意銳角乙4的對邊與斜邊之比叫做乙4的正

弦，記作sin4.掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

2.(2024?江蘇無錫?中考真題)如圖，在菱形力BCD中，乙48C=60。，E是CD的中點(diǎn)，貝Ijsin/EBC的值為

(

A,且

B

5-T

【答案】C

【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔

助線，構(gòu)造直角三角形求解.

延長BC,過點(diǎn)E作BC延長線的垂線，垂足為點(diǎn)“，設(shè)BC=CD=x,易得乙48C=NDCH=60。，貝。

CE=\cD=\x,進(jìn)而得出EH=CE-sin60o=^c,C”=CE.cos6(F="再得出=BC+C"="最

Z2444

后根據(jù)sin/E8C=喋，即可解答.

DC,

【詳解】解：延長BC,過點(diǎn)￡作BC延長線的垂線，垂足為點(diǎn)”，

???四邊形ZBCD是菱形，

：.BC=CD,ABWCD,

：.^ABC=^DCH=60°,

設(shè)BC=CD=x,

???E是CD的中點(diǎn)，

'-CE=|C￡)=|x,

-EH1BH,

；.EH=CE?sin60°=&CH=CE-cos60°=

44

；.BH=BC+CH=3X,

4

BE=yjBH2+EH2=^-x

&

-等

.-.sinzFBC--S2-

故選：C.

0

3.(2023?四川?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(1,0),點(diǎn)8(0,-3),點(diǎn)C在%軸上，且點(diǎn)C在

1

點(diǎn)4右方，連接AB,BC,若tan乙4BC=§,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

【答案】(》)

【分析】根據(jù)已知條件得出乙4B0=N2BC,根據(jù)等面積法得出含=黑，設(shè)CgO),貝函=m—1,進(jìn)

而即可求解.

【詳解】解：???點(diǎn)4(1,0),點(diǎn)8(0,-3),

??.。4=1,08=3,

tanZ-OBA=

,：tanZ-ABC=

.，/ABO=Z.ABC,

過點(diǎn)A作/D18C于點(diǎn)。，

-AO1BO,ADIBC,ZB是乙。的角平分線，

：.A0=AD=1

S^ABO^OAxOB^OBxOA

,,"c=1=1

^^ABC-ACxOB^BCxAD

AC_CB

"'OA~'OB

設(shè)C(m,0)，則M。=m—1,BC=V32+m2

.m-1-V32+m2

..--------________

13

解得：TH=：或771=0(舍去)

--cG-°)

故答案為：G，o).

【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)

鍵.

典例引領(lǐng)

【題型2：特殊角的三角函數(shù)】

【典例2】（2024,黑龍江大慶?中考真題）求值：|百—2]—（2024+ir）°+tan60。.

【答案】1

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算.直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)幕的性質(zhì)、絕對值的性

質(zhì)分別化簡即可得出答案.

【詳解】解：|百一2|-（2024+ir）°+tan60°

=2-V3-1+V3

=1

即時(shí)檢測

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）計(jì)算：（ir—3）°—2sin60。+|—.

【答案】1

【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)零指數(shù)幕、特殊角三角函數(shù)值、絕對值計(jì)算即可.

【詳解】5—3）°—2sin6（r+|一百|(zhì)

V3廣

=1-2X——F~\[3

=1-V3+V3

=1.

2.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題）計(jì)算：一（一段）3+tan60°+|^3-2|+（TT-2024）0.

【答案】11

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算.根據(jù)零指數(shù)幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得

出答案.

【詳解】解：+tan60°+|V3-2|+（it-2024）0

=8+V3+2-V3+l

=11.

3.（2024?廣東深圳?中考真題）計(jì)算：—2,cos45。+（兀-3.14）°+|1—+G）.

【答案】4

【分析】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)幕，絕對值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕.先將各項(xiàng)化簡，再算

乘法，最后從左往右計(jì)算即可得

【詳解】解：一2"cos45°+(7T—3.14)°+|1—V2|+Q)

V2廠

=-2x—+1+V2-1+4

--+1+—1+4

=4.

級置典例引領(lǐng)

【題型3：解直角三角形】

【典例3】(2024?浙江?中考真題)如圖，在△4BC中，AD1BC,AE是BC邊上的中線，AB=10,XO=6,tan

⑴求8C的長；

(2)求sinzZME的值.

【答案】⑴14

⑵亙

''37

【分析】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，分別解Rtaaoc與Rt

△ADB,得出DC=6,DB=8是解題的關(guān)鍵.

(1)先由三角形的高的定義得出乙4DB=NADC=90。，再利用1211乙4。8=1得出。。=6；在Rt

△4DB,根據(jù)勾股定理求出。B=8,然后根據(jù)8C=BD+DC即可求解.

(2)先由三角形的中線的定義求出BE的值，則DE=BD-BE,然后在Rt△4DE中根據(jù)正弦函數(shù)的定義

即可求解.

【詳解】(1)解：在中，AB=10,AD=6,

■BD-y/AB2-AD2-V102-62=8,

An

在RgADC中，tan乙4cB=而=1,

..DC—6,

'.BC=BD+DC=8+6=14；

(2)???/￡是BC邊上的中線，

；.BE/BC=7,

，DE=BD-BE=8—7=\,

?ME=VxD2+DE2=762+l2=V37,

‘sin皿9=*焉=等

33即時(shí)檢測

1.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，菱形2BCD中，點(diǎn)。是BD的中點(diǎn)，AMA.BC,垂足為M,AM

交BD于點(diǎn)N,OM=2,BD=8,則MN的長為（）

\-----#

/2木/

RMC

A.V5B.—C.—D.—

555

【答案】c

【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

先由菱形性質(zhì)可得對角線力C與B。交于點(diǎn)O,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得

OA=OC=OM=2,進(jìn)而由菱形對角線求出邊長，由sinNM4C=sinN。BC=5解三角形即可求出

MC=ACsmZ-MAC=—,MN=BMX.anz.OBC=—.

55

【詳解】解：連接4C,如圖，

?.?菱形4BCD中，4C與BD互相垂直平分,

又???點(diǎn)。是BD的中點(diǎn)，

以、。、C三點(diǎn)在同一直線上，

：.OA—OC,

???OM=2,AMIBC,

：.OA=OC=OM=2,

?:BD=8,

.-.OB=0D=^BD=4,

-BC=VOB2+OC2="+22=2V5,tanzOBC=第=[=],

UD4Z

■：^ACM+/.MAC=90°,^ACM+zOBC=90°,

,■,^MAC=乙OBC

.,.sinzMXC=sinzOBC=染=

BC2V55

：.MC=ACsin^MAC=等

：.BM=BC-MC=2"一號=嗒

■,MN=BMtan^OBC=迪x：=幽

故選：C.

2.（2024?四川樂山?模擬預(yù)測）如圖，在地面上的點(diǎn)4處測得樹頂B的仰角為a,AC=7米，則樹高BC為

（）.

-------a

A.(7+a)米B.7sina米C.7cosa米D.7tana米

【答案】D

【分析】本題考查解直角三角形的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，則tana=箓，根據(jù)4C=7,即可求出

BC.

【詳解】解：?.2B4C=a,AC=7,

.,?tana=—,

.'.BC=7tana(米).

故選：D.

典例引領(lǐng)

【題型4：解直角三角形的應(yīng)用】

【典例3】（2024?海南?中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是

海南島東北部最重要的航標(biāo).某天，一艘漁船自西向東（沿2C方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海

峽航行，如圖所示.

航行記錄記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西60。方向上的/處.

記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔尸北偏西45。方向上的8處.

記錄三：根據(jù)氣象觀測，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，

會出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔尸北偏東15。方向.

請你根據(jù)以上信息解決下列問題:

（1）填空：NPAB=°,^APC=0,AB=海里；

（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請計(jì)算說明.

（參考數(shù)據(jù)：經(jīng)=1.41,百一1.73,V6-2.45）

【答案】⑴30；75；5

⑵該漁船不改變航線與速度，會進(jìn)入"海況異常"區(qū)

【分析】本題主要考查了方位角的計(jì)算，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理：

（1）根據(jù)方位角的描述和三角形內(nèi)角和定理可求出兩個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間可以計(jì)

算出對應(yīng)線段的長度；

（2）設(shè)P。=x海里，先解Rt△PDB得到BD=x,再解Rt△力PC得到4。=a=序海里,4P=鳥=2x

ran/isin/i

海里，據(jù)此可得x+5=百x,解得2P=2x=（5V3+5）海里；證明NC=/-APC,則4C=2P=（5V3+5）

海里；再求出上午9時(shí)時(shí)船與C點(diǎn)的距離即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)P作PD1AC于。，

由題意得，^APD=60°,4BPD=45。,^CPD=15°,

:/PAB=90°-^APD=30°,/-APC=/.APD+乙CPD=75°；

???一艘漁船自西向東（沿AC方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時(shí)從4出發(fā)到上午8

時(shí)30分到達(dá)8,

.-.AB=10x0.5=5海里.

在RtZiPDB中，8。=P。-tanNDPB=%海里，

在RtaAPD中，4。=烏=打工海里，AP=~^=2x海里,

tan/isinzi

'.'AD=AB+BD,

：.x+5=\[^x,

解得“=總=宇,

?-AP=2x=（5V3+5）海里，

?.zC=180°-AA-^APC=75°,

：.Z-C=Z-APC,

■■AC=AP=（5V3+5）海里；

上午9時(shí)時(shí)，船距離/的距離為10X1=10海里，

■,-5V3+5-10=5V3-5-5x1.73-5=3.65<5,

???該漁船不改變航線與速度，會進(jìn)入"海況異常"區(qū).

1.（2024?內(nèi)蒙古,中考真題）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑.如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝

置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處.現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽

象成右側(cè)示意圖，己知試管力8=2451方^=%8,試管傾斜角乙486為12。.

⑴求試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長度;（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）

⑵實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁MN,延長BM交CN的延長線于點(diǎn)尸，且MN1CF于點(diǎn)N（點(diǎn)C,D,N,

尸在一條直線上），經(jīng)測得：DE=28cm,MN=8cm,^ABM=147°,求線段ON的長度.（結(jié)果用含非

特殊角的三角函數(shù)表示)

【答案】(l)8cosl2°cm

⑵(8cosl2。+20-8sinl20)cm

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，掌握直角三角形中的

邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

(1)先求出BE=8cm,再在RtZXBEG中，利用余弦的定義求解即可得；

(2)過點(diǎn)B作BP1CF于點(diǎn)P,過點(diǎn)M作MQ1BP于點(diǎn)Q,先解直角三角形可得EG的長，從而可得DP,BQ

的長，再判斷出是等腰直角三角形，從而可得QM,PN的長，最后根據(jù)DN=DP+PN求解即

可得.

【詳解】(1)■.AB^24cm,BE=^AB,

??.BE=8cm,

由題意可知，BGIDE,

在由△BEG中，AABG=12°,

'.BG=BE-cosZ-ABG=8cosl2°cm,

答：試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長度8cos12Ocm.

(2)解：如圖，過點(diǎn)B作BP1CF于點(diǎn)P,過點(diǎn)M作MQ1BP于點(diǎn)Q,

則四邊形BPDG和四邊形MNPQ都是矩形，

.-.Z.PBG=90°,DP=BG=8cosl2°cm,BP=DG,PQ=MN=8cm,PAZ=QM,

在由△BEG中，N4BG=12。，BE=8cm,

.?.EG—BE-sinNABG=8sinl2°cm,

■.-DE-28cm,

-BP=DG=DE-EG=(28-8sinl20)cm,

-BQ=BP-PQ=(20-8sinl2°)cm,

=147°,ZXSG=12°,^PBG=90°,

"MBQ=45°,

??.Rt△8MQ是等腰直角三角形，

■■-QM=BQ=(20-8sinl2°)cm,

■■DN=DP+PN=DP+QM=(8cosl2°+20-8sinl2°)cm,

答：線段D/V的長度為（8cosl2。+20-8sinl2°）cm.

2.（2024?四川巴中?中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng).如圖所示，斜坡BE的坡度

i=l：0,BE=6m,在B處測得電線塔CD頂部。的仰角為45。，在E處測得電線塔CD頂部。的仰角為

60°.

⑴求點(diǎn)B離水平地面的高度4B.

⑵求電線塔的高度（結(jié)果保留根號）.

【答案】（l）AB=3m：

⑵電線塔CD的高度（6百+9）m.

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用.

（1）由斜坡BE的坡度i=l:?求得*=/=g利用正切函數(shù)的定義得到NBEA=30。，據(jù)此求解即

AEV33

可；

（2）作BF1CD于點(diǎn)F，設(shè)=先解得到=解Rt△DCE得到EC=梟；+3）米，進(jìn)

而得到方程3向+亭（％+3）=%，解方程即可得到答案.

【詳解】（1）解：???斜坡BE的坡度i=l:百，

竺_2__百

??有一百一可，

,：tanZ-BEA=4?=—

AE3

：.^BEA=30°,

;BE=6m,

■.AB=^BE=3(m);

(2)解：作BF1CD于點(diǎn)F,則四邊形4BFC是矩形，AB=CF=3m,BF=AC,

設(shè)。F=xm,

在RSDBF中，tanzDBF=

在Rt^ABE中，AE=^BE2-AB2=3V3.

DC

在Rt△￡)(?￡中，DC=OF+CF=(%+3)m,tanzDEC=—,

cc兄+3Vs

?回=嬴如=掌＞+3)，

.■.BF=AE+EC,

?'?3^3+~^(x+3)=x，

：.x=6V3+6,

.■.CD=6V3+6+3=x=6V3+9

答：電線塔CD的高度（6百+9）m.

3（2024?廣東廣州?中考真題）2024年6月2日,嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為"著上組合體"）

成功著陸在月球背面.某校綜合實(shí)踐小組制作了一個(gè)“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖,

該模擬裝置在緩速下降階段從4點(diǎn)垂直下降到B點(diǎn)，再垂直下降到著陸點(diǎn)C,從B點(diǎn)測得地面。點(diǎn)的俯角

為36.87。，4。=17米，BD=10米.

⑴求CD的長；

⑵若模擬裝置從4點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn)，求模擬裝置從4點(diǎn)下降到8點(diǎn)的時(shí)間.（參考數(shù)

據(jù)：sin36.87°-0.60,cos36.87°-0.80,tan36.87°-0.75）

【答案】（1）。。的長約為8米；

⑵模擬裝置從4點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間為4.5秒.

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一一仰俯角問題，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)求邊長是解題關(guān)鍵.

(1)過點(diǎn)B作BEIICD交2D于點(diǎn)E,根據(jù)余弦值求出CD的長即可；

(2)先由勾股定理，求出4C的長，再利用正弦值求出BC的長，進(jìn)而得到的長，然后除以速度，即

可求出下降時(shí)間.

【詳解】(1)解：如圖，過點(diǎn)B作BEIICD交4D于點(diǎn)E,

由題意可知，=36.87。，

.-.乙BDC=36.87°,

在△BCD中，NC=90。，BD=10米，

CD

??,cosZ-BDC=—,

DL)

CD=BD-cos36.87°?10x0.80?8米，

即CD的長約為8米；

(2)解：???4。=17米，。。=8米，

???AC=yjAD2-CD2=15米，

在△BCD中，ZC=9O°,BD=10米，

sinz.BDC=骼,

DU

BC=BD-sin36.87°?10x0.60~6米，

AB=AC-BC=15-6=9米，

模擬裝置從4點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn)，

模擬裝置從2點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間為9+2=4.5秒，

即模擬裝置從4點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間為4.5秒.

4.(2024?廣東?中考真題)中國新能源汽車為全球應(yīng)對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn).為滿足新

能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形4BCD是其

中一個(gè)停車位.經(jīng)測量，^ABQ=60°,AB=5.4m,CE=1.6m,GH1CD,GH是另一個(gè)車位的寬，所

有車位的長寬相同，按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問題：(結(jié)果精確至UO.lm,參考數(shù)據(jù)百=1.73)

⑴求PQ的長；

⑵該充電站有20個(gè)停車位，求PN的長.

【答案】(l)6.1m

(2)66.7m

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：

(1)先由矩形的性質(zhì)得到“=”=90。，再解Rt^aBQ得到力Q=^m,接著解直角三角形得到

BC=—m,進(jìn)而求出4P=i^m,據(jù)此可得答案；

(2)解RtaBCE得到BE=3.2m,解Rt^AABQ得到8Q==2.7m,再根據(jù)有20個(gè)停車位計(jì)算出QM的長

即可得到答案.

【詳解】(1)解：???四邊形PQMN是矩形，

:zQ=NP=90°,

在RSABQ中，/-ABQ=60°,AB=5.4m,

：.AQ=AB-sm^ABQ=甯m,“AB=30°,

?.?四邊形48CD是矩形，

：.AD=BC,^BAD=乙BCD=4ABC=乙BCE=90°,

.-.ZCBE=30°,

--BC-

"0=4；

-Z-PAD=180°-30°-90°=60°,

：.AP=AD-cos^PAD=Wm,

.-.PQ=AP+AQ=膂?6.1m

PDGq

QBEM

⑵解：在RMBCE中，BE=-^=3.2m,

在RtZkABQ中，BQ=AB?cosZ-ABQ=2.7m,

??,該充電站有20個(gè)停車位，

；.QM=QB+20BE=66.7m,

???四邊形/BCD是矩形，

,PN=QM=66.7m.

o好題沖關(guān)o

乞碼基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2024?湖南?模擬預(yù)測）爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為a,則每爬1m耗能（1.025-cosa）J，若某人爬了

1000m,該坡角為30。，則他耗能（）（參考數(shù)據(jù)：百~1.732,1.414）

【答案】B

【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)值，掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計(jì)

算求解.

【詳解】解：1000（1.025-cosa）=1000（1.025-cos30°）

=1025—500打?1025-500x1.732=159,

故選：B.

2.（2024,河北保定?一模）如圖，為了測量空中某點(diǎn)4離地面的高度，小敏利用測角儀在點(diǎn)8、。分別測得4

的仰角乙4CD為37°,44BD為45°,地面上點(diǎn)B、C、。在同一水平直線上，BC=20m,

度2D長為（）

—L______________

DBC

A.30mB.80mC.60mD.50m

【答案】C

【分析】本題考查三角函數(shù)解直角三角形.根據(jù)題意可設(shè)4。=BD=x,再利用△47。中tan/aCD即可

得到本題答案.

【詳解】解：由題意可知，AD1CD,

：./LADC=90。，

???ZJU5O為45。,

.'.DAB=90°-45°=45°=乙ADB,

???設(shè)40=8。=%,

,；BC=20m,

??.DC=20+x,

.?.在Rt2\"D中，tan37°^^=^?0.75,

解得：x?60,

點(diǎn)4離地面的高度長為60m

故選：C.

3.（2024?湖南?模擬預(yù)測）如圖，將矩形4BCD直線2C折疊，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，4E交CD于點(diǎn)F,若

AB=5,AD=3,貝ijtanNECF的值為(

343

A-iB-5D-3

【答案】C

【分析】首先根據(jù)題意證明出aaDF三△CEF（AAS），得到EF=DF,設(shè)DF=EF=X,則

CF=CD-DF=5-x,根據(jù)勾股定理求出”然后根據(jù)正切的概念求解即可.

【詳解】解：???四邊形力BCD是矩形

.-.AD=BC=3,4?=NB=90°,CD=AB=5

由折疊可得，NE=NB=90。，CE=BC

.■.AD=CE=3,Z-D=乙E

又“DFA=AEFC

△ADF=△CFF(AAS).

：.EF=DF,

設(shè)DF=EF=x,貝iJCF=CD-DF=5-x

在RtzXCEF中，32+X2=(5-X)2

解得：%=|

*???EF28

.?.tanzFCF=-=|=-.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、矩形的折疊問題、全等三角形的性質(zhì)和判定、正切的定義等知識，熟練

掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.（23-24九年級下?陜西西安?期中）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1.若點(diǎn)4B,C都在格點(diǎn)

上，貝UsinB的值為（）

A.匹B.邈C.巫D.吞

5552

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

連接DE,先證明△BDE為直角三角形，即可求解.

【詳解】解：連接DE,

-DE=Vl2+12=五,BD=V22+22=2VLBE=Vl+32=V1U，

DE2+BD2-BE2,

.-.^BDE=90°,即△BDE為直角三角形，

.nDE五近

?，,sinB==—=—―9

BEV105

故選：A.

5.（2024?陜西渭南?一模）在aaBC中，ZC=9O°,tanA=§,貝|cos4的值為.

【答案】嚼

【分析】本題主要考查三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵；如圖，由題意易得ac=3BC,則

有48=V10BC,然后根據(jù)余弦的定義可進(jìn)行求解.

【詳解】解：如圖，

A

vZ.C=90°,tanX=

,/iBC1

：.AC=3BC,

■■AB=YJBC2+AC2=屈BC,

??.cosA.=^AC=誓3V10；

故答案為嚼.

6.（2024?廣西貴港?模擬預(yù)測）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測得

N4=88。，NC=42。，AB=50,則點(diǎn)/到BC的距離為（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：sin

40°~0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84)

【答案】38.5

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題

的關(guān)鍵.

過點(diǎn)/作力垂足為D,根據(jù)垂直定義可得乙4DB=90。，再利用三角形內(nèi)角和定理可得

NB=50。，從而可得NB4D=40。，然后在Rt△力BD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出2D的長，即可解

答.

【詳解】解：過點(diǎn)/作4D1BC,垂足為D,則乙4DB=90°,

B-：ABAC=88°,ZT=42°,

.-.Z.B=180°-Z.BAC-Z.C=50°,

.-.ABAD=90°-z5=40°,

在RCBD中，AB=50,

???AD=AB-cos40°=50x0.77=38.5.

點(diǎn)A至IJBC的距離約為38.5.

故答案為：38.5

1

7.（2024?山西?模擬預(yù)測）如圖，在中，AB=AC,ABAC=120°,分別以點(diǎn)4C為圓心，大于RC的

長為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)MF,連接EF交邊于點(diǎn)。，連接ZD.若8。=8,則△ACD的周

長為.

A

【答案】8+4V3/4V3+8

【分析】由作圖知DE是4C的垂直平分線，則。4=GA=GC,角度推導(dǎo)得到乙8=30。，繼

而求出2D,再解RtaADG求出4G,即可求解.

【詳解】解：由作圖知DE是2C的垂直平分線,

??.￡M=DC,DE1AC,

：.Z-ACD=Z.DAC,

-AB=AC,ZFXC=120°,

180°-120°

，乙B=Z-ACD==30°,

2

.?.ZDT4C=30°,

：.^BAD=^BAC-^DAC=90°,

-，AD=^BD=4,

在RtaZDG中，AG=AD-cosZ.DAC=2V3，

：.AC—2AG—

??.△ACO周長為：ZD+CD+ZC=8+4百，

故答案為：8+4百.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解直角三角形等知識

點(diǎn)，熟練掌握知識點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)30。是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）某廣場中心建有雕塑，某課外實(shí)踐小組為測量雕塑的高度，利用測角儀及皮

尺測得以下數(shù)據(jù)：如圖，AE=10m,NBDG=30°,ABFG=6Q°.已知測角儀。/的高度為1.5m.則

雕塑BC的高度是m.

【答案】（5百+1.5）

【分析】本題考查解直角三角形實(shí)際應(yīng)用.根據(jù)題意可知4E=DF=BF=10m,利用正弦函數(shù)值即可

求出BG=BF-sin60°=10X*=5百，繼而求得本題答案.

【詳解】解：,?"￡1=10m,ZBDG=3O°,^BFG=60°,

；"BF=30°,

：.AE=DF=BF=10m,

：.BG=BF-sin60°=10x苧=5百，

「DA的高度為l.5m,

.'.BC=BG+CG—5V3+L5（m），

故答案為：（5V3+1.5）.

9.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）無人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用越來越廣泛.如圖所示，某人利用無人機(jī)測量大

樓的高度BC,無人機(jī)在空中點(diǎn)尸處，測得點(diǎn)尸距地面上點(diǎn)N為80米，點(diǎn)/處的俯角為60。，樓頂C點(diǎn)

處的俯角為30。，已知點(diǎn)/與大樓的距離48為70米（點(diǎn)N,B,C,尸在同一平面內(nèi)），則大樓的高度8c

為（結(jié)果保留根號）.

P

【答案】30百米

【分析】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，過P作PH14B于

H,過C作CQ1PH于。，而CB1AB,則四邊形CQHB是矩形，先解Rt△求出得到CQ的長

度，再解Rt^PQC,得到PQ的長，即可解決問題.

【詳解】解：如圖所示：

過P作PH14B于H,過C作CQ1PH于Q,而CB1AB,

則四邊形CQHB是矩形，

???QH=BC,BH=CQ,

由題意可得：力P=80米，/.PAH=60°,NPCQ=30。，AB=70米，

.-.PH=力Psin60°=80X等=40百米，AH=APcos60°=40米，

.?.CQ=B"=70—40=30米，

???PQ=CQ-tan30°=10百米*

BC=QH=40V3-10V3=30百米，

■大樓的高度BC為30百米.

故答案為：30百米.

10.（2024?湖南衡陽?二模）如圖，四邊形力BCD內(nèi)接于。。，2C為。。的直徑，BD平分~1BC.若48=8

cm,BC=6cm,則［4。的長為cm.

【答案】5V2

【分析】根據(jù)圓周角定理結(jié)合角平分線性質(zhì)可推出△2C0是等腰直角三角形，先根據(jù)勾股定理求出力C

的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出4。的長.

【詳解】解：???四邊形4BCD內(nèi)接于。0,4c為。。的直徑，

zXSC=zX￡）C=90°,

???BD平分NABC,

.-./.ABD=/-CBD=45°,

-?1AD=AD,

.-.乙4BD=/-ACD=45°,

.-./.CAD=900-AACD=45°=/.ACD,

.?.△4CD是等腰直角三角形，

在RtzXZBC中，AB=8cm,BC—6cm,

■■■AC=yjAB2+BC2=10cm,

在Rtaac。中，

AD-AC-cos450=5V^cm,

故答案為：5V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，角平分線性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，解直角三角形

三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識.

11.（2024?貴州遵義?三模）如圖，。。是aaBC的外接圓，連接04OB.若。。的半徑為5,AB=8,則

cos乙4cB的值為.

【答案】|/0.6

【分析】本題考查了解直角三角形，圓周角定理，勾股定理.正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

作直徑BO,連接力D,根據(jù)勾股定理求出力D,根據(jù)圓周角定理求出入4cB=ND,4DAB=90。,解直角

三角形求出cosNACB的值.

【詳解】解：作直徑BD,連接4D,則30=2x5=10,貝!=ZDXB=90°,

在RS￡MB中，

???O。的半徑為5,48=8,

由勾股定理可得：AD=弋BD2—AB2=JIO2"=6,

???cosZ-ACB=cos乙ADB=繪=2="

DD11)5

故答案為：

12.（2024?湖北宜昌?三模）如圖是某地下停車庫入口的設(shè)計(jì)示意圖，延長CD與交于E點(diǎn)，已知坡道48

的坡比i=124是指坡面的鉛直高度CE與水平寬度4C的比，2C的長為7.2米，CD的長為0.4米.

⑴請求出。E的長？

(2)按規(guī)定，車庫坡道口上方需張貼限高標(biāo)志，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，確定該車庫入口的限高數(shù)值(即點(diǎn)。

到4B的距離).

【答案】⑴2.6米

(2)該車庫入口的限高數(shù)值為2.4米

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出輔助線.

(1)根據(jù)i=l:2.4,得出tanNC4B===K，即益=K，求出CE=3米，得出DE=3—0.4=2.6(米)；

(2)過點(diǎn)。作。41AB于H,證明NEDH=NC4B,得出tan/EDH=tanzCXB=設(shè)EH=5x,DH=12%,

根據(jù)勾股定理求出。E=VDH2+EH2=V(12x)2+(5x)2=13x,根據(jù)DE=2.6米，得出x=0.2,最后

求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：如圖，由題意可知，ACVCE,

,:i=1:2.4,

?,.tanZ_C48=—=IN―,

CE_5

"AC~12'

■.-AC=7.2米，

：.CE=3米，

■：CD=0.