i重難題型?解題技巧攻略

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專(zhuān)題07三角形中的四心問(wèn)題與奔馳定理的應(yīng)用

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01重心....................................................................................1

題型02外心...................................................................................4

題型03內(nèi)心...................................................................................9

題型04垂心..................................................................................14

題型05奔馳定理..............................................................................21

0---------------題型探析?明規(guī)律------------

題型01重心

【解題規(guī)律?提分快招】

一、三角形的重心

1.定義：三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)為三角形的重心，重心為中線(xiàn)的三等分點(diǎn)；

2.重心的性質(zhì)：①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等.

在平面向量的應(yīng)用：(1)設(shè)點(diǎn)6是小ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)6是仆ABC的重心時(shí)，有

GA+GB+GC=O或PG=；(PA+PB+PC)(其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn))；

(2)在向量的坐標(biāo)表示中，若G、A、B、C分別是三角形的重心和三個(gè)頂點(diǎn)，且分別為G(x,y)、

X1+?+X3Y1++Y3

A(x,,yj、B(X2,y2),C(x3,y3),則有G(^,).

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知在ABC中，G為11Ase的重心，。為邊中點(diǎn)，貝|()

A.AB+AC=2AGB.AD=3AG

C.AB-AC=AD2-BD2D.ABAD=ACAD

【答案】C

【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.

【詳解】在ASC中，G為VABC的重心，D為邊BC中點(diǎn),

3

對(duì)于A,因?yàn)锳3+AC=2AD=2><—AG=3AG,故A錯(cuò)誤;

2

3

對(duì)于B,因?yàn)?故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)樵赩A2C中，。為邊BC中點(diǎn),

則AB=A￡>+=A￡>-BD,AC=AD+DC=AD+BD,

所以48.47=（4￡>-80）.（40+喇=4。2-2。2,故c正確;

對(duì)于D,若AB-AO=AC-A。成立,

則（AB-AC）.AZ>=0,即C8-AO=0,則CB_LA。，

又D為邊BC中點(diǎn),故AB=AC,這不一定成立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（2024?全國(guó)?二模）點(diǎn)。，尸是VABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿(mǎn)足O尸=。4+OB+OC，則直線(xiàn)0P經(jīng)過(guò)

VABC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷.

【詳解】設(shè)3C的中點(diǎn)為點(diǎn)O,所以O(shè)8+OC=2OO,

貝（IOP-Q4=AP=2O￡）,

若4,尸,。,￡>四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，即點(diǎn)。,「都在中線(xiàn)AD上，所以O(shè)P經(jīng)過(guò)三角形的重心,

若A,P,O,。四點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，AP//OD,且AP=28,連結(jié)AD,OP,交于點(diǎn)G,

如圖,

AC1Ap

怒=%=2,即點(diǎn)G是三角形的重心，即O尸經(jīng)過(guò)VA5C的重心,

CJL）OL）

綜上可知，OP經(jīng)過(guò)VA5c的重心.

故選:A

3.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))G是VABC的重心,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,若aG4+bG8+上cGC=0,

3

則角A=()

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的重心求得°:c,再利用余弦定理來(lái)求得正確答案.

3

【詳解】因?yàn)镚是VABC的重心，所以有GA+G5+GC=0.

^aGA+bGB+—cGC=Q,所以a:b:走c=l:l:1.

33

設(shè)°=石，貝?。萦衋=A=l.由余弦定理，可得cosA=二中1=",0。<4<180。，所以A=30。.

2V32

故選：D

二、多選題

4.(2024?遼寧?二模)VABC的重心為點(diǎn)G,點(diǎn)O,尸是VABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿(mǎn)足

OP=OA+OB+OC，貝!！()

A.O,P,G三點(diǎn)共線(xiàn)B.OP=2OG

C.2OP=AP+BP+CPD.點(diǎn)P在VA2C的內(nèi)部

【答案】AC

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線(xiàn)的判定及向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可判斷.

【詳解】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=3OG+GA+GB+GC,

因?yàn)辄c(diǎn)G為VABC的重心，

所以GA+GB+GC=0,所以O(shè)P=3OG,

所以。，尸,G三點(diǎn)共線(xiàn)，故A正確，B錯(cuò)誤；

AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP

=(AO+BO+CO)+3OP,

因?yàn)镺P=OA+O3+OC，

所以(AO+3O+CO)+3OP=-OP+3OP=2OP,即20P=AP+8尸+CP,故C正確；

因?yàn)?P=3OG，

所以點(diǎn)P的位置隨著點(diǎn)0位置的變化而變化，故點(diǎn)尸不一定在VABC的內(nèi)部，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

三、填空題

5.(2024.四川南充.模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)。是VABC的重心，OA=2,OB=3,OC=3,則

OAOB+OAOC+OBOC=.

【答案】-11

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得OA+O3+OC=0,平方后即可求得答案.

【詳解】由于點(diǎn)。是VABC的重心，故。4+O2+OC=0，

故(04+08+002=0,

即。4+OB+OC+2(OAOB+OAOC+OBOC)=Of

-1/22.2、

^OAOB+OAOC+OBOC=--^OA+OB+OC)

=-1(22+32+32)--11,

故答案為：-11

四、解答題

6.（2024?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）VABC的角A,3,C對(duì)應(yīng)邊是a,b,c,三角形的重心是O.已知

O4=3,O8=4,OC=5.

⑴求a的長(zhǎng).

（2）求VABC的面積.

【答案】（1）用；

（2）18.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角形重心的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出a的長(zhǎng).

（2）由（1）的信息，利用三角形面積公式，結(jié)合三角形重心的性質(zhì)計(jì)算即得.

【詳解】（1）在VABC中，由O是重心，得OA+OB+OC=D,即有AO=O8+OC,

0°4

于是AO?=+oc-+20B-OC=4?+52+2X4X5COSNBOC=3?，解得cosN8OC=-y,

^BC=OC-OB,所以。=|BC|=4OC1+OB-2OCOB=J42+52-2x4x5x（-1）=#73.

（2）由（1）得sinN80C==|,又o是重心，

133

所以VABC的面積S鉆?=3SOBC=3x-OBOCsinZBOC=-x4x5x-=18.

題型02外心

【解題規(guī)律?提分快招】

一、三角形的外心

1.定義：三角形三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)為三角形的外心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；

2.外心的性質(zhì)：①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而

一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè).

3.外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓.

在平面向量的應(yīng)用：若點(diǎn)0是△ABC的外心，貝U|OA|=|OB|=|OC|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0；

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2024?天津北辰.三模)在VABC中，|相|=20,。為VABC外心，且AO.AC=1，則的最大值

為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】

根據(jù)三角形外心性質(zhì)及數(shù)量積的幾何意義，可得AO在AC方向上的投影向量為;AC，從而求得|AC|=拒，

再根據(jù)余弦定理及基本不等式可求得最值.

【詳解】

由O為△ABC外心，可得AO在AC方向上的投影向量為〈AC，

貝！==1,故=

又,8卜2及，設(shè)=

6+/

2x2。

>2

當(dāng)且僅當(dāng)4=6時(shí)等號(hào)成立,

由0°<ZABC<180°可知,0°<ZABC<30°,

故ZA5c的最大值為30。.

故選：A.

2.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知VABC的外心為G,內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為瓦c,且a:6:c=5:5:8.若

CACB=-28,貝1JCGC8=()

A.不B.50C.25D.25后

【答案】B

【分析】由題意設(shè)/=5〃?,C=8〃Z(〃7>0),由余弦定理結(jié)合CA-C8=-28可求出機(jī)，從而可求出名上。

的值，求得VABC外接圓半徑R,由向量的線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】由已知，令a=5〃z,Z?=5〃?,c=8m(/w>0),所以VA2C是等腰三角形.

由余弦定理，得cosZACB=⑸”.+⑸--(8附2=一二.

2x5mx5m25

因?yàn)椤??。8=-28,所以5/〃x5mxcosZ4CB=-28,解得〃?=2(負(fù)值已舍去)，

所以“=10,6=10,c=16.

設(shè)VA2C的外接圓半徑為R,

因?yàn)閟in/ACB=Jl-cosZCB=1-(--)2=—,

所以2R=-=/所以…G=g

由VABC為等腰三角形知NGCB=；NACB,

所以COS2ZGCB=cos2(|ZACB)="。。片宵=白，即cosZGCB=1.

所以CG-CB=|CG||CB|COSZGCB=yxl0x1=50.

故選：B.

3.(23-24高三下?新疆?階段練習(xí))在VABC中，AC=2近，。是VABC的外心，M為3c的中點(diǎn)，ABAO=8,

N是直線(xiàn)上異于M、0的任意一點(diǎn)，則裁.隴=()

A.3B.6C.7D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到OMJLBC,設(shè)蜀=2圜，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到

UUULUL1UUUUULIUUUULUUIU__一..、、—一.一、.,,,

ANBC=-AO-AB+AO-AC，再由數(shù)量積的定乂及幾何意乂求出AO-AC,從而k得解.

【詳解】因?yàn)?。是VABC的外心，M為BC的中點(diǎn)，設(shè)AC的中點(diǎn)為D,連接OD,

A

,、ruumUUUL

所以O(shè)M_L3C,ODA.AC,設(shè)。N=4OM,

貝！jA7V.20=（AO+ON）-20=AO-BC+XOM.2C

=AOBC=AO^BA+AC）

UUULUUUUUIUUUILL

=AOBA+AOAC=-AO-AB+AOAC>

又0是VABC的外心，所以AO?AC=|AO|-|AC|COSZCAO=（|AO|COSZCAO）.|AC|

=||AC|2=；x倒⑺2=14,

uumULIUUUIUUUUUUUIUUlU

所以4V?8C=-AO-A8+AO-AC=-8+14=6.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)外接圓的性質(zhì)將㈱.甜轉(zhuǎn)化為-瑞.藍(lán)+明.淺，再一個(gè)

就是利用數(shù)量積的幾何意義求出AOAC.

4.（24-25高三上?遼寧?期中）設(shè)VA3C的外心為0,重心為G,并且滿(mǎn)足|。4|=sin2A+sin23+sin2C,則當(dāng)

10a最大時(shí)，VABC的外接圓半徑為（）

A.2B.-C.BD.-

4422

【答案】D

【分析】設(shè)外接圓半徑為，，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合重心的性質(zhì)與二倍角的余弦公式得

|0G『=g（9產(chǎn)-4r3）,再利用導(dǎo)數(shù)求出極大值點(diǎn)即可.

則根據(jù)重心向量公式有。6=3。4+02+00,

_]/-2-2-2

貝！JIOG『=+OB+OC+2OAOB+2OBOC+2OC-OA

+r2+r2+2/(cos2C+cos2A+cos28)]

=-{3r2+2產(chǎn)[3-2(sin2A+sin2B+sin2C)]}

=I[3r2+2r2(3-2r)]=-(9r2-4r3),

令/⑺=：(9--47)，此時(shí)/(r)=|r(3-2r),

當(dāng)0<r<；時(shí)，f(r)>0,此時(shí)〃r)單調(diào)遞增；

當(dāng)廠(chǎng)>不時(shí)，/(r)<0,此時(shí)/⑺單調(diào)遞減；

故當(dāng)|0G|最大時(shí)，VA2C的外接圓半徑為

故選；D

二、多選題

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知。為VABC的外心，AB+AC=CO,貝!J（）

A.08與AC不共線(xiàn)B.08與OA+OC垂直

C.cosZOAC=—D.cosZBOC=—

44

【答案】BC

【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得2AC=80,可判斷A；由。為VA5c的外心，可得OA+OC與AC垂直；

進(jìn)而可得。8與。4+0C垂直，可判斷B；利用已知可求得AC=1,進(jìn)而可求得cos/tMC可判斷C；由已

知可得OB+2OC=2OA,兩邊平方可求得cos/BOC.

【詳解】選項(xiàng)A：由42+*=。0=40-4。得24。=40-42=20，則0B與AC共線(xiàn)，故A錯(cuò)誤.

選項(xiàng)B：因?yàn)椤閂ABC的外心，所以Q4=0C,所以O(shè)A+OC與AC垂直，

（在△A0C中，取AC的中點(diǎn)O,連接OD,則OA+OC=2OZ），所以0DLAC,

所以（OA+OC），AC）,因?yàn)椤?與AC共線(xiàn)，所以0B與。4+0C垂直，故B正確.

選項(xiàng)C：設(shè)03=2,貝！)Q4=OC=2,由2AC=30得AC=1,

1

所以c°s/OAC=dAHC」,故?正琳

OA4

選項(xiàng)D：設(shè)VASC的外接圓半徑為1,由A2+AC=C。得02—0A+0C-0A=T?C，

所以O(shè)3+2OC=2OA,兩邊同時(shí)平方得af+4OC2+4OBOC^4OA，

即l+4+4cos/3OC=4,所以cosNBOC=-』，故D錯(cuò)誤.

4

故選：BC.

三、填空題

6.(2024.四川涼山?三模)在VA2C中，已知AB=1,AC=3,點(diǎn)G為VABC的外心，點(diǎn)。為VABC重心，

則OG-8C=.

【答案】|

uun1uunuuu

【分析】設(shè)8C的中點(diǎn)為。，根據(jù)三角形外心性質(zhì)，得GDL3C,由重心性質(zhì)得。。=w(AB+AC),再根

6

據(jù)數(shù)量積運(yùn)算即可求解.

【詳解】設(shè)BC的中點(diǎn)為。，連接A￡),G。，

由點(diǎn)G為VABC的外心，可得GDLBC,

由點(diǎn)O為VABC重心，nS^OD=-AD=-(AB+AC),

36

故OGBC=(OD+DG)-BC

=ODBC+0

=-(AB+AC)-(AC-AB)

6

1221/、4

=-(AC-AB)=-X(9-1)=7

o63

BD

4

故答案為：—.

題型03內(nèi)心

【解題規(guī)律?提分快招】

一、三角形的內(nèi)心

1.定義：三角形三個(gè)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)為三角形的內(nèi)心

2.內(nèi)心的性質(zhì)：①三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等

②三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線(xiàn)平分這個(gè)內(nèi)角.

3.內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做

圓的外切三角形

在平面向量的應(yīng)用：若點(diǎn)1是仆ABC的內(nèi)心，則有|BC「IA+|CAH[B+|AB|JC=O

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

，v2

1.(23-24高三下?山西晉城?階段練習(xí))己知耳，尸2是橢圓C:*+2=l(a>6>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C的頂

ab

點(diǎn)，若M打耳的內(nèi)心和重心重合，則C的離心率為()

A.且B.也C.1D.-

3223

【答案】C

【分析】根據(jù)AM耳工的內(nèi)心和重心重合，判斷△阿心為等邊三角形，得a=2c即可.

22

【詳解】如圖所示，M為橢圓C：=+與=1(a>6>0)的頂點(diǎn)，

ab

且鳥(niǎo)的內(nèi)心和重心重合，

所以鳥(niǎo)為等邊三角形，

又因?yàn)镮"用=1MF2\=a,l耳工|=2c,

所以〃=2c,

日n01

a2

故選：C.

ACABR4

2.(2024?四川南充?三模)已知點(diǎn)尸在VABC所在平面內(nèi)，若PA?(----------------)=PB(----------------)=0,則

\AC\\AB\\BC\\BA\

點(diǎn)尸是VABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義可得AP平分一&1C,平分NABC,結(jié)合

三角形內(nèi)心定義判斷即得.

ACABAC=PA*

【詳解】在VABC中，由)=0,得

|AC|兩而\AB\

即4人1=4尸?史-,由尸2?（空———）=0,同理得BP且二=2P出

\AC\IAB|\BC\\BA\\BC\\BA\

顯然AP*0，即尸與A不重合，否則coszABC=l,同理BPwO,

貝!11ApicosNPAC=|AP|cosNPAB,BPcosAPAC=cosZPAB,NPAC=NPAB,

于是AP平分NA4C,同理3尸平分NAFC,

所以點(diǎn)P是VABC的內(nèi)心.

故選：D

3.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）若滿(mǎn)足4.Q4+6.O3+C.OC=0，則。為VA3C的（）

C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)CO交A8于E,延長(zhǎng)2。交AC于尸，延長(zhǎng)A。交BC于。，利用04,0。共線(xiàn)，得出

|cr>|_bAC

,'得AD是-A4c的平分線(xiàn)'同理題,5都是?C的內(nèi)角平分線(xiàn),從而可得。為VABC的

內(nèi)心.

【詳解】延長(zhǎng)CO交AB于E,延長(zhǎng)3。交AC于尸，延長(zhǎng)49交BC于

BDBD/x\CD\BD

OD=OB+BD=OB+-------BC=OB+------(OC-OB]=~\-OB+-------OC

BCBC\)\BC\BC

hr

又因?yàn)椤?OA+bOB+cOC=0,所以O(shè)A=—OB+—OC,

aa

而04,0。共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)3使得OD=ZOA,

CDBD

所以----OB+——，OC=—OB+—OC.

BCBCaa

CDkbBD\kc

因?yàn)镼B,OC不共線(xiàn)，所以■k=一,丹=一，

BCaBC\a

\CDbAC\

所以￡=一二為，所以AD是-A4c的平分線(xiàn)，同理尸都是VABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，

\BDcAB\

所以。為VABC的內(nèi)心.

故選：B.

4.（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。,b,c,P是ABC所

cb_c2ca_「2

在平面上的一點(diǎn)，PAPB=-PAPC+-^-PA=-PBPC+-^PB,則點(diǎn)尸是一ABC的（）

bbaa

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【答案】C

【分析】條件可轉(zhuǎn)化為PA?A3=：PA?AC,BAPB=-PBBC，結(jié)合數(shù)量積的定義證明，R4B=-PAC,

ba

NPBA=NPBC由此確定P的位置.

【詳解】因?yàn)椋??8=￡尸4尸。+^^?1+,

bbaa

所以尸4尸2_尸/二￡P(guān)A?（PC-PA）,PAPB-PB2=-PB（PC-PB）,

^PAAB=-PAAC,BAPB=-PBBC,

ba

所以|PJ^CCOSZPAB=||PA|.Z??A￡AC,

|PB^ccos^PBA=-1-a?A:BBC.

所以cosN'BABucos/BlC,cos/PBA=cos/PBC,

又NPAB,NPAC,NPBA,NPBCe[0,TT],

所以，B4B=/B4C,/PBA=/PBC,

所以AP在NBAC的平分線(xiàn)上，BP在/ABC的平分線(xiàn)上，

所以點(diǎn)P是ABC的內(nèi)心.

故選：C.

二、填空題

22

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓￡:5+以=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥(niǎo),尸為橢圓上不與頂點(diǎn)

ab

重合的任意一點(diǎn)，/為-PK瑞的內(nèi)心，記直線(xiàn)OP,。/的斜率分別為《,白，若匕=；幻，則橢圓E的離心率

為.

【答案】y/0.25

【分析】由橢圓的性質(zhì)結(jié)合題意得到國(guó)T|=%+。，再由橢圓的第二定義得到|尸閶=。-氣，解出尤,=倏,

然后由等面積法得到y(tǒng)=金”，最后利用勺==瓦解出即可.

c+a4

【詳解】設(shè)尸(%,%),/(XQ,),設(shè)圓與尸G，P工,X軸相切于點(diǎn)M,N,T,

所以|PM=|PN|,閨=

所以閨T|+|PN|+|m|=a+c,

即閨刀+|Pg|=a+c,又寓7=x,+c.

由橢圓的第二定義可知|「耳|=a-exQ9

所以閨T|=a+c-(<7-/)，所以玉=%,

由等面積法得到g(2a+2c)y,=gx2c%,

所以％=，少

c+a

cy0

因?yàn)樨?：匕，所以達(dá)=；X0±C,所以a=4c,即e=：

4xn4cx04

a

故答案為：:

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能利用橢圓的第二定義得到|桃卜〃-夕。后再結(jié)合橢圓的性質(zhì)和

Sp尸尼二S尸巧+Sp*+SIFF^求出y=—%.

22

6.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知尸為橢圓土+匕=1上任意一點(diǎn)，耳工為左、右焦點(diǎn)，/為.尸耳耳的內(nèi)心,

98

記△尸片6A/PG，△/尸鳥(niǎo)的面積分別為S,&,$2,則三邑的值為.

kJ

、3

【答案】-/0.75

4

【分析】不妨設(shè)P5,%乂%>0),且PFp2的內(nèi)切圓半徑為r,由s咫&=S叫+Sg+S厘，取得%=4r,

再結(jié)合橢圓的定義即可求解.

【詳解】由橢圓<+《=1,可得“=3,6=2及，則，=不^=1，所以|耳司=2,

98

如圖所示，不妨設(shè)尸(%,%"%>0),且刊例的內(nèi)切圓半徑為r，

可得s不弓=J6與卜%=為,sg=；w用",5帙=叱=!"陽(yáng)周"，

又由SPFiF2=S/國(guó)+S[pF2+S/B,

可得%=((1M+|%+閨&|)"=g(2a+2c)=4廠(chǎng)，即％=",

又由s=,,PFF,【【

X2S1=SPR,s?=SpF?,

所以S+邑(戶(hù)周+戶(hù)段)2a-、3.

sy0y04

題型04垂心

【解題規(guī)律?提分快招】

一、三角形的垂心

1.定義：三角形三邊上的高或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)為三角形的垂心；

在平面向量的應(yīng)用：若H是△ABC的垂心，則百?而=而.瓦=瓦.前或

.2.2,2.22.2

HA+BC=HB+AC=HC+AB

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(23-24高三下.廣東汕尾?期末)在VABC中，AB=AC,點(diǎn)。為VABC的垂心，且滿(mǎn)足AO=xAB+yAC,

cosZft4c=g,貝！|x+y=()

111

A.——B.-1C.-D.-

242

【答案】D

【分析】一方面：根據(jù)已知得出AC=3AE，另一方面：由三點(diǎn)共線(xiàn)的推論即可列式求解.

【詳解】由題意可知VABC是以A為頂角的等腰三角形,

如圖所示：ADJ.BC,BEVAC,則ADBE=O,

ApAE1

在直角三角形院中,cosZBAC=—=-，BPAC=3AE.

ABAC

貝！J；l（；AB+；AC）=xA5+yACn；l=2x=2y,

AO=AB+jLiBE=AB+jn^AE—AB^=（1—//）AB+juAE=xAB+yAC=xAB+3yAE,

所以x+3y=4%=2（x+y）=l,所以％+y=+.

故選：D.

2.（23-24高三下?廣東惠州?期中）已知三棱錐尸-ABC中，若F4,PB,PC兩兩互相垂直，作尸平面A3C,

垂足為0,則點(diǎn)。是VABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】D

【分析】連接A0并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D,連接8。并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)E,所以證明平面尸BC,得到

上4，3C,再由線(xiàn)面垂直得到尸015C,即可得到BC±平面PAO,從而得到13C,同理可證BEVAC,

即可得解.

【詳解】如圖，連接A。并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D,連接8。并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)E.

因?yàn)椤癬LPB,PA1PC,PBcPC=P,PB,PCPBC,

所以PAL平面PBC,BCu平面尸BC,所以P4LBC.

因?yàn)槭琌,平面ABC,BCu平面ABC,所以PO13C,

又PAIPO=P,PAPOu平面PAO,所以3C_L平面PAO,

又AOu平面PAO,所以AO_L3C,即AD13C,

同理可證BE，AC,所以。是VABC的垂心.

故選：D.

3.（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足

‘ABAC'

OP=OA+A--------------+---------------,Xe[0,+8）,則點(diǎn)p的軌跡經(jīng)過(guò)VABC的（）

1<1AB|cosB|AC|cosCJ

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

【答案】c

【分析】計(jì)算法.蹙，可得AP8C=0,結(jié)合三角形的性質(zhì)得出答案.

/、

ABBCACBC

【詳解】OPBC=OABC+A+'=OA-BC+A（-\BC\^Bd\\=OA-BC,

|AB|COSB|AC|cosCjv117

貝（IOPBC-OA-BC=0,BPAP-BC=0,

故APJ_3C,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)VA3C的垂心.

故選：C.

4.（23-24高三下.貴州貴陽(yáng)?期末）已知點(diǎn)O、N、尸在VABC所在平面內(nèi)，且=,

NA+NB+NC=0^PAPB=PBPC=PCPA,則點(diǎn)。、N、尸依次是VABC的（）

A.外心、重心、垂心B.重心、外心、垂心

C.重心、外心、內(nèi)心D.外心、重心、內(nèi)心

【答案】A

【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定義和性質(zhì)判定即可.

【詳解】因?yàn)閨酢|=|0B|=|0C|,即O到VA2C各頂點(diǎn)距離相等，所以O(shè)為VABC的外心；

取AB,AC,的中點(diǎn)分別為D,E,F,連接ND,NE,NF,

貝!J有NB+NC=2.NF=-NA,NA+NC=2.NE=-NB,NB+NA=2ND=-NC,

所以4N、尸三點(diǎn)共線(xiàn)，C、N、。三點(diǎn)共線(xiàn)，B、N、E三點(diǎn)共線(xiàn)，

即N為VABC的重心；

由尸A?尸8=尸3PCnP8?PA-PC)=0=P8C4,即PBLAC,同理P4_L3C,

所以P為VABC垂線(xiàn)的交點(diǎn)，故P為VABC的垂心.

故選：A

二、多選題

5.（23-24高三下?重慶渝中?階段練習(xí)）在等腰VA5C中，已知小?=4,C4=CB=8,若W、G、/分別為VA2C

的垂心、外心、重心和內(nèi)心，則下列四種說(shuō)法正確的有（）

A.AHBC=OB.AW-BC=2.4

C.AG-BC=16D.AIBC=12

【答案】ABC

【分析】根據(jù)三角形各心的性質(zhì)結(jié)合向量的加減法則即可求得.

【詳解】A選項(xiàng)：H為垂心，為高線(xiàn)的交點(diǎn)，則A“.BC=O,選項(xiàng)A正確.

B選項(xiàng)：AW-BC=AW-AC-AW-AB=^\AC\1-1|AS|2=32-8=24,選項(xiàng)B正確；

22

C選項(xiàng)：AG-JBC=1（AC+AB）-（AC-AB）=|（|AC|-|AB|）=16,選項(xiàng)C正確；

D選項(xiàng)：AI-BC=AI-AC-AI-AB=2-\AC\-2\AB\=S,選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：ABC

6.（24-25高三上?四川達(dá)州?階段練習(xí)）拋物線(xiàn)有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的入射光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)

反射后必過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).已知拋物線(xiàn)y?=4x的焦點(diǎn)為尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，從點(diǎn)P（無(wú)。,%乂4%＞蜉＞0）發(fā)出平

行于x軸的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)N反射后再經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上另一點(diǎn)則（）

A.存在點(diǎn)尸使得點(diǎn)P,N,O,M.都在以尸為圓心的圓上

B.存在點(diǎn)尸使得點(diǎn)尸是了。河的垂心

C.存在點(diǎn)尸使得點(diǎn)尸是,的重心

D.點(diǎn)M到直線(xiàn)PN的最短距離為4

【答案】BCD

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，以及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，即可判斷A,根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，利用點(diǎn)尸的坐標(biāo)表示點(diǎn)

的坐標(biāo)，再根據(jù)垂心，重心，即可判斷BC,利用坐標(biāo)表示點(diǎn)M到直線(xiàn)PN的距離，即可判斷D.

【詳解】A.由題意可知，三點(diǎn)共線(xiàn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，若存在點(diǎn)尸使得點(diǎn)P,N,O,M.都在以下為圓

心的圓上，貝！為通徑，則XM=XN=1,|%|=2,則以點(diǎn)尸為圓心的圓的半徑為2,但同=122,所以

不存在點(diǎn)尸使得點(diǎn)P，N,O,M.都在以尸為圓心的圓上，故A錯(cuò)誤；

（v21*=%=4%4v

B.由則N拳為,而一,_］一尤-4,則直線(xiàn)即：＞=京）（＞1）,與拋物線(xiàn)方程y2=4x聯(lián)

-44(4一公

則為>可=-4,所以加=,貝!Jx”=W，即—，若存在點(diǎn)尸使得點(diǎn)尸是尸的垂心，貝!j

%%(%y0)

OFLPM,OP±FM,

,<4-44

OF=(1,0),PM=--x0,——%,貝！］0艮尸加=_一/=0,①

1%%)%

OP=(x0,%),FM=，則OPFM=當(dāng)-/-4=。，②，且4%>y：>0,③，聯(lián)立①③，得%>1,

1%yQ)%

聯(lián)立①②，得焉一%-4=0,則A＞。，得為=1±普＞1成立，故B正確；

4-4

C.若存在點(diǎn)尸使得點(diǎn)尸是尸QW的重心，則]0+%+a,0J+%+37,

-3一3

得X。=2,%=±2,即尸（2,±2）,故C正確；

D.點(diǎn)M到直線(xiàn)PN的最短距離為J=|y|+|y0|＞26卜閭=4,當(dāng);=y。時(shí)，即％=±2時(shí)等號(hào)成立,

點(diǎn)M到直線(xiàn)PN的最短距離為4,故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合光學(xué)性質(zhì)，利用點(diǎn)尸的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo).

三、填空題

7.（23-24高三下?北京東城?階段練習(xí)）在三角形ABC中，點(diǎn)。是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，VABC的三

個(gè)內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別是a,瓦c,則下列給出的命題：

①若OA.OB=OB.OC=OC.OA,則點(diǎn)。是三角形ABC的垂心；

②若向量AP=2（AB+AC）（AeR）,則點(diǎn)p的軌跡通過(guò)VABC的重心；

/\/\

ATARRA

③若04，?AC1-11=OB-11-1—?=0,則點(diǎn)。是三角形A3C的內(nèi)心；

UIMJU叫時(shí)

@^（0A+0B]-AB=（0B+0C\BC=Q,則點(diǎn)0是三角形45c的內(nèi)心.

其中正確的命題是：.（填寫(xiě)正確結(jié)論的編號(hào)）

【答案】①②③

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算，以及三角形垂心、重心、內(nèi)心、外心等知識(shí)對(duì)4個(gè)命題進(jìn)行分析，從而確定正確

答案.

【詳解】①由=得，OB（OA-OC）=OBCA=G,即O3J_C4,

同理可得，OA1BC,OCA.AB,則點(diǎn)。是VABC的垂心，①正確;

②在VABC中，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC,貝!）A8+AC=AD,

從而AP=XAZ）,進(jìn)而P一定在VABC的3C邊的中線(xiàn)上，

由此得到點(diǎn)尸的軌跡一定過(guò)VA3C的重心，②正確；

、

BCBA

=OB-=。時(shí),

BC\BA

ACAB

向量網(wǎng)'網(wǎng)分別表示在邊AC和AB上取單位向量AC和AB'>

/、

An

它們的差是向量9。，當(dāng)廠(chǎng)1-廠(chǎng)1=0,即Q42.3'C',

UACIMJ

而三角形ABC’是等腰三角形,

所以點(diǎn)。在-ZMC的平分線(xiàn)上，同理可得點(diǎn)。在-ABC的平分線(xiàn)上,

故。為VABC的內(nèi)心，③正確；

④（OA+0到=（02+OC）-8C=0時(shí),

\OA+OB\是以|。4|、|。目為平行四邊形的一條對(duì)角線(xiàn),

而|A8|是該平行四邊形的另一條對(duì)角線(xiàn)，（。4+。3）.43=0時(shí),

表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即囪=畫(huà)，同理得匹卜畫(huà)

故。為VABC的外心，④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③

四、解答題

8.（23-24高三下?廣西桂林?階段練習(xí)）已知VA5C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,4=6,

Z?+12cosB=2c.

⑴求A的大?。?/p>

(2)請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知條件，使VA5C存在，并解決問(wèn)題：

M為VABC內(nèi)一點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)。，求VA3C的面積.

①〃為VABC的外心，AM=4；

②Af為VABC的垂心，MD=6；

③/為VABC的內(nèi)心，AD=3A/3.

【答案】Q)A=]

(2)選①，不合要求，選②③，面積為94

【分析】⑴由余弦定理得到〃+c2-36=26CCOSA,得到COSA=5,求出A=(

(2)選①，M為VA3C的外心，AM=4,由正弦定理得到尺=26，與AM=4矛盾，舍去；

選②，計(jì)算出N9WD=ZACB,故指tanZACB,C￡>=73tanZABC,根據(jù)8D+CD=6,得到

tanNABC+tanNAC2=2VL利用正切和角公式得到tanNABCtan/AC3=3,從而求出

tan/ABC=tan/AC8=若，所以/ABC=/ACB=1，VABC為等邊三角形，求出VABC的面積；

選③，根據(jù)542^=5.0+548和三角形面積公式得到》+。=￡，結(jié)合〃+。2一36=A，求出反=36,求

出三角形