專(zhuān)題7.2一元一次不等式【十大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一元一次不等式的定義】 1【題型2一元一次不等式的解集】 3【題型3在數(shù)軸上表示不等式的解集】 5【題型4一元一次不等式的整數(shù)解】 8【題型5解含參數(shù)的一元一次不等式】 10【題型6解含絕對(duì)值的一元一次不等式】 12【題型7由一元一次方程解的取值范圍求參數(shù)取值范圍】 15【題型8由二元一次方程組解的關(guān)系求參數(shù)取值范圍】 18【題型9一元一次不等式解的最值】 20【題型10一元一次不等式中的新定義問(wèn)題】 22知識(shí)點(diǎn)：一元一次不等式1.一元一次不等式概念含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫一元一次不等式.2.解一元一次不等式的步驟①去分母：不等式中有分母的，要通過(guò)不等式兩邊都乘以分母的最小公倍數(shù)去分母；②去括號(hào)：不等式中有括號(hào)的要按照有理數(shù)中去括號(hào)的法則去括號(hào)，在去括號(hào)過(guò)程中要注意符號(hào)的變化（注意分?jǐn)?shù)線(xiàn)有括號(hào)的作用）；③移項(xiàng)：將不等式中右邊含有未知數(shù)的項(xiàng)變號(hào)后移到左邊，將左邊的常數(shù)項(xiàng)變號(hào)移到右邊；④合并同類(lèi)項(xiàng)：把不等式整理成x＞a或x＜a的形式；⑤化系數(shù)為1：把不等式兩邊都除以同一個(gè)正數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向不變，而都除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向必須改變.【題型1一元一次不等式的定義】【例1】（23-24七年級(jí)·青海海東·期末）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是（）A．4>1 B．x<y C．3x?3<2 D．1【答案】C【分析】本題考查了一元一次不等式，根據(jù)一元一次不等式的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1次，不等式的左右兩邊都是整式，這樣的不等式叫一元一次不等式，據(jù)此判斷即可求解，掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、不等式4>1不含未知數(shù)，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不等式x<y含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元一次不等式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不等式3x?3<2是一元一次不等式，故本選項(xiàng)符合題意；D、不等式1x故選：C．【變式1-1】（23-24七年級(jí)·福建福州·期末）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)一元一次不等式______．【答案】x?1>0(答案不唯一)

【解析】解：一元一次不等式有：x?1>0．

故答案為：x?1>0(答案不唯一)．

根據(jù)一元一次不等式的定義，只要含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式就可以．

本題考查不等式的定義；寫(xiě)出的不等式只需符合條件．【變式1-2】（23-24七年級(jí)·河南鄭州·開(kāi)學(xué)考試）若a?3xa?2?1>5是關(guān)于x【答案】x<?3【分析】本題考查一元一次不等式定義求參數(shù)及解一元一次不等式，根據(jù)一元一次不等式定義先求出a=1，代入原不等式求解即可得到答案，熟記一元一次不等式定義及一元一次不等式的解法步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a?3xa?2?1>5∴a?2=1，且a?3≠0，解得∴題中的不等式為?2x?1>5，解得x<?3，故答案為：x<?3．【變式1-3】（23-24七年級(jí)·福建福州·期末）若(m+1)xm2?3>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則【答案】1

【分析】本題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．

利用一元一次不等式的定義得出m2=1且m+1≠0，由此解答即可．

【解答】

解：∵m+1xm2?3>0是關(guān)于x的一元一次不等式，

∴m2=1，

解得：m=±1【題型2一元一次不等式的解集】【例2】（23-24七年級(jí)·江西上饒·期末）當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式x+36的值不小于2x?54與【答案】x≤【分析】根據(jù)題意建立不等式x+36【詳解】解：由題意得：x+36去分母得：2x+3去括號(hào)得：2x+6≥6x?15+4，移項(xiàng)得：2x?6x≥?15+4?6，合并得：?4x≥?17，系數(shù)化為1得：x≤17∴當(dāng)x≤174時(shí)，代數(shù)式x+36的值不小于2x?5【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式，正確理解題意列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（23-24七年級(jí)·四川遂寧·期中）如果關(guān)于x的不等式6x>a+5和2x>4的解集相同，則a的值為．【答案】7【分析】解6x>a+5得x>a+56，解2x>4得x>2，由不等式6x>a+5和2x>4的解集相同，可得【詳解】解：6x>a+5，解得x>a+52x>4，解得x>2，∵不等式6x>a+5和2x>4的解集相同，∴a+56=2，解得故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次方程．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【變式2-2】（23-24七年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）（1）解方程：x?x?2（2）閱讀下面解不等式x?13解：2x?2?x+2>3x?12……第一步2x?x?3x>?12……第二步?2x>?12……第三步x>6……第四步①第一步去分母的依據(jù)是；②第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；直接寫(xiě)出原不等式的正確解集是；③請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解不等式時(shí)需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提出1條建議．【答案】（1）x=?8（2）①不等式的性質(zhì)②一，去分母時(shí)，沒(méi)有添括號(hào)，導(dǎo)致符號(hào)出錯(cuò)，x<4③去分母時(shí)注意常數(shù)項(xiàng)不要漏乘最小公倍數(shù)，去括號(hào)和移項(xiàng)時(shí)要注意符號(hào)的變化（合理準(zhǔn)確即可）【分析】本題考查解一元一次方程，不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式：（1）去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化1，進(jìn)行求解即可；（2）①根據(jù)不等式性質(zhì)，作答即可；②根據(jù)不等式的性質(zhì)作答求解即可；③根據(jù)解不等式的過(guò)程中易出現(xiàn)的問(wèn)題，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：（1）x?去分母，得：15x?3x?2去括號(hào)，得：15x?3x+6=10x?25+15，移項(xiàng)，合并，得：2x=?16，系數(shù)化1，得：x=?8；（2）①去分母的依據(jù)是：不等式的性質(zhì)；故答案為：不等式的性質(zhì)；②第一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是去分母時(shí)，沒(méi)有添括號(hào)，導(dǎo)致符號(hào)出錯(cuò)，2x?2?x?2>3x?122x?x?3x>?12+4?2x>?8x<4；故答案為：一，去分母時(shí)，沒(méi)有添括號(hào)，導(dǎo)致符號(hào)出錯(cuò)，x<4；（3）去分母時(shí)注意常數(shù)項(xiàng)不要漏乘最小公倍數(shù)，去括號(hào)和移項(xiàng)時(shí)要注意符號(hào)的變化．【變式2-3】（23-24七年級(jí)·寧夏中衛(wèi)·期末）不等式x+22≥2x+m3+1【答案】1【分析】按照解一元一次不等式的步驟進(jìn)行計(jì)算可得x≤?2m，然后根據(jù)已知易得?2m=8，從而可得m=?4，最后把m的值代入式子中進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：x+223x+23x+6≥4x+2m+6，3x?4x≥2m+6?6，?x≥2m，x≤?2m，∵不等式的解集為x≤8，∴?2m=8，解得：m=?4，∴2m故答案為：116【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．【題型3在數(shù)軸上表示不等式的解集】【例3】（23-24七年級(jí)·江蘇連云港·期末）解不等式并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．(1)2x(2)x?2【答案】(1)x>?3(2)x≤1；數(shù)軸見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了解不等式，根據(jù)不等式的性質(zhì)解不等式，掌握解不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并后再系數(shù)化為1即可得到解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可；（2）去括號(hào)，移項(xiàng)，合并后再系數(shù)化為1即可得到解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【詳解】（1）解：去分母得：4x?33x?1去括號(hào)得：4x?9x+3<6，移項(xiàng)得：4x?9x<6?3，合并得：?5x<3，系數(shù)化為1得：x>?3故不等式的解集為：x>?3在數(shù)軸上表示為：

（2）解：去括號(hào)得：x?2x+2≥1，移項(xiàng)得：x?2x≥1?2，合并得：?x≥?1，系數(shù)化為1得：x≤1，故不等式的解集為：x≤1；在數(shù)軸上表示為：

【變式3-1】（23-24七年級(jí)·四川成都·期中）把不等式3x?1≤2x+3的解集表示在數(shù)軸上，下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求得不等式的解集為x≤4，從而可求解．本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【詳解】解：3x?1≤2x+3，3x?2x≤3+1，x≤4．在數(shù)軸上表示為：．故選：A．【變式3-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）若關(guān)于x的不等式3x?a≤?1的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則a的值是．【答案】?2【分析】本題主要考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，解一元一次不等式，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集以及一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．由題圖得不等式的解集為x≤?1，解不等式得x≤a?13，因而【詳解】解：3x?a≤?1，移項(xiàng)，得：3x≤a?1，解得：x≤a?1由題圖得不等式的解集為x≤?1，∴a?1解得：a=?2，故答案為：?2．【變式3-3】（23-24七年級(jí)·福建福州·期末）若不等式4x?1<?2x+的解集表示在數(shù)軸上如圖所示，則被墨跡污染的數(shù)字是

(

)

A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C

【分析】本題考查了一元一次不等式的解法，在數(shù)軸上表示不等式的解集，設(shè)被墨跡污染的數(shù)字為a，求出4x?1<?2x+a，的解集為x<a+16

，根據(jù)解集在數(shù)軸上表示可得【解答】

解：設(shè)被墨跡污染的數(shù)字為a，

解不等式4x?1<?2x+a，得

x<a+16

，

由題圖可知該不等式的解集為x<1，

所以

a+16【題型4一元一次不等式的整數(shù)解】【例4】（2024·浙江溫州·七年級(jí)期末）已知關(guān)于x的不等式x?m≥0的負(fù)整數(shù)解只有?1,?2,則m的取值范圍是（

）．A．?3<m<?2 B．?3<m≤?2 C．?3≤m≤?2 D．?3≤m<?2【答案】B【分析】先求得不等式的解集，再利用數(shù)軸求解即可．本題考查了不等式的解集，根據(jù)解集求參數(shù)，熟練掌握不等式解集是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵x?m≥0，∴x≥m，∵不等式x?m≥0的負(fù)整數(shù)解只有?1,?2,∴符合題意的m取值范圍如圖所示，∴?3＜故選B．【變式4-1】（23-24七年級(jí)·重慶江津·階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式x?a>1有且只有三個(gè)負(fù)整數(shù)解，則a的取值范圍為（

）A．?4<a<?3 B．?4≤a<?3 C．?5≤a<?4 D．?5<a≤?4【答案】C【分析】本題考查了根據(jù)一元一次不等式的解的情況求參數(shù)，先求出解集，然后根據(jù)正數(shù)解的情況得到參數(shù)的取值，根據(jù)解的情況求出參數(shù)的取值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵x?a>1，∴x>a+1，∵關(guān)于x的不等式x?a>1有且只有三個(gè)負(fù)整數(shù)解，∴x的負(fù)整數(shù)解有：?1,?2,?3，∴?4≤a+1<?3，解得：?5≤a<?4，故選：C．【變式4-2】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期末）若關(guān)于x的不等式2x?a>0的解集中存在負(fù)數(shù)解，但不存在負(fù)整數(shù)解，則a的取值范圍是（

）.A．a(chǎn)≥?2 B．a(chǎn)<0 C．?2≤a<0 D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式，先解一元一次不等式可得：x>a2，然后根據(jù)題意可得：【詳解】2x?a>0，2x>a，x>a∵不等式2x?a>0的解集中存在負(fù)數(shù)解，但不存在負(fù)整數(shù)解，∴?1≤a∴?2≤a<0，故選：C．【變式4-3】（23-24七年級(jí)·河北廊坊·期末）已知方程組4m+3n=33m?2n=15的解滿(mǎn)足2km+3n<3，則k的非負(fù)整數(shù)值為【答案】0，1/1，0【分析】此題考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，先解二元一次方程組，得到m=3n=?3，再把m=3n=?3代入不等式，求出k<2,即可得到【詳解】解：4m+3n=3①×2＋②×3得，17m=51，解得m=3，把m=3代入①得，12+3n=3，解得n=?3，∴m=3n=?3把m=3n=?3代入2km+3n<3得到6k?9<3解得k<2，∴k的非負(fù)整數(shù)值為0，1故答案為：0，1【題型5解含參數(shù)的一元一次不等式】【例5】（23-24七年級(jí)·湖北黃石·期末）若關(guān)于x的不等式ax?b>0的解集為x<13，則關(guān)于x的不等式(a+b)x>b?a的解集是（A．x<?12 B．x<12 C．【答案】A【分析】本題主要考查了含參不等式的求解，根據(jù)一元一次不等式的基本性質(zhì)得到a與b的比值以及a<0，b<0的結(jié)論，設(shè)b=m，【詳解】解：由ax?b>0得：ax>b，∵不等式ax?b>0的解集是x<1∴ba設(shè)b=m,a=3m(m<0),則b?a=?2m,a+b=4m<0,∴(a+b)x>b?a的解集是x<b?a即x<?1故選：A．【變式5-1】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）已知關(guān)于x的方程5(x?a)=?2a的根大于關(guān)于x的方程3(x?a)=2(x+a)的根，則a應(yīng)是（）A．不為0的數(shù) B．正數(shù) C．負(fù)數(shù) D．大于-1的數(shù)【答案】C【分析】分別用a表示出兩方程的根，根據(jù)題意可得到關(guān)于a的不等式，可求出a所滿(mǎn)足的條件，可得出答案．【詳解】解方程5（x-a）=-2a可得x=35解方程3（x-a）=2（x+a）可得x=5a，∵方程5（x-a）=-2a的根大于關(guān)于x的方程3（x-a）=2（x+a）的根，∴35故選C．【點(diǎn)睛】本題考了方程的解和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得到關(guān)于a的不等式．【變式5-2】（23-24七年級(jí)·浙江·期末）已知關(guān)于x的不等式(2a?b)x≥a?2b的解集是x≥52，則關(guān)于x的不等式ax+b<0的解集是【答案】x>?8【分析】對(duì)不等式(2a?b)x?a?2b可得x?a?2b2a?b，其解集是x?52，故有a?2b2a?b【詳解】解：不等式(2a?b)x?a?2b系數(shù)化1得，x?a?2b2a?b，且∵該不等式的解集為是x?5∴a?2b2a?b∴b=8a，∵2a?b＞0，∴2a?8a＞0，解得a<0，將b=8a代入不等式ax+b<0得，ax+8a<0，移項(xiàng)得，ax<?8a，又∵a<0，∴x>?8，故答案為：x>?8．【點(diǎn)睛】當(dāng)題中有兩個(gè)未知字母時(shí)，應(yīng)把關(guān)于某個(gè)字母的不等式中的字母當(dāng)成未知數(shù)，求得解集，再根據(jù)解集進(jìn)行判斷，求得另一個(gè)字母的值．本題需注意，在不等式兩邊都除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)只改變不等號(hào)的方向，余下運(yùn)算不受影響，該怎么算還怎么算．【變式5-3】（23-24七年級(jí)·廣東珠海·期末）若關(guān)于x的不等式ax+a>?bx+b的解集為x<12，則關(guān)于x的不等式ax+a>?bx+3b的解集是【答案】x<2/2>x【分析】本題考查了解一元一次不等式．熟練掌握解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．由ax+a>?bx+b，可得a+bx>b?a，由不等式ax+a>?bx+b的解集為x<12，則x<b?aa+b，即a+b<0且b?aa+b=【詳解】解：ax+a>?bx+b，∴a+bx>b?a∵不等式ax+a>?bx+b的解集為x<1∴x<b?aa+b，即a+b<0且解得，b=3a<0，∵ax+a>?bx+3b，∴ax+a>?3ax+9a，解得，x<2，故答案為：x<2．【題型6解含絕對(duì)值的一元一次不等式】【例6】（23-24七年級(jí)·河北保定·階段練習(xí)）不等式x?1<1的解集是（

A．x>2 B．x<0 C．0<x<2 D．x<0或x>2【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)分x?1>0、x?1<0，去絕對(duì)值符號(hào)后解相應(yīng)不等式可得x的范圍．【詳解】解：①當(dāng)x?1≥0，即x≥1時(shí)，原式可化為：x?1<1，解得：x<2，∴1≤x<2；②當(dāng)x?1<0，即x<1時(shí)，原式可化為：1?x<1，解得：x>0，∴0<x<1，綜上，該不等式的解集是0<x<2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的能力，根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24七年級(jí)·廣東梅州·開(kāi)學(xué)考試）不等式|x|<1的解集是．【答案】?1<x<1/1>x>?1【分析】根據(jù)“|a|”的幾何意義是：數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可解答．【詳解】解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可得：“|x|<1”可理解為數(shù)x在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于1，不等式|x|<1的解集是?1<x<1．故答案為：?1<x<1．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期末）已知不等式12x?2?5?1>12a【答案】?5【分析】首先根據(jù)題意表示出不等式的解，然后根據(jù)x<1【詳解】∵1x?2x?21?a∴1?a>0，即∴x?2∴x?2<?∴x<?∵不等式的解是x<1∴x>∴?91?a+2=經(jīng)檢驗(yàn)，a=?5是方程的解．故答案為：?5．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式含參數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出一元一次不等式的解．【變式6-3】（23-24七年級(jí)·福建泉州·期中）閱讀下列材料：我們知道x的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即x=x?0，也就是說(shuō)，x表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；這個(gè)結(jié)論可以推廣為x1?x例1．解方程x=2．因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為±2，所以方程x=2的解為例2．解不等式x?1>2．在數(shù)軸上找出x?1=2的解（如圖），因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為?1或3，所以方程x?1=2的解為x=?1或x=3，因此不等式

例3．解方程x?1+x+2=5．由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和?2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值．因?yàn)樵跀?shù)軸上1和?2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為3（如圖），滿(mǎn)足方程的x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊或?2的左邊．若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊，可得x=2；若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在?2的左邊，可得x=?3，因此方程x?1+x+2

參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：(1)方程x+3=4(2)解不等式：x?3≤5(3)解不等式：x?3+【答案】(1)x=1或x=?7(2)?2≤x≤8(3)x≥4或x≤?5【分析】本題主要考查了絕對(duì)值及不等式的知識(shí)：（1）利用在數(shù)軸上到?3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為1或?7求解即可；（2）先求出x?3=5的解，再求x?3（3）先在數(shù)軸上找出x?3+x+4=9解題的關(guān)鍵是理解x1?x2表示在數(shù)軸上數(shù)【詳解】（1）解：∵在數(shù)軸上到?3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為1或?7，∴方程x+3=4的解為x=1或x=?7故答案為：x=1或x=?7．（2）在數(shù)軸上找出x?3=5∵在數(shù)軸上到3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為?2或8，∴方程x?3=5的解為x=?2或x=8∴不等式x?3≤5的解集為?2≤x≤8（3）在數(shù)軸上找出x?3+由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到3和?4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于9的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值，∵在數(shù)軸上3和?4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為7，∴滿(mǎn)足方程的x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在3的右邊或?4的左邊．若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在3的右邊，可得x=4；若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在?4的左邊，可得x=?5，∴方程x?3+x+4=9的解是x=4∴不等式x?3+x+4≥9的解集為x≥4【題型7由一元一次方程解的取值范圍求參數(shù)取值范圍】【例7】（23-24七年級(jí)·貴州六盤(pán)水·期中）若方程2mx+3?1=m6?x?3x的解是負(fù)數(shù)，則A．m<?1 B．m<?3 C．m>?13 【答案】A【分析】本題考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．先解一元一次方程，然后根據(jù)已知方程的解是負(fù)數(shù)，可得13m+3<0，從而可得【詳解】解：2mx+32mx+6m?1=6m?mx?3x，2mx+mx+3x=6m?6m+1，3mx+3x=1，3m+3x=1x=1∵方程的解是負(fù)數(shù)，∴1∴3m+3<0，∴3m<?3，∴m<?1，故選：A．【變式7-1】（2024·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)期末）若關(guān)于x的不等式ax?2>0的解集為x<?2，則關(guān)于y【答案】y=2

【解析】解：∵不等式ax?2>0，即ax>2的解集為x<?2，

∴a=?1，

代入方程得：?y+2=0，

解得：y=2．

故答案為：y=2．

根據(jù)已知不等式解集確定出a的值，代入方程計(jì)算即可求出y的值．

本題考查了不等式的解法以及一元一次方程的解法，正確確定a的值是關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·期末）若關(guān)于x的方程5x?2a=8的解是非正數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)>?4 B．a(chǎn)<?4 C．a(chǎn)≥?4 D．a(chǎn)≤?4【答案】D【分析】本題考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟練掌握解方程和不等式的方法是解題的關(guān)鍵．先解一元一次方程，再根據(jù)題意構(gòu)建一元一次不等式，最后解不等式即可．【詳解】∵5x?2a=8，∴x=8+2a∵關(guān)于x的方程5x?2a=8的解是非正數(shù)，∴x=8+2a解得a≤?4，故選：D．【變式7-3】（23-24七年級(jí)·山東德州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x?23+m=2，若該方程的解是不等式2x?1<1+3x2【答案】2【分析】本題考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握不等式和方程的解題技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整數(shù)解，即可求出m的值，將m的值代入方程即可求出的值．【詳解】解：2x?1<4x?2<1+3x4x?3x<1+2x<3，∴不等式2x?1<1+3x∵關(guān)于x的方程x?23+m=2的解是∴2?2∴m=2，故答案為：2．【題型8由二元一次方程組解的關(guān)系求參數(shù)取值范圍】【例8】（23-24七年級(jí)·四川瀘州·開(kāi)學(xué)考試）若關(guān)于x，y的方程組x+5y=6m?35x+y=?3的解滿(mǎn)足x+y<3，則mA．1 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】?jī)墒较嗉涌傻脁+y=m?1，代入已知不等式求出m的范圍，再確定m的所有非負(fù)整數(shù)解即可求出結(jié)果．【詳解】解：x+5y=6m?3①+②，得6x+6y=6m?6∴x+y=m?1∵x+y<3∴m?1<3∴m<4∴m的非負(fù)整數(shù)為3，2，1，0，∴m的所有非負(fù)整數(shù)之和為3+2+1+0=6故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出關(guān)于m的不等式．【變式8-1】．（23-24七年級(jí)·江蘇鹽城·開(kāi)學(xué)考試）若方程組3x+y=k+1x+3y=3的解為x=ay=b且a+b>0，則A．k>4 B．k>?4 C．k<4 D．k<?4【答案】B【分析】此題考查了二元一次方程組和不等式的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵是能應(yīng)用簡(jiǎn)單方法，計(jì)算準(zhǔn)確將x=ay=b代入原方程組，用含k的代數(shù)式表示出a+b【詳解】解：將x=ay=b3a+b=k+1①①+②4∵a+b>0，∴k+44解得，k>?4，故選：B．【變式8-2】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·期末）已知關(guān)于x，y的方程組x?2y=3k2x+y=k+4，滿(mǎn)足x+3y≥0，則kA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題考查了解二元一次方程組與解一元一次不等式；由題意把方程組中兩方程相關(guān)得x+3y=?2k+4；由題意得不等式，解不等式即可．【詳解】解：x?2y=3k②?①得：而x+3y≥0，即?2k+4≥0，解得：k≤2；則k的最大值是2．故選：C．【變式8-3】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期末）m,n為實(shí)數(shù),若關(guān)于x的方程組x?my=2n2x+3y=5無(wú)解,則關(guān)于aA．a(chǎn)>?13 B．a(chǎn)>?3 C．a(chǎn)<?1【答案】C【分析】本題考查解二元一次方程組及一元一次不等式性質(zhì)．熟練運(yùn)算是解出本題的關(guān)鍵．【詳解】解:∵x?my=2,整理得：x=2+my,∴把x=2+my代入n2mn2+3∵該方程組無(wú)解,∴mn∴mn∴m=?3∴關(guān)于a的不等式ma>1n2∴a<?1故選:C．【題型9一元一次不等式解的最值】【例9】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·期末）若關(guān)于x的不等式3x<a的正整數(shù)解是1，2，3，則整數(shù)a的最小值是．【答案】10【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，首先確定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．【詳解】解：不等式的解集是：x<a∵不等式的正整數(shù)解恰是1，2，3，∴3<a∴a的取值范圍是9<a≤12．∴整數(shù)a的最小值是10．故答案為：10．【變式9-1】（23-24七年級(jí)·甘肅定西·階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)3是不等式2x?a?2<0的一個(gè)解，則a可取的最小正整數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解，根據(jù)實(shí)數(shù)3是不等式2x?a?2<0的一個(gè)解，可得a的取值范圍，從而可以求得a可取的最小正整數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．【詳解】解：由不等式2x?a?2<0，得x<a+2∵實(shí)數(shù)3是不等式2x?a?2<0的一個(gè)解，∴a+22>3，得∴a可取的最小正整數(shù)為5，故選：C．【變式9-2】（23-24七年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足2x?3y=4，并且x≥?1，y≤2，則x?y的最大值是．【答案】3【分析】本題考查了一次方程和一元一次不等式的解法的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)進(jìn)行正確的計(jì)算；運(yùn)用一次方程和一元一次不等式的解法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵2x?3y=2x?2y?y=2=4即2x?y∴x?y=y+4∵y≤2，∴x?y=y+4即x?y的最大值是3故答案為：3【變式9-3】（2016七年級(jí)·（2024·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)期末）若質(zhì)數(shù)p、q滿(mǎn)足：3q?p?4=0，p+q<111，則pq的最大值為．【答案】1007【分析】此題主要考查了質(zhì)數(shù)的定義以及不等式的解法等知識(shí)，根據(jù)已知分別得出q，p的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合質(zhì)數(shù)的定義得出p，q的最值，進(jìn)而得出答案，分別得出q，p的取值范圍是解題關(guān)鍵．【詳解】由3q?p?4=0得p=3q?4，∴pq=q3q?4，顯然q3q?4的值隨著質(zhì)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)q取得最大值時(shí)pq取得最大值，∵p+q<111，即p+q=4q?4<111，∴q<115∵q為質(zhì)數(shù)，∴q的可能的取值為23，19，17，13，11，7，5，3，2，當(dāng)q=23時(shí)，p=3q?4=65，不是質(zhì)數(shù)；當(dāng)q=19時(shí)，p=3q?4=53，是質(zhì)數(shù)，∴q的最大值為19，pq的最大值為53×19=1007，故答案為：1007．【題型10一元一次不等式中的新定義問(wèn)題】【例10】（23-24七年級(jí)·貴州畢節(jié)·期中）規(guī)定：min{m,n}表示m，n中較小的數(shù)（m，n均為實(shí)數(shù)，且m≠n），例如：min{4，5}=4．若min2x?4A．x<7 B．x>9 C．x<9 D．x>7【答案】B【分析】本題考查了新定義，一元一次不等式的解法，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵；由題意易得2x?47【詳解】解：由題意得：2x?47解得：x>9；故選B