甘肅張掖市2025年高考數(shù)學試題必刷試卷（新課標卷）考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足，則（）A． B．2 C．4 D．33．下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖像大致為（）.A． B．C． D．5．空氣質量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù)，指數(shù)值趨小，表明空氣質量越好，下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢，下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上（指數(shù)）的天數(shù)占C．該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好6．函數(shù)的定義域為，集合，則（）A． B． C． D．7．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點、，過點作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知雙曲線：的焦距為，焦點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．11．為比較甲、乙兩名高中學生的數(shù)學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算最強12．2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個6位數(shù)，則產生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為A．96 B．84 C．120 D．360二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象在處的切線方程為__________．14．在的展開式中，項的系數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．15．已知為偶函數(shù)，當時，，則__________．16．過直線上一動點向圓引兩條切線MA，MB，切點為A，B，若，則四邊形MACB的最小面積的概率為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，是的一個極值點，且.（1）討論的單調性（2）求實數(shù)和a的值（3）證明18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在曲線上，求的最小值及此時點的坐標.19．（12分）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項均為整數(shù)，它們的前項和分別為，且，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求；（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.20．（12分）在中,角、、所對的邊分別為、、，角、、的度數(shù)成等差數(shù)列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.21．（12分）2019年春節(jié)期間，某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動，超市設計了兩種抽獎方案.方案一：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案二：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；（2）若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學期望；②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動？22．（10分）已知函數(shù).（1）若在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，對，恒有成立，求實數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，結合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，，令，可得，當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減.當時，，若直線和有兩個交點，則.實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍，解題關鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導數(shù)求單調性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.2．A【解析】

由復數(shù)除法求出，再由模的定義計算出模．【詳解】．故選：A．【點睛】本題考查復數(shù)的除法法則，考查復數(shù)模的運算，屬于基礎題．3．C【解析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.故選：C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎題.4．A【解析】

本題采用排除法:由排除選項D；根據(jù)特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B；【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項D排除;對于選項C：因為,故選項C排除;對于選項B:當,且無限接近于0時,接近于,，此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數(shù)解析式較復雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負等有關性質進行逐一排除是解題的關鍵;屬于中檔題.5．C【解析】

結合題意，根據(jù)題目中的天的指數(shù)值，判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于，由圖可知天的指數(shù)值中有個低于，個高于，其中第個接近，第個高于，所以中位數(shù)略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為，即占總天數(shù)的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質量越來越好，從第天到第天空氣質量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下，中旬大部分指數(shù)在以上，所以該市月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好，故正確.故選：【點睛】本題考查了對折線圖數(shù)據(jù)的分析，讀懂題意是解題關鍵，并能運用所學知識對命題進行判斷，本題較為基礎.6．A【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【點睛】本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎題.7．B【解析】

設點位于第二象限，可求得點的坐標，再由直線與直線垂直，轉化為兩直線斜率之積為可得出的值，進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設點位于第二象限，由于軸，則點的橫坐標為，縱坐標為，即點，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關鍵就是得出、、的等量關系，考查計算能力，屬于中等題.8．C【解析】

轉化函數(shù)，，的零點為與，，的交點，數(shù)形結合，即得解.【詳解】函數(shù)，，的零點，即為與，，的交點，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C【點睛】本題考查了數(shù)形結合法研究函數(shù)的零點，考查了學生轉化劃歸，數(shù)形結合的能力，屬于中檔題.9．B【解析】

求出導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍．【詳解】，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴在上只有一個極大值也是最大值，顯然時，，時，，因此要使函數(shù)有兩個零點，則，∴．故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的零點，考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍．10．A【解析】

利用雙曲線：的焦點到漸近線的距離為，求出，的關系式，然后求解雙曲線的漸近線方程．【詳解】雙曲線：的焦點到漸近線的距離為，可得：，可得，，則的漸近線方程為．故選A．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，構建出的關系是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中檔題.11．D【解析】

根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；對于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)，故B正確；對于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算為80分，不是最強的，故D錯誤；故選：D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算，考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.12．B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開頭的排列數(shù)共個，其中含有2個10的排列數(shù)共個，所以產生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為.故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用導數(shù)的幾何意義,對求導后在計算在處導函數(shù)的值,再利用點斜式列出方程化簡即可.【詳解】,則切線的斜率為.又,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即.故答案為：【點睛】本題主要考查了根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點處的切線方程問題,需要注意求導法則與計算,屬于基礎題.14．【解析】的展開式的通項為：.令，得.答案為：-40.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù).15．【解析】

由偶函數(shù)的性質直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的運算，考查運算求解能力16．.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉化為的最小值為，求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率．【詳解】由圓的方程得，所以圓心為，半徑為，四邊形的面積，若四邊形的最小面積，所以的最小值為，而，即的最小值，此時最小為圓心到直線的距離，此時，因為，所以，所以的概率為．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系,及與長度有關的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）在區(qū)間單調遞增；（2）；（3）證明見解析.【解析】

（1）求出，在定義域內，再次求導，可得在區(qū)間上恒成立，從而可得結論；（2）由，可得，由可得，聯(lián)立解方程組可得結果；（3）由（1）知在區(qū)間單調遞增，可證明，取，可得，而，利用裂項相消法，結合放縮法可得結果.【詳解】（1）由已知可得函數(shù)的定義域為，且，令，則有，由，可得，可知當x變化時，的變化情況如下表：1-0+極小值，即，可得在區(qū)間單調遞增；（2）由已知可得函數(shù)的定義域為，且，由已知得，即，①由可得，，②聯(lián)立①②，消去a，可得，③令，則，由（1）知，，故，在區(qū)間單調遞增，注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，；（3）證明：由（1）知在區(qū)間單調遞增，故當時，，，可得在區(qū)間單調遞增，因此，當時，，即，亦即，這時，故可得，取，可得，而，故.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點，利用導數(shù)證明不等主要方法有兩個，一是比較簡單的不等式證明，不等式兩邊作差構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點，結合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結論先行放縮，然后再化簡或者進一步利用導數(shù)證明.18．（1）；（2）最小值為，此時【解析】

（1）消去曲線參數(shù)方程的參數(shù)，求得曲線的普通方程.利用極坐標和直角坐標相互轉化公式，求得曲線的直角坐標方程.（2）設出的坐標，結合點到直線的距離公式以及三角函數(shù)最值的求法，求得的最小值及此時點的坐標.【詳解】（1）消去得，曲線的普通方程是：；把，代入得，曲線的直角坐標方程是（2）設，的最小值就是點到直線的最小距離.設在時，，是最小值，此時，所以，所求最小值為，此時【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標方程轉化為直角坐標方程，考查利用圓錐曲線的參數(shù)求最值，屬于中檔題.19．（1）；（2）；（3）存在，1.【解析】

（1）利用基本量法直接計算即可；（2）利用錯位相減法計算；（3），令可得，，討論即可.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因為，所以，即，解得，或（舍去）.所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因為是數(shù)列或中的一項，所以，所以，因為，所以，又，則或.當時，有，即，令.則.當時，；當時，，即.由，知無整數(shù)解.當時,有，即存在使得是數(shù)列中的第2項，故存在正整數(shù)，使得是數(shù)列中的項.【點睛】本題考查數(shù)列的綜合應用，涉及到等差、等比數(shù)列的通項，錯位相減法求數(shù)列的前n項和，數(shù)列中的存在性問題，是一道較為綜合的題.20．(1)；(2)．【解析】

(1)由角的度數(shù)成等差數(shù)列，得.又.由正弦定理，得,即.由余弦定理，得,即，解得.(2)由正弦定理，得.由，得.所以當，即時，.【方法點睛】解三角形問題基本思想方法：從條件出發(fā)，利用正弦定理(或余弦定理)進行代換、轉化．逐步化為純粹的邊與邊或角與角的關系，即考慮如下兩條途徑：①統(tǒng)一成角進行判斷，常用正弦定理及三角恒等變換；②統(tǒng)一成邊進行判斷，常用余弦定理、面積公式等．21．(1)(2)①②第一種抽獎方案.【解析】

(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金劵的概率為，根據(jù)相互獨立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金劵的概率(2)①分別計算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計算即可，方案二根據(jù)二項分布計算期望即可