綜合與實踐綜合與實踐初中階段綜合與實踐領域，可采用項目式學習的方式，在解決問題中理解數(shù)學，應用數(shù)學，培養(yǎng)推理能力，提升獲取信息和資料的能力、自主學習或合作探究的能力，感悟數(shù)學的嚴謹性，初步形成邏輯表達與交流的習慣.有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習慣，形成實事求是的科學態(tài)度與理性精神.運用全等三角形解決幾何動態(tài)問題例1

如圖，AD=CB，E，F(xiàn)是AC上兩動點，且有DE=BF．（1）若點E，F(xiàn)運動至如圖1所示的位置，且有AF=CE，試說明：△ADE≌△CBF；（2）若點E，F(xiàn)運動至如圖2所示的位置，仍有AF=CE，則△ADE≌△CBF還成立嗎？

為什么？（3）若點E，F(xiàn)不重合，且有∠B=∠D，則AD和BC平行嗎？

請說明理由．綜合與實踐綜合與實踐［答案］解：（1）因為AF=CE，所以AF+EF=CE+EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中，因為所以△ADE≌△CBF（SSS）；AD=CB，DE=BF，AE=CF，綜合與實踐（2）△ADE≌△CBF成立，理由如下：因為AF=CE，所以AF-EF=CE-EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中，因為所以△ADE≌△CBF（SSS）；AD=CB，DE=BF，AE=CF，綜合與實踐（3）AD∥BC.理由：在△ADE和△CBF中，因為所以△ADE≌△CBF（SAS），所以∠A=∠C，所以AD∥BC.AD=CB，∠D=∠B，DE=BF，例2

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，試說明：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，試說明：DE=AD-BE；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，請寫出DE，AD，BE之間的等量關系，并說明理由.綜合與實踐綜合與實踐［解析］（1）①根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，得出∠CAD=∠BCE，再根據(jù)“AAS”即可判定△ADC≌△CEB；②根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得出AD=CE，CD=BE，進而得到DE=CE+CD=AD+BE；（2）先根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°

，

進而得出∠CAD=∠BCE，再根據(jù)“AAS”即可判定△ADC≌△CEB，進而得到AD=CE，CD=BE，最后得出DE=CE-CD=AD-BE；（3）運用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之間的等量關系是DE=BE-AD.綜合與實踐［答案］解：（1）①因為AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°，所以∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，所以∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，因為所以△ADC≌△CEB（AAS）；②因為△ADC≌△CEB，所以AD=CE，CD=BE，所以DE=CE+CD=AD+BE；∠CAD=∠BCE，∠ADC=∠CEB，AC=CB，綜合與實踐（2）因為AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，所以∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，所以∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，因為所以△ADC≌△CEB（AAS），所以AD=CE，CD=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE；∠CAD=∠BCE，∠ADC=∠CEB，AC=CB，綜合與實踐（3）DE=BE-AD．理由：因為AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，所以∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，所以∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，因為所以△ADC≌△CEB（AAS），所以AD=CE，CD=BE，所以DE=CD-CE=BE-AD.∠CAD=∠BCE，∠ADC=∠CEB，AC=CB，綜合與實踐［點撥］

解題關鍵是從復雜圖形中剝離出所需的全等三角形，結合已知條件證出三角形全等，利用全等三角形的邊角關系推出結論.專項突破———三角形專項突破———三角形1.要進行三角形中有關角度的計算與證明，首先要掌握三角形中角度之間的關系，如三角形內角和定理等內容，并結合角平分線的性質等，通過推理代換、列方程、轉化、規(guī)律探究等方法進行解決.2.在利用角的平分線、高線、中線、平行線、三角形內角和定理進行角度計算或證明角之間的關系時，若研究的角比較多，要設法將它們轉化到一個三角形中去，再進行推理、計算或證明.■專項

一

與三角形邊角有關的計算與證明典例1

如圖，在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點．若△BDE的面積等于2，則△ACD的面積等于

（

）A．2 B．3 C．4 D．5專項突破———三角形專項突破———三角形［解題思路］因為D是邊BC的中點，E是AB的中點，所以S△ACD=S△ABD=2S△BDE=2×2=4．［答案］C典例2

如圖，在△ABC中，AE為邊BC上的高，D為邊BC上的一點，連接AD．（1）當AD為邊BC上的中線時，若AE=4，△ABC的面積為24，求CD的長；（２）當AD為∠BAC的平分線時，①若∠C=65°，∠B=35°，求∠DAE的度數(shù)；②若∠C-∠B=20°，則∠DAE=_____°．專項突破———三角形專項突破———三角形［解題思路］專項突破———三角形

專項突破———三角形［點撥］

在遇到與三角形的角平分線、中線和高有關的問題時，要注意聯(lián)想相關知識.由角平分線想到把角等分，由中線想到把線段等分，由高想到兩個90°的角.專項突破———三角形全等三角形的常見模型有平移模型、對稱模型、旋轉模型和一線三等角模型，掌握常見模型的特征可以幫我們快速解題.■專項

二

全等三角形的幾種常見模型典例3

如圖，點C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD．試說明：△ABC≌△CDE．專項突破———三角形專項突破———三角形［答案］解：因為AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，所以∠B=∠D=∠ACE=90°，所以∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°，所以∠BCA=∠DEC.在△ABC和△CDE中，所以△ABC≌△CDE（AAS）．∠BCA＝∠DEC，∠B＝∠D，AB＝CD，典例4

如圖，在△ABC和△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠ABC=∠AEF，∠EAB=40°，AB交EF于點D，連

接EB．

給出下列結論：①∠FAC=40°；②AF=AC；③∠EFB=40°，