專題L2等邊三角形.重難點(diǎn)題型

【北師大版】

。*甲一反三

【知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形】

(D定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

(2)等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三前形；

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個(gè)角為60V的等腰三角形是等邊三甬形.

【題型1等邊三角形的性質(zhì)(角度問題)】

【例1】(2023秋?赫山區(qū)期末)如圖，等邊三角形ABC中，ADA.BC,垂足為。，點(diǎn)E在線段AD上，NEBC

=45°,求NACE的度數(shù).

【變式1-1］（2023秋?河?xùn)|區(qū)期中）如圖，點(diǎn)M,N分別在正三角形A8C的8C,C4邊上，上BM=CN,

AM,8N交于點(diǎn)Q.求證：NBQM=60".

【變式1-2］（2023秋?肥東縣期末）如圖，△A8C是等邊三角形，延長BC到E,使CE=.點(diǎn)。是邊

AC的中點(diǎn)，連接E。并延長交A8于尸.

（1）求NEFB的度數(shù);

(2)求證：DE=2DF.

D

B-

【變式1-3](2023秋?鄭州期末)如圖,已知408=120°,AC。。是等邊三角形(三條邊都相等,三個(gè)

角都等于60°的三角形)，O例平分N3OC.

D

(1)如圖I,當(dāng)乙40。=3()°時(shí)，NDOM=：

(2)如圖2,當(dāng)NAOC=100°時(shí)，ZDOM=；

(3)如圖3,當(dāng)NAOC=a(00<a<180°)時(shí)，求/。OM的度數(shù)，請(qǐng)借助圖3填空.

解：因?yàn)镹AOC=a,NAO8=120°,

所以N8OC=NAOC-NAOB=a-120°,

因?yàn)镺M平分NBOC,

所以NMOC=NBOC=(用a表示)，

因?yàn)椤鰿OO為等邊三角形，

所以NQOC=60°,

所以NQOM=NMOC+NOOC=(用a表示).

(4)由(1)(2)(3)問可知，當(dāng)/AOC=0(0°<p<180°)時(shí)，直接寫出NOOM的度數(shù).(用0

來表示，無需說明理由)

【題型2等邊三角形的性質(zhì)(規(guī)律問題)】

【例2】(2023春?渠縣期末)如圖，已知NMON=30°,點(diǎn)4,42,A3,…在射線ON上，點(diǎn)Bi,次，仍，…

在射線OM上，△AiBi/h,△A2BM3,△A3B3A*…均為等邊三角形，若04=2,貝必46尻47的邊長為

)

【題型3等邊三角形的性質(zhì)(動(dòng)點(diǎn)問題)】

【例3】(2023春?渭濱區(qū)期末)如圖，在等邊△ABC中，AB=\2cm,現(xiàn)有M,N兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A,8同時(shí)

出發(fā)，沿△A8C的邊按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1c〃心，點(diǎn)N的速度為2c"/s,當(dāng)點(diǎn)N第一

次到達(dá)8點(diǎn)時(shí)，M,N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為I(s).

(1)當(dāng)/為何值時(shí)，M,N兩點(diǎn)重合？?jī)牲c(diǎn)重合在什么位置？

(2)當(dāng)點(diǎn)M,N在8c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在使AM=AN的位置？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)的

時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式3-1］如圖，已知△A8C是邊長為6c〃?的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A,8兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿A3、

BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2c〃次，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，P、Q兩

點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：I(s),當(dāng)z=2時(shí)，判斷△BQP的形狀，并說明理由.

【變式3-2］（2023春?市中區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，A8=9a〃，點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)沿C5邊向點(diǎn)8點(diǎn)

以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從8點(diǎn)出發(fā)沿84邊向A點(diǎn)以5c〃心速度移動(dòng).P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移

動(dòng)的時(shí)間為/秒鐘.

（1）你能用/表示和KQ的長度嗎？請(qǐng)你表示出來.

（2）請(qǐng)問幾秒鐘后，△PBQ為等邊三角形？

（3）若P、。兩點(diǎn)分別從C、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且都按順時(shí)針方向沿△人BC三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問經(jīng)過幾秒

鐘后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△48C的哪條邊上相遇？

【變式3-3］（2023秋?大武口區(qū)期末）如圖所示，已知AABC中，A8=4C=8C=10厘米，M、N分別從點(diǎn)

4、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N

第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

（1）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？

（2）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得等邊三角形/IMN?

（3）M、N在/3C邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等股aAMM如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)

動(dòng)的時(shí)間？

【題型4等邊三角形的判定】

【例4】（2023秋?涌池縣期末）下列三角形：

①有兩個(gè)角等于60°；

②有一個(gè)角等于60。的等腰三角形；

③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；

??腰上的中線也是這條腰H勺高的等腰三角形.

其中是等邊三角形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③D.0@③④

【變式47】（2023春?平川區(qū)校級(jí)期末）下面給出的幾種三角形：①三個(gè)內(nèi)角都相等②有兩個(gè)外角為120°

③一邊上的高也是這邊所對(duì)的弟的平分線④三條邊上的高相等，其中是等邊三角形的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式4-2］（2023春?福山區(qū)期末）在下列結(jié)論中：

（1）有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形

（2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形

（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形

（4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式4-3］（2023春?文登區(qū)期末）如圖，408=120°,OP平分NAOB,且8=2.若點(diǎn)M,N分別在

OA,OB上,且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△燈團(tuán)7有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.無數(shù)個(gè)

【題型5等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合】

【例5】(2023秋?松桃縣期末)如圖，點(diǎn)P,M,N分別在等邊△A4C的各邊上，且于點(diǎn)P,MN

_L8C于點(diǎn)M,PN工AC于點(diǎn)N.

(1)求證：4PMN是等邊三角形;

(2)若AB=12c/〃，求CM的長.

【變式5/】(2023秋?邵陽縣期末)如圖，在等邊△A8C中，NA8C與N4C8的平分線相交于點(diǎn)O,且0。

//AB,OE//AC

(1)試判定△OOE的形狀，并說明你的理由；

(2)若8C=10,求△。。月的周長.

BDEC

【變式5-2](2023秋?浦城縣期中)如圖，△A8C是等邊三角形.

(1)如圖①，OE〃BC,分別交48、AC于點(diǎn)。、E.求證：是等邊三角形；

(2)如圖②，△AQE仍是等邊三角形，點(diǎn)B在的延長線上，連接CE,判斷NBEC的度數(shù)及線段

AE.BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式5-3】在△ABC中，AB=AC,ZBAC=\20°,4OJ_BC垂足為G,且AO=AB.NED/=60°,

其兩邊分別交邊AB,AC于點(diǎn)E,F.

(1)求證：△48。是等邊三角形；

(2)求證：BE=AF.

D

【題型6等邊三角形中的多結(jié)論問題）】

【例6】（2023春?武侯區(qū)校級(jí)期末）己知：如圖，△ABC和△OEC都是等邊三角形，D是延長線上一

點(diǎn)，人。與BE相交于點(diǎn)P,AC.BE相交于點(diǎn)M,人。、CE相交于點(diǎn)N,則下列五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；

②NBMC=/ANC；③NAPM=60°；④AN=BM；⑤是等邊三角形.其中，正確的有（）

【變式6-1］（2023春?靖邊縣期末）如圖，已知△A4C是等邊三角形，。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)B、

C）,過點(diǎn)。作。￡J_4從垂定為￡QE的垂直平分線分別交4C、AC于點(diǎn)八G,連接/Q.FE.當(dāng)點(diǎn)

D在8c邊上移動(dòng)時(shí)，有下列三個(gè)結(jié)論：①△。￡尸一定為等腰三角形；②△CFG一定為等邊三角形；③

△FQC可能為等腰三角形.其中正確的有（）

A.。個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【變式6-2］（2023秋?勃利縣期末）如圖，在△A8C中，ZACB=90°,。是48上的點(diǎn)，過點(diǎn)。作?！阓L

AB交8c于點(diǎn)F,交AC的延長線于點(diǎn)E,連接CD,ZDCA=ZDAC,則下列結(jié)論正確的有（）

①/DCB=NB；?CD=③△AOC是等邊三角形；④若NE=30°,則。E=E/+CF

A.①②?B.①?④C.②③④D.①@③④

【變式6-3］（2023秋?遂寧期末）如圖，將含有30°角的直角三角尺/WC繞直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AOE

的位置，使3點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在BC邊上，連接E3,EC,則下列結(jié)論：?ZDAC=ZDCA-,②ED為

4c的垂直平分線；③￡8平分/AEQ；④△ABO為等邊三角形.其中正確的是.（填序號(hào)）

專題L2等邊三角形.重難點(diǎn)題型

【北師大版】

【知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形】

(D定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

(2)等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形：

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

【題型1等邊三角形的性質(zhì)(角度問題)】

【例1】(2023秋?赫山區(qū)期末)如圖，等邊三角形A8C中，ADLBC,垂足為。，點(diǎn)E在線

段人。上，NEBC=45°,求NACE的度數(shù).

【解題思路】依據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，即可得到A。垂直平分BC；利用垂直平

分線的性質(zhì)即可得到EC=EB,進(jìn)而得到NEC。的度數(shù)；再根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出

結(jié)論.

【解答過程】解：???等邊三角形4BC中，AD1BC,

???。是8c的中點(diǎn)，

：.AD垂直平分BC,

:.EB=EC,

/.ZEBC=ZECB=45°,

又???NAC8=60°,

AZACE=ZACH-ZECB=60°-45°=15°.

【變式1-1](2023秋?河?xùn)|區(qū)期中)如圖，點(diǎn)M,N分別在正三角形ABC的8C,C4邊上,

且8M=CN,AM,BN交千點(diǎn)、Q.求證：N8QM=60°.

【解題思路】根據(jù)8W=CN可得CM=AM易證歷CgZ\8NA,得NBNA=NAMC,

根據(jù)內(nèi)角和為180°即可求得N8QM=NACB=60°，即可解題.

【解答過程】證明：?:BM=CN,BC=AC,:.CM=AN,

又.??A8=AC,/BAN=NACM,

:.XAM8XBNA,貝！/8N4=N4MC,

■:NMAN+NAN8+NAQN=180°

NM4N+NAMC+N4cB=180°,

4AQN=NACB,

丁NBQM=(AQN,

???ZBQM=ZAQN=ZACB=60".

【變式1-2](2023秋?肥東縣期末)如圖,△ABC是等邊三角形，延長8C到E,使CE=^BC.點(diǎn)

。是邊AC的中點(diǎn)，連接￡。并延長交A8于F.

(1)求NEF8的度數(shù)；

(2)求證：DE=2DF,

【解題思路】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,NACB=N8=60°,求出。。

=CE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出NE=30°,求出N8FE即可；

（2）連接4Q,求出3D=DE,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出3。=2。八即可

得出答案.

【解答過程】（1）解：:△ABC是等邊三角形，

：,AC=BC,NAC8=N8=60°,

???。為AC的中點(diǎn)，

：.AD=CD-^AC,

,:CE=&BC,

:.CD=CE,

VZE+ZCD￡=ZACB=6O0,

：.ZE=ZCDE=30Q,

VZfi=60°,

.?.ZEFB=180d-60°-30°=90°；

（2）證明：連接B。，

???△ABC是等邊三角形，

:?AB=BC,ZABC=60°,

??,。為AC的中點(diǎn)，

???ZDBC=ZABD=|Z/4BC=3O°,

VZ￡=30°,

：,ZDBC=ZE,

:.DE=BD,

VZBFE=90°,N48O=30°,

:.BD=2DF,

即DE=2DF.

【變式1-3］（2023秋?鄭州期末）如圖，已知NAOB=120°,△CO。是等邊三角形（三條

邊都相等，三個(gè)角都等于60°的三角形），OM平分/8OC.

D

(1)如圖1,當(dāng)NAOC=30°時(shí)，ZDOM=15°；

(2)如圖2,當(dāng)NAOC=IO()°時(shí)，NDOM=50°:

(3)如圖3,當(dāng)NAOC=a(0°<a<180°)時(shí)，求/。0M的度數(shù)，請(qǐng)借助圖3填空.

解：因?yàn)镹AOC=a,/AO8=120°,

所以/BOC=NAOC-NA08=a-120°,

因?yàn)镺M平分NBOC,

所以NMOC=-NBOC=-a-60°(用a表示)，

-2——2---------

因?yàn)椤鰿OO為等邊三角形，

所以/。。。=60°,

所以NOOM=NMOC+NOOC=-a(用a表示).

~2-

(4)由(1)(2)(3)間可知，當(dāng)NAOC=0(00<p<180°)時(shí)，直接寫出NDOM

的度數(shù).(用0來表示，無需說明理由)

【解題思路】(1)首先求出NBOC=90°,利用角平分線可得NCOM=45°,再利用角

的和差可得答案；

(2)同(1)的思路；

⑶首先求出N8OC=a-120°,利用角平分線可得NCOM=/a—60°,再利用角的

和差可得答案；

(4)根據(jù)(3)的思路可得答案.

【解答過程】解：(1)?.?NAOC=30°,NAC陽=120°,

???/BOC=120°-30，=90°,

???OM平分N8OC,

???NCOM=9004-2=45°,

.\ZMOD=60°-45°=15°.

故答案為：15°.

(2)VZAOC=\0()<>,ZAOB=120°,

???NBOC=120°-100°=20°,

河平分N30C,

，NCOM=20°4-2=10°,

：.ZMOD=60°-10°=50°.

故答案為：50°.

（3）解：因?yàn)镹AOC=a,ZAOB=120°,

所以NBOC=NAOC-NAOB=a-120°,

因?yàn)?M平分/BOC,

所以/MOC=』NBOC=71一60°（用a表示），

因?yàn)椤鰿OQ為等邊三角形，

所以NOOC=60°,

所以NQOM=NMOC+NQOC=2a（用a表示）.

故答案為：二a—60°,-a.

222

（4）當(dāng)NAOC=0（0°<p<180°）時(shí)，/D0M=，.

因?yàn)镹AOC=0,NA03=120。,

所以NBOC=NAOC-N4OB=0-120°,

因?yàn)镺M平分N8OC,

所以NMOC=*NBOC=*0-60°,

因?yàn)椤鰿O。為等邊三角形，

所以/。。。=60°,

所以NOOM=/MOC+NZX）C=

【題型2等邊三角形的性質(zhì)（規(guī)律問題）】

【例2】（2023春?渠縣期末）如圖，已知NMON=30°,點(diǎn)4,42,43,…在射線ON上,

點(diǎn)81,Bi,田,…在射線OM上，△A181A2，Z\A282A3,ZXA383A4,,,?均為等邊三角形,

若。4i=2,則△A6B6A7的邊長為（）

128

【解題思路】由等邊三角形的性質(zhì)得到N8IAIA2=60°,AIBI=4A2,再由三角形外先

的性質(zhì)求出乙41用。=30°,WJA\B\=A\Ai=OA\,同理得A2&=AM3=042=204,

A3B3=A3A4=22*OA\,A4B4=A4A5=23?0A1,由此得出規(guī)律A,tBn=A,iAn+\=2n'l*0A]=

2”，即可求解.

【解答過程】解：???△AIBA2為等邊三角形，

工N8I4A2=60"，A\B\=A\Ai,

???N4BIO=NBI4IA2-NMON=60°-30°=30°,

???ZA\B\O=ZMON,

.\A\B\=OA],

-*.A\B\=A\A2=OA\,

同理可得AIBI=A2A?>=OA2=20A1,

.*.A3B3=A3A4=OA??=2OA2=22*OA\,

A484=/UA5=OA4=2OA3=2^?(M1,

???A”B”=4,4+i=2”7?O4=2”,

:.ZXA686A7的邊長：ASB6=26=64,

故選：C.

【變式2?1】（2023秋?新化縣期末）如圖，NMON=30°,點(diǎn)Ai,A2,43,…在射線03上,

點(diǎn)81,心，仍，…在射線OM上，△48142,AA2B2A3,△43—44…均為等邊三角形.若

OA\=\,則△A,B4+i的邊長為2〃一1.

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A,BI//A2B2//A^,以及4處=

281A2,得出A3B3=4BIA2=4,44&=88認(rèn)2=8,生陰=168認(rèn)2…進(jìn)而得出答案.

【解答】解：:△A4認(rèn)2是等邊三角形，

：,A\B\=A1B\,Z3=Z4=Z12=60°,

.*.Z2=120°,

???NMON=30°,

AZ1=180°-120°-30°=30°,

又,.?/3=60°,

.?.Z5=180°-60°-30°=90°,

???NMON=N1=30°,

C.OA\=A\B\=\,

?二△A28M3、Z\A383A4是等邊三角形，

AZH=Z10=60°,Z13=60°,

VZ4=Z12=60°,

/.AiBi//A2B2//A3B3,B]A2//BIA3>

AZ1=Z6=Z7=30C,N5=N8=90°,

：,A1B2=2B\A2,&A3=2BM3，

.??4383=44IA2=4,

/UB4=8BIA2=8,

ASB5=16BIA2=16,

以此類推:的邊長為2/r,.

故答案是：2〃！

【變式2-2】如圖，等邊△AICIC2的周長為1,作4c2于Eh,在C】C2的延長線上

取點(diǎn)C3,使。IC3=QCI,連接。1C3,以C2c3為邊作等邊4A2c2c3；作C2D2_LA2c3于

。2,在C2c3的延長線上取點(diǎn)C4,使D2c4=。2。2,連接02c4,以C3c4為邊作等邊△

A3c3c4;…且點(diǎn)Al,A：,A3,…都在直線ClQ同側(cè)，如此F去,則△4C1C2,AA2c2c3,

2n-l

△433c4,△4〃GiC〃+i1.

?！?，的周長和為—on-1—且〃為整數(shù)）

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分別求出△A1C1C2,ZU2c2c3,△人3c3c4,…，△A〃CnC"+l

的周長即可解決問題.

【解答】解：???等邊△AICIC2的周長為1,作CQ14C2于。1,

：,AiD\=D\C2,

,△A2c2c3的周長=iAAiCiCz的周長=

乙乙

???△4C1C2,Z\A2c2c3,ZXA3QC4,…，△4,CnC〃+1的周長分別為1,4,1

2222n-1

???△ACQ,2c3,△43。3c4,…，△△G1G+I的周長和為1+鼻當(dāng)+???+±

L221

2n-l

故答案為赤r

【變式2-3］（2023秋?漢陽區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)正三角形48C,其

中B,。的坐標(biāo)分別為（1,0）和C（2,0）.若在無滑動(dòng)的情況下，將這個(gè)正三角形沿

著大軸向右滾動(dòng)，則在滾動(dòng)的過程中，這個(gè)正三角形的頂點(diǎn)A,8,C中，會(huì)過點(diǎn)（2023,

【解題思路】先作直線），=1,以C為圓心以1為半徑作圓，發(fā)現(xiàn)在笫一次滾動(dòng)過程中，

點(diǎn)A、8經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,同理可得，再根據(jù)每3個(gè)單位長度正好等于正三角形滾動(dòng)一周

即可得出結(jié)論.

【解答過程】解：由題意可知:

第一次滾動(dòng)：點(diǎn)A、8經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,

第二次滾動(dòng)：點(diǎn)8、C經(jīng)過點(diǎn)（3,1）,

第三次滾動(dòng)：點(diǎn)A、C經(jīng)過點(diǎn)（4,1）,

第四次滾動(dòng)：點(diǎn)A、B經(jīng)過點(diǎn)（5,1）,

發(fā)現(xiàn)，每三次一循環(huán)，所以（2023-1）+3=673,

???這個(gè)正三角形的頂點(diǎn)A、8、C中，會(huì)過點(diǎn)（2023,1）的是點(diǎn)4、C,

故答案為：A,C.

【題型3等邊三角形的性質(zhì)（動(dòng)點(diǎn)問題）】

【例3】（2U23春?渭濱區(qū)期木）如圖，在等邊△A8C.中，現(xiàn)有M,/V兩點(diǎn)分別

從點(diǎn)4,B同時(shí)出發(fā)，沿△ABC的邊按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為點(diǎn)N

的速度為2c加s,當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)8點(diǎn)時(shí)，M,N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Ms）.

（I）當(dāng)/為何值時(shí)，M,N兩點(diǎn)重合？?jī)牲c(diǎn)重合在什么位置？

（2）當(dāng)點(diǎn)M,N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在使AM=4N的位置？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)

點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解題思路】（1）首先根據(jù)M、N兩點(diǎn)重合，表示出M,N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程

比M的運(yùn)動(dòng)路程多\2cni,列出方程求解即可；

（2）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACMgA/WN,可得CM=BN,設(shè)出運(yùn)

動(dòng)時(shí)間，表示出CM,NB,NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值.

【解答過程】解：⑴由題意，IX1+12=2。

解得：7=12,

???當(dāng)f=12時(shí)，M,N兩點(diǎn)重合,

此時(shí)兩點(diǎn)在點(diǎn)。處重合；

（2）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)M、N在4C邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形.

理由：由（I）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在。處，

B

如圖，假設(shè)是等腰三角形，

：.AN=AM,

:.NAMN=NANM,

???ZAMC=/ANB,

???△AC8是等邊三角形，

：./C=NB,

在△ACM和△ABN中，

zC=Z.B

Z.AMC=4ANB，

AC=AB

:.△ACMWAABN（AAS）,

:?CM=BN,

設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在8c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，

：,CM=y-12,NB=36?2y,

'；CM=NB,

：.y-12=36-2y,

解得：），=16.故假設(shè)成立.

當(dāng)點(diǎn)M、N在8c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12秒或16秒時(shí)，AM=AN.

【變式3-1］如圖，已知△ABC是邊長為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A,8兩點(diǎn)

出發(fā)，分別沿人從8c勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是Isi/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cmJs,

當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、。兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)劭時(shí)間為：，（s）,當(dāng)1=2時(shí)，判斷

△8QP的形狀，并說明理由.

【解題思路】當(dāng)f=2時(shí)，可分別計(jì)算出BP、B。的長，再根據(jù)/B=60°對(duì)△BPQ的形

狀進(jìn)行判斷即可.

【解答過程】解：4BP。是等邊三角形，

當(dāng)/=2時(shí)，AP=2Xl=2,8Q=2X2=4,

：.BP=AB-AP=6-2=4,

:.BQ=BP,

又???/4=60°,

???△BPQ是等邊三角形.

【變式3-2］（2023春?市中區(qū)期中）如圖，在等邊aABC中，AB=9c〃i,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿

C3邊向點(diǎn)B點(diǎn)以2cm/$的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從3點(diǎn)出發(fā)沿84邊向A點(diǎn)以5cm/s速度移動(dòng).P、

。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為f秒鐘.

（1）你能用，表示BP和3Q的長度嗎？請(qǐng)你表示出來.

（2）請(qǐng)問幾秒鐘后，儀2為等邊三角形？

（3）若P、。兩點(diǎn)分別從C、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且都按順時(shí)針方向沿△4AC三邊運(yùn)動(dòng),

請(qǐng)問經(jīng)過幾秒鐘后點(diǎn)尸與點(diǎn)。第一次在△A8C的哪務(wù)邊上相遇？

【解題思路】（1）由三角形48c為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊相等得到.48=

BC=9cm,由P的速度和時(shí)間，表示出。走過的路程CP的長，然后用邊長8c減去CP

即可表示出BP；由Q的速度及時(shí)間/,即可表示出。走過的路程8Q；

（2）若△"8Q為等邊二角形，根據(jù)等邊二角形的邊長相等則有PB=BQ,由（1）表示

出的代數(shù)式代入即可列出關(guān)于/的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的t的值；

（3）同時(shí)出發(fā)，要相遇其實(shí)是一個(gè)追及問題，由于Q的速度大于尸的速度，即Q要追

及上P,題意可知兩點(diǎn)相距AB+AC即兩個(gè)邊長長，第一次相遇即為Q比0多走兩個(gè)三

角形邊長，設(shè)出第一次相遇所需的時(shí)間，根據(jù)Q運(yùn)動(dòng)的路程-P運(yùn)動(dòng)的路程=18列出關(guān)

于/的方程，求出方程的解即可求出滿足題意的/的值，然后由求出/的值計(jì)算出P運(yùn)動(dòng)

的路程，確定出路程的范圍，進(jìn)而判斷出P的位置即為第一次相遇的位置.

【解答過程】解:（1）??.△ABC是等邊三角形，

:?BC=AB=9cm，

???點(diǎn)P的速度為2c〃而，時(shí)間為ts,

：.CP=2t,

則PB=BC-CP=（9-2r）cm；

???點(diǎn)Q的速度為5c〃而，時(shí)間為ts,

：,BQ=5h

（2）若△PBQ為等邊三角形，

則有BQ=BP,即9-2/=5/,

解得t=2,

所以當(dāng)/=有時(shí)，△P6Q為等邊三角形；

（3）設(shè)6時(shí)，Q與P第一次相遇，

根據(jù)題意得：5/-2，=18,

解得t=6,

則6s時(shí)，兩點(diǎn)第一次相遇.

當(dāng)￡=6s時(shí),一走過得路程為2X6=12cm,

而9V12V18,即此時(shí)P在A8邊上，

則兩點(diǎn)在43上第一次相遇.

【變式3-3］（2023秋?大武口區(qū)期末）如圖所示，已知△ABC中，A8=AC=BC=10厘米，

M、N分別從點(diǎn)4、點(diǎn)8同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度是1座米/秒，

點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)8點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

（1）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？

（2）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得等邊三角形AMN?

（3）M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰△4MM如果存在，請(qǐng)求

出此時(shí)Af、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？

【解題思路】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M,N的運(yùn)動(dòng)

路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多10”〃，列出方程求解即可；

（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形4MM然后表示出AM.AN

的長，由于/A等于60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；

（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM絲△/WM可得CM=BN,設(shè)出運(yùn)

動(dòng)時(shí)間，表示出CM,28的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值.

【解答過程】解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，

xX1+10=2匕

解得：x=10；

（2）設(shè)點(diǎn)“、N運(yùn)動(dòng)廠秒后，可得到等邊三角形如圖①，

AM=tX\=t,AN=AB-BN=10-2t,

???△八/WN是等邊三角形，

解得/=3

10

???點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)三?秒后，可得到等邊三角形AMM

（3）當(dāng)點(diǎn)、M、N在GC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形,

由（1）知10秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在。處，

如圖②，假設(shè)AAMN是等腰三角形，

：.AN=AM,

:./AMN=/ANM,

:.ZAMC=NANB,

*：AB=BC=AC,

???△4C8是等邊三角形，

???NC=N8,

在△ACM和△4BN中，

Z-C=zF

?/Z/1MC=乙ANB,

AC=AB

.?.△ACMdABN（AAS）,

:.CM=BN,

設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在8C邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，“、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△八MN是等腰三角形，

：,CM=y-10,NB=3D-2y,CM=NB,

y-10=30-2y,

解得：）=竽.故假設(shè)成立.

???當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),，能得到以MN為底邊的等腰△AMM此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)

40

的時(shí)間為G■秒.

國②

圖①

【題型4等邊三角形的判定】

【例4】（2023秋?港池縣期末）下列三角形:

①有兩個(gè)角等于60°；

②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；

③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；

④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.

其中是等邊三角形的有（）

A.①②③B.C.D.①?③④

【解題思路】根據(jù)等邊三角形的判定判斷.

【解答過程】解：①兩個(gè)角為60度，則第三個(gè)角也是60度，則其是等邊三角形，故正

確；

②這是等邊三角形的判定2,故正確；

③三個(gè)外角相等則三個(gè)內(nèi)角相等,則其是等邊三角形,故正確：

④根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì).可.以證明三邊相等，故正確.

所以都正確.

故選：D.

【變式4-1］（2023春?平川區(qū)校級(jí)期末）下面給出的幾種三角形：①三個(gè)內(nèi)角都相等②有

兩個(gè)外角為120。③一邊上的高也是這邊所對(duì)的角的平分線④三條邊上的高相等，其中是

等邊三角形的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【解題思路】根據(jù)等邊三角形的判定定理、三角形的外角的概念、三角形的面積公式判

斷即可.

【解答過程】解：三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；

有兩個(gè)外角為120°,則兩個(gè)內(nèi)角都是60°,

???這個(gè)三角形是等邊三角形；

一邊上的高也是這邊所對(duì)的角的平分線的三角形是等腰三舛形；

根據(jù)三角形的面積公式可知，三條邊上的高相等的三角形是等邊三角形，

故選：B.

【變式4-2］（2023春?福LI區(qū)期末）在下列結(jié)論中：

（1）有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形

（2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形

（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形

（4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【解題思路】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等

邊三角形；三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的

定義可解答本題.

【解答過程】解：（1）：因?yàn)橥饨呛团c其對(duì)應(yīng)的內(nèi)角的和是180°,已知有一個(gè)外角是

120°,即是有一個(gè)內(nèi)角是60“，有一個(gè)內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.該結(jié)

論正確.

（2）：兩個(gè)外角相等說明該三角形中兩個(gè)內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個(gè)底角是相等的，

故不能確定該三角形是等邊三角形.該結(jié)論錯(cuò)誤.

（3）：等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不

能保證該三角形是等邊三角形.該結(jié)論錯(cuò)誤.

（4）：三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形.正確；

故選：C.

【變式4-3］（2023春?文登區(qū)期末）如圖，ZAOB=\20a,OP平分NAO8,且OP=2.若

點(diǎn)M,N分別在08上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△2,團(tuán)7有（）

0

A.2個(gè)R.3個(gè)C.4個(gè)D.無數(shù)個(gè)

【解題思路】如圖在0A、08上截取。石=。?=0。，作NMPN=60°,只要證明

g△產(chǎn)ON即可推出△2/的是等邊三角形，由此即可得結(jié)論

【解答過程】解：如圖在。4、。8上截取OE=Or=0尸，作NMPN=60°.

???。2平分/4。-

???NEOP=/尸0/=60°,

;OP=OE=OF,

:.4OPE,b是等邊三角形，

:.EP=OP,/EPO=/OEP=/PON=/MPN=6C,

JZEPM=/OPN,

在和△PON中，

ZPEM=乙PON

PE=P0,

Z-EPM=乙OPN

:ZEMQAPON（ASA）.

:.PM=PN,VZMPN=60°,

??.△PNM是等邊三角形，

，只要NMPN=60°,△PMN就是等邊三角形，

故這樣的三角形有無數(shù)個(gè).

故選：D.

【題型5等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合】

【例5】（2023秋?松桃縣期末）如圖，點(diǎn)P,M,N分別在等邊aABC的各邊上，且MP_L

AB于點(diǎn)P,MNtBC于點(diǎn)、M,PN上AC于點(diǎn)、N.

（1）求證：△PMN是等邊三角形；

（2）若A8=12cm,求CM的長.

【解題思路】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NA=/B=NC,進(jìn)而得出NMP8=4NMC

=ZPNA=90°,再根據(jù)平角的意義即可得出/NRW=NPMN=NMNP,即可證得4

PMN是等邊三角形；

（2）易證得△夕得出PA-BM-CN,PR-MC—AN,從而求得

BM+PB=AB=\2cm,艱據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出2PB=

BM,即可求得尸8的長，進(jìn)而得出MC的長.

【解答過程】解：（1）???△43C是正三角形，

**.N4=NB=NC,

MNLBC,PN1.AC,

:./MPB=/NMC=NPNA=9U",

???NPMB=NMNC=NAPN,

；?NNPM=NPMN=NMNP,

.??△PMN是等邊三角形；

(2)根據(jù)題意△PBMg/XMCN0△M1P,

:,PA=BM=CN,PB=MC=AN,

：.BM+PB=AB=\2cm.

「△ABC是正三角形，

AZA=ZB=ZC=6C°,

：.2PB=BM,

：.2PB+PB=\2cm,

:.PB=4cni,

:.MC=4cm.

【變式5-1](2023秋?邵陽縣期末)如圖，在等邊△ABC中，/A8C與NAC8的平分線相

交于點(diǎn)。，且。?！?&OE//AC

(1)試判定△OOE的形狀，并說明你的理由；

(2)若8C=10,求AODE的周長.

【解題思路】(1)證明NABC=NAC8=60°；證明NOOE=NA8C=60°,ZOED=

ZACB=6()°,即可解決問題.

(2)證明BO=OD；同理可證CE=OE；即可解決問題.

【解答過程】解：(1)ZSOOE是等邊三角形；理由如下：

???△48C是等邊三角形，

???NA8C=NACB=60°；

VOD//AB,OE//AC,

???NOQE=/A8C=6Q°,NOEO=NAC8=60°,

???△。?！隇榈冗吶切?

(2),??OB平分/4BC,OD//AB,

/.ZABO=/DOB,NABO=NOB。，

:?/DOB=NDBO,

:?BD=OD；同理可證CE=OE;

:.△ODE的周長=BC=10.

（1）如圖①，DE//BC,分別交AB、AC于點(diǎn)。、E.求證：△AQE是等邊三角形；

（2）如圖②，△AQE仍是等邊三角形，點(diǎn)4在的延長線上，連接CE,判斷N4EC

的度數(shù)及線段BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【解題思路】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N8=NC=60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)和

等邊三角形的判定定理證明即可；

（2）證明八Og/XCAE,得到B/）=CE即可證明.

【解答過程】（1）證明：???△A6C是等邊三角形，

/.ZB=ZC=60°,

?：DE"BC,

???NAOE=NE=60°,NAEO=NC=60°,

???△AQE是等邊三角形；

(2)解：AE+CE=BE.

*：ZBAD+ZDAC=60c,NCAE+NOAC=60°,

：.ZBAD=ZCAEf

在△84。和△CAE中，

AB=AC

乙BAD=乙CAE,

AD=AE

(SAS),

:,BD=CE,NAEC=/AQ8=120°,

:.BE=BD+DE=AE+CE,CE=BD=DE,

???NEBC=30。,

/.ZBEC=60°.

【變式5-3】在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD1.BC,垂足為G,且AO=A8.Z

EDF=60°,其兩邊分別交邊AB,AC于點(diǎn)E,F.

(1)求證：△A3。是等邊三角形；

(2)求證：BE=AF.

【解題思路】（I）連接8D由等腰三角形的性質(zhì)和己知條件得出NH4O=N/MC=

|xl20°=60°,再由4。=48,即可得出結(jié)論；

（2）由AAB。是等邊三角形，得出3D=A￡>,ZABD=ZADB=60°,證出N8OE=N

ADF,由ASA證明WiHBE=AF.

【解答過程】（I）證明：連接8。，

'：AB=AC,ADIBC,

：.N8AD=NDAC=

VZBAC=120°,

/.ZBAD=ZDAC=1x120°=60。,

'：AD=AB,

???△A3。是等邊三角形：

（2）證明：???△ABO是等邊三角形，

???/"。=/4。/?=60°,BD=AD

VZEDF=60°,

/.ZBDE=NADF,

在△。?！昱c△40〃中，

ZDBE=乙DAF=60°

BD=AD,

乙BDE=Z.ADF

：.ABDE^AADF（ASA）,

：,BE=AF.

A

【題型6等邊三角形中的多結(jié)論問題）】

【例6】（2023春?武侯區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，8c和△QEC都是等邊三角形，。是

8C延長線上一點(diǎn)，/W與8E相交于點(diǎn)P,AC.BE相交于點(diǎn)"，AD.CE相交于點(diǎn)M

則下列五個(gè)結(jié)論：?AD=BE；②/BMC=/ANC；③NAPM=60°；④AN=BM；⑤4

CMN是等邊三角形.其中，正確的有（）

【解題思路】根據(jù)先證明△AC。，得出人力=BE,根據(jù)己知給出的條件即可得出

答案；

【解答過程】解：???△A8C和△DEC都是等邊三角形，

：.AC=BC>CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

/.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,即ZRCE=ZACD,

???△BCEdAC。(SAS),

：,AD=BE,故選項(xiàng)①王確：

VZACB=ZACE=6(r,由△BCEgZXAC。得：NCBE=NCAD,

???NBMC=N4NC,故選項(xiàng)②正確；

由△BCEg△ACO得：ZCBE=ZCAD,

■:NAC8是△ACO的外角，

/.NACR=N'CAO+/AOC=ZCBE+ZADC=60°,

又NAPM是△尸BO的外角，

ZAPM=ZCBE+ZADC=60<>,故選項(xiàng)③正確；

在△AC7V和aBC