PAGE2-選修4－5不等式選講[考綱傳真]1.理解肯定值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.會(huì)利用肯定值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3.通過一些簡(jiǎn)潔問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法．1．肯定值不等式的解集(1)含肯定值的不等式|x|<a與|x|>a的解法：不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a＜x＜a}??|x|>a{x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：①利用肯定值不等式的幾何意義求解；②利用零點(diǎn)分段法求解；③構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解．2．肯定值三角不等式定理1：假如a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．定理2：假如a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立．3．基本不等式定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．定理2：假如a，b為正數(shù)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．定理3：假如a，b，c為正數(shù)，則eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立．定理4：(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)假如a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立)．(2)柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|α||β|≥|α·β|，當(dāng)且僅當(dāng)α或β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ(α，β為非零向量)時(shí)，等號(hào)成立．(3)柯西不等式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，則eq\r(x1－x22＋y1－y22)＋eq\r(x2－x32＋y2－y32)≥eq\r(x1－x32＋y1－y32).(4)柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立．5．不等式證明的方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法等．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)|a－b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)，等號(hào)成立．()(2)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.()(3)|x－a|＋|x－b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a，b的距離之和．()(4)用反證法證明命題“a，b，c全為0”時(shí)假設(shè)為“a，b，c全不為0”．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)A[①當(dāng)x<1時(shí)，原不等式等價(jià)于1－x－(5－x)<2，即－4<2，恒成立，∴x<1.②當(dāng)1≤x≤5時(shí)，原不等式等價(jià)于x－1－(5－x)<2，即x<4，∴1≤x＜4.③當(dāng)x>5時(shí)，原不等式等價(jià)于x－1－(x－5)<2，即4<2，無解．綜合①②③知x<4.]3．若不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實(shí)數(shù)k＝________.2[∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集為{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]4．(教材改編)若關(guān)于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(－∞，－3]∪[3，＋∞)[由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值為3，要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]5．已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值為________．9[∵a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)×\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)×\f(b,c))＝3＋6＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立．]含肯定值不等式的解法【例1】(2024·全國卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)＞x成立，求a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，x≤－1，,2x，－1＜x＜1，,2，x≥1.))故不等式f(x)＞1的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞\f(1,2))).(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|x＋1|－|ax－1|＞x成立等價(jià)于當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，|ax－1|＜1成立．若a≤0，則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|ax－1|≥1；若a＞0，|ax－1|＜1的解集為0＜x＜eq\f(2,a)，所以eq\f(2,a)≥1，故0＜a≤2.綜上，a的取值范圍為(0,2]．[規(guī)律方法]1解肯定值不等式的關(guān)鍵是去肯定值符號(hào)，常用的零點(diǎn)分段法的一般步驟：求零點(diǎn)；劃分區(qū)間，去肯定值符號(hào)；分段解不等式；求各段的并集.此外，還常用肯定值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸直觀求解.2不等式恒成立問題、存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決.已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝0時(shí)，由f(x)≥g(x)，得|2x＋1|≥|x|.兩邊平方整理，得3x2＋4x＋1≥0，解得x≤－1或x≥－eq\f(1,3).所以原不等式的解集為(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞)).(2)由f(x)≤g(x)，得a≥|2x＋1|－|x|.令h(x)＝|2x＋1|－|x|，則h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，x≤－\f(1,2)，,3x＋1，－\f(1,2)<x<0，,x＋1，x≥0.))由分段函數(shù)圖象可知h(x)min＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)，從而所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).不等式的證明【例2】(2024·全國卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.[證明](1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋eq\f(3a＋b2,4)(a＋b)＝2＋eq\f(3a＋b3,4)，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.[規(guī)律方法]不等式證明的常用方法是：比較法、綜合法與分析法.其中運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí)，主要是運(yùn)用基本不等式證明，與肯定值有關(guān)的不等式證明常用肯定值三角不等式.證明過程中一方面要留意不等式成立的條件，另一方面要擅長對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))≥9.[證明]因?yàn)閤＞0，y＞0，所以1＝x＋y≥2eq\r(xy).所以xy≤eq\f(1,4).所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))＝1＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(x＋y,xy)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(2,xy)≥1＋8＝9.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．應(yīng)用不等式解決最值問題?考法1利用基本不等式求最值【例3】(2014·全國卷Ⅰ)若a>0，b>0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(ab).(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并說明理由．[解](1)由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，得ab≥2，且當(dāng)a＝b＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立．故a3＋b3≥2eq\r(a3b3)≥4eq\r(2)，且當(dāng)a＝b＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立．所以a3＋b3的最小值為4eq\r(2).(2)由(1)知，2a＋3b≥2eq\r(6)eq\r(ab)≥4eq\r(3).由于4eq\r(3)>6，從而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.?考法2與肯定值三角不等式有關(guān)的最值【例4】(2024·武漢模擬)已知f(x)＝|x－a|＋|x－3|.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)≤3的解集非空，求a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x－3|≥|x－1－x＋3|＝2，∴f(x)的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤3時(shí)取得最小值．(2)∵x∈R時(shí)，恒有|x－a|＋|x－3|≥|(x－a)－(x－3)|＝|3－a|，又不等式f(x)≤3的解集非空，∴|3－a|≤3，∴0≤a≤6.∴a的取值范圍為[0,6]．[規(guī)律方法]肯定值三角不等式、基本不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應(yīng)用，無論運(yùn)用肯定值三角不等式還是運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)留意等號(hào)成立的條件.已知a＞0，b＞0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值為1.(1)求證：2a＋b＝2；(2)若a＋2b≥tab恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．[解](1)證明：f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|＝|x＋a|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(b,2)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(b,2)))，∵|x＋a|＋x－eq\f(b,2)≥(x＋a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(b,2)))＝a＋eq\f(b,2)且x－eq\f(b,2)≥0，∴f(x)≥a＋eq\f(b,2)，當(dāng)x＝eq\f(b,2)時(shí)取等號(hào)，即f(x)的最小值為a＋eq\f(b,2)，∴a＋eq\f(b,2)＝1，即2a＋b＝2.(2)∵a＋2b≥tab恒成立，∴eq\f(a＋2b,ab)≥t恒成立，eq\f(a＋2b,ab)＝eq\f(1,b)＋eq\f(2,a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(2,a)))(2a＋b)·eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋2\r(\f(2a,b)·\f(2b,a))))＝eq\f(9,2)，當(dāng)a＝b＝eq\f(2,3)時(shí)，eq\f(a＋2b,ab)取得最小值eq\f(9,2)，∴eq\f(9,2)≥t，即實(shí)數(shù)t的最大值為eq\f(9,2).柯西不等式的應(yīng)用【例5】(2024·江蘇高考)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8.[證明]由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因?yàn)閍2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.[規(guī)律方法](1)運(yùn)用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一樣形式時(shí)，就可運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行證明．(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a\o\al(2,1))＋\f(1,a\o\al(2,2))＋…＋\f(1,a\o\al(2,n))))≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在運(yùn)用柯西不等式時(shí)，要留意右邊為常數(shù)且應(yīng)留意等號(hào)成立的條件．已知大于1的正數(shù)x，y，z滿意x＋y＋z＝3eq\r(3).求證：eq\f(x2,x＋2y＋3z)＋eq\f(y2,y＋2z＋3x)＋eq\f(z2,z＋2x＋3y)≥eq\f(\r(3),2).[證明]由柯西不等式及題意得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x＋2y＋3z)＋\f(y2,y＋2z＋3x)＋\f(z2,z＋2x＋3y)))[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27.又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝18eq\r(3)，∴eq\f(x2,x＋2y＋3z)＋eq\f(y2,y＋2z＋3x)＋eq\f(z2,z＋2x＋3y)≥eq\f(27,18\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝eq\r(3)時(shí)，等號(hào)成立．1．(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)畫出