23/29濟(jì)南市平陰縣2024年八年級(jí)《數(shù)學(xué)》下學(xué)期期末試題與參考答案一、單項(xiàng)選擇題本大題共10小題，每小題4分，滿分40分。1．（4分）下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念解答即可．【解答】解：A、圖形是中心對(duì)稱圖形，符合題意；B、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D、圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱圖形，熟知把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵．2．（4分）已知a＜b，則下列不等式一定成立的是（）A． B．﹣2a＜﹣2b C．a(chǎn)﹣2＞b﹣2 D．a(chǎn)+2＞b+2【分析】根據(jù)a＜b，運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：A、在不等式a＜b的兩邊同時(shí)乘以，不等式仍然成立，即，故本選項(xiàng)符合題意；B、在不等式a＜b的兩邊同時(shí)乘以﹣2，不等號(hào)方向改變，即﹣2a＞﹣2b，故本選項(xiàng)不符合題意；C、在不等式a＜b的兩邊同時(shí)減去2，不等式仍然成立，即a﹣2＜b﹣2，故本選項(xiàng)不符合題意；D、在不等式a＜b的兩邊同時(shí)加上2，不等式仍然成立，即a+2＜b+2，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；（3）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變．3．（4分）若分式的值為0，則x的值是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C． D．【分析】根據(jù)“分式的值為0的條件為分式的分子等于0，分母不等于0”，即可求解．【解答】解：因?yàn)榉质降闹禐?，所以x+1＝0且2x﹣1≠0，所以x＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．4．（4分）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)根是x＝1，則a+b+c的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．不能確定【分析】把x＝1代入方程計(jì)算求出a+b+c的值．【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．5．（4分）如圖，邊長(zhǎng)為a、b的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為20，面積為16，則a2b+ab2的值為（）A．160 B．180 C．320 D．480【分析】由題意可得：ab＝16，a+b＝10，然后把所求的式子利用提公因式法進(jìn)行分解，即可解答．【解答】解：由題意得：2（a+b）＝20，ab＝16，所以a+b＝10，所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝16×10＝160，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握因式分解﹣提公因式法是解題的關(guān)鍵．6．（4分）下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．鄰邊相等的四邊形是菱形 B．有一角為直角的平行四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 D．矩形的對(duì)角線互相平分且相等【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和判定解答．【解答】解：A、鄰邊相等的平行四邊形是菱形，錯(cuò)誤，符合題意；B、有一角為直角的平行四邊形是矩形，正確，不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確，不符合題意；D、矩形的對(duì)角線互相平分且相等，正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查正方形的判定，通過(guò)這道題可以掌握正方形對(duì)角線，邊和角的性質(zhì)以及正方形和矩形，菱形的關(guān)系．7．（4分）“方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD沿對(duì)角線BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)D，B′之間的距離為（）A．2cm B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理求出BD，根據(jù)平移的概念求出BB′，計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為邊長(zhǎng)為2cm的正方形，所以BD＝＝2（cm），由平移的性質(zhì)可知，BB′＝1cm，所以B′D＝（2﹣1）cm，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是利用平移設(shè)計(jì)圖案，平移的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，根據(jù)平移的概念求出BB′是解題的關(guān)鍵．8．（4分）如圖，直線y＝x+b和y＝kx+4與x軸分別相交于點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（2，0），則解集為（）A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2【分析】結(jié)合圖象，寫出兩個(gè)函數(shù)圖象在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)x＞﹣4時(shí)，y＝x+b＞0，當(dāng)x＜2時(shí)，y＝kx+4＞0，所以解集為﹣4＜x＜2，故選：A．9．（4分）如圖，正方形ABCD中，AB＝1，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接AE、EF、AF，下列結(jié)論：①BE+DF＝EF；②AE平分∠BEF；③△CEF的周長(zhǎng)為2；④S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①延長(zhǎng)CB到G，使BG＝DF，連接AG，則EG＝BE+DF，先證△ABG和△ADF全等得∠2＝∠1，AG＝AF，由此可證∠EAG＝∠EAF＝45°，進(jìn)而再證△AEG和△AEF全等得EG＝EF，據(jù)此可對(duì)結(jié)論①進(jìn)行判斷；②由△AEG≌△AEF得∠GEA＝∠FEA，據(jù)此可對(duì)結(jié)論②進(jìn)行判斷；③根據(jù)BE+DF＝EF得CE+CF+EF＝BC+CD＝2，據(jù)此可對(duì)結(jié)論③進(jìn)行判斷；④設(shè)DF＝a，BE＝b，則CF＝1﹣a，CE＝1﹣b，EF＝a+b，由勾股定理得EF2＝CE2+CF2，即ab＝1﹣a﹣b，則S△ABE+S△ADF＝（a+b），而S△CEF＝（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣（a+b），據(jù)此可對(duì)結(jié)論④進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．【解答】解：①延長(zhǎng)CB到G，使BG＝DF，連接AG，如下圖所示：則EG＝BE+BG＝BE+DF，因?yàn)樗倪呅蜛BC為正方形，AB＝1，所以∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，所以∠ABG＝∠D＝90°，在△ABG和△ADF中，，所以△ABG≌△ADF（SAS），所以∠2＝∠1，AG＝AF，因?yàn)椤螪AB＝90°，∠EAF＝45°，所以∠1+∠3＝∠DAB﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，所以∠2+∠2＝45°，所以∠EAG＝∠EAF＝45°，在△AEG和△AEF中，，所以△AEG≌△AEF（SAS），所以EG＝EF＝BE+DF，故結(jié)論①正確；②因?yàn)椤鰽EG≌△AEF，所以∠GEA＝∠FEA，即AE平分∠BEF，故結(jié)論②正確；③因?yàn)锽E+DF＝EF，所以CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2，即△CEF的周長(zhǎng)為2，故結(jié)論③正確；④設(shè)DF＝a，BE＝b，則CF＝1﹣a，CE＝1﹣b，EF＝BE+DF＝a+b，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，即（a+b）2＝（1﹣a）2+（1﹣b）2，整理得：ab＝1﹣a﹣b，因?yàn)镾△ABE＝BE?AB＝b，S△ADF＝DF?AD＝a，所以S△ABE+S△ADF＝（a+b），又因?yàn)镾△CEF＝CE?CF＝（1﹣a）（1﹣b）＝（1﹣a﹣b+ab），將ab＝1﹣a﹣b代入上式得：S△CEF＝1﹣（a+b），所以S△CEF≠S△ABE+S△ADF，故結(jié)論④不正確，綜上所述：正確的結(jié)論是①②③．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（4分）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．例如：如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°且DC＝BC，那么四邊形ABCD就是鄰等四邊形．問(wèn)題解決：如圖②，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形（點(diǎn)D在格點(diǎn)上），則所有符合條件的點(diǎn)D共有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)“鄰等四邊形”以及網(wǎng)格點(diǎn)的意義在網(wǎng)格中找出條件的點(diǎn)D的位置即可．【解答】解：如圖，根據(jù)“鄰等四邊形”以及網(wǎng)格點(diǎn)的意義可知，所有符合條件的點(diǎn)D共有3個(gè)，即圖形中的D1，D2，D3，故選：B．二、填空題本大題共6小題，每小題4分，滿分24分。11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝y(tǒng)（x﹣y）．【分析】直接提取公因式y(tǒng)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：xy﹣y2＝y(tǒng)（x﹣y）．故答案為：y（x﹣y）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．12．（4分）如圖①是我國(guó)古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中．如圖②是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角∠1＝45°．【分析】由多邊形的外角和定理直接可求出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)檎诉呅蔚耐饨呛蜑?60°，所以每一個(gè)外角為360°÷8＝45°．故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形外角和定理，平面鑲嵌等知識(shí)點(diǎn)，掌握外角和定理是解題的關(guān)鍵．13．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k＜1．【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，解得k＜1．故答案為：k＜1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系，當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．14．（4分）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是1．【分析】先把分式方程去分母變?yōu)檎椒匠蹋缓蟀褁＝2代入計(jì)算，即可求出m的值．【解答】解：因?yàn)椋シ帜?，得?﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2）；因?yàn)榉质椒匠逃性龈?，所以x＝2，把x＝2代入1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2），則1﹣2＝﹣m﹣2（2﹣2），解得：m＝1；故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．15．（4分）如圖，在矩形ABCD中，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E、交BC于F，連接BE、DF．若AB＝3，AD＝4．則四邊形BFDE的面積．【分析】首先判定四邊形BFDE是平行四邊形，然后根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形進(jìn)行判定即可；由EF垂直平分BD，得到EB＝ED，由AD﹣ED＝AE，在直角三角形ABE中，設(shè)AE＝x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求解．【解答】解；四邊形ABCD是矩形，所以AD∥BC，AD＝BC，所以∠EDO＝∠OBF，因?yàn)镺是BD中點(diǎn)，所以BO＝DO，因?yàn)椤螮OD＝∠BOF，在△DEO和△BFO中，所以△DEO≌△BFO（ASA），所以ED＝BF，所以四邊形EBFD是平行四邊形，又因?yàn)镋F⊥BD，所以四邊形EBFD是菱形；所以ED＝EB，設(shè)AE＝x，則ED＝EB＝4﹣x，在Rt△ABE中，BE2﹣AB2＝AE2，即（4﹣x）2＝x2+32，解得，所以，所以，所以四邊形BFDE的面積＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．16．（4分）如圖，已知線段AB＝12，點(diǎn)C是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)D，連接AD、CD；以CD為邊在CD的右側(cè)做矩形CDEF，連接DF，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接BM，則線段BM的最小值是6．【分析】連接CM，EM，過(guò)點(diǎn)A，M作射線AM，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥射線AM于N，由矩形性質(zhì)得點(diǎn)C，M，E在同一條直線上，則DM＝CM＝FM＝EM，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ACD為等邊三角形，則AD＝AC，∠DAC＝60°，進(jìn)而可依據(jù)“SSS”判定△ADM和△ACM全等，則∠DAM＝∠CAM＝∠DAC＝30°，進(jìn)而得當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M始終在∠DAC的平分線上運(yùn)動(dòng)，然后根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)BM⊥AM時(shí)，BM為最小，最小值為線段BM的長(zhǎng)，最后在Rt△ABN中根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BN即可．【解答】解：連接CM，EM，過(guò)點(diǎn)A，M作射線AM，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥射線AM于N，如下圖所示：因?yàn)樗倪呅蜟DEF為矩形，點(diǎn)M為對(duì)角線DF的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C，M，E在同一條直線上，所以DM＝CM＝FM＝EM，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CA＝CD，∠ACD＝60°，所以△ACD為等邊三角形，所以AD＝AC，∠DAC＝60°，在△ADM和△ACM中，AD＝AC，AM＝AM，DM＝CM，所以△ADM≌△ACM（SSS），所以∠DAM＝∠CAM＝∠DAC＝30°，即射線為∠DAC的平分線，所以當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M始終在∠DAC的平分線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)BM⊥AM時(shí)，BM為最小，最小值為線段BM的長(zhǎng)，在Rt△ABN中，∠CAM＝30°，AB＝12，所以BN＝AB＝6，所以BM的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及其性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，垂線段的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解圖形的旋轉(zhuǎn)及其性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，垂線段的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題共10小題，滿分86分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17．（6分）解不等式組：，并寫出它的正整數(shù)解．【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集，最后求出不等式組的整數(shù)解即可．【解答】解：，解不等式①，得x≤5，解不等式②，得x＞2，所以不等式組的解集是2＜x≤5，所以不等式組的整數(shù)解是3，4，5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組和一元一次不等式組的整數(shù)解，能根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．18．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+），再?gòu)末?，﹣1，0，2四個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．【分析】先進(jìn)行通分，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后進(jìn)行約分，再選一個(gè)適當(dāng)?shù)闹荡爰纯桑窘獯稹拷猓海健粒絘+2；把a(bǔ)＝0代入上式得：原式＝0+2＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是把分式化到最簡(jiǎn)，然后代值計(jì)算．19．（8分）解下列方程：（1）x2+12x+27＝0；（3）．【分析】（1）利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x+3＝0或x+9＝0，然后解一次方程即可；（2）先移項(xiàng)得到3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣1＝0或3x+2＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）（x+3）（x+9）＝0，x+3＝0或x+9＝0，所以x1＝﹣3，x2＝﹣9；（2）兩邊乘（x+1）（x﹣1）得，x+1＝1，所以x＝0，經(jīng)檢驗(yàn)x＝0是分式方程的解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．20．（6分）已知：如圖，點(diǎn)O為?ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：DE＝BF．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，進(jìn)而推出∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，結(jié)合AO＝CO，利用AAS證明△AOE≌△COF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可．【解答】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD＝BC，AD∥BC，所以∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，因?yàn)辄c(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，所以AO＝CO，在△AOE和△COF中，，所以△AOE≌△COF（AAS），所以AE＝CF，所以AD﹣AE＝BC﹣CF，所以DE＝BF．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（8分）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：例題：已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是（x+3），求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），則x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，所以，解得．故另一個(gè)因式為（x﹣7），m的值為﹣21．仿照上面的方法解答下面問(wèn)題：（1）已知二次三項(xiàng)式x2+3x﹣c有一個(gè)因式是（x﹣5），則c＝40；（2）已知二次三項(xiàng)式2x2﹣6x﹣k有一個(gè)因式是（x﹣5），求另一個(gè)因式以及k的值．【分析】（1）仿照范例進(jìn)行解答即可；（2）設(shè)另一個(gè)因式為（2x+n），則：2x2﹣6x﹣k＝（x﹣5）（2x+n），對(duì)應(yīng)列出方程組解答即可．【解答】解：（1）設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），則x2+3x﹣c＝（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，所以，解得，所以c＝40，故答案為：40．（2）設(shè)另一個(gè)因式為（2x+n），則：2x2﹣6x﹣k＝（x﹣5）（2x+n），即：2x2﹣6x﹣k＝2x2+（n﹣10）x﹣5n，所以，解得．故另一個(gè)因式為（2x+4），k的值為20．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了因式分解的意義，以及十字相乘法在因式分解中的應(yīng)用，要熟練掌握．22．（8分）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE＝AB，連接CE．（1）求證：BD＝EC；（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．【分析】（1）根據(jù)菱形的對(duì)邊平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后證明得到BE＝CD，BE∥CD，從而證明四邊形BECD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等即可得證；（2）根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠ABO的度數(shù)，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直可得AC⊥BD，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余計(jì)算即可得解．【解答】（1）證明：因?yàn)榱庑蜛BCD，所以AB＝CD，AB∥CD，又因?yàn)锽E＝AB，所以BE＝CD，BE∥CD，所以四邊形BECD是平行四邊形，所以BD＝EC；（2）解：因?yàn)槠叫兴倪呅蜝ECD，所以BD∥CE，所以∠ABO＝∠E＝50°，又因?yàn)榱庑蜛BCD，所以AC⊥BD，所以∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的對(duì)邊平行且相等，菱形的對(duì)角線互相垂直是解本題的關(guān)鍵．23．（10分）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）平移△ABC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，﹣5），畫出平移后對(duì)應(yīng)的△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（2）△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△A2B2C，按要求作出圖形；（3）如果△A2B2C通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以得到△A1B1C1，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用平移規(guī)律得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；（3）利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；B1坐標(biāo)為（2，﹣2）；（2）如圖所示，△AA2B2C即為所求．（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求，P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣平移變換、旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．24．（10分）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來(lái)臨之際，某商場(chǎng)預(yù)測(cè)A粽子能夠暢銷．根據(jù)預(yù)測(cè)，每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)是多少元？（2）如果該商場(chǎng)在節(jié)前和節(jié)后共購(gòu)進(jìn)A粽子400千克，且總費(fèi)用不超過(guò)4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)多少千克A粽子獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【分析】（1）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少4千克，列分式方程，求解即可；（2）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)m千克A粽子，總利潤(rùn)為w元，根據(jù)該商場(chǎng)在節(jié)前和節(jié)后共購(gòu)進(jìn)A粽子400千克，且總費(fèi)用不超過(guò)4600元，列一元一次不等式，求出m的取值范圍，再表示出w與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可確定如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn)即可．【解答】解：（1）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)題意，得，解得x＝10或x＝﹣12（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是原分式方程的根，且符合題意，答：該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)是10元；（2）設(shè)該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)m千克A粽子，總利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意，得12m+10（400﹣m）≤4600，解得m≤300，w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，因?yàn)?＞0，所以w隨著m增大而增大，當(dāng)m＝300時(shí)，w取得最大值，最大利潤(rùn)為2×300+2400＝3000（元），答：該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)300千克A粽子獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立相應(yīng)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．25．（12分）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a、b、c，有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．解：因?yàn)閙，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．所以m+n＝1，mn＝﹣1．則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題．（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣．（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m、n，求m2+n2的值；（3）提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t．求：①4s2+7s+t；②﹣的值．【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出x1+x2及x1x2的值；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出m+n＝﹣，mn＝﹣，將其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出結(jié)論；（3）由實(shí)數(shù)s、t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出s+t＝﹣，st＝﹣，①代入所求代數(shù)式計(jì)算即可；②（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再將其代入＝中，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）因?yàn)橐辉畏匠?x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；故答案為：﹣，﹣；（2）因?yàn)橐辉畏匠?x2+3x﹣1＝0的兩根分別為m，n，所以m+n＝﹣，mn＝﹣，所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；（3）①因?yàn)閷?shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，所以s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以2s2+3s＝1，s+t＝﹣，所以4s2+7s+t＝4s2+6s+s+t＝2（2s2+3s）+（s+t）＝2+（﹣）＝；②因?yàn)閷?shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，所以s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以s+t＝﹣，st＝﹣，因?yàn)椋╰﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，所以t﹣s＝±，所以＝＝＝±．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于﹣，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．26．（12分）綜合與實(shí)踐．【初步探究】某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如圖1的方式擺放，∠ACB＝∠ECD＝90°，隨后保持△ABC不動(dòng)，將△CDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），連接AE，BD，延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，連接CF．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)你幫忙解答：（1）如圖2，當(dāng)ED∥BC時(shí)：①則α＝45°；②判斷BD與AE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【深入探究】（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出AF，