圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)總結(jié)___________________________________高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大全—圓錐曲線一、考點(diǎn)（限考）概要：

1、橢圓：

（1）軌跡定義：

①定義一：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，兩定點(diǎn)是焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距離是焦距，且定長(zhǎng)2a不小于焦距2c。用集合表達(dá)為：；

②定義二：在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是個(gè)常數(shù)e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線叫準(zhǔn)線，常數(shù)e是離心率。

用集合表達(dá)為：；

（2）原則方程和性質(zhì)：

注意：當(dāng)沒(méi)有明確焦點(diǎn)在個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，所求的原則方程應(yīng)有兩個(gè)。

（3）參數(shù)方程：（θ為參數(shù)）；

3、雙曲線：

（1）軌跡定義：

①定義一：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，兩定點(diǎn)是焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距離是焦距。用集合表達(dá)為：

②定義二：到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是個(gè)常數(shù)e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線叫準(zhǔn)線，常數(shù)e是離心率。

用集合表達(dá)為：

（2）原則方程和性質(zhì)：

注意：當(dāng)沒(méi)有明確焦點(diǎn)在個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，所求的原則方程應(yīng)有兩個(gè)。

4、拋物線：

（1）軌跡定義：在平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線，定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線是準(zhǔn)線，定點(diǎn)與定直線間的距離叫焦參數(shù)p。用集合表達(dá)為：

（2）原則方程和性質(zhì)：

①焦點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)與方程符號(hào)一致，與準(zhǔn)線方程的符號(hào)相反；

②原則方程中一次項(xiàng)的字母與對(duì)稱軸和準(zhǔn)線方程的字母一致；

③原則方程的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，有別于一元二次函數(shù)的圖像；

二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：

1、平面解析幾何的知識(shí)構(gòu)造：

2、橢圓各參數(shù)間的關(guān)系請(qǐng)記熟“六點(diǎn)六線，一種三角形”，即六點(diǎn)：四個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)；六線：兩條準(zhǔn)線，長(zhǎng)軸短軸，焦點(diǎn)線和垂線PQ；三角形：焦點(diǎn)三角形。則橢圓的各性質(zhì)（除切線外）均可在這個(gè)圖中找到。

3、橢圓形狀與e的關(guān)系：當(dāng)e→0，c→0，橢圓→圓，直至成為極限位置的圓，則認(rèn)為圓是橢圓在e=0時(shí)的特例。當(dāng)e→1，c→a橢圓變扁，直至成為極限位置的線段，此時(shí)也可認(rèn)為是橢圓在e=1時(shí)的特例。

4、運(yùn)用焦半徑公式計(jì)算焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則弦長(zhǎng)

這裏體現(xiàn)理解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想。

5、若過(guò)橢圓左（或右）焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為AB，則；

6、結(jié)合下圖熟記雙曲線的：“四點(diǎn)八線，一種三角形”，即：四點(diǎn)：頂點(diǎn)和焦點(diǎn)；八線：實(shí)軸、虛軸、準(zhǔn)線、漸進(jìn)線、焦點(diǎn)弦、垂線PQ。三角形：焦點(diǎn)三角形。

7、雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊。

8、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b。

9、共軛雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三常數(shù)a、b、c中a、b不一樣（互換）c相似,它們共用一對(duì)漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的措施：將1變?yōu)椋?。

10、過(guò)雙曲線外一點(diǎn)P（x,y）的直線與雙曲線只有一種公共點(diǎn)的狀況如下：

（1）P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；

（2）P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包括雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；

（3）P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；

（4）P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；

11、結(jié)合圖形熟記拋物線：“兩點(diǎn)兩線，一種直角梯形”，即：兩點(diǎn)：頂點(diǎn)和焦點(diǎn)；兩線：準(zhǔn)線、焦點(diǎn)弦；梯形：直角梯形ABCD。

12、對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)化計(jì)算；

13、拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）為AB，且，則有如下結(jié)論：

14、過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一種公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線；

15、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問(wèn)題常用代點(diǎn)相減法：即設(shè)為曲線上不一樣的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則可得到弦中點(diǎn)與兩點(diǎn)間關(guān)系：

16、當(dāng)波及到弦的中點(diǎn)時(shí)，一般有兩種處理措施：一是韋達(dá)定理，即把直線方程代入曲線方程，消元後，用韋達(dá)定理求有關(guān)參數(shù)（即設(shè)而不求）；二是點(diǎn)差法，即設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，然後把交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，兩式相減後，再求有關(guān)參數(shù)。在運(yùn)用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢查條件△＞0與否成立。

5、圓錐曲線：

（1）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可當(dāng)作是這樣的點(diǎn)集：，其中F為定點(diǎn)，d為點(diǎn)P到定直線的l距離，，e為常數(shù)，如圖。

（2）當(dāng)0＜e＜1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓；當(dāng)e＞1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是拋物線。

（3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的、固有的性質(zhì)，不由于位置的變化而變化。

①定性：焦點(diǎn)在與準(zhǔn)線垂直的對(duì)稱軸上

ⅰ橢圓及雙曲線：中心為兩焦點(diǎn)中點(diǎn)，兩準(zhǔn)線有關(guān)中心對(duì)稱；

ⅱ橢圓及雙曲線有關(guān)長(zhǎng)軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸為軸對(duì)稱，有關(guān)中心為中心對(duì)稱；

ⅲ拋物線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心是原點(diǎn)。

②定量：

（4）圓錐曲線的原則方程及解析量（隨坐標(biāo)變化而變）

以焦點(diǎn)在x軸上的方程為例：

6、曲線與方程：

（1）軌跡法求曲線方程的程序：

①建立合適的坐標(biāo)系；

②設(shè)曲線上任一點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）M的坐標(biāo)為(x,y)；

③列出符合條件p(M)的方程f(x,y)=0；

④化簡(jiǎn)方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；

⑤證明化簡(jiǎn)後的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上；

（2）曲線的交點(diǎn)：

由方程組確定，方程組有幾組不一樣的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有幾種公共點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，兩條曲線就沒(méi)有公共點(diǎn)。

1、圓錐曲線的兩個(gè)定義：（1）第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要不小于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)不不小于時(shí)，無(wú)軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要不不小于|FF|，定義中的“絕對(duì)值”與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點(diǎn)的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表達(dá)雙曲線的一支。（2）第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化。Attention：（1）在求解橢圓、雙曲線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線原則方程的類型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷開(kāi)口方向；（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：

橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一種對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）雙曲線（以（）為例）：①范圍：或；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一種對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為2，尤其地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開(kāi)口越小，越大，開(kāi)口越大；⑥兩條漸近線：。拋物線（認(rèn)為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：一種焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；③對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒(méi)有對(duì)稱中心，只有一種頂點(diǎn)（0,0）；④準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線；⑤離心率：，拋物線。5、點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上＝1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)

6．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：

相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一種交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交的充足條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一種交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充足條件，但不是必要條件。Attention：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一種公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。假如直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一種交點(diǎn)；假如直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一種交點(diǎn)；

（2）過(guò)雙曲線＝1外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一種公共點(diǎn)的狀況如下：①P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包括雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；

過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一種公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。7、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算措施：運(yùn)用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表達(dá)P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。8、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題：常運(yùn)用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為，則在橢圓中，①＝，且當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大為＝；②，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為bc；對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：①；②。9、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的某些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則∠AMF＝∠BMF；（3）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點(diǎn)，則PA⊥PB；（4）若AO的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過(guò)B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則A，O，C三點(diǎn)共線。10、弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。尤其地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和後，運(yùn)用第二定義求解。11、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：碰到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，認(rèn)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中，認(rèn)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，認(rèn)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=。Attention：由于是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢查！12．重要結(jié)論：（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）認(rèn)為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，≠0）。如與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程為_(kāi)______（答：）（3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為；（5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，，則①；②（7）若OA、OB是過(guò)拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒通過(guò)定點(diǎn)圓錐曲線的方程與性質(zhì)1．橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)2（不小于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。橢圓的原則方程為：（）（焦點(diǎn)在x軸上）或（）（焦點(diǎn)在y軸上）。注：①以上方程中的大小，其中；②在和兩個(gè)方程中均有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，，）當(dāng)時(shí)表達(dá)焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表達(dá)焦點(diǎn)在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)①范圍：由原則方程知，，闡明橢圓位于直線，所圍成的矩形裏；②對(duì)稱性：在曲線方程裏，若以替代方程不變，因此若點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，因此曲線有關(guān)軸對(duì)稱，同理，以替代方程不變，則曲線有關(guān)軸對(duì)稱。若同步以替代，替代方程也不變，則曲線有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱。因此，橢圓有關(guān)軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心；③頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需規(guī)定出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的原則方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。因此，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同步，線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為和，和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，，，，且，即；④離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比叫橢圓的離心率?！?，∴，且越靠近，就越靠近，從而就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，越靠近于，就越靠近于，從而越靠近于，這時(shí)橢圓越靠近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，兩焦點(diǎn)重疊，圖形變?yōu)閳A，方程為。2．雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（）。注意：①式中是差的絕對(duì)值，在條件下；時(shí)為雙曲線的一支；時(shí)為雙曲線的另一支（含的一支）；②當(dāng)時(shí)，表達(dá)兩條射線；③當(dāng)時(shí)，不表達(dá)任何圖形；④兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢圓雙曲線定義方程焦點(diǎn)注意：怎樣用方程確定焦點(diǎn)的位置?。?）雙曲線的性質(zhì)①范圍：從原則方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。②對(duì)稱性：雙曲線有關(guān)每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。③頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程裏，對(duì)稱軸是軸，因此令得，因此雙曲線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn)。令，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒(méi)有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不一樣的（橢圓有四個(gè)頂