數(shù)學(xué)微積分專項試題集及答案解析姓名_________________________地址_______________________________學(xué)號______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------線--------------------------1.請首先在試卷的標(biāo)封處填寫您的姓名，身份證號和地址名稱。2.請仔細(xì)閱讀各種題目，在規(guī)定的位置填寫您的答案。一、選擇題1.基本概念題

a.函數(shù)的連續(xù)性

1.下列函數(shù)在點x=0處連續(xù)的是：

A.f(x)=x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x/(x^21)

答案：D

解題思路：檢查函數(shù)在x=0處的左極限、右極限和函數(shù)值是否相等。

b.極限的定義

2.下列關(guān)于極限的說法正確的是：

A.極限是函數(shù)在某一點的極限值

B.極限是函數(shù)在某一點的極限值不存在

C.極限是函數(shù)在某一點的極限值等于該點的函數(shù)值

D.極限是函數(shù)在某一點的極限值等于該點的左極限和右極限

答案：D

解題思路：根據(jù)極限的定義，極限值等于左極限和右極限。

c.導(dǎo)數(shù)的定義

3.下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說法正確的是：

A.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點的切線斜率

B.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點的極限值

C.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)不存在

D.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)等于該點的函數(shù)值

答案：A

解題思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點的切線斜率。

d.高階導(dǎo)數(shù)的概念

4.下列關(guān)于高階導(dǎo)數(shù)的說法正確的是：

A.高階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

B.高階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)

C.高階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)

D.高階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的五階導(dǎo)數(shù)

答案：C

解題思路：高階導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，其中n大于等于2。

e.不定積分的定義

5.下列關(guān)于不定積分的說法正確的是：

A.不定積分是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

B.不定積分是函數(shù)的積分

C.不定積分是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積分

D.不定積分是函數(shù)的積分的導(dǎo)數(shù)

答案：B

解題思路：不定積分是函數(shù)的積分，表示為∫f(x)dx。

f.定積分的定義

6.下列關(guān)于定積分的說法正確的是：

A.定積分是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

B.定積分是函數(shù)的積分

C.定積分是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積分

D.定積分是函數(shù)的積分的導(dǎo)數(shù)

答案：B

解題思路：定積分是函數(shù)在某個區(qū)間上的積分，表示為∫[a,b]f(x)dx。

g.定積分的性質(zhì)

7.下列關(guān)于定積分的性質(zhì)說法正確的是：

A.定積分與函數(shù)值的乘積有關(guān)

B.定積分與函數(shù)值的平方有關(guān)

C.定積分與函數(shù)值的立方有關(guān)

D.定積分與函數(shù)值的四次方有關(guān)

答案：A

解題思路：定積分與函數(shù)值的乘積有關(guān)，表示為∫[a,b]f(x)dx。

h.三角函數(shù)的積分

8.下列關(guān)于三角函數(shù)積分的說法正確的是：

A.三角函數(shù)的積分可以表示為三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

B.三角函數(shù)的積分可以表示為三角函數(shù)的積分

C.三角函數(shù)的積分可以表示為三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積分

D.三角函數(shù)的積分可以表示為三角函數(shù)的積分的導(dǎo)數(shù)

答案：B

解題思路：三角函數(shù)的積分可以表示為三角函數(shù)的積分。

2.導(dǎo)數(shù)與微分題

a.導(dǎo)數(shù)的計算

9.求函數(shù)f(x)=x^3在x=2處的導(dǎo)數(shù)。

答案：f'(2)=6

解題思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，計算f'(x)=3x^2，代入x=2得到f'(2)=6。

b.微分的計算

10.求函數(shù)f(x)=e^x在x=1處的微分。

答案：df(x)=e^xdx

解題思路：根據(jù)微分的定義，計算df(x)=f'(x)dx，代入f'(x)=e^x得到df(x)=e^xdx。

c.高階導(dǎo)數(shù)的計算

11.求函數(shù)f(x)=x^4在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)。

答案：f''(0)=0

解題思路：根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)的定義，計算f''(x)=12x^2，代入x=0得到f''(0)=0。

d.隱函數(shù)求導(dǎo)

12.求函數(shù)f(x,y)=x^2y^21在點(1,0)處的導(dǎo)數(shù)。

答案：f'(1,0)=2x2y=2

解題思路：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則，計算f'(x,y)=2x2y，代入點(1,0)得到f'(1,0)=2。

e.分部積分法

13.求積分∫x^2e^xdx。

答案：∫x^2e^xdx=(x^22x2)e^xC

解題思路：根據(jù)分部積分法，令u=x^2，dv=e^xdx，計算du=2xdx，v=e^x，得到∫x^2e^xdx=(x^22x2)e^xC。

f.變限積分

14.求積分∫[0,x]e^tdt。

答案：∫[0,x]e^tdt=e^x1

解題思路：根據(jù)變限積分的定義，計算∫[0,x]e^tdt=e^xe^0=e^x1。

g.微分中值定理

15.證明函數(shù)f(x)=x^3在區(qū)間[0,1]上滿足微分中值定理。

答案：存在c∈(0,1)，使得f'(c)=(f(1)f(0))/(10)=3

解題思路：根據(jù)微分中值定理，存在c∈(0,1)，使得f'(c)=(f(1)f(0))/(10)=3。

h.羅爾定理

16.證明函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上滿足羅爾定理。

答案：存在c∈(0,1)，使得f'(c)=0

解題思路：根據(jù)羅爾定理，存在c∈(0,1)，使得f'(c)=0，即f'(c)=2c=0，解得c=0。

3.積分題

a.基本積分公式

17.求積分∫(2x^35x^23)dx。

答案：∫(2x^35x^23)dx=(1/2)x^4(5/3)x^33xC

解題思路：根據(jù)基本積分公式，分別對2x^3、5x^2和3進(jìn)行積分。

b.積分技巧

18.求積分∫(sinxcosx)dx。

答案：∫(sinxcosx)dx=cosxsinxC

解題思路：根據(jù)積分技巧，分別對sinx和cosx進(jìn)行積分。

c.積分換元法

19.求積分∫(x^21)/(x^41)dx。

答案：∫(x^21)/(x^41)dx=(1/2)ln(x^41)C

解題思路：根據(jù)積分換元法，令u=x^41，計算du=4x^3dx，得到∫(x^21)/(x^41)dx=(1/2)ln(x^41)C。

d.積分分部法

20.求積分∫(x^2e^x)dx。

答案：∫(x^2e^x)dx=(x^22x2)e^xC

解題思路：根據(jù)積分分部法，令u=x^2，dv=e^xdx，計算du=2xdx，v=e^x，得到∫(x^2e^x)dx=(x^22x2)e^xC。

e.積分表的使用

21.求積分∫(1/x)dx。

答案：∫(1/x)dx=lnxC

解題思路：根據(jù)積分表，查找1/x的積分公式得到lnxC。

f.變限積分的應(yīng)用

22.求曲線y=x^2在x=0到x=1之間的弧長。

答案：∫[0,1]√(1(dy/dx)^2)dx=∫[0,1]√(14x^2)dx

解題思路：根據(jù)變限積分的應(yīng)用，計算曲線的弧長。

g.定積分的應(yīng)用

23.求函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的平均值。

答案：∫[0,1]f(x)dx/(10)=∫[0,1]x^2dx/1=(1/3)x^3[0,1]=1/3

解題思路：根據(jù)定積分的應(yīng)用，計算函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的平均值。

h.不定積分的應(yīng)用

24.求函數(shù)f(x)=x^2的逆函數(shù)。

答案：f^(1)(x)=√x

解題思路：根據(jù)不定積分的應(yīng)用，求函數(shù)的逆函數(shù)。二、填空題1.求導(dǎo)數(shù)題

若函數(shù)\(f(x)=x^33x^22x\)，則\(f'(x)=\)_________。

2.求不定積分題

不定積分\(\int(3x^22x1)\,dx=\)_________。

3.求定積分題

定積分\(\int_{0}^{1}(2x1)\,dx=\)_________。

4.求高階導(dǎo)數(shù)題

若函數(shù)\(f(x)=e^{2x}\)，則\(f^{(4)}(x)=\)_________。

5.求積分換元題

若\(\int\sqrt{4x^21}\,dx\)，令\(u=2x\)，則\(du=\)_________。

6.求積分分部題

若\(\intx\sin(x)\,dx\)，令\(u=x\)，\(dv=\sin(x)\,dx\)，則\(du=\)_________。

7.求微分中值定理題

函數(shù)\(f(x)=x^2\)在區(qū)間\([1,3]\)上滿足微分中值定理的條件，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在\(\xi\in(1,3)\)，使得\(f'(\xi)=\)_________。

8.求羅爾定理題

函數(shù)\(f(x)=x^36x9\)在區(qū)間\([1,3]\)上滿足羅爾定理的條件，存在\(\eta\in(1,3)\)，使得\(f'(\eta)=\)_________。

答案及解題思路：

1.求導(dǎo)數(shù)題

答案：\(f'(x)=3x^26x2\)

解題思路：對函數(shù)\(f(x)\)的每一項進(jìn)行求導(dǎo)。

2.求不定積分題

答案：\(\int(3x^22x1)\,dx=x^3x^2xC\)

解題思路：對\(3x^2\)、\(2x\)和\(1\)分別進(jìn)行不定積分。

3.求定積分題

答案：\(\int_{0}^{1}(2x1)\,dx=\frac{3}{2}\)

解題思路：分別計算\(2x\)和\(1\)在區(qū)間[0,1]上的定積分，然后相加。

4.求高階導(dǎo)數(shù)題

答案：\(f^{(4)}(x)=16e^{2x}\)

解題思路：利用指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則，對\(e^{2x}\)進(jìn)行四次求導(dǎo)。

5.求積分換元題

答案：\(du=2\,dx\)

解題思路：根據(jù)換元法，\(u=2x\)，所以\(du=2\,dx\)。

6.求積分分部題

答案：\(du=dx\)，\(dv=\sin(x)\,dx\)

解題思路：根據(jù)積分分部法，選擇\(u\)和\(dv\)的合適值，并記住\(du\)和\(v\)的表達(dá)式。

7.求微分中值定理題

答案：\(f'(\xi)=2\xi\)

解題思路：應(yīng)用拉格朗日中值定理，找到區(qū)間[1,3]上的\(\xi\)，使得\(f'(\xi)\)等于函數(shù)在區(qū)間端點的平均變化率。

8.求羅爾定理題

答案：\(f'(\eta)=0\)

解題思路：根據(jù)羅爾定理，找到區(qū)間[1,3]上的\(\eta\)，使得\(f'(\eta)=0\)，因為\(f(1)=f(3)\)。三、判斷題1.函數(shù)的連續(xù)性與極限的關(guān)系

函數(shù)在某點連續(xù)，則該點的極限存在且等于函數(shù)值。

答案：正確

解題思路：根據(jù)連續(xù)性的定義，若函數(shù)在某點連續(xù)，則該點的極限存在且等于函數(shù)值。

2.導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義

導(dǎo)數(shù)的定義是函數(shù)在某點的切線斜率。

答案：正確

解題思路：導(dǎo)數(shù)的定義是函數(shù)在某點的極限斜率，即切線斜率。

3.不定積分與原函數(shù)的關(guān)系

不定積分可以看作是原函數(shù)的全體。

答案：正確

解題思路：不定積分表示原函數(shù)的集合，因為原函數(shù)加上任意常數(shù)C都是原函數(shù)。

4.定積分與面積的關(guān)系

定積分可以用來計算由曲線、直線和x軸圍成的圖形的面積。

答案：正確

解題思路：定積分的幾何意義即為曲線與x軸所圍圖形的面積。

5.羅爾定理與中值定理的關(guān)系

羅爾定理是中值定理的一種特殊情況。

答案：正確

解題思路：羅爾定理是中值定理的一種，當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且兩端點的函數(shù)值相等時，存在至少一個點使得導(dǎo)數(shù)為零。

6.積分中值定理與羅爾定理的關(guān)系

積分中值定理是羅爾定理的推廣。

答案：正確

解題思路：積分中值定理是羅爾定理在積分形式下的推廣，它表明在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，其定積分可以表示為區(qū)間內(nèi)某點的函數(shù)值乘以區(qū)間長度。

7.微分中值定理與積分中值定理的關(guān)系

微分中值定理和積分中值定理是相互獨立的定理。

答案：正確

解題思路：微分中值定理和積分中值定理雖然都涉及函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，但它們是獨立的定理，分別描述了導(dǎo)數(shù)和積分的性質(zhì)。

8.變限積分與變上限積分的關(guān)系

變限積分可以看作是變上限積分的一種特殊情況。

答案：正確

解題思路：變限積分是變上限積分的一種推廣，其中上限是變量的函數(shù)，而變上限積分的上限是常數(shù)。四、計算題1.求導(dǎo)數(shù)

（1）已知函數(shù)f(x)=x^33x2，求f'(x)。

（2）求函數(shù)y=e^xsin(x)的導(dǎo)數(shù)。

2.求不定積分

（1）求不定積分∫(x^22x1)dx。

（2）求不定積分∫(e^xcos(x))dx。

3.求定積分

（1）求定積分∫[0,2](x^24)dx。

（2）求定積分∫[1,e](e^x)dx。

4.求高階導(dǎo)數(shù)

（1）已知函數(shù)f(x)=x^46x^29，求f''(x)。

（2）求函數(shù)y=e^xsin(x)的三階導(dǎo)數(shù)。

5.求積分換元

（1）求定積分∫[0,π](sin(x))^2dx，采用換元法。

（2）求定積分∫[1,2](x^21)dx，采用換元法。

6.求積分分部

（1）求不定積分∫(x^3e^x)dx，采用積分分部法。

（2）求不定積分∫(sin(x)cos(x))dx，采用積分分部法。

7.求微分中值定理

（1）證明函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上滿足拉格朗日中值定理。

（2）證明函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上滿足柯西中值定理。

8.求羅爾定理

（1）證明函數(shù)f(x)=x^36x^29x1在區(qū)間[0,3]上滿足羅爾定理。

（2）證明函數(shù)f(x)=e^xx1在區(qū)間[0,1]上滿足羅爾定理。

答案及解題思路：

1.求導(dǎo)數(shù)

（1）f'(x)=3x^23。

（2）y'=e^xsin(x)e^xcos(x)。

2.求不定積分

（1）∫(x^22x1)dx=(1/3)x^3x^22xC。

（2）∫(e^xcos(x))dx=(1/2)e^x(sin(x)cos(x))C。

3.求定積分

（1）∫[0,2](x^24)dx=(2^3/342)(0^3/340)=4/3。

（2）∫[1,e](e^x)dx=e^ee。

4.求高階導(dǎo)數(shù)

（1）f''(x)=12x12。

（2）y'''=e^x(sin(x)3cos(x))。

5.求積分換元

（1）∫[0,π](sin(x))^2dx=(1/2)∫[0,π](1cos(2x))dx=π/4。

（2）∫[1,2](x^21)dx=(2^3/31)(1^3/31)=4/3。

6.求積分分部

（1）∫(x^3e^x)dx=(1/4)e^x(x^44x^312x^224x24)C。

（2）∫(sin(x)cos(x))dx=(1/2)∫(sin^2(x))dx=(1/4)π。

7.求微分中值定理

（1）f(0)=0，f(1)=4，f'(x)=2x，滿足拉格朗日中值定理。

（2）f(0)=0，f(1)=e1，f'(x)=e^x1，滿足柯西中值定理。

8.求羅爾定理

（1）f(0)=1，f(3)=0，f'(x)=3x^212x9，滿足羅爾定理。

（2）f(0)=1，f(1)=e2，f'(x)=e^x1，滿足羅爾定理。五、證明題1.證明函數(shù)的連續(xù)性

證明：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，\(a\leqx_0\leqb\)，\(\lim\limits_{x\tox_0}\alpha=\alpha_0\)，\(\alpha(x)\)為有界函數(shù)，則

\[\lim\limits_{x\tox_0}\alpha(x)f(x)=\alpha_0f(x_0)\]

2.證明導(dǎo)數(shù)的定義

證明：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)可導(dǎo)，則有

\[f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0h)f(x_0)}{h}\]

3.證明不定積分與原函數(shù)的關(guān)系

證明：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的原函數(shù)為\(F(x)\)，則

\[\intf(x)\,dx=F(x)C\]

其中，\(C\)為任意常數(shù)。

4.證明定積分與面積的關(guān)系

證明：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(x)\geq0\)，則定積分

\[\int\limits_a^bf(x)\,dx\]

表示曲線\(y=f(x)\)與直線\(x=a\)、\(x=b\)以及\(x\)軸圍成的面積。

5.證明羅爾定理

證明：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足\(f(a)=f(b)\)，則至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。

6.證明微分中值定理

證明：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，則存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使得

\[f'(\xi)=\frac{f(b)f(a)}{ba}\]

7.證明積分中值定理

證明：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(x)\geq0\)，則至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使得

\[\int\limits_a^bf(x)\,dx=f(\xi)(ba)\]

8.證明變限積分與變上限積分的關(guān)系

證明：設(shè)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，\(x_0\in[a,b]\)，則

\[\int\limits_{x_0}^xf(t)\,dt=F(x)F(x_0)\]

其中，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)。

答案及解題思路：

答案解題思路內(nèi)容。

1.證明函數(shù)的連續(xù)性：證明中，通過將函數(shù)\(f(x)\)和有界函數(shù)\(\alpha(x)\)相乘，并利用連續(xù)函數(shù)的乘法性質(zhì)，可以證明出連續(xù)函數(shù)乘以有界函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。

2.證明導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)的定義是通過極限運算得出的，證明了極限的存在性和導(dǎo)數(shù)的存在性。

3.證明不定積分與原函數(shù)的關(guān)系：證明中，通過反證法，即假設(shè)原函數(shù)\(F(x)\)不是\(f(x)\)的一個原函數(shù)，進(jìn)而得出矛盾，證明了不定積分與原函數(shù)的關(guān)系。

4.證明定積分與面積的關(guān)系：通過分析曲線\(y=f(x)\)與\(x\)軸所圍成的圖形，證明了定積分可以表示該圖形的面積。

5.證明羅爾定理：證明中，利用了拉格朗日中值定理，并假設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間上無零點，通過反證法得出矛盾，證明了羅爾定理。

6.證明微分中值定理：證明中，通過拉格朗日中值定理，找到了函數(shù)在區(qū)間端點的增量與區(qū)間長度之間的等量關(guān)系。

7.證明積分中值定理：證明中，通過積分的保號性質(zhì)，以及介值定理，證明了積分中值定理。

8.證明變限積分與變上限積分的關(guān)系：證明中，利用了定積分的定義，證明了變限積分與變上限積分之間的關(guān)系。六、應(yīng)用題1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性

題目：已知函數(shù)f(x)=x^33x^24，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

解題思路：求出f'(x)，判斷其正負(fù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)增減性。

2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值

題目：已知函數(shù)f(x)=x^48x^324x^212x，求f(x)的極值。

解題思路：求出f'(x)，令f'(x)=0，解得極值點。然后判斷f'(x)在這些極值點附近的正負(fù)，根據(jù)正負(fù)判斷極大值和極小值。

3.應(yīng)用積分求解函數(shù)的面積

題目：求由函數(shù)y=x^2與直線y=0及x=2所圍成的封閉圖形的面積。

解題思路：確定積分區(qū)間[0,2]，對函數(shù)y=x^2在[0,2]區(qū)間上進(jìn)行積分，即可求得封閉圖形的面積。

4.應(yīng)用積分求解物理問題

題目：一個物體做直線運動，其位移s（單位：米）隨時間t（單位：秒）變化的函數(shù)為s(t)=2t^39t^212t。求物體在前2秒內(nèi)的平均速度。

解題思路：根據(jù)平均速度的定義，求出位移函數(shù)s(t)在[0,2]區(qū)間的積分，再除以時間區(qū)間長度2秒，即可求得物體在前2秒內(nèi)的平均速度。

5.應(yīng)用微分中值定理求解問題

題目：證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則至少存在一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

解題思路：利用拉格朗日中值定理，證明結(jié)論成立。

6.應(yīng)用積分中值定理求解問題

題目：證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點c∈(a,b)，使得f(c)=1/(ba)∫[a,b]f(x)dx。

解題思路：利用積分中值定理，證明結(jié)論成立。

7.應(yīng)用羅爾定理求解問題

題目：證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則至少存在一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

解題思路：利用羅爾定理，證明結(jié)論成立。

8.應(yīng)用變限積分求解問題

題目：求變限積分∫[0,e]e^xln(t)dt，其中t是變限。

解題思路：將積分轉(zhuǎn)化為對x的函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)積分公式計算。

答案及解題思路：

1.解：f'(x)=3x^26x，令f'(x)=0，得x=0或x=2。當(dāng)x0時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0x2時，f'(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。單調(diào)區(qū)間為(∞,0)和(2,∞)。

2.解：f'(x)=4x^324x^248x12，令f'(x)=0，得x=0，x=1，x=3。當(dāng)x0時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0x1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1x3時，f'(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>3時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。極大值為f(0)=4，極小值為f(3)=27。

3.解：面積S=∫[0,2]x^2dx=[1/3x^3]從0到2=1/3(2^30^3)=8/3。

4.解：s(t)=2t^39t^212t，在前2秒內(nèi)的位移為s(2)s(0)=2^392^21220=83624=4。平均速度=位移/時間=4/2=2。

5.解：f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)。根據(jù)拉格朗日中值定理，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

6.解：f(x)在[a,b]上連續(xù)，根據(jù)積分中值定理，存在c∈(a,b)，使得f(c)=1/(ba)∫[a,b]f(x)dx。

7.解：f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)。根據(jù)羅爾定理，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

8.解：對變限積分∫[0,e]e^xln(t)dt求導(dǎo)，得(e^xln(t))的導(dǎo)數(shù)。然后根據(jù)積分公式計算。七、綜合題1.綜合應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與積分求解問題

題目：已知函數(shù)$f(x)=x^33x^24x$，求$f(x)$在區(qū)間$[1,4]$上的定積分$F(x)$，并求$F(x)$在$x=3$時的值。

答案及解題思路：

首先計算$f(x)$的原函數(shù)，即$F(x)=\intf(x)dx=\frac{x^4}{4}x^32x^2C$，其中$C$為積分常數(shù)。

然后計算$F(x)$在區(qū)間$[1,4]$上的定積分：$F(4)F(1)=(\frac{4^4}{4}4^32\cdot4^2C)(\frac{1^4}{4}1^32\cdot1^2C)=256643212=225$。

最后求$F(x)$在$x=3$時的值：$F(3)=\frac{3^4}{4}3^32\cdot3^2C=812718C=72C$。

2.綜合應(yīng)用微分中值定理與積分中值定理求解問題

題目：已知函數(shù)$f(x)=x^2\sinx$，在區(qū)間$[0,\pi]$上，應(yīng)用積分中值定理和微分中值定理，證明存在一個$\xi\in(0,\pi)$，使得$2\xi=\frac{4}{\pi}\int_0^\pix^2\sinxdx$。

答案及解題思路：

根據(jù)積分中值定理，存在$c\in[0,\pi]$使得$\int_0^\pix^2\sinxdx=\pic^2\sinc$。

使用微分中值定理，存在$\xi\in(0,\pi)$使得$f'(\xi)=2\xi\cos\xi=\frac{4}{\pi}\pic^2\cosc$，即$2\xi=\frac{4}{\pi}\int_0^\pix^2\sinxdx$。

3.綜合應(yīng)用羅爾定理與變限積分求解問題

題目：設(shè)函數(shù)$f(x)=x^2x$在$[0,2]$上連續(xù)，且$f(0)=f(2)=0$。求證：存在一個$\eta\in(0,2)$，使得$\int_0^2f'(x)dx=2\etaf(\eta)$。

答案及解題思路：

根據(jù)羅爾定理，由于$f(x)$在$[0,2]$上連續(xù)，且$f(0)=f(2)$，則存在$\eta\in(0,2)$使得$f'(\eta)=0$。

因為$f'(x)=2x1$，所以$\int_0^2f'(x)dx=\int_0^2(2x1)dx=[x^2x]_0^2=3$。

于是$2\etaf(\eta)=2\eta(\eta^2\eta)=3$，符合題目要求。

4.綜合應(yīng)用導(dǎo)數(shù)、積分與微分中值定理求解問題

題目：已知函數(shù)$f(x)=e^{2x}$，求證：存在$\xi\in(\infty,0)$，使得$\int_{\infty}^0f(x)dx=2\xie^{2\xi}$。

答案及解題思路：

計算$\int_{\infty}^0f(x)dx=\lim_{t\to\infty}\int_t^0e^{2x}dx=\lim_{t\to\infty}\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_t^0=\frac{1}{2}$。

使用拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(\infty,0)$，使得$f'(x)=\frac{f(x)f(0)}{x0}$，即$2e^{2\xi}=\frac{e^{