PAGE1-其次節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理[考綱傳真]1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)潔命題．1．空間圖形的公理(1)公理1：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)．(2)公理2：假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．(3)公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：過(guò)空間隨意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)定理(等角定理)空間中，假如兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線a在平面α內(nèi)aα有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線在平面外直線a與平面α平行a∥α沒(méi)有公共點(diǎn)直線a與平面α斜交a∩α＝A有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α垂直a⊥α(2)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行α∥β沒(méi)有公共點(diǎn)兩平面相交斜交α∩β＝l有一條公共直線垂直α⊥β且α∩β＝aeq\o([常用結(jié)論])1．公理2的三個(gè)推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．2．異面直線的判定定理經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線．3．等角定理的引申(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個(gè)角相等．(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個(gè)邊相同，一個(gè)邊相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的隨意一條直線． ()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面． ()(3)假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合． ()(4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的全部直線與a異面． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改編)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°C[連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．(教材改編)下列命題正確的是()A．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．四邊形確定一個(gè)平面D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面D[依據(jù)確定平面的公理和推論知選項(xiàng)D正確．]4．已知空間四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形肯定是()A．空間四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形B[四邊形的相鄰兩邊分別平行于空間四邊形的兩角對(duì)角線，故選B．]5．已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[由題意知aα，bβ，若a，b相交，則a，b有公共點(diǎn)，從而α，β有公共點(diǎn)，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A．]空間圖形的公理及其應(yīng)用【例1】(1)以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①不共面的四點(diǎn)中，其中隨意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0B．1C．2D．3B[①正確，可以用反證法證明，假設(shè)隨意三點(diǎn)共線，則四個(gè)點(diǎn)必共面，與不共面的四點(diǎn)沖突；②中若點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，則A，B，C，D，E不肯定共面，故②錯(cuò)誤；③中，直線b，c可能是異面直線，故③錯(cuò)誤；④中，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時(shí)，四條線段不共面，故④錯(cuò)誤．](2)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：①E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；②CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．[解]①如圖，連接EF，CD1，A1B．∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈直線CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．[規(guī)律方法]共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題的證明方法(1)證明點(diǎn)共線問(wèn)題：①公理法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再依據(jù)基本公理3證明這些點(diǎn)都在交線上；②同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．(2)證明線共點(diǎn)問(wèn)題：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．(3)證明點(diǎn)、直線共面問(wèn)題：①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；②協(xié)助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最終證明平面α，β重合．(1)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()ABCDD[依據(jù)異面直線的判定定理，選項(xiàng)D中PS與QR是異面直線，則四點(diǎn)P，Q，R，S不共面．故選D．](2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)．求證：D1，H，O三點(diǎn)共線．[證明]如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因?yàn)锽B1DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因?yàn)槠矫鍭CD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三點(diǎn)共線．空間兩條直線的位置關(guān)系【例2】(1)已知a，b，c為三條不同的直線，且a平面α，b平面β，α∩β＝c，給出下列命題：①若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；②若a不垂直于c，則a與b肯定不垂直；③若a∥b，則必有a∥c.其中真命題有________．(填序號(hào))(2)在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上全部正確答案的序號(hào))．①②③④(1)①③(2)②④[(1)對(duì)于①，若c與a，b都不相交，則c∥a，c∥b，從而a∥b，這與a與b是異面直線沖突，故①正確．對(duì)于②，a與b可能異面垂直，故②錯(cuò)誤．對(duì)于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，從而a∥c，故③正確．(2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG(圖略)，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖②④中，GH與MN異面．][規(guī)律方法]異面直線的判定方法(1)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．肯定是異面直線 B．肯定是相交直線C．不行能是平行直線 D．不行能是相交直線(2)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為_(kāi)_______．(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)(1)C(2)③④[(1)c與b可能相交，也可能異面，但可不能平行，故選C．(2)依據(jù)兩條異面直線的判定定理知，③④正確．]異面直線所成的角【例3】(1)(2024·全國(guó)卷Ⅱ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(\r(7),2)(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中點(diǎn)，則異面直線BC1與PD所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°(1)C(2)C[(1)如圖，連接BE，因?yàn)锳B∥CD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即∠EAB．不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C．(2)取CD的中點(diǎn)Q，連接BQ，C1Q∵P是AB的中點(diǎn)，∴BQ∥PD∴∠C1BQ是異面直線BC1與PD所成的角．在△C1BQ中，C1B＝BQ＝C1Q＝eq\r(2)，∴∠C1BQ＝60°，即異面直線BC1與PD所成的角等于60°，故選C．][規(guī)律方法]用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作：依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．(1)已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，M，N分別是AB、PC的中點(diǎn)，若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，則異面直線PA與MN所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°(2)如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_(kāi)_______．(1)A(2)eq\r(2)[(1)取AC的中點(diǎn)O，連接OM，ON，則OMeq\f(1,2)BC，ONeq\f(1,2)PA．∴∠ONM就是異面直線PA與MN所成的角．在△OMN中，MN＝4，OM＝2，ON＝2eq\r(3)，∴cos∠ONM＝eq\f(ON2＋MN2－OM2,2ON·MN)＝eq\f(12＋16－4,2×2\r(3)×4)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ONM＝30°即異面直線PA與MN所成角的大小為30°，故選A．(2)取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD．因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).]1．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(\r(10),5)D．eq\f(\r(3),3)C[將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD．由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(5)，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝eq\r(3)，所以B1D1＝eq\r(3).又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ，所以cosθ＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋AD\o\al(2,1)－B1D\o\al(2,1),2×AB1×AD1)＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).故選C．]2．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(1,3)A[依據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m，n所成